L outil vectoriel et géométrie analytique

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1 DERNIÈRE IMPRESSION LE 6 septembre 014 à 14:0 L outil vectoriel et géométrie analytique Table des matières 1 Définition et théorème 1.1 Définition Égalité entre deux vecteurs ddition de deux vecteurs.1 La relation de hasles Somme de deux vecteurs de même origine Propriétés de l addition de deux vecteurs Exemples d application Multiplication d un vecteur par un scalaire 6.1 Définition Exercices d application Propriétés de la multiplication par un scalaire Exercice d application olinéarité de deux vecteurs Définition Théorèmes Exercices d application Géométrie analytique Repère oordonnées de vecteurs alculs en géométrie analytique olinéarité en géométrie analytique Exercices d application Distance entre deux points PUL MILN 1 SEONDE S

2 1. DÉFINITION ET THÉORÈME 1 Définition et théorème 1.1 Définition Définition 1 : Un vecteur u est un objet mathématique qui se définit par : Une direction (pente d une droite, mais pas une orientation) Un sens (orientation : la flèche) Une norme : longueur du vecteur u notée : u Remarque : : Il faut faire la différence entre la direction et le sens du vecteur car dans le langage courant les deux mots sont synonyme. Un vecteur n a pas de point d application. On peut donc le placer où l on veut dans le plan euclidien. En cela il se différencie de la force en physique qui elle a un point d application. ependant, il y a bien un rapport très étroit entre la symbolisation d une force en physique et le vecteur en mathématique. Droite support du vecteur direction du vecteur D Représentation du vecteur u es «segments munis d une flèche» représentent le même vecteur u. On dit que le vecteur u est la classe d équivalence de toutes ces représentations. Pour fixer un représentant particulier du vecteur u, on peut prendre deux points et du plan. On note alors ce représentant :. Par abus de langage, on confond le représentant et le vecteur u. On a alors : u =. On peut donc noter un vecteur avec une seule lettre (minuscule) ou avec deux lettres (majuscule car point). La flèche sur les points et est indispensable car, sans flèche, il s agit de la distance entre les points et, norme du vecteur. = PUL MILN SEONDE S

3 . DDITION DE DEUX VETEURS 1. Égalité entre deux vecteurs Théorème 1 : Deux vecteurs u = et v = D sont égaux, si, et seulement si le quadrilatère D est un parallélogramme. = D D est un parallélogramme Démonstration : Un vecteur contient deux informations : une longueur et une direction. Si deux vecteurs sont égaux, alors le quadrilatère D possède deux côtés de même longueur et parallèle, ce qui est la définition d un parallélogramme. Remarque : On peut donc associer un parallélogramme à l égalité de deux vecteurs, ce qui simplifie la démonstration pour prouver qu un quadrilatère est en parallélogramme. ddition de deux vecteurs Note : Le but avec un nouvel outil mathématique est de pouvoir manier facilement celui-ci. D où l idée de créer des opérations avec les vecteurs. L addition de deux vecteurs reprend l idée en physique de la résultante de deux forces de direction différentes. ette opération est connue sous le nom de «relation de hasles» (mathématicien du XIX e siècle)..1 La relation de hasles Propriété 1 : Relation de hasles Soit deux vecteurs u et v dont les représentants sont et, on définit l addition des deux vecteurs u et v par la relation : + = d où u+ v = u v u+ v ette opération est toujours possible, car l on peut toujours déplacer le deuxième vecteur v pour qu il commence à la fin du premier u. ette addition de deux vecteurs ne s applique pas à la norme, en effet : u+ v = u + v mais u+ v u + v Remarque : ette opération est très efficace en géométrie, car l on peut décomposer un vecteur quelconque en deux vecteurs plus intéressant. Par exemple, on peut écrire quelque soit les points E, F et G : EF = EG + GF PUL MILN SEONDE S

4 . DDITION DE DEUX VETEURS La seule contrainte est donc de faire commencer le deuxième vecteur à la fin du premier.. Somme de deux vecteurs de même origine ette configuration se produit lorsqu on cherche à trouver la résultante de deux forces. L idée pour additionner deux vecteurs de même origine est la configuration du parallèlogramme. On a : u u+ v D v Démonstration : Si D est un parallélogramme, alors donc : u+ v = + = + D = D = D, on a. Propriétés de l addition de deux vecteurs Propriété : Propriétés de l addition de deux vecteurs. On retrouve les mêmes propriétés dans l addition de deux vecteurs que dans l addition de deux nombres. 1) L addition de deux vecteurs est commutative : u + v = v + u ) L addition de trois vecteurs est associative : ( u+ v)+ w = u+( v+ w) = u+ v+ w ) L addition de deux vecteurs possède un élément neutre : 0 4) Tout vecteur u possède un opposé, noté u Remarque : La première propriété permet de changer l ordre dans lequel on effectue l addition. La deuxième propriété signifie que lorsque l on cherche à additionner deux vecteurs, on peut d abord additionner les deux premiers, puis additionner ce résultat au troisième ou additionner les deux derniers puis additionner ce résultat au premier. Voici un exemple de cette propriété : PUL MILN 4 SEONDE S

5 . DDITION DE DEUX VETEURS u v u+ v u v u+ v)+ w v+ w u+ v)+ w w w Le vecteur nul vient du fait que si l on applique la relation de hasles à : + = On décide d appeler un vecteur de longueur nulle, le vecteur nul, noté : 0. On a alors + = 0, on décide de noter : = Donc quand on inverse les lettres d un vecteur on change de signe..4 Exemples d application Simplifier les écritures suivantes en utilisant la relation de hasles. a) u = + + b) v = + c) w = M M a) On applique la relation de hasles deux fois u = + + = + = = 0 b) On remplace les signes " " par des signe "+" en inversant les lettres des vecteurs : c) Même procédé, puis on regroupe les vecteurs identiques w = M M = M + M + = M + M + = + = v = + = = = + = PUL MILN 5 SEONDE S

6 . MULTIPLITION D UN VETEUR PR UN SLIRE Démontrer que pour tous points, et : O O + = On part du terme de gauche pour arriver au terme de droite. O O + = O + O + = O + O + = + = D est un parallélogramme et M un point quelconque. Démontrer que : M M + M MD = 0 Si D est un parallélogramme alors : D = On part du terme de gauche, pour arriver au terme de droite : M M + M MD = M + M + M + DM = M + M + DM + M = + D or = + = = 0 D = Multiplication d un vecteur par un scalaire Note : Le terme «scalaire» est employé pour désigner un nombre réel par opposition au mot vecteur..1 Définition Définition : Soit un vecteur u et un réel k. On définit le produit k u du scalaire k par le vecteur u par : Si k > 0 k u a la même direction et même sens que u et sa longueur est multiplier par k. On a alors : k u = k u Si k < 0 k u a la même direction et un sens contraire à u et sa longueur est multiplier par k. On a alors : k u = k u Si k = 0 on a alors : 0 u = 0 PUL MILN 6 SEONDE S

7 . MULTIPLITION D UN VETEUR PR UN SLIRE On a ainsi les vecteurs suivants : u u u Quand k est positif, il ne joue que sur la longueur du vecteur. Quand k est négatif, il joue sur la longueur et sur le sens.. Exercices d application a) Exercice 1 Les point,, D et E sont définis sur la droite graduée ci-dessous. Dans chaque cas, trouver le nombre réel k tel que v = k u D E 1) v = et u = E et E sont de sens contraire, donc k < 0. k = E = 6 = ) v = D et u = E D et E sont de même sens, donc k > 0. ) v = E et u = k = D E = 5 E et sont de même sens, donc k > 0. v = 5 u v = u 4) v = D et u = k = E = 6 6 = 1 D et sont de sens contraire, donc k < 0 k = D = 9 6 = v = u v = u PUL MILN 7 SEONDE S

8 . MULTIPLITION D UN VETEUR PR UN SLIRE b) Exercice est un triangle. 1) Placer les points D et E tels que : D = et E = 1 ) Trouver le nombre k tel que : DE = k On a la figure suivante : D E omme les deux vecteurs D et E s expriment à l aide de, on trace la droite parallèle à () passant par et on reporte les distances. DE = D + E relation de hasles = D + E = 1 = 5 c) Exercice est un triangle. 1) onstruire le point D tel que : D = + Prouver que [D] et [] ont même milieu. ) onstruire le point E tel que : E = Prouver que est le milieu de [ED]. ) Les droites (D) et (E) se coupent en I. Que représente I pour le triangle? Prouver que : I = 1 D et I = 1 E. 1) On a figure suivante : I O O E D PUL MILN 8 SEONDE S

9 . MULTIPLITION D UN VETEUR PR UN SLIRE Pour déterminer le point D, comme D est la somme de deux vecteurs de même origine, on trace le parallélogramme D. omme D est un parallélogramme, les segments [D] et [] ont même milieu O. ) Pour construire le point E, on trace la parallèle à () passant par. On reporte la longueur. omme D est un parallélogramme, on a : D = omme E =, alors E est un parallélogramme. On a alors : E = onclusion : D = E, est donc le milieu de [ED]. ) On sait que les segments [D] et [] ont même milieu O. Donc (O) = (D) est la médiane issue de dans le triangle. On sait de plus que E est un parallélogramme, donc les segments [] et [E] ont même milieu O. Donc (O ) est la médiane issue de dans le triangle. omme (O ) = (E), (E) est la médiane issue de dans le triangle. omme I est l intersection de deux médianes du triangle, I est le centre de gravité du triangle. Des propriétés du centre de gravité, on en déduit alors que : I = O = 1 D et I = O = 1 E. Propriétés de la multiplication par un scalaire Propriété : La multiplication d un vecteur par un scalaire, obéit à la bilinéarité, c est à dire : k( u+ v) = k u+k v (k+k ) u = k u+k u Remarque : es deux propriétés permettent de développer des expressions vectorielles comme des équations numériques. Elles permettent donc de résoudre des équations vectorielles, c est à dire permettent à la géométrie d avoir accès à la performance de l algèbre. Les mathématiciens ont généralisé les propriétés de l addition et de la multiplication par un scalaire. Ils ont créé des objets appelés vecteurs qui ont les mêmes propriétés que nos vecteurs géométriques et ont donné à l ensemble qui les contient munie de l addition et de la multiplication par un scalaire le nom d espace vectoriel. ette structure d espace vectoriel joue un rôle très important dans les mathématiques actuelles. PUL MILN 9 SEONDE S

10 4. OLINÉRITÉ DE DEUX VETEURS.4 Exercice d application Le but de cet exercice est de placer un point à l aide d une relation vectorielle et sont deux points tels que =6 cm. Placer les points M et N définis par les relations suivantes : M + M = 0 et N 5 N = 0 Pour placer les points M et N, il faut exprimer les vecteurs M et N à l aide du vecteur. Ici, on a privilégié le point, on aurait pu le faire avec le point. Pour le point M M + M = 0 M +( + M ) = 0 M = M = 1 Pour le point N N 5 N = 0 N 5( N + ) = 0 N 5 N 5 = N = 5 N = 5 N = 5 On obtient alors la figure suivante : M N 4 olinéarité de deux vecteurs On ne parle pas de parallélisme pour des vecteurs car ils n ont pas de point d application mais de colinéarité. 4.1 Définition Définition : On dit que les vecteurs u et v sont colinéaires si, et seulement si : k R tel que v = k u Remarque : ela découle directement de la définition du produit d un vecteur par un scalaire. PUL MILN 10 SEONDE S

11 4. OLINÉRITÉ DE DEUX VETEURS 4. Théorèmes Théorème : Parallélisme et alignement Deux droites () et (D) sont parallèles si, et seulement si les vecteurs et D sont colinéaires c est à dire que : () //(D) k R tel que D = k Les point, et sont alignés si, et seulement si les vecteurs et sont colinéaires c est à dire que :,, alignés k R tel que = k Remarque : es deux théorèmes sont très important car ils permettent de relier le parallélisme et l alignement à l aide de vecteurs. 4. Exercices d application a) Exercice 1 : parallélisme est un triangle et P le point défini par : P = 0 Montrer que P est un trapèze. Pour montrer que P est un trapèze, il faut montrer que les droites (P) et () sont parallèles, c est à dire que les vecteurs P et sont colinéaires. or on sait que : 5 + 4P = 0, donc P = 0 4P = 5 P = 5 4 4P = 5 Les vecteurs P et sont colinéaires, donc les droites (P) et () sont parallèles et donc P est un trapèze. P PUL MILN 11 SEONDE S

12 4. OLINÉRITÉ DE DEUX VETEURS b) Exercice : l alignement est un triangle. M et N sont les points tels que : = M et N = 1) Placer les point M et N. ) Montrer que les points, M et N sont alignés. 1) Pour placer les point M et N, on utilise les relations : M = 1 et N = On obtient alors : N M ) Pour montrer que les points, M et N sont alignés, il faut montrer que les vecteurs M et N sont colinéaires. Pour cela, on exprime ces deux vecteurs à l aide des vecteurs et. On a alors : M = + M or M = 1 donc M = 1 M = + Pour l autre vecteur N = + + N or N = donc N = + + N = + On obtient alors la relation : N = M. Les vecteurs N et M sont colinéaires et donc les points M, et N sont alignés. PUL MILN 1 SEONDE S

13 4. OLINÉRITÉ DE DEUX VETEURS c) Exercice est un triangle et I est le milieu de []. 1) a) onstruire le point J tel que : J =. b) En déduire que IJ = 1. ) On note K le point tel que : K + K = 0. a) Exprimer K en fonction de. Placer K. b) En déduire que IK = Quelle relation lie IJ et IK? Que peut 6 -on conclure? 1) a) On a la figure suivante : J I b) On sait que I est le milieu de [], donc on a : K I = 1. On a alors : 1 IJ = I + J IJ = ) a) On a la relation : K + K = 0. On introduit le point dans K K +( K + ) = 0 K = K = 1 K = 1, on place alors le point K. b) Expression de IK : IK = I + K = En introduisant dans IK = ( + ) = = = On a donc : IK = 1. onclusion : IJ = IK. Les vecteurs IJ et IK sont colinéaires et donc les points J, I et K sont alignés. PUL MILN 1 SEONDE S

14 5. GÉOMÉTRIE NLYTIQUE 5 Géométrie analytique Le but le la géométrie analytique est de résoudre numériquement un problème de géométrie. ela suppose la notion de coordonnées et de repère. Le progrès qu a apporté la géométrie analytique est énorme car il a permit de faire un «pont» entre l algèbre et la géométrie qui jusque là était deux disciplines bien séparées. Depuis l apparition de l ordinateur, la géométrie analytique devient indispensable pour visualiser des figures géométriques 5.1 Repère a) Repère quelconque Trois points,, non alignés du plan définissent un repère : (,, ) On a alors : M(x; y) M = x + y y M on écrit M (x; y) x D une autre façon, un repère est défini par : un point origine : O. vecteurs non colinéaires ı et j. Le couple ( ı, j) est une «base» du plan, c est à dire que ce couple peut engendrer tous les vecteurs du plan. L ensemble ( O ; ı ; j ) définit un repère du plan. E D v G j ı O z w F u On peut alors lire les coordonnées des points de à H. (; 1), (; ), (; ), D(0; ), E( 1; ), F(; 0), G( ; 0), H(; ) Si on considère un point M de coordonnées (x; y) quelconque, on a alors à l aide des vecteurs de base ı et j OM = x ı + y j H que l on écrit OM (x; y) PUL MILN 14 SEONDE S

15 5. GÉOMÉTRIE NLYTIQUE De même les on peut lire les coordonnées des vecteurs de u à z u( 1; ), v( ; 1), w(; ), z(5; ) On peut alors traduire les vecteurs de u à z u = ı+ j, v = ı j, w = ı j, z = 5 ı j Remarque : Notations des coordonnées d un point M ou d un vecteur OM : Notation matrice ligne : Notation matrice colonne : b) Exercices sur un repère quelconque M(x; y) et ( ) x M et y OM (x; y) ( ) x OM y Placer les points,,, M, N et P dans un repère quelconque tels que : O = ı+ j, M = 0 ı+ j, O = 1 ı+ j, N = ı+0 j, O = ı j P = ı+ j N M P j ı O 5. oordonnées de vecteurs Théorème : Soit deux points (x ; y ) et (x ; y ). On a alors les relations suivantes : 1) Les coordonnées du vecteur sont : (x x ; y y ) ( x + x ) Les coordonnées du milieu I du segment [] sont : ; y ) + y Exemple : Le plan est muni d un repère quelconque. Dans chacun des cas suivants, déterminer les coordonnées du vecteur et du milieu I du segment [] PUL MILN 15 SEONDE S

16 5. GÉOMÉTRIE NLYTIQUE 1) (1; 5) et (; 9) ) ( ; ) et (; ) ( 1 ) ; ) 4 et ( ) 1 ; 5 ) ( ) ( ) = I = ; = ( ; 7) 4 ) ( ) ( 5 = + ) I = ; = ( 1 ) ; = 1 ( ( I = + 1 ) ( )) ( 1 5 ; 4 5 = 1 ; 17 ) ) ( 1 = 9 ( 5) ) ( ( ) = ) = 5. alculs en géométrie analytique Théorème 4 : Soit deux vecteurs u(x; y) et v(x ; y ) 1) u = v si, et seulement si x = x et y = y ) Les coordonnées de u+ v sont : (x+x ; y+y ) ) Les coordonnées de k u, avec k R sont : (k x; k y) Exemple : est un triangle, I est le milieu de [] et J le milieu de [I]. On choisit le repère (; ; ). 1) alculer les coordonnées de I et J. ) alculer les coordonnées du vecteur u tel que : u = J + J + J 1) Faisons une figure et déterminons les coordonnées de I et J. J On a donc dans ce repère : (0; 0), (1; 0) et (0; 1). On obtient alors : I I = = 1 J = = ) On calcule le vecteur u : u = J + J + J ( ) x y 1 = = = PUL MILN 16 SEONDE S

17 5. GÉOMÉTRIE NLYTIQUE utre exemple dans un repère orthonormal Les points, et sont tels que : ( ; ), (5; 0) et (0; 7). G est le centre de gravité du triangle. 1) a) alculer les coordonnées du milieu I de []. b) Quel est le nombre k tel que G = k I? c) alculer les coordonnées de I. En déduire celles de G puis celles de G. ) Prouver que G + G + G = 0 1) a) Faisons d abord une figure : I J G ( ) ( ) On trouve alors les coordonnées de I : I = ; = ; 7 b) D après les propriétés du centre de gravité on a : G = I c) alculons les coordonnées de I, G puis de G. ( ) ( ) 5 I = + ; = ; 1 G = ( ) ( 9 ; 1 = ; ) 1 Si on appelle (x; y) les coordonnées de G, on obtient le système suivant : x ( ) = y ( ) = 1 x = 1 y = 4 PUL MILN 17 SEONDE S

18 5. GÉOMÉTRIE NLYTIQUE ) En utilisant un calcul matriciel, on a : G + G + G = = = L égalité : G + G + G = 0 centre de gravité d un triangle. = ( 0 0 ) correspond à la définition vectorielle du 5.4 olinéarité en géométrie analytique Définition 4 : On appelle déterminant de deux vecteurs u(x; y) et v(x, y ) le nombre noté det( u, v) tel que : det( u, v) = x x y y = xy x y On effectue le produit de la 1 re diagonale moins le produit de la e Exemple : On donne u(; 5) et v( ; 1). alculer le déterminant de u et v. det( u, v) = 5 1 = 1 ( ) 5 = +10 = 1 Théorème 5 : Deux vecteurs u(x; y) et v(x ; y ) sont colinéaires si, et seulement si : det( u, v) = 0 xy x y = 0 Exemple : Dans chacun des deux cas suivants, dire si les vecteurs u et v sont colinéaire : 1) u(10; 5) et v( 4; ) ) u(; ) et v(6; 1) 1) alculons le déterminant des vecteur u et v : det( u, v) = = 10 ( 4) ( 5) = 0 0 = 0 Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires. PUL MILN 18 SEONDE S

19 5. GÉOMÉTRIE NLYTIQUE ) alculons le déterminant des vecteur u et v : det( u, v) = 6 1 = ( 1) 6 ( ) = +1 = 9 Le déterminant n est pas nul, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires. Remarque : Les vecteurs u et v sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles. Parfois le calcul du déterminant ne s impose pas car le rapport est immédiat. est le cas par exemple de : u(; 4) et v(4; 8) où l on observe que v = u 5.5 Exercices d application a) Exercice 1 Dans les cas suivants, les point M, N et P sont-il alignés? 1) M(4; 1), N(7; ), P( 5; 5) ) M( ; ), N( ; 7), P( 5; 14) ( ) M, 1 ), N(; 1), P(0; 1) Si les point M, N et P sont alignés, alors les vecteurs MN et MP sont colinéaires. 1) alculons le déterminant : det( MN, MP ) = ( 1) 5 ( 1) = 9 6 = = 0 Le déterminant est nul donc les vecteurs sont colinéaires et donc les points M, N et P sont alignés. ) alculons le déterminant : det( MN, MP ) = ( ) 14 = = 11+1 = 1 Le déterminant n est pas nul donc les vecteurs ne sont pas colinéaires et donc les points M, N et P ne sont pas alignés. ) alculons le déterminant : det( MN, MP ( ) = 1 1 ) 0 ( 1 1 ) 1 = 4 = 4 4 = 0 Le déterminant est nul donc les vecteurs sont colinéaires et donc les points M, N et P sont alignés. PUL MILN 19 SEONDE S

20 5. GÉOMÉTRIE NLYTIQUE b) Exercice est un triangle, P est un point de (), Q un point de () et R un point de () disposés comme sur le dessin. Les graduations sur les droites sont régulières. Démontrer que les points P, Q et R sont alignés. P Q R En l absence de tout repère, on peut se donner comme repère ( ; ; ). Pour montrer que les points P, Q et R sont alignés, il faut montrer que les vecteurs RP et RQ sont colinéaires. Il faut donc que le déterminant de RP et RQ soit nul. D après les graduations du dessin, on obtient comme coordonnées pour les points P et R : ( R 0; 1 ) ( ) 1 P 4 ; 0 Pour le point Q, on utilise la relation : Q = + Q = + = + + = ( 4 On obtient alors les coordonnées de Q 7 ; ). 7 On calcule ensuite les coordonnées des vecteurs RP et RQ RP = = 4 1 RQ = On calcule ensuite le déterminant de RP et RQ : det( RP, RQ ) = = = = = 0 Les vecteurs RP et RQ sont donc colinéaires et donc les points P, Q et R sont alignés. PUL MILN 0 SEONDE S

21 5. GÉOMÉTRIE NLYTIQUE 5.6 Distance entre deux points Théorème 6 : Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points (x ; y ) et (x ; y ) est définie par la relation : = (x x ) +(y y ) Remarque : Un repère orthonormé (O ; ı ; j) est tel que : ı j et ı = j = 1 Les axes sont alors perpendiculaires et les unités identiques sur les deux axes. Démonstration : ette formule découle du théorème de Pythagore : Le triangle H est rectangle en H, d après le théorème de Pythagore, on a : = H + H y En remplaçant par les coordonnées : = (x x ) +(y y ) y x x y y H On retrouve la formule de en prenant la racine carrée O x x Exemple : Le plan est muni d un repère orthonormé. Dans chacun des cas suivants, déterminer la distance 1) (1; 5) et (; 9) ) ( ; ) et (; ) 1) = ( 1) +(9 5) = + 4 = 0 donc = 0 = 5 ) = (+)) +( + ) = 5 +( ) = 5+8 = donc = a) Exercice 1 On donne les points suivants : ( 4; 1), (4; ), (8; 5), D(0; 6) 1) a) Démontrer que [] et [D] ont même milieu. b) alculer les distances et ) En déduire la nature du quadrilatère D PUL MILN 1 SEONDE S

22 5. GÉOMÉTRIE NLYTIQUE D ) a) On appelle I le milieu de [] et J le milieu de [D]. alculons les coordonnées de I et J. ( ) ( ) I = ; = ( ) J = = ( ) On a donc I = J. Les segments [] et [D] ont même milieu. b) alculons les distances et : = (4 ( 4)) +( +1)) = 64+1 = 65 = (8 4) +(5+) = = 65 On a donc : = ) Le quadrilatère D a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et possède deux côtés consécutifs de même longueur, donc D est un losange. b) Exercice Placer les points : ( 1; ) (, ; 5 ) (, 0; 5 ) ( 5 et D ; 1 ) Le but de cet exercice est de trouver les coordonnées du point d intersection M des droite () et (D). 1) a) alculer les coordonnées de et D b) Prouver que les droites () et (D) sont sécantes. ) On appelle k le réel tel que : M = k. a) Exprimer les coordonnées de M en fonction de k. b) alculer mes coordonnées de M en fonction de k. c) En utilisant la condition de colinéarité entre les vecteurs M et D, calculer k. d) En déduire les coordonnées du point M. PUL MILN SEONDE S

23 5. GÉOMÉTRIE NLYTIQUE Faisons d abord une figure : M 1 D 1 1 1) a) alculons les coordonnées des vecteurs et D = ( ) ( 1) 5 = ( ) 1 D = = b) Si les droites () et (D) sont sécantes, alors les vecteurs et D ne sont pas colinéaires. alculons leurs déterminant : det(, D ) = 5 1 = 6 5 = 17 5 Le déterminant est non nul, les droites ( et (D) sont donc sécantes. ) a) De l égalité M = k, on en déduit le système suivant : x ( 1) = k x = k 1 y = k y = k+ b) On en déduit alors les coordonnées du vecteurs M : M = ( ) ( ) x 0 k 1 0 x 5 = k+ 5 = ( ) k 1 k 1 c) omme M appartient aussi à la droite (D) alors les vecteurs M et D sont donc colinéaires. Leur déterminant est nul donc : det( M, D 5 k 1 ) = 0 k 1 = 0 6 k+ 5 (k 1) = 0 17 k = 5 17 k = 9 k = 9 17 PUL MILN SEONDE S

24 5. GÉOMÉTRIE NLYTIQUE d) On remplace cette valeur dans les coordonnées de M(x; y). x = = y = = 69 4 PUL MILN 4 SEONDE S