Intégration, cours, terminale S

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1 Intégrtion, cours, terminle S Intégrtion, cours, terminle S F.Gudon 3 vril 2017

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3 Intégrle d une fonction continue sur un intervlle

4 Intégrle d une fonction continue sur un intervlle Définition : Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle [; b] et C s courbe représenttive dns un repère (O; i; j). ortogonl. On ppelle intégrle de à b de l fonction f l mesure de l ire en unité d ire de l prtie A du pln délimitée pr l xe des bscisses, les droites d équtions x = et x = b et l courbe C. On note b f (t)dt cette ire.

5 Intégrle d une fonction continue sur un intervlle Remrques : Pour toute fonction continue et positive sur [; b], on b f (t)dt 0 ; Si b =, on f (t)dt = 0 ;

6 Intégrle d une fonction continue sur un intervlle Reltion de Chsles : Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle I = [; c] et b un réel de I. Alors : b c c f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx b

7 Intégrle d une fonction continue sur un intervlle Propriété de conservtion de l ordre : Soient f et g deux fonctions continues et positives sur [; b] telles que pour tout x [; b], f (x) g(x). Alors b f (x) dx b g(x) dx

8 Intégrle d une fonction continue sur un intervlle Définition : On ppelle vleur moyenne de f sur [; b], le réel µ = 1 b f (x) dx b Remrque : Si f est positive sur [; b], l vleur moyenne s interprète géométriquement comme l huteur du rectngle de côté b et de même ire que l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe de l fonction, l xe des bscisses et les droites d éqution x = et x = b.

9 Primitive d une fonction continue et positive sur un intervlle

10 Primitive d une fonction continue et positive sur un intervlle Théorème : Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle [; b]. L fonction F définie sur [; b] pr F(x) = x f (t)dt est dérivble sur [; b] et pour dérivée f.

11 Primitive d une fonction continue et positive sur un intervlle Définition : Une fonction F dérivble sur un intervlle I et de dérivée F = f est ppelée primitive de f sur I. Exemple : F : x x 2 2 est une primitive de f : x x cr F (x) = x pour tout réel x.

12 Primitive d une fonction continue et positive sur un intervlle Propriété : Soit f une fonction dmettnt une primitive F sur un intervlle I. Alors f dmet une infinité de primitives : G est une primitve de f si et seulement si il existe un réel k tel que pour tout réel x, G(x) = F(x) + k. Exemple : F 1 : x x et F 2 : x x 2 2 x x. + 2, 5 sont deux primitives de

13 Primitive d une fonction continue et positive sur un intervlle Propriété : Soit f une fonction dmettnt une primitive F sur un intervlle I. Soit pprtennt à I et b un réel. Alors il existe une et une seule primitive F telle que F() = b. Exemple : Il existe une unique primitive F de x x sur R telle que F (1) = 2. En effet, on vu que les primitives sont de l forme x x k où k est un réel. F(1) = 2 impose donc k = 2 d où k = 3 2.

14 Primitive d une fonction continue et positive sur un intervlle Propriété : Toute fonction f continue et positive sur un intervlle I dmet des primitives sur I.

15 Clcul de primitives

16 Clcul de primitives Lien entre intégrle et primitives Pln

17 Clcul de primitives Lien entre intégrle et primitives

18 Clcul de primitives Lien entre intégrle et primitives Propriété : Si f est continue et positive sur un intervlle [A; b] lors b f (t)dt = F(b) F() où F est une primitive quelconque de f sur [; b].

19 Clcul de primitives Primitives de fonctions de référence Pln

20 Clcul de primitives Primitives de fonctions de référence

21 Clcul de primitives Primitives de fonctions de référence Exemples fondmentux : f définie sur I pr primitives F de f sur I intervlle I 0 C R R 1 x + C, C R R x x C, C R R x 2 x C, C R R x n, n N x n+1 n+1 + C, C R R 1 2 x x + C, C R ]0; + [

22 Clcul de primitives Primitives de fonctions de référence Exemples fondmentux (suite) : 1 x ln(x) + C, C R ]0; + [ 1 1 x 2 x + C, C R ] ; 0[ ou ]0; + [ 1 x, n N 1 + C, C R ] ; 0[ ou ]0; + [ n (n 1)x n 1 sin(x) cos(x) + C, C R R cos(x) sin(x) + C, C R R e x e x + C, C R R

23 Clcul de primitives Primitives de fonctions composées Pln

24 Clcul de primitives Primitives de fonctions composées

25 Clcul de primitives Primitives de fonctions composées Exemples fondmentux : f définie sur I pr Primitives F de f sur I intervlle I u u u 2 + C, C R R u u n 1, n N n+1 un+1 + C, C R R u u 2 1 u + C, CR I tel que u ne s nnule p u u, n N 1 + C, C R n (n 1)u n 1 I tel que u ne s nnule p u e u e u + C, C R R u u u + C, C R I tel que u > 0 u u ln u + C, C R I tel que u > 0

26 Intégrle d une fonction de signe quelconque

27 Intégrle d une fonction de signe quelconque Définition : Pour toute fonction f continue sur un intervlle I et pour tous les réels et b de I, on définit l intégrle de à b de f pr b f (t)dt = F(b) F()

28 Intégrle d une fonction de signe quelconque Propriété (reltion de Chsles : Soit f une fonction continue sur I et, b et c trois réels de I. Alors : b c c f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx b Preuve : Soit F une primitive de f. On b f (x) dx + c b f (x) dx = F(b) F() + F(c) F(b) = F(c) F() = c f (x) dx

29 Intégrle d une fonction de signe quelconque Conséquences : Avec les mêmes hypothèses que précédemment, f (x) dx = 0 b f (x) dx = b f (x) dx Preuve : D une prt, f (x) dx = F() F() = 0 et d utre prt, b f (x) dx + b f (x) dx = f (x) dx d où les deux résultts.

30 Intégrle d une fonction de signe quelconque Propriété de linérité de l intégrle : Soient f et g deux fonctions continues sur un intervlle [; b] et k un réel. Alors et b (f (x) + g(x)) dx = b b kf (x) dx = k b f (x) dx + g(x) dx b f (x) dx

31 Intégrle d une fonction de signe quelconque Preuve : Soient F et G des primitives de f et g respectivement. Alors F + G est une primitive de f + g cr (F + G) = F + G = f + g et on b (f (x) + g(x)) dx = (F + G)(b) (F + G)() = F (b) + G(b) F() G() = F(b) F() + G(b) G() = b f (x) dx + b g()x dx. De même, kf est une primitive de kf et b kf (x) dx = kf(b) kf () = k(f(b) F()) = k b f (x) dx

32 Intégrle d une fonction de signe quelconque Propriété de positivité de l intégrle : Soient Si pour tout réel x de I, f (x) 0, lors b f (x) dx 0 ; si pour tout réel x de [; b], f (x) g(x), lors b f (x) dx b g(x) dx.