ÉTATS DE DIFFUSION D'UNE BARRIÈRE : EFFET TUNNEL

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1 Devoir/lecture ÉTATS DE DIFFUSION D'UNE BARRIÈRE : EFFET TUNNEL L'effet tunnel est un effet intervennt en de très nombreuses occsions en physique, insi qu'il ser illustré en cours et petites clsses (PC 4 notmment). On s'intéresse à une prticule d énergie E, vennt des x < 0, et diffusée pr l brrière suivnte : x < 0 (région ) : V = 0. 0< x < (région ) : V = V 0.> 0 x > (région ) : V = 0 V(x) V 0 0 Région Région Région x On poser : Pour 0 < E < V 0 : Pour E > V 0 : me k, k R m( V0 E), k ' m( E V0 ), R k' R mv 0. Rppeler d bord l sitution clssique, selon que E est inférieure ou supérieure à V < E < V 0. Poser le problème quntique, c'est-à-dire écrire l éqution ux vleurs propres pour l énergie dns les différentes régions. Montrer que l solution est de l forme : x < 0 : ikx x Ae ikx B e x x 0 < x < : x C e D e ik x ik x x > : x F e G e.b Clculer l densité de cournt dns les régions et et montrer que chque exponentielle complexe dns ces régions peut être interprétée comme l fonction d'onde d'un flux monocinétique permnent de prticules. En déduire que G est nul, et que l'on peut choisir A (donnée expérimentle).

2 On définit lors B / A et F / A, coefficients de réflexion et de trnsmission en mplitude, respectivement..c Ecrire les conditions ux limites et montrer que l'on peut déterminer les constntes mnquntes. Après élimintion de C et D, on trouve : k sh ik e ik e 4i k ik e ik e.d Définir et déterminer les coefficients de réflexion et de trnsmission R et T en flux, en E fonction de et de l vrible sns dimension. Vérifier que R + T =. V 0. E > V 0 Reprendre le problème quntique dns ce cs, et déterminer à nouveu R et T. Montrer que les cs où T = s interprètent isément pr l condition d interférence constructive pour les ondes sortntes. 4. Trcer pproximtivement l'évolution de T(), où = E/V 0, et comprer u cs clssique. 5. Il est évident que les étts trouvés pprtiennent u spectre continu et ne sont ps de crré sommble. Comment peut-on constituer des étts physiques pour une prticule unique? 6. Décrire qulittivement ce qui se psse lorsqu'on ffire à une mrche de potentiel plutôt qu'une brrière (échelon de huteur V 0 pour x > 0, et ps de région ). En prticulier, que dire du coefficient R dns les deux cs E < V 0 et E > V 0? REPONSES. Clssiquement, si E < V 0, toute prticule qui rrive sur l brrière vec l vitesse me est réfléchie (vec l même vitesse). Si E > V 0, l prticule est brutlement décélérée en x = 0, s vitesse psse de me à me V 0, puis reprend s vitesse en x = ; elle est trnsmise.. L'éqution ux vleurs propres du hmiltonien s'écrit : Régions et : " 0 E, soit : " k m Région : " V m 0 E, soit : "

3 D'où l solution générle proposée (en choisissnt l phse nulle en x = pour les exponentielles de )..b Comme on l' déjà vu, e ±ikx n'est ps de crré sommble sur un domine infini, et ne peut donc être un étt physique d'une prticule unique. Une prticule unique dns l région à un instnt t devr donc voir pour fonction d'onde une combinison linéire de ces exponentielles, de telle sorte qu'elle soit de crré sommble (cette combinison linéire est en fit une somme continue sur k, puisque E, et donc k, ne sont ps quntifiés ; voir question 5). L solution générle proposée s'interprète lors de l fçon suivnte : Remrquons tout d'bord que chque exponentielle complexe (e ikx et e -ikx ) est ussi fonction propre de l'opérteur quntité de mouvement p i (vleur propre k et k x respectivement). i d d L densité de cournt s'écrit (cours.) : j m dx dx E t / Dns l région, où l fonction d'onde s'écrit : x t x e i, cette densité vut, les exponentielles temporelles disprissnt : i ikx ikx ikx ikx j A e B e ik Ae B e m k k Finlement : j AA BB j j m m k k De même dns l région, j FF GG m m, ikx ikx ikx ikx Ae B e ik A e B e Il est lors légitime de considérer Ae ikx comme l fonction d'onde d'un fisceu incident de prticules, d'intensité j +, bordnt l brrière (les prticules ynt toutes l même vitesse, donnée pr p k ) ; Be -ikx correspond u fisceu réfléchi ( p k ), et Fe ikx correspond u fisceu trnsmis. G est nécessirement nul, trduisnt l'bsence de fisceu vennt des x positifs. Enfin, A est une donnée de l'expérience, définie pr l'intensité j + du fisceu incident ; concrètement, AA pprît comme l densité N de prticules du fisceu incident, puisque j + est cette densité multipliée pr le volume prcouru en une seconde : k N.. S j A A k / m m A noter que ces fisceux sont des fisceux permnents, cr les étts sont des iet / iet / étts sttionnires : e e cste t.c,, sont des expressions mthémtiques d'une même fonction d'onde, dont on doit ssurer l continuité en tout point, insi que celle de s dérivée. Et donc : 0 0,, ' 0 ' 0, ' ' Ce qui donne :

4 A B C D C e D e F i k A B C D C e D e i k F Après division pr A, on obtient un système linéire de 4 équtions à 4 inconnues :, C / A, D / A,. Il est isément soluble et on trouve notmment (C et D ne nous intéressent ps ici) : k sh 4i k ik e ik e ik e ik e.d Pr définition, flux réfléchi R et donc : flux incident j j B B R A A flux trnsmis F F De même : T flux incident A A mv0 E k En introduisnt et, il vient ( ) : V0 k R et T 4 sh sh 4 U En remrqunt que R et T, il vient R + T =, U / U U reltion qui trduit tout simplement l conservtion de l mtière : toutes les prticules sont soient trnsmises, soient réfléchies, ucune ne disprît. Cette reltion pouvit d'illeurs être obtenue plus rpidement à prtir de l'éqution de continuité. du cours, qui montre que l densité de cournt est l même dns les régions (cr l fonction d'onde est sttionnire ; il suffit lors d'écrire j = j. Contrirement u cs clssique, T n'est ps nul pour E < V 0. Une (fible) proportion de prticules est trnsmise, bien que leur énergie soit réputée inférieure à l huteur de l brrière. D'où l'imge (inexcte) du pssge sous l brrière : l'effet tunnel. Cet effet est notmment utilisé dns le microscope à effet tunnel, les prticules étnt des électrons ; très grossièrement, l brrière de potentiel est le vide existnt entre une sonde métllique en forme de pointe et un échntillon à exminer. T non nul se mnifeste pr un "cournt tunnel" très fible (typiquement le nnompère), fortement dépendnt de l'épisseur de l brrière, c'est-à-dire de l distnce pointe échntillon. Lorsqu'on déplce l pointe u dessus de l'échntillon, on peut tout d'bord sservir son ltitude de mnière à mintenir le cournt tunnel constnt (c'est-à-dire ), et obtenir insi une imge de l surfce de l'échntillon à l'échelle tomique (résolution verticle de l'ordre de 0, ngström). Le microscope à effet tunnel fit l'objet de l PC d'ppliction 4. L fonction d'onde dns l brrière (région ) est constituée d'exponentielles réelles, ce qui est nlogue à une onde évnescente en optique ou électromgnétisme ; cette onde est récupérée dns l région (même indice de réfrction que l région ) pour donner nissnce à une onde sortnte qui se propge (exponentielle complexe).

5 . Il n'est ps nécessire de refire les clculs dns le cs E > V 0 ; il suffit de remplcer pr ik' dns les résultts précédents ; on obtient insi i k k' ik ' ik ' k k' e k k' e sin k' 4 k k' ik ' ik ' k k' e k k' e Et on en tire ( ) : R et T 4 sin sin 4 Et bien sûr, R + T =. L fonction d'onde dns l région est constituée églement d'exponentielles complexes : ik ' x ik ' x x C e D e Cette fois, bien que l'énergie soit supérieure à l huteur de l brrière, tout n'est ps nécessirement trnsmis, suf lorsque T =, ce qui est obtenu pour : n p C'est-à-dire, en introduisnt l'impulsion p de l prticule dns l brrière pr E V0 : m mv0 E p n V 0 Soit encore, en introduisnt l longueur d'onde de De Broglie correspondnte h k' : p n Ainsi le coefficient de trnsmission vut-il qund l'épisseur de l brrière contient un nombre entier de demi-longueurs d'onde. Ceci est tout à fit nlogue à ce qui se psse pour un interféromètre de Fbry-Pérot (constitué, on le sit, de miroirs semi réfléchissnts) : le coefficient de trnsmission vut qund l distnce entre miroirs contient un nombre entier de demi-longueurs d'onde (les réflexions n'joutent ps de déphsge supplémentire). C'est simplement l condition d'interférence constructive pour les ryons sortnts. 4. L figure suivnte donne l'évolution du coefficient de trnsmission T en fonction de, c'est-à-dire de l'énergie incidente rpportée à l huteur de l brrière. Elle été trcée pour des vleurs rélistes : m = 9,.0 - kg (électron), V 0 = ev et = nm, soit = 5,8

6 5. Pour une prticule unique, il fut rechercher une fonction d'onde de crré sommble, combinison linéire des étts propres précédemment trouvés ; E n'étnt ps quntifiée, l fonction ser de l forme (voir PC sur le pquet d'ondes) : iet / x, t c( E) E x, tde, vec E x, t j ( x, E) e dns l région j. E c(e) ser choisi de telle sorte à normer l fonction d'onde, et à l rendre sptilement reltivement étroite à l'instnt initil, où l prticule est dns l région, à peu près loclisée. L'évolution ultérieure d'un tel pquet d'ondes montre tout d'bord une "bosse" s'pprochnt de l brrière, puis deux bosses s'en éloignnt, l'une trnsmise, l'utre réfléchie ; de plus, ces bosses s'étlent dns le temps. Une belle illustrtion de ce phénomène (et d'utres) est visible sur le site : ; choisir l version (F ou GB), l'onglet.5, puis lncer l'nimtion, et observer l'évolution du pquet d'onde dns les différents cs proposés. 6. Dns le cs d'une mrche de potentiel : ) E < V 0 Rien de chngé coté x < 0, l solution est constituée d'exponentielles complexes, x tndis que coté x > 0, l fonction d'onde est de l forme x D e (C est nul pour que reste finie). s'nnulnt à l'infini, on peut donc prévoir que toutes les prticules sont finlement réfléchies (le clcul montre en effet que R = ), mis contrirement u cs clssique, cette réflexion n'est ps loclisée sur le front x = 0 ; des prticules peuvent trnsiter x à l'intérieur de l mrche ( DD e 0). b) E > V 0

7 L solution est constituée d'exponentielles complexes dns les deux régions : ikx ikx x < 0 : x Ae B e ik ' x ik ' x x > 0 : x C e D e Des qutre coefficients, seul D est nul (comme G à l question b). On en conclut qu'il BB k k k' y réflexion d'une prtie des prticules ; le clcul donne en effet R 0 ' AA k k k CC k' 4 k k' et T (et bien sûr R + T = ). Clssiquement, toutes les prticules AA k k k' serient trnsmises.