Capes 2016, épreuve 1, problème 1

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1 Préprto à l écrt CAPES Mthémtques Cpes 06, épreuve, prolème Ce «prolème» est costtué de deux prolèmes ssez lrgemet dépedts l u t l ojet des prtes A, B et C et l utre t l ojet des prtes D et E vec seulemet ue lluso à l prte A Prte A terpolto de Lgrge I L U, est u produt de moômes C est doc u polyôme de degré Pr s 0 s costructo l vére L ( s Supposos qu l exste u utre polyôme P de degré pret les pots Alors, L gj 06 mêmes vleurs ux mêmes P est u polyôme de degré éreur ou égl à qu s ule pour chcu des réels dstcts,, L uque polyôme de degré éreur ou égl à qu s ule e réels dstcts est le polyôme ul P L 0 R- [ X ] et P L L est l uque polyôme de R [ X ] qu vére L ( 0 s s Ue coséquece mmédte e est que pour tout -uplet de réels ( et tout [, ] α L ( α α,,α De ce t α L 0 [ ] ( [, ] α L ( 0 [( [, ] α 0 ] R X gjul6 R X L mlle ( L,L Il est utle de remrquer dès mtet que, R [ X ], l mlle lre de élémets ( L,L est ue se de cet espce vectorel est ue mlle lre de polyômes de l espce [ ] étt u espce vectorel dot l dmeso est égle à R [ X ] R II O cosdère l pplcto F P ( P(,, P( II Pour tout réel λ et tout couple de polyômes ( P, Q de R [ X ] F( λ P + Q (( λp + Q( ( λp + Q( λ( P(,, P( + ( Q(,, Q( λf( P F( Q lérté de F II Pour [, ] ( L e,, + D où l F II L mge pr l pplcto lére F d ue se [ X ] ue pplcto lére jectve III et Posos P ( L R est ue se de R L pplcto F est doc Alors, pour tout [, ] P( ( L ( ( gj 06 Ce qu motre l exstece d u polyôme qu pred les mêmes vleurs que ux pots et e doe e même temps ue expresso ds l se ( L,L S l y e vt u utre, l dérece des deux polyômes sert u polyôme de degré u plus qu s ulert pour réels dstcts cette dérece sert le polyôme ul Il y uss ucté G Jul, 06

2 Préprto à l écrt CAPES Mthémtques Prte B erreur d terpolto I Soet et deux réels tels que < et ue octo cotue sur l tervlle ermé [, ] dérvle sur l tervlle ouvert ], [ gj 06 à vleurs réelles telle que ( ( Alors, l exste u mos u réel c ds l tervlle ouvert ], [ tel que '( c 0 U corollre utle du théorème de Rolle,, dérvle sur ], [ et s ult e pots dstcts de l tervlle Sot g ue octo cotue sur [ ] [, ] ( Alors s octo dérvée g s ule e u mos pots dstcts de l tervlle ] [, E eet, o ote,, les pots dstcts où g s ule, clssés pr ordre crosst Alors l octo g stst les codtos du théorème de Rolle ds chcu des tervlles [, ],[, ] Il exste doc u mos réels c,, c tels que < c < < < < c < et vért g c g' ( ( 0 ' c I Il reste pplquer ce corollre à chcue des dérvées successves de g Au out de j pplctos du j, o prvet à l octo dérvée j-ème, qu est j, et corollre ( os dérvle sur [ ] s ule e u mos + j réels dstcts de ], [ S dérvée, l dérvée d ordre ( + e u mos ( j réels dstcts de ], [ Au out de pplctos du corollre, o prvet à l octo dérvée ( dérvle sur [, ] et qu s ule e u mos deux réels dstcts de ], [ d ordre de g, s ule e u mos u réel de ], [ gjul 06 j de g, s ule -ème, qu est ue os S dérvée, l dérvée II P étt le polyôme d terpolto de e les pots d scsses ( ( x P D utre prt, c Il e résulte que g c s ule e les pots ( + pots dstcts de [ ],,, s ule e chque pot et vut e c, pour tout {,,, },, et s ule e outre e c Elle s ule doc e u mos II L octo g c est de l même clsse que elle est somme d ue octo qu pprtet à C ([,] octo, et d ue octo polyôme, démet dérvle Cette somme pprtet doc à ([,] C Les hypothèses de sot ststes pr cette octo, s dérvée -ème s ule u mos ue os II hc ( x x c coecet du terme de plus hut degré est est u produt de moômes Il s gt d ue octo polyôme de degré, dot le c gjul06 ( c, l S dérvée d ordre est ue G Jul, 06

3 Préprto à l écrt CAPES Mthémtques (! O e dédut que g c x x c P c c (o ote e psst que pusque P est de degré, s dérvée d ordre est l octo ulle octo costte, égle à ( ( ( ( ( ( ( ( ( h ( x c III L dérvée -ème de g c s ule e u mos u pot de [, ] Il exste u réel ζ de [ ] ( ( ( ζ ( ( c P( c (! 0 gjul 06 c'est-à-dre tel que ( ( ( ζ c P c c ( ( c! III S c est égl à [, ] ( c P( c ( ( ζ (! gj 06 l u des ( c P( c ( c 0 ( c, tel que doc detquemet, quel que sot ζ de III Pr déto du mx Pour tout réel z de [, ] Pour tout réel c de [, ] ( ( z glertjul 06 ( ( mx x x [, ] c mx x [, ] x Quel que sot c pprtet à [, ] ( c P( c ( ( ζ (! z [, ] Doc quel que sot c pprtet à [, ] ( c P( c mx ( c! ( ( z mx (! x [, ] ( ( ζ ( x c E e modt que les ottos quel que sot x pprtet à [ ] ( mx ( x x [, ] ( x P( x mx x gjul06 (! x [, ], G Jul, 06

4 Préprto à l écrt CAPES Mthémtques Prte C u exemple Premère méthode I Ic, [, ] [ 0, ] et {, } O otet P( x ( x 4x I D près les prtes précédetes s x P mx x [, ] ( x ( ( x, 0,, gj 06 mx (! x [, ] x L dérvée trosème de s x est cos x, mjorée e 0, vleur solue pr sur l tervlle [ ] s P ( x 6 mx x [, ] x est ue octo polyôme de degré dot l dérvée est l octo I ( x x x ( x x x x + Ue étude de vrtos sommre x x x 0, motre que cette 06 de x ( sur [ ] gjul octo y dmet u mmum égl à et u 6 mxmum égl à Elle y est mjorée e vleur 6 solue pr 6 E coséquece s x P( x 6 II Secode méthode De ço géérle, le polyôme d terpolto d ue octo ux deux pots d scsses ( + + est du premer degré P ( x x O se souvedr que P est tel que P et ( ( + x ( + ( + P et II Q est l octo ulle et Q ( x gjul06 x s 0 x ( x s x < G Jul, 06 4

5 Préprto à l écrt CAPES Mthémtques Il est possle de dér sur clcultrce l octo Q à l de d ue sommto et de l commde «whe» E voc u exemple c-cotre gj 06 Représetto grphque de l octo «premère méthode» et de l octo Q II Q est ue octo e pr morceux Elle est cotue sur [, ] 0 su peut-être ux pots de rccordemet où elle est pror que cotue à drote Il ut vérer que le rccordemet s eectue pr cotuté à guche ux pots Q (,, et ( ( lm x Q x lm P x x gjul06 Q Il e est e s ( + II L octo polyôme du secod degré x x x est égtve etre ses zéros et ( + ( + et elle est mmle pour l dem-somme de ses zéros, c'est-à-dre pour x où elle ( + ( + vut As, pour tout x tel que x 0 x x gjul Ds ces mêmes codtos, e vleur solue II4 O pplque sur chque tervlle ( x P ( x mx ( + x, ( ( x mx (! ( + x, ( + x x 4 ( + x x ( +, l mjorto G Jul, 06 5

6 Préprto à l écrt CAPES Mthémtques L dérvée secode de s x est s x ( + tervlle, Sur chque tervlle mjorée e vleur solue pr sur [, ] (, ( x P ( x + Sur leur réuo ( x Q ( x (, ds lquelle [ 0, [ + 0 doc ortor sur tout ( + mx x x ( + x, 8 gjul06 pusque l mjorto oteue est l même, quel que sot l tervlle 8 x se trouve III Dcle de comprer Cel déped de ce que l o veut L premère méthode ourt ue octo polyôme d terpolto pépère, du secod degré, qu pproche l octo sus à mos de 0,5 près (e rélté, l terpolto est de melleure qulté, o pproche le sus à mos de 0,06 près L deuxème méthode ourt ue octo e pr morceux, gj 06 certes u peu use à gz Elle cepedt deux vtges décss o peut progrmmer l octo et o peut chosr l qulté d pproxmto C-cotre, vec 8 pr exemple, o peut cojecturer que l pproxmto est melleure que celle oteue pr l premère méthode Cocluso des prtes A à C Il s gt ds ces prtes du prolème de méthodes «d terpolto» Cel sous-eted que l o est e mesure de clculer pr dvers moyes des vleurs de e dvers pots (etre lesquels o v terpoler Cocert l octo sus, o peut pror peser à des sus costructles, dot o peut exprmer l vleur excte à l de de rdcux, ce qu est le cs pour des vleurs de comme 4, 5, 6, 8 plutôt qu à des sus o costructles dot o e peut exprmer l vleur excte ce qu est le cs pour des vleurs de comme 7, 9,, G Jul, 06 6

7 Préprto à l écrt CAPES Mthémtques Prte D Vdermode I Lorsque, le détermt est et lorsque, c est ( ( ( II L pplcto lére se { },, X,, X X et gjul 06 R P [ X ] R ( P(,, P( R de s se coque pour mtrce A lorsque [ X ] R est mu de l II S les sot deux à deux dstcts, l été étl ds l prte A que F est jectve Alors le détermt de s mtrce A ds les ses préctées est o ul II S deux des sot égux, deux des lges de l mtrce A sot detques le détermt de A est ul II4 Le détermt de A est o ul s et seulemet s les sot deux à deux dstcts III Il sut de développer ce polyôme de degré ( III Pr lérté C ( ( P P λ C + + λ0c et P s ule ux pots gjul 06,, P( + III O e mode ps gj 06 le détermt d ue mtrce s, à l ue de ses coloes, o joute ue comso lre des utres coloes Le détermt de l mtrce A est le même que celu de l mtrce oteue e remplçt s coloe C pr 0 0 l coloe C + λ C + + λ0c c'est-à-dre pr l coloe E développt pr rpport ux P( termes de s derère coloe le détermt de l mtrce oteue, o otet le résultt III4 Posos P P pour homogééser les ottos de cette questo E tért le procédé précédet, o est meé à cosdérer les polyômes P ( X ( X ( X et plus géérlemet, pour P X X X P X X ( ( ( cec jusqu u polyôme ( det A O otet que ( ( P O ote que ( ( ( P + P tds que, plus géérlemet, pour,, ( ( ( Ce qu doe det( ( + A gjul 06, ormule équvlete à celle de l éocé vec l + G Jul, 06 7

8 Préprto à l écrt CAPES Mthémtques III5 Le détermt de A est ul, et A est o versle, s et seulemet s l u des cteurs de ( ( + det A est ul, c'est-à-dre s et seulemet s deux des sot égux Prte E I Le système d équtos est l trducto lytque du pssge de l prole pr les tros pots et e tt que telle, l équvlece est de ple drot Je e vos ps ce qu l y à démotrer I Les tros pots étt deux à deux dstcts, s deux d etre eux ot l même scsse, lors ls ot des ordoées déretes Le système possède deux lges ux premers memres detques ms ux secods memres dérets l y ds ce système deux équtos comptles Le système ps de soluto I S les scsses sot deux à deux dstctes, lors le détermt du système est o ul Ce système u trplet soluto et u seul I D près les résultts usuels de résoluto d u système x I O e mode ps le détermt d ue mtrce s o soustrt ue de ses lges ux utres lges 0 e soustryt l premère lge ux deux utres 0 gjul06 pus e développt suvt les termes de l premère coloe α 0 Ms ( sot les coordoées du vecteur A, α 0 Les deux premères propostos de l éocé sot équvletes A et ( sot les coordoées du, vecteur A A Les tros pots A, A, A sot lgés s et seulemet s les deux vecteurs A A et A A sot coléres doc s et seulemet s le détermt de leurs coordoées est ul Ce détermt, qu est, est égl u détermt de l trsposée D où l équvlece etre les tros propostos de l éocé I4 Le prolème dmet ue gj 06 soluto, c'est-à-dre ue prole o dégéérée psst pr les tros pots, s et seulemet s le système d équtos dmet ue soluto et s e outreα 0 Le système d équtos dmet ue soluto s et seulemet s les scsses des tros pots sot deux à deux dstctes c'est-à-dre s et seulemet s deux des tros pots e sot jms sur ue même drote d équto x C Idem est s et seulemet s ucue des tros drotes A A ; A A A A est prllèle à l xe des ordoées D du repère chos ( ( ( ; α 0 s et seulemet s A, A, A sot o lgés G Jul, 06 8

9 Préprto à l écrt CAPES Mthémtques II O vet de le dre II Ds ce qu précède, l xe D été chos rtrremet O trouvé ue prole soluto à l codto écessre et suste que D e sot prllèle à ucue gj 06 des tros drotes ( A ;( A A ( A A A ; L drecto de l xe de l prole recherchée peut être celle qu o veut su tros drectos prtculères, celles des drotes ( A A ;( A A ; ( A A Il reste oostt ces tros exceptos ue té de chox possles pour l drecto de cet xe G Jul, 06 9