Chapitre 16 : Espaces vectoriels

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre 16 : Espaces vectoriels"

Transcription

1 PCSI Préparatio des Khôlles -4 Chapitre 6 : Espaces vectoriels Exercice type Soit E=R[X] et F ={P E, P(X)=XP (X)+P()}, motrer que F est u sous-espace vectoriel de E. : O a bie F E. Si P =est le polyôme ul alors P (X)=et P()=, aisi P(X)=XP (X)+P() doc F et aisi F =. Soiet(P,Q) F et λ R alors Posos R=λP+Q alors P(X)=XP (X)+P() et Q(X)=XQ (X)+Q() R(X) = λp(x)+q(x)=λ(xp (X)+P())+XQ (X)+Q() = X(λP+Q) (X)+(λP+Q)()=XR (X)+R() Aisi R F. Ceci prouve que F est bie u sous-espace vectoriel de E. Exercice type Soit E=M (R), soit A E fixé et F ={M E, AM= MA}, motrer que F est u sous-espace vectoriel de E. Applicatio : détermier F si A =. : O a bie F E et si M= est la matrice ulle, alors AM= MA= doc F et aisi F =. Soiet (M,N) F et λ R alors AM = MA et AN = NA O pose P = λm+n alors AP = A(λM+N)=λAM+AN = λma+na=(λm+n)a=pa, aisi P F, ce qui prouve que F est u sous-espace vectoriel de E. a b a b a b Das le cas oùa=, sim = alorsam= MA = c d c d c d b c a+b d =. O obtiet alors a c d b+c d où b c= a+b d= a c d= b+c= c= b b+d b a= b+d M = b d F =Vect O peut vérifier que F =Vect(I,A), e effet A=, =. Exercice type Soit E=C (R,R) l espace vectoriel des foctios derdasret de classec. Motrer que F = f E, x R, +x f (x)+f (x) f(x)= est u sous-espace vectoriel de E. /8 G H

2 PCSI Préparatio des Khôlles -4 : Par défiitio de F, o a F E (les élémets de F sot des foctios de E). Puis F =, la foctio ulle est das F, e effet si f = alors x R, f(x)=f (x)=f (x) et aisi +x f (x)+f (x) f(x)=. Soiet f et g das F,(λ,µ) R, a-t-o λf+µg E. f F x R, g F x R, +x f (x)+f (x) f(x)= +x g (x)+g (x) g(x)= Posos h=λf+µg, alors h = λf +µg et f = λf +µg aisi, x R +x h (x)+h (x) h(x) = +x (λf (x)+µg (x))+(λf (x)+µg (x))+(λf(x)+µg(x)) = λ +x f (x)+f (x) f(x) +µ +x g (x)+g (x) g(x) = λ +µ car f F et g F Ce qui prouve que h F. L esemble F est bie u sous-espace vectoriel de E. Exercice type 4 Soit E=R [X] et F = doer ue famille géératrice. P E, P()= et : Soit P = a +a X+a X +a X u élémet de E, alors P()=a = P F P(t)dt=a + a + a + a 4 = a = a = a a (a,a ) R, P = P(t)dt=. Motrer que F est u sous-espace vectoriel de E et e où a et a sot quelcoques dasr a a X+a X +a X (a,a ) R, P = a X X +a X X O a doc prouvé que F =Vect(P,P ) où P = X X et P = X X E particulier F est u sous-espace vectoriel (comme tout vect dige de ce om!) et(p,p ) egedre F. Remarque : O a même ue base car la famille est écheloée e degré doc libre. Exercice Soit E = R 4, o ote a = 7 5 G=Vect(c,d), motrer que F = G., b =, c = 5 et d =. O pose F = Vect(a,b) et : Motros que F G. Il suffit de prouver que a et b sot das G, i.e. qu ils sot combiaisos liéaires de c λ+µ= 5λ+µ=7 et de d. Pour a, o cherche λ et µ réels tels que a=λc+µd. Ceci doe le système λ=µ=. λ µ= λ µ= 5 /8 G H

3 PCSI Préparatio des Khôlles -4 α+β= 5α+β= O cherche esuite α et β réels tels que b=αc+βd, ce qui doe α β= α β= prouver que G F. Mais o a motré que a=c+d b=c d c= a+b d= a b = (c,d) F = G F α=et β =. Il reste à Exercice type 5 Soit E=R, o pose F ={(x,y,z) E, x+y z=} et G=Vect(,,). Motrer que F est u sous-espace vectoriel et que E= F G. : O a (x,y,z) F (x,y,z)=(x,y,x+y)=x(,,)+y(,,), aisi F =Vect((,,),(,,)) est ue sous-espace vectoriel der. O va motrer que E = F G. Soit u = u = f + g de maière uique où f F et g G. Puisque f F (λ,µ) R, f = λ +µ motrer qu il existe u uique triplet(λ,µ,α) tel que λ +µ +α = a b c et g G α R, g = α a b c α+λ=a α+µ=b α+λ+µ=c R, o cherche à décomposer, o cherche à O résout doc le système par les matrices : a b c L L L L a b a c a Le système admet doc toujours ue uique solutio. Aisi E= F G. Remarque : Si o termie la résolutio, o a α=a+b c, λ=c b et µ=c a, ce qui doe la décompositio a b c = (c b) = c b c a c b a f +(c a) + a+b c a+b c a+b c g +(a+b c) Exercice type 6 Soit E=R[X], o pose F ={P E, P()=P ()=} et G=R [X], motrer que F u sous-espace vectoriel de E, puis que E= F G. /8 G H

4 PCSI Préparatio des Khôlles -4 : O a bie F E, le polyôme ul est clairemet das F doc F =. Puis si(p,q) F et λ R, avec R=λP+Q, o a R()=λP()+Q()= et R ()=λp ()+Q ()= car P et Q sot das F. Aisi F est u sous-espace vectoriel de E. Motros que la somme est directe. O a déjà F G. Soit Q F G alorsdegq car Q G. O peut écrire Q=aX+b. Puis Q()=b= et Q ()=A= car Q F. Coclusio Q= et F G=. Motros que E= F+G par aalyse sythèse. O a déjà F+G E. Aalyse : Soit A E, o suppose que A=P+Q où P F et Q G. O adegq, o écrit doc Q=aX+b. Puis O a doc P = A Q F P()=A() b= et P ()=A () a= Q=A ()X+A() et P = A Q (Au passage, cela prouve l uicité de la décompositio doc la somme directe). Sythèse : Si Q=A ()X+A() et P = A Q, alors Q G, P F et A=F+G. Aisi E F+G et E= F G. Exercice type 7 Soit F = u R N, N, u + = u + +u et G= u R N, N, u + =u + +u. Motrer que F et G sot des sous-espaces vectoriels de R N, l espace vectoriel des suites réelles. Motrer que si u F G, alors u est costate e déduire que la somme F+G est directe. : L équatio caractéristique d ue suite de F est r r =. Ses racies sot r = et r = +. Aisi u F (C,C ) R, N, u = C r +C r Posos R = (r ) et R = (r ), alors R et R sot des vecteurs de F (pour R, predre (C,C ) = (,), R correspod doc au vecteur i ), et l o a motré que F =Vect(R,R ) O procède de même avec G (puisque r r = a pour racies ρ =+ et ρ = ), o pose T =(ρ ) et T =(ρ ), alors G=Vect(T,T ). Ceci prouve que F et G sot bie des sous-espaces vectoriels der N. Soit u F G, alors N, u + = u + +u =u + +u = u + +u =u + +u = u + = u. La suite est bie costate. Mais alors, u + = u + = u, ce qui doe, pusique u F La somme F G est doc directe. N, u = u +u =4u = u = Exercice type 8 Soit E =F(R,R) l espace vectoriel des foctios de R das R, o ote P l esemble des foctios de E paires et I l esemble des foctios de E impaires. Motrer que P et I sot des sous-espaces vectoriels de E supplémetaires. Applicatio : Détermier les foctios f dérivables deux fois surret telle que x R, f (x)+f( x)=x. : O ap={f E, x E, f(x)=f( x)} eti={f E, x E, f(x)= f( x)}. O ap E eti E (les élémets de P et I sot des foctios de E). La foctio ulle (qui est le vecteur ul de E) est à la fois paire et impaire doc est dasp eti (si x R, f(x)=, alors f(x)=f( x)= f( x)). Efi, soiet f et g dasp et(λ,µ) R, posos h=λf+µg, alors, puisque f et g sot paires h( x)=(λf+µg)( x)=λf( x)+µg( x)=λf(x)+µg(x)=h(x) 4/8 G H

5 PCSI Préparatio des Khôlles -4 ce qui prouve que h P. Si f et g sot dasi, o a h( x)=(λf+µg)( x)=λf( x)+µg( x)= λf(x) µg(x)= h(x), ce qui prouve que h I. O a motré quep eti sot des sous-espaces vectoriels de E. Sot-ils supplémetaires? La somme est directe : E effet soit f P I, alors x R, f( x)=f(x)= f(x) car f est paire et impaire, d où f(x)= f(x)= f(x)=. Le seul vecteur de l itersectio est le vecteur ul P I=, la somme est directe La somme F+G est égale à E : Il s agit de prouver que toute foctio f E peut s écrire sous la forme g+h où g P et h I. O procède par aalyse-sythèse. Aalyse : Si f = g+h avec g P et h I alors, x R f(x)=g(x)+h(x) et f( x)=g( x)+h( x)=g(x) h(x) D où g(x)= f(x)+f( x) Sythèse : O défiit g et h par g(x) = f(x)+f( x) et h(x)= f(x) f( x) et h(x) = f(x) f( x). Il est clair que g P, h I et f= g+h. Remarque : Lors de l aalyse, o a prouvé que g et h sot uiques, ceci re-démotre que la somme est bie directe. Pour l applicatio, o pose f = g+h avec g paire et h impaire. Puisque f est dérivable deux fois, x f( x) aussi et aisi g et h sot dérivables deux fois. De plus puisque g(x)=g( x), e dérivat o a g (x)= g ( x). La dérivée de g paire est doc impaire et de même la dérivée d ue foctio impaire est paire. E dérivat deux fois, o a g et h paires. O a alors f (x)+f( x)=g (x)+h (x)+g(x) h(x)=(g (x)+g(x))+(h (x) h(x))=x Aisi puisque x est impaire, par uicité de la décompositio, o a pour tout x R. g (x)+g(x)= et h (x) h(x)=x O résout les deux équatios différetielles pour avoir g(x)=acosx+bsix et h(x)=cchx+dshx x. Mais puisque g est paire et h impaire, o a B= C= Coclusio f(x)=acosx+dshx x où(a,d) R. Exercice type 9 DasR 4, motrer que la famille formée des vecteurs u =, v = et (w= est libre. : O amat Bc ( u, v, w)=. La famille est doc libre. C C C C C C est de rag Exercice type DasC (R), soit f,g et h les foctios défiies par f(x)=cosx, g(x)=six et h(x)=e x. Motrer que(f,g,h) est ue famille libre. 5/8 G H

6 PCSI Préparatio des Khôlles -4 : Soiet(α,β,γ) R tel que αf+βg+γh=. Première méthode : O a doc x R, αcosx+βsix+γe x =. O spécialise e trois valeurs der, pour x=, x= et x=, o obtiet le système α+γ= β+γe = β+γe = La matrice de ce système est e e L +L e ch est de rag, ce système admet doc ue uique solutio qui est clairemet α=β= γ=. Deuxième méthode : La foctio x αcosx+βsix+γe x est doc la foctio ulle. Or si l o calcule le DL à l ordre ede cette foctio, o obtiet α x +βx+γ Par uicité du DL, o obtiet alors α+γ= β+γ= α γ= +x+ x + o x =+ o x x x coefficiet costat coefficiet e x coefficiet e x α=β= γ= Troisième solutio : La foctio x αcosx+βsix+γe x est doc la foctio ulle, doc, e divisat par e x γ+αe x cosx+βe x six= Or si γ=, puisque αe x cosx+βe x six (borée ted vers), o a x + γ+αe x cosx+βe x six Aisi γ=. Puis avec x=, α= et avec x= o coclut que β=. x + γ. Exercice Das F(R, R) les familles suivates sot-elles libres? B = x si k (x) k. B = x cos k (x) k. B =(x si(kx)) k. B 4 =(x cos(kx)) k. : Pour mémoire la foctio f (x) est la foctio costate égale à. PourB oub, soiet(λ,,λ ) R + tel que x R, λ k si k (x)= k= Si l o pose P = k= λ kx k, o e déduit que pour x=arcsiθ où θ [,+], o a P(si(arcsiθ))=P(θ)=. Aisi, le polyôme P admet ue ifiité de racie doc a tous ses coefficiets uls. Ceci sigifie que λ = =λ =. La familleb est libre. O procède de même, si x R, k= λ kcos k (x)= e posat x=arccosθ, la familleb est libre. PourB, la foctio x si( x) est la foctio ulle. La familleb est liée car elle cotiet le vecteur ul. PourB 4, soiet(λ,,λ ) R + tel que Soit p {,,} alors = x R, λ k cos(kx)= k= λ k cos(kx) cos(px)dx= k= λ k cos(kx)cos(px)dx k= 6/8 G H

7 PCSI Préparatio des Khôlles -4 Mais Aisi cos(kx)cos(px)dx = = p {,,}, [cos((k+p)x)+cos((k p)x)]dx si((k+p)x) k+p + si((k p)x) k p si((k+p)x) + k+p = λ p = et la famille est libre. si k= p = si k= p Exercice type Doer ue base de F = (x,y,z) R, x y+z=. : O a F =Vect,, car x y z F x y z = x x+z z avec(x,z) R. La famille est géératrice de F et libre (deux vecteurs o coliéaires de F), c est ue base de F. Exercice DasR 4, soiet a,b,c et d les vecteurs défiis par a=, b=, c= α, d= Préciser si la famille(a,b,c,d) est libre ou liée, das le derier cas doer ue relatio de dépedace. : O a C α C +C C C C (α+)c α C +C C αc α C 4 C C C +C 4 (α+)c α C C +C C C (α+)c α C 4 +C C Si α=, la famille,, α, α est libre car le rag est égal à4(et(a,b,c,d) est ue base der4 car 7/8 G H

8 PCSI Préparatio des Khôlles -4 il y a4vecteurs). Si α=,la famille(a,b,c,d) est liée car de rag est égal àet ayat4élémets et la relatio de dépedace liéaire est c b+d 4a= 8/8 G H

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 9 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fa-Séégal Serveur Vocal: 68 05 59 Téléfax (1) 864 67 39 - Tél : 84 95 9-84 65 81 M A T H E M A T I Q U E S 09 G 18bis AR Durée:

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 4 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Sectio : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche est autorisø (coformømet au directives de

Plus en détail

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal :

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal : Colles du 3 ovembre 014 Solutio de la questio de cours 1. (i) Soit E u esemble de cardial. L esemble (E) peut alors être partitioé comme suit : (E) (E), où (E) est l esemble des parties de E de cardial.

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

F est-elle libre ou liée dans E?

F est-elle libre ou liée dans E? Eercices sur les espaces vectoriels (amille libres, liées, espaces vectoriels de dimesio iie, applicatios liéaires sas le théorème du rag) * Soit E u espace vectoriel de dimesio ) Soit E et E deu sous-espaces

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher

Plus en détail

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications Développemet d ue foctio e série etière Exemples et applicatios Das ce chapitre, K désigera R ou C B(; R) désigera la boule ouverte de cetre et de rayo R > 1 Gééralités Défiitio 1 Soit f ue applicatio

Plus en détail

Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Séries entières. Chap. 09 : cours complet. Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série

Plus en détail

Corrigé de Mathématique éco HEC

Corrigé de Mathématique éco HEC Corrigé de Mathématique éco HEC EXERCICE Hypothèses. M 3 R est l espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3 à coefficiets réels. A M 3 R : s A 3 A,j, s A 3 A,j, s 3 A 3 somme des coefficiets des liges

Plus en détail

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 5 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Cleet, J. Esteba,

Plus en détail

Solutions particulières d une équation différentielle...

Solutions particulières d une équation différentielle... Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot Septembre 2 CPI 37 Exercices Agès Bachelot Table des matières - Séries Numériques.......................................... 3 - Séries à termes positifs.................................... 3-2 Séries quelcoques......................................

Plus en détail

REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES Exercices

REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES Exercices REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES Exercices EXERCICE 1 : Soit E u espace vectoriel et u L(E) tel que u u +u = 0 Motrer que Sp (u) {0, 1, } EXERCICE : 1) Soit A ue matrice carrée telle que A

Plus en détail

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC Lycée Féelo aite-marie Préparatio ciece-po/prépa HEC Foctios Versio du juillet 05 Eercice d degré : racies et coefficiets O rappelle que si l équatio a + b + c = 0 ( a 0 ) adet deu racies α et β (évetuelleet

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

DS 2 Correction. (question de cours 2 points) Énoncer le théorème de Rolle. 1 n n n. lim u n = 1.

DS 2 Correction. (question de cours 2 points) Énoncer le théorème de Rolle. 1 n n n. lim u n = 1. icolas.laillet@imj-prg.fr DS 2 Aalyse Exercice 1 (questio de cours 2 poits Éocer le théorème de Rolle. Soiet a, b deux réels avec a < b, soit f ue foctio à valeurs réelles, cotiue sur [a, b] et dérivable

Plus en détail

x deux caractères de G. Le produit xx est défini par la formule : PREMIeRE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES

x deux caractères de G. Le produit xx est défini par la formule : PREMIeRE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES 74 Écoles Normales Supérieures Ulm et Lyo optio M lère compositio 1/6 PREMIeRE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES (Sujet commu ENS : ULM et LYON) DURÉE : 6 heures Lc cadidat peut traiter l ue quelcoque des parties

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Valeurs absolues. Partie etière. Iégalités Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très

Plus en détail

Fiche N 8 : Matrices.

Fiche N 8 : Matrices. Lycée Paul Gaugui CPGE-EC1 Aée 014/015 Fiche N 8 : atrices Gééralités sur les matrices atrices : Défiitios O appelle matrice à liges et p coloes tout tableau rectagulaire de ombres réels à liges et p coloes

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer

Plus en détail

Exo7. Fractions rationnelles. 1 Fractions rationnelles. 2 Décompositions en éléments simples. Corrections de Léa Blanc-Centi.

Exo7. Fractions rationnelles. 1 Fractions rationnelles. 2 Décompositions en éléments simples. Corrections de Léa Blanc-Centi. Exo7 Fractios ratioelles Correctios de Léa Blac-Ceti. Fractios ratioelles Exercice Existe-t-il ue fractio ratioelle F telle que ( F() ) = ( + ) 3? Idicatio Correctio Vidéo [006964] Exercice Soit F = P

Plus en détail

Chapitre 12 : Continuité

Chapitre 12 : Continuité PCSI Préparatio des Khôlles 03-04 Eercice Chapitre : Cotiuité Soit :R + R borée et telle que (+) () l>0. Motrer que l0. : O sait que (+) () l, il eiste doc A >0tel que A (+) () l (il suit d écrire la déiitio

Plus en détail

Convergence de suites réelles

Convergence de suites réelles DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite

Plus en détail

b-on a: Or le pgcd(n+1,3)=1 ou pgcd(n+1,3)=3 Donc d=n+1 ou d=3(n+1)

b-on a: Or le pgcd(n+1,3)=1 ou pgcd(n+1,3)=3 Donc d=n+1 ou d=3(n+1) Exercices d arithmétiques corrigés Exercice N 1 : 1-Etablir que pour tout (a,b,q) 3,pgcd(a,b) = pgcd(b,a-bq) 2-Motrer que pour tout, pgcd(5 3 -,+2) = pgcd(+2,38) 3-Détermier l esemble des etiers relatifs

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires continues, normes matricielles. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.

Exo7. Applications linéaires continues, normes matricielles. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france. Exo7 Applicatios liéaires cotiues, ormes matricielles Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr Exercice * * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile

Plus en détail

EXERCICE 1 - Calculs de déterminants

EXERCICE 1 - Calculs de déterminants PCSI 201-2014 CORRECTION DS 1 Lycée de L essouriau EXERCICE 1 - Calculs de détermiats 1 Via C 1 C 1 C 2 et C 2 C 2 C puis e factorisat selo la première coloe par a 1 a 2 et selo la secode par a 2 a ot

Plus en détail

Correction de la question de cours 1

Correction de la question de cours 1 Math I Aalyse Exame du 9 décembre 2007 Durée 2 heures Aucu documet est autorisé. Les calculatrices, téléphoes portables et autres appareils électroiques sot iterdits. Il est iutile de recopier les éocés.

Plus en détail

Suite des polynômes de Tchebychev. (Exercice N 127 page 87) Corrigé

Suite des polynômes de Tchebychev. (Exercice N 127 page 87) Corrigé Suite des polyômes de Tchebychev (Exercice 7 page 87) a E utilisat la relatio de récurrece avec =, o obtiet : Puis, pour = : Efi, pour = 4 : O a bie : f x x f x f x x x x = = = f x = x f x f x = x x x=

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année Devoir à la maison. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit M la matrice réelle 3 3 suivante :

Exo7. Sujets de l année Devoir à la maison. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit M la matrice réelle 3 3 suivante : Eocés et correctios : Sadra Delauay Exo7 Sujets de l aée 24-25 1 Devoir à la maiso Exercice 1 Soit M la matrice réelle 3 3 suivate : 1 Détermier les valeurs propres de M 2 Motrer que M est diagoalisable

Plus en détail

Racine nième Corrigés d exercices

Racine nième Corrigés d exercices Racie ième Corrigés d eercices Page 9 : N 8, 8, 8, 86, 88, 89, 9, 9, 9, 97 Page 6 : N, Page 6 : N Page 67 : N 8 Page 6 : N N 8 page 9 6 6 6 6 6 ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = = ( ) 8 = 8 = = = = = =

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice

Plus en détail

x + (2 α) y = 0 3 L donc P

x + (2 α) y = 0 3 L donc P 1 Corrigé ESC 009 par Pierre Veuillez Exercice 1 O cosidère les matrices A, B, D, P, E de M (R) suivates : ( ) 5 1 4 ( ) A B 3 3 1 3 0 7 D P 3 3 ( ) { x (1 α) x y 0 1) a: (A αi) 0 y x + ( α) y 0 ( 1 )

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 mai 07 Eocés Calcul de ites Exercice [ 054 ] [Correctio] Détermier la ite, si celle-ci existe, des suites u suivates : a u = 3 3 + b u = + + + c u = + + d u =

Plus en détail

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante : " tirer p éléments de E ".

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante :  tirer p éléments de E . Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F I- Rappel I- Types de tirages : Soit u esemble fii E coteat élémets O cosidère l'épreuve suivate : " tirer p élémets de E " Type de tirages

Plus en détail

Partie A : z x. z =( z ) = 4 = - 4 donc z est aussi solution de (E) Partie C :

Partie A : z x. z =( z ) = 4 = - 4 donc z est aussi solution de (E) Partie C : Corrigé baccalauréat S Polyésie 200 (raiateabac.blogspot.com) EXERCICE (5 poits) Pré-requis : z a + bi et _ z a bi Partie A : a ) E posat z a + bi et z a + b i o obtiet : z x z (a + bi) ( a + b i) aa bb

Plus en détail

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008 Sup Galilée - Maths pour l Igéieur Corrigé du Partiel du 9 Novembre 008 Étude d ue suite récurrete Soit u 0 ]0, [ O cosidère la suite (u ) défiie par u + u 3 u ) Justifier que la suite u est borée O motre

Plus en détail

Polynômes de Tchebychev

Polynômes de Tchebychev Polyômes de Tchebychev Pafoutïi Lvovitch Tchebychev, mathématicie russe, est é à Borovsk e 8 et mort à Sait-Pétersbourg e 894. ) Défiitio et existece a) Polyômes de Tchebychev de ère espèce : T. Soit u

Plus en détail

Révisions d analyse (corrigé des indispensables).

Révisions d analyse (corrigé des indispensables). Révisios d aalyse (corrigé des idispesables). Limites des foctios de variable réelle à valeurs das ou.. a. La foctio f est le produit d e foctio borée sur ( a si ) et d e foctio qui ted vers 0 e 0 ( a

Plus en détail

Correction concours général maths 2015

Correction concours général maths 2015 Correctio cocours gééral maths 2015 Problème I Petits poids 1) a) 3 = 3, 3 + 5 = 8, 3 + 5 6 = 2, 3 + 5 6 8 = 6, 3 + 5 6 8 + 2 = 4 doc poids(3,5, 6, 8,2) = 8 b) poids(1,2,3,,2015, 2015, 2014,.., 1) = 1

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur Exo7 Les ratioels, les réels Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

École de technologie supérieure

École de technologie supérieure École de techologie supérieure Mat 165-04 Algèbre liéaire et aalyse vectorielle A-015 Michel Beaudi michel.beaudi@etsmtl.ca Liste d exercices à faire e T.P./Caledrier des évaluatios Itroductio au cours

Plus en détail

Chapitre 5 : Suites classiques

Chapitre 5 : Suites classiques Chapitre 5 : Suites classiques Objectifs : Révisios sur les suites arithmétiques et géométriques. Révisio du théorème de croissace comparée. Savoir exprimer e foctio de les termes d ue suite récurrete

Plus en détail

Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de

Plus en détail

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède).

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède). #4 Itégrale de Riema Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel Exercice Soit f ue foctio cotiue sur [, ] telle que Motrer que f ab f(t)dt = O pose a = mi f et b = max f Exercice x ) Motrer

Plus en détail

Cécile Lardon. Professeur en classe préparatoire au lycée du Parc à Lyon. Jean-Marie Monier

Cécile Lardon. Professeur en classe préparatoire au lycée du Parc à Lyon. Jean-Marie Monier Mathématiques Méthodes et eercices ECS e aée Cécile Lardo Professeur e classe préparatoire au lycée du Parc à Lyo Jea-Marie Moier Professeur e classe préparatoire au lycée La Martiière-Moplaisir à Lyo

Plus en détail

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5 Correctio du devoir surveillé de mathématiques o 5 Exercice 1 1. Soit g la foctio défiie sur R par g(x) = (x 1)e x. (a) Détermier les ites de g e et +. Limite e. O a ue forme idétermiée. E développat,

Plus en détail

Exercices de Khôlles de Mathématiques, second trimestre

Exercices de Khôlles de Mathématiques, second trimestre Exercices de Khôlles de Mathématiques, secod trimestre Lycée Louis-Le-Grad, Paris, Frace Igor Kortchemski HX 2-2005/2006 Exercices particulièremet itéressats : - Exercices 2., 2.2 - Exercice 3. - Exercice

Plus en détail

CORRIGÉ : MATH 1 ; MP ; Mines-ponts_2015

CORRIGÉ : MATH 1 ; MP ; Mines-ponts_2015 CORRIÉ : MATH 1 ; MP ; Mies-pots_15 A. Opérateur de Volterra 1) Soiet f, g E, c est clair que Vf et V f sot deux primitives de f. Vf, g / Vf xgx / Vf xv g x Vf xv gx / et Vf, g / fxv gx f, V g. Vf xv gx

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1. Notions de base Chapitre 2. Nombres complexes Polynômes... 33

Sommaire. Chapitre 1. Notions de base Chapitre 2. Nombres complexes Polynômes... 33 Sommaire Chapitre. Notios de base.................... 7 A. Démostratio par récurrece..................... 8 B. Esembles............................. 9 C. Applicatios............................ 2 D. Calcul

Plus en détail

EXERCICES : DÉNOMBREMENT

EXERCICES : DÉNOMBREMENT Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations UPMC 1M001 Aalyse et algèbre pour les scieces 013-014 Feuille : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissemets fiis, étude des variatios Les eercices sas ( ) sot des applicatios directes du cours.

Plus en détail

Séries entières. Préparation au Capes de Mathématiques

Séries entières. Préparation au Capes de Mathématiques Séries etières Préparatio au Capes de Mathématiques I - Covergece des séries etières Notatios Pour tout élémet r de R +, o ote D r = fz 2 C / jzj < rg et D r = fz 2 C / jzj rg Déitio 1 O appelle série

Plus en détail

I. (2 points) III. (2 points)

I. (2 points) III. (2 points) ère S Cotrôle du vedredi 7 mars 05 (0 mi) Préom : Nom : Note : / 0 II ( poits) Soit ABC u triagle isocèle e A tel que AB AC 8 cm et BC 5 cm O ote I le milieu de [AC] Calculer BI (valeur exacte) I ( poits)

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

B) CHAÎNES DE SOLIDES

B) CHAÎNES DE SOLIDES Chaîes de solides B) CHAÎNES DE SOLIDES Objectifs Cette théorie a pour but d'aalyser les comportemets statique et ciématique d'u mécaisme à partir d'u modèle défii par le schéma ciématique du mécaisme.

Plus en détail

On admet que l ensemble des nombres des réels est inclus dans un ensemble plus grand constitué de nombres complexes.

On admet que l ensemble des nombres des réels est inclus dans un ensemble plus grand constitué de nombres complexes. Chapitre 1 Nombres complexes Le buts du chapitres sot : Cosolider les aquis de termiale, Savoir maipuler les ombres complexes, e particulier la factorisatio par l agle de moitié. Avoir des otios sur le

Plus en détail

[A.B] ij =.. (0.5 pt.)

[A.B] ij =.. (0.5 pt.) mx xp Mai 4 ( heures et miutes). a) Soiet A et B avec m,,p IN.Si i {,,...,m} et j {,,...,p}, compléter : [A.B] ij.. (. pt.) b) Démotrer (e justifiat toutes les étapes) que le produit matriciel distribue

Plus en détail

SUITES ET FONCTIONS. 1. Espaces vectoriels normés réels ou complexes

SUITES ET FONCTIONS. 1. Espaces vectoriels normés réels ou complexes SUITES ET FONCTIONS. Espaces vectoriels ormés réels ou complexes.. Normes et distaces. Exercice... F Soit E l espace vectoriel des foctios de classe C sur [a, b], o pose Nf = fc + f où c [a, b], f désigat

Plus en détail

/RJLTXHERROpHQQH. Symbole (norme IEC 1 ) x

/RJLTXHERROpHQQH. Symbole (norme IEC 1 ) x /RJLTXHERROpHQQH I. Défiitios I.. Variable biaire O appelle variable biaire (ou logique), ue variable preat ses valeurs das l esemble {0, }. Eemple : état d u iterrupteur, d u bouto poussoir, la présece

Plus en détail

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1

Plus en détail

Développement en série de Fourier

Développement en série de Fourier [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Eocés Développemet e série de Fourier Exercice [ 95 ] [Correctio] Soit f ue foctio cotiue périodique. O suppose que la série de Fourier de f coverge

Plus en détail

MA401 : Probabilités TD3

MA401 : Probabilités TD3 MA : Probabilités Exercice Ue compagie aériee étudie la réservatio sur l u de ses vols. Ue place doée est libre le jour d ouverture de la réservatio et so état évolue chaque jour jusqu à la fermeture de

Plus en détail

pour 1. b) si ( ) converge, alors 567 =l avec l réel,

pour 1. b) si ( ) converge, alors 567 =l avec l réel, Exercices aales corrigés : Suites Sujet atioal septembre 007 ( bac blac 008) La suite u est défiie par : = et = pour tout etier aturel a O a représeté das u repère orthoormé direct du pla doé ci-dessous,

Plus en détail

Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples

Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples 2 Groupes moogèes, groupes cycliques. Exemples Les otios de base sur les groupes sot supposées coues. E particulier, les esembles et groupes quotiets sot supposés cous. Pour des rappels, o pourra cosulter

Plus en détail

Développements limités

Développements limités [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 0 juillet 04 Eocés Développemets limités Calcul de développemets limités Eercice [ 0447 ] [correctio] Détermier les développemets limités suivats : a) DL 3 (π/4)

Plus en détail

Approximation de la solution d une équation différentielle ordinaire avec impulsions qui dépendent de l état

Approximation de la solution d une équation différentielle ordinaire avec impulsions qui dépendent de l état Approximatio de la solutio d ue équatio différetielle ordiaire avec impulsios qui dépedet de l état F. Dubeau A. Ouasafi A. Sakat CRM-276 Jauary 21 Départemet de mathématiques et d iformatique, Uiversité

Plus en détail

Exo7. Espaces vectoriels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

Exo7. Espaces vectoriels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur Exo7 Espaces vectoriels Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T

Plus en détail

Feuille d exercices: Calcul matriciel.

Feuille d exercices: Calcul matriciel. Feuille d exercices : Calcul matriciel : Exercice 2 3 ) Soit A = 0 0, motrer que A est la matrice das la 2 6 base caoique de R 3 d ue projectio dot o precisera le oyau et l image 2) Doer la matrice das

Plus en détail

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels. Uiversité de Provece 011 01 Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet

Plus en détail

Concours PT2004 Maths I-B. partie A

Concours PT2004 Maths I-B. partie A ocours PT2 Maths I-B Même si le suet e l a pas posé o utilisera : 8 2 M r (R) = I r partie a b x y ax + bz. Si = 2 S c d 2 et B = 2 S z t 2 o a B = cx + dz ay + bt cy + dt Les coe ciets de B sot sommes

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 7 mars 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 4 poits Cet exercice est u QCM questioaire à choix multiple. Pour chaque questio, ue seule

Plus en détail

Corrigé du DS n 1. Exercice 1 (6 points)

Corrigé du DS n 1. Exercice 1 (6 points) Exercice 1 (6 poits) Corrigé du DS 1 Das cet exercice, les probabilités demadées serot doées sous forme décimale, évetuellemet arrodies à 10 - près. Lors d ue equête réalisée par l ifirmière auprès d élèves

Plus en détail

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

SUITES et SERIES DE FONCTIONS UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio

Plus en détail

Partie I. ² Sur [0;¼=2] la restriction de µ est C 1 et de dérivée 2x : µ décroît de ¼2

Partie I. ² Sur [0;¼=2] la restriction de µ est C 1 et de dérivée 2x : µ décroît de ¼2 Partie I Questio 1 1.1. La foctio µ est dé ie deux fois e = mais o véri e que les deux fois µ (=) =. L étude des graphes demade ue étude partielle des dérivées. La suite demade, pour les théorèmes de Dirichlet,

Plus en détail

Principe de récurrence

Principe de récurrence Pricipe de récurrece Remarues sur les formules sommatoires établies par récurrece à u terme. Le pricipe est toujours le même. O désire motrer u ue somme S u 0 + u +.. + u est égale à la valeur f () d ue

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

MATHEMATIQUES 2. Fonctions de matrices

MATHEMATIQUES 2. Fonctions de matrices SESSION 2004 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MTHEMTIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sot iterdites * * * NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio

Plus en détail

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3 LES SUITES. Défiitio.. Défiitio Ue suite umérique est ue foctio de das, défiie à partir d'u certai rag 0. La otatio (u ) désige la suite e tat qu'objet mathématique et u désige l'image de l'etier (appelé

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 25 Eocés Exercice [ 43 ] [Correctio] O pose ) k+ s = et u = l e s ) k k= a) Éocer le théorème des séries spéciales alterées, e faire la preuve. b) Prouver

Plus en détail

Corrigé. Exercice 1 : (5 points)

Corrigé. Exercice 1 : (5 points) Corrigé Exercice : (5 poits) Pour les questios. et. o doera les résultats sous forme de fractios et sous forme décimale par défaut à 0 3 près. U efat joue avec 0 billes, 3 rouges et 7 vertes. Il met 0

Plus en détail

Chapitre 2. Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques

Chapitre 2. Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques Chapitre Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques Nous allos ici rappeler les différets résultats sur les suites de ombres réels qui sot des suites arithmétiques ou des suites géométriques

Plus en détail

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse UNIVERSITÉ MOHAMMED V - AGDAL Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques Filière Scieces de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Aalyse (S4) Cours d Aalyse Séries umériques Suites et Série

Plus en détail

4 ème aée Maths Limites Cotiuité et dérivabilité Octobre 9 A LAATAOUI Eercice : La figure ci cotre est la représetatio graphique d ue foctio f défiie et cotiue sur IR O ote que (ζf) admet au voisiage de

Plus en détail