PARTIE FRANÇAISE (CARTOGRAPHIE PAR DIFFERENTES METHODES D INTERPOLATION)

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1 PARTIE FRANÇAISE (CARTOGRAPHIE PAR DIFFERENTES METHODES D INTERPOLATION) Avertissement Cette partie est un résumé des travaux effectués à l occasion d une comparaison de deux méthodes de synthèse régionale des pluies extrêmes dans les Alpes franco-italiennes. On trouvera une présentation plus importante dans le mémoire de thèse de Abdelatif Djerboua, thèse qui sera soutenue à l Institut National Polytechnique de Grenoble fin De plus, la plupart des résultats, tableaux de valeurs et cartes se trouveront sur un CDROM. Résumé L objectif de ce travail est de quantifier les risques de pluies intenses sur les Alpes francoitaliennes. Pour ce faire, l idée est d analyser, pour les stations disposant de données pluviométriques ou pluviographiques, les lois de probabilité des valeurs extrêmes afin d ajuster des modèles probabilistes simples, robustes et déjà utilisés dans des régions climatologiquement voisines. Lorsque cela est possible, l étude est faite non sur les maxima annuels mais sur des maxima hebdomadaires ou mensuels, ce qui permet d augmenter la taille des échantillons. Il faut alors procéder à une analyse saisonnière afin de déterminer des périodes homogènes et de définir la saison à plus fort risque. Ceci est fait, station par station ; puis les stations sont regroupées en fonction de leur localisation géographique pour mettre en évidence la saison à plus fort risque de la région. Ensuite, on ajuste des modèles probabilistes, ce qui permet de calculer des pluies extrêmes de temps de retour donné. Une cartographie peut alors être effectuée selon plusieurs méthodes : la première consiste à interpoler dans l espace à partir des valeurs connues aux stations, la deuxième utilise l information topographique en cherchant les liaisons éventuelles entre les caractéristiques statistiques des pluies extrêmes et la topographie. Enfin, pour les pas de temps inférieurs à la journée, connus seulement aux stations pluviographiques, peu nombreuses, on peut chercher à utiliser l information pluviométrique des stations voisines. Le travail effectué a été le suivant : - Acquisition, contrôle et transmission des données. Ce travail, fondamental, est très long, vu la masse de données de sources diverses (environ 900 stations pluviométriques et 280 stations pluviographiques). - Recherche des saisons à plus fort risque par analyse des distributions, station par station, ce qui représentent plusieurs milliers de graphiques. - Recherche d ajustements probabilistes, avec essai théorique et expérimental de lois différentes. En effet, la tradition française, basée sur une longue expérience, est d utiliser des lois simples du type exponentiel ; par contre, les Italiens utilisent des lois plus complexes à plus de deux paramètres nécessitant un calage régional. - Cartographie des résultats selon plusieurs méthodes d interpolation

2 III-6. RESEAUX DE MESURES UTILISES DANS L ETUDE Pour l ensemble de la région d étude, les Alpes françaises, la région de la Ligurie et le Piémont, on dispose de mesures de pluies à différents pas de temps (de 1 heure jusqu à la journée). Nous avons comptabilisé 408 pluviographes et 876 pluviomètres. Les séries françaises à pas de temps fin sont données en pas de temps de 1, 2, 3, 6, 12, et 24 heures. Ces données sont dépouillées à un découpage fixe, par exemple, de 0 à 3 heures, de 3 à 6 heures légales, etc.. pour les pluies de 3 heures. Pour les mêmes pas de temps sauf 2 heures, on a recueilli des données italiennes, qui sont dépouillées avec un pas de temps mobile, c est à dire 3 heures consécutives, par exemple, pour les pluies de 3 heures. Les pluviomètres sont mesurés de 6 heures TU du jour J à 6 heures TU du jour J+1. On note ici, que les mesures françaises relevées le jour J+1 sont affectées au jour J, par contre les mesures italiennes relevées le jour J+1 sont affectées au jour J+1. Dans le tableau ci-dessous (Tableau III-2), on présente les types et la qualité des données, fournies par chaque organisme responsable (soit les organismes français ou italiens). Tableau III-2 : Présentation du réseau d études disponible. La figure III-15 suivante donne la répartition spatiale des stations utilisées dans l étude. On note une différence notable entre les réseaux français et italiens : le réseau italien de pluviographes est beaucoup plus dense que le réseau français. Figure III-15: Répartition spatiale des stations disponibles Au total, on comptabilise 876 pluviomètres et 408 pluviographes pour toute la région d'études (Figure III-15). Les stations ont des durées d observation assez longues mais souvent différentes ; il a été ainsi impossible de prendre une période commune. La répartition des stations n est pas uniforme selon l altitude comme le montre la figure III-16 ; les données pluviographiques sont plus récentes que les données pluviométriques (cf. figure III-17). Compte tenu qu il s agit de déterminer les caractéristiques des précipitations extrêmes, on n a pas cherché à faire l étude sur une période commune à l ensemble ou à la majorité des stations ; en effet, cela nous aurait conduit, soit à éliminer des stations, soit à avoir une période d étude restreinte. Figure III-16 : Répartition des stations en fonction de leur altitude Figure III-17 : Répartition des stations en fonction de la durée d'observation III-7. MODELES D AJUSTEMENT Différentes lois d ajustement ont été utilisées selon le type de données étudiées, pluies max annuelles, mensuelles, hebdomadaires, etc En supposant que toutes nos pluies à différents pas de temps suivent des lois à décroissance exponentielle, nous avons fait le choix des lois exponentielles avec le moins de paramètres possibles et ces lois ont été calées avec des méthodes robustes d ajustement. Différentes études ont été menées (Slimani 1985 ; Thao

3 1993) sur le choix des lois et les types d ajustement. Cependant le choix le plus simple et classique est d utiliser la loi de Gumbel, loi à deux paramètres, facile à ajuster. Présentation des lois de probabilités Le choix de la loi est très important dans la détermination des caractéristiques statistiques des données utilisées. Il faut être très prudent avec la méthode d ajustement, qui joue beaucoup dans la qualité et la difficulté de l estimation. En général, on utilise une des 4 méthodes d ajustement : Méthode des moments : a pour principe d égaliser les moments théoriques avec les moments empiriques, jusqu à un certain ordre des moments. Méthode des moments pondérés : a le même principe que la méthode des moments, sauf que ces moments théoriques ont une formulation différente et qu en fait, on n élève pas les données à des puissances supérieures à 1. Méthode du maximum de vraisemblance : lorsque la méthode des moments devient difficile et lourde à utiliser, surtout quand on utilise des moments d ordre supérieur à 2, on applique la méthode du maximum de vraisemblance. On cherche les valeurs des paramètres qui maximisent la probabilité de l échantillon. Cette méthode donne un système d'équations à résoudre par différentes méthodes numériques. Méthode des moindres carrés : le principe de la méthode consiste à appliquer un changement de variable sur la fonction de répartition (soit transformation en Log ou en double Log ou autre transformation), puis à appliquer une corrélation entre les données et la variable transformée. III-7.1. Loi de Gumbel C est une loi à décroissance exponentielle, définie par deux paramètres. Elle s ajuste bien sur des max. annuels, mensuels ou saisonniers. La fonction de répartition de Gumbel est définie par : F(x)= exp(-exp(-(x-x 0 )/a)) = Probabilité [ X<x ] a : paramètre d échelle appelé gradex (gradient de l exponentiel). x 0 : paramètre de position (mode). a et x 0 sont déterminés par la méthode des moments, dans ce cas : a= (6) /π σ x 0 =µ a µ et σ sont respectivement la moyenne et l ecart-type de la population Dans la pratique, on remplace les moments théoriques par leurs estimateurs calculés sur l échantillon. III-7.2. Somme de deux exponentielles Cette loi s ajuste bien sur toutes les pluies successives. Elle a pour expression : F(x)=1-α exp(-x/a)-β exp(-x/c)

4 a : gradex des valeurs fortes c : pente des valeurs faibles F(0) : Fréquence des valeurs nulles 1-F(0)= α+β : probabilité des valeurs non nulles (fréquence empirique) α=1/cv²=µ²/σ² : vérifié expérimentalement Les 2 paramètres qui restent, sont déterminés par la méthode des moments : a=(αµ+ (αβ(k(α+β)-µ²)))/(α(α+β)) c=(µ-αa)/β avec : K=(µ²+σ²)/2 Slimani (1985) a constaté, pour les pas de temps inférieurs à 24 heures, une sous-estimation du gradex par rapport à l ajustement effectué sur les max. mensuels. Il a proposé une correction à faire en fonction du pas de temps étudié, t en heures : α=m²/σ² C k [t,f(0)] avec C k [t,f(0)]=1/(1-ln(t/24) (F(0)/2) ) Cette loi est appliquée lorsque le pourcentage des valeurs nulles représente plus de 50% de l échantillon ; or pour les max. hebdomadaires, les valeurs nulles représentent 10% de l échantillon. Dans ces cas, cette loi ne s ajuste pas, parce qu elle ne vérifie pas certaines conditions sur la moyenne et l ecart-type. III-7.3. Autres modèles Différentes lois à décroissance exponentielle ont été utilisées pour résoudre le problème d ajustement des données hebdomadaires : Loi simple exponentielle censurée : le calcul du gradex fluctue un peu selon la valeur du seuil, mais il reste proche du gradex calculé à partir des max. des 15 jours. Loi de Gumbel censurée : le gradex calculé sur des max. hebdomadaires est plus proche de celui des max. des 15 jours. Loi de deux exponentielles : le défaut de cette loi est qu elle suppose une probabilité nulle des jours sans pluie ; des essais avec seuil ne se sont pas avérés concluants. Loi gamma incomplète : comme la probabilité des valeurs nulles est de l ordre de 10%, on a utilisé une loi gamma incomplète censurée avec méthode d ajustement des quantiles. Cette loi a été abandonnée ; en effet, on a trouvé une grande dispersion des paramètres selon les quantiles choisis. Loi somme de deux exponentielles puissance 7 : comme on a supposé que la distribution des pluies journalières suit une loi somme de deux exponentielles définie par F(x), on peut dire que la loi du maximum des 7 jours est F(x) 7, si on suppose l indépendance des valeurs. La méthode des quantiles donne plusieurs solutions si on prend des quantiles différents, dans ce cas on ne peut pas être objectif dans le choix des quantiles, ainsi, cette méthode a été abandonnée. La méthode du maximum de vraisemblance nous a donné des solutions qui dépendent essentiellement des conditions d application de cette loi. On a fait une comparaison entre les ajustements par la loi somme de deux exponentielles appliquée sur les données journalières du basin de l Arc à Bramans, avec l ajustement sur des max.

5 hebdomadaires de la loi somme de deux exponentielles puissance 7. Les résultats n ont pas été satisfaisants, on n a pas obtenu de solutions comparables en terme de fréquence des valeurs nulles ou en terme de gradex. On a retenu la loi de Gumbel censurée appliquée sur des max hebdomadaires, qui reste la plus proche du calcul sur les max. des 15 jours. Elle présente un calcul plus robuste, du fait qu on double la taille des échantillons, par rapport à des max. mensuels. III-7.4. Interpolation pour des pas de temps intermédiaires : coefficient de Montana On a supposé que la variation du gradex en fonction du pas de temps suit une loi en puissance. Le coefficient de Montana, valeur de cette puissance traduit la variation du gradex en fonction du pas de temps t (Figure III-18). Cette formule n a pas de justification théorique, mais elle donne dans la pratique des résultats assez corrects. Gradex(t)/Gradex(t 0 )=a(t 0 )(t/t 0 ) Montana Figure III-18 : Exemple d estimation du coefficient de Montana par corrélation simple sur les logarithmes des gradex. III-8. ESTIMATIONS DES PRECIPITATIONS EXTREMES L'estimation des gradex de tous les postes, et à différents pas temps, a été faite en plusieurs étapes pour les stations françaises. III-8.1. Pluviomètres français Estimation du gradex des max. mensuels: ajustement d une loi de Gumbel sur les données mensuelles mois par mois calendaire ; on rassemble ainsi tous les max des mois de janvier, et on les analyse ; de même, pour les autres mois. Détermination de la saison à plus fort risque et calcul de son gradex. On prend en considération les stations qui ont une longue série d'observations (plus de 40 ans) pour fixer la saison à plus fort risque. Puis on calcule le gradex moyen mois par mois sur chaque région, qui, pour des raisons pratiques, est constituée de départements, et on prend les mois les plus forts et homogènes. Détermination des caractéristiques annuelles. Par une translation de la distribution de la saison à haut risque de -ln(n) sur un papier de Gumbel, on peut déterminer les paramètres de la loi annuelle. III-8.2. Pluviographes français On dispose des max. hebdomadaires pour les différents pas de temps, ce qui nous aide à mieux estimer nos paramètres. On détermine tout d abord la saison à risque en utilisant les données max. des 15 jours. On refait les mêmes étapes que pour la détermination de la saison à plus fort risque des pluviomètres. Après une analyse du calcul du gradex mensuel, on a divisé les Alpes françaises en 3 grandes régions à plus fort risque selon le pas de temps (tableau III-3) ; à la suite du numéro du

6 département, on trouve le nombre de stations et, dans le tableau, les numéros indiquent les mois de départ et de fin de la période retenue. Tableau III-3 : Définition des saisons à plus fort risque pour le pas de temps allant de 1 heure jusqu'à24h. Ce découpage saisonnier reste valable pour les autres méthodes d'ajustements, puisque les estimations des paramètres définissant les saisons sont déterminées de la même façon. On a ajusté une loi de Gumbel sur les max. de 15 jours pour avoir des caractéristiques statistiques de comparaison (comparables à celles des max. hebdomadaires). Tableau III-4 : Gradex mois par mois des max. hebdomadaires et max. des 15 jours. Exemple de la station Abondance (Haute Savoie) On remarque que les gradex des deux ajustements sont pratiquement les mêmes (Tableau III- 4). La comparaison entre les deux méthodes est plus intéressante en terme de corrélation (Figure III-19). Nous trouvons une bonne corrélation entre les deux méthodes (ce qui nous permet de garder le même découpage saisonnier), mais il existe un biais systématique ; on surestime toujours par rapport à notre méthode de référence (ajustement sur des max hebdomadaires). Figure III-19 : Corrélation entre le gradex saisonnier calculé sur des max hebdomadaires et des max soit annuels, mensuels ou de 15 jours On remarque que les droites les plus proches sont les droites des max annuels et mensuels, mais les dispersions autour des ces droites sont plus fortes par rapport à la dispersion des gradex des 15 jours. On constate que les ajustements sur des max annuels sont mauvais, vu la dispersion des gradex calculés. Il faut noter que cela reste valable pour les différents pas de temps inférieurs à la journée (dans le graphique, on présente l'ajustement effectué sur des données max en 24 heures). III-8.3. Stations italiennes Pour toutes les données, on a ajusté une loi de Gumbel par la méthode des moments. Les partenaires italiens nous ont fourni des données à 24 heures, (max. sur 24 heures à origine glissante) et journalières, (max. de 06 h TU à 06 h TU) pour les même postes. Une cartographie des différents paramètres à pas de temps de 1 heure jusqu'à 24 heures, a été faite sur le calcul des données max. annuelles. III-8.4. Relation entre le gradex des pluies journalières de la saison à plus fort risque et le cumul moyen des pluies de la même saison Comme on l a fait pour l'étude des débits extrêmes dans le volet 4, on a voulu étudier la corrélation entre le gradex et la pluie moyenne. Pour cette étude, on a défini la saison d'automne comme saison à plus fort risque ; elle est composée des mois de septembre, octobre et novembre. On présente cette corrélation entre le gradex d'automne et la racine carrée de la pluie moyenne de l'automne par : a=38,79 (P Aut )-47 R=0,9164

7 D'après une étude qui a été faite pour la région Cévennes - Vivarais sur 51 stations, on trouve un résultat similaire (cf. figure III-20 suivante): a=34,29 (P Aut )-38.2 R=0,973 Fig. III-20 : corrélation entre gradex et cumul moyen journalier III-8.5. Exemples de résultats Pour chaque station, on a pu ainsi calculer les gradex aux différents pas de temps, dont le tableau III-5 donne un extrait : Tableau III-5 : Extrait de résultats concernant le gradex Ainsi que les estimations des pluies décennales, dont le tableau III-6 fournit un extrait : Tableau III-6: Extrait de résultats concernant les pluies décennales Enfin, on a aussi estimé les pluies centennales : Tableau III-7: Extrait de résultats concernant les pluies centennales Pour chaque station et chaque pas de temps, une sortie graphique de la fonction de répartition empirique et de la loi ajustée a été effectuée, soit plusieurs milliers de graphiques. La figure III-21 montre un exemple d ajustement sur une station italienne en utilisant plusieurs types de données maximales. Fig. III-21: Exemple d ajustements III-9. CARTOGRAPHIE III-9.1. Principes Pour cartographier une variable spatialisée, par exemple le gradex journalier, on a utilisé plusieurs méthodes : Une méthode de lissage. C est la plus classique ; rapide à obtenir, elle fournit déjà une représentation spatiale de la variable. Une méthode de krigeage : on analyse la structure de la variabilité spatiale de la variable en déterminant le variogramme qui donne la variation des écarts quadratiques de cette variable en fonction de la distance des stations. Ces variogrammes dépendent de la région et sont parfois anisotropes, car dépendant de la direction. On cale alors un modèle de variogramme ce qui permet d estimer en tout point un estimateur objectif de la variable ; il est alors facile de tracer des courbes d isovaleurs de cette variable. Une méthode utilisant la liaison, si elle existe entre la valeur de la variable en une station et des variables topographiques locales (l altitude, la pente, l exposition) et des variables globales, comme la distance à la mer, la position par rapport à l arc alpin. Par des modèles de corrélation multiple à sélection progressive de variables, on teste si la liaison est assez

8 forte pour être utilisable et on ne retient que quelques variables explicatives, en général une demi-douzaine. On teste ces modèles en les calant sur la moitié des stations prise au hasard et en les validant sur les stations n ayant pas servi au calage. III-9.2. Cartes lissées Nous donnerons l exemple des pluies décennales journalières. Fig. III-22 : Carte des pluies journalières maximales décennales obtenues par lissage III-9.3. Cartes obtenues par krigeage Exemples de variogrammes. Nous donnons ci après, fig. III-23, un exemple de variogrammes. Sur ces figures sont portés les variogrammes expérimentaux ainsi que les modèles retenus pour l interpolation. Figure III-23 : Présentation des différents variogramme empiriques et le modèle associé (sphérique). Modèle du variogramme des différents pas de temps pour le gradex, les pluies décennale et centennale et le coefficient de Montana. Exemple de résultats : la figure III-24 donne un exemple de carte obtenue par krigeage. Fig. III-24 : Carte obtenue par krigeage III-9.4. Liaisons avec le relief Deux types de variables ont été définies : Variables globales : Au nombre de 6, elles concernent : les coordonnées Lambert II étendues ; la coordonnée Y caractérise les influences de la Méditerranée, et X les influences d Ouest. les distances au Rhône et à la mer les distances au centre des Alpes et aux foyers de l ellipse schématisant les Alpes. Variables locales : Au nombre de 128, elles sont basées sur les altitudes, les paramètres d exposition, la caractérisation de l encaissement du site, les pentes et azimuts et les rayons de courbure. La zone d étude a été divisée en régions car ces variables n ont évidemment pas le même poids selon les régions. Puis, on a cherché des modèles de corrélation multiple linéaire à sélection ascendante de variables expliquant les différentes caractéristiques des pluies extrêmes ; on a retenu qu une demi-douzaine de variables, afin d avoir des modèles robustes. Ceux ci ont ensuite été testés. Nous donnons ci après les résultats les plus significatifs. La figure III-25 donne les variances expliquées de différents paramètres en fonction du nombre de variables retenues et pour chaque région. On constate que l explication, en terme

9 de variance plafonne avec une demi-douzaine de variables explicatives et qu elle dépend de la région et surtout du pas de temps Figure III-25 : Evolution de la variance expliquée des gradex, Montana en fonction du nombre de paramètres introduits. Cartes obtenues : le MNT, modèle numérique de Terrain utilisé dans cette étude montrant certaines lacunes qui ont pu être décelées et corrigées autour des stations mais pas sur l ensemble de la zone, les cartes obtenues actuellement présentent des anomalies dues à un mauvais calcul des variables topographiques locales en certains endroits ; aussi ne sont-elles pas tracées dans ce rapport III-10. SOMMAIRE DES RESULTATS Les résultats obtenus seront disponibles sur un CD ROM. Ils concernent : - la liste des stations, leurs positions, l étendue des données - les tableaux de résultats, station par station : - gradex en 1,3, 6, 12 et 24 h - Pluies extrêmes décennales en 1, 3, 6, 12 et 24 h - Pluies extrêmes centennales en 1, 3, 6, 12 et 24 h - Coefficients de Montana Les cartes brutes et krigées des : - gradex en 1, 3, 6, 12 et 24 h - Pluies extrêmes décennales en 1, 3, 6, 12 et 24 h - Pluies extrêmes centennales en 1, 3, 6, 12 et 24 h - Coefficients de Montana Soit 32 cartes. III-11. EXEMPLE DE CARTES Les pages suivantes donnent quelques exemples de cartes (Figure III-26).