Modèles GARCH et à volatilité stochastique

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1 Christian Francq Chapitre 3: GARCH asymétriques

2 Plan 1 Asymétrie des séries financières et inadéquation des GARCH standard 2 3

3 1 Asymétrie des séries financières et inadéquation des GARCH standard 2 3

4 Constatation empirique : l accroissement de volatilité dû à une baisse des prix est généralement supérieur à celui résultant d une hausse de même ampleur. Symétrie des modèles GARCH standard Si (ɛ t ) suit un GARCH où η t a une loi symétrique cov(σ t,ɛ t h ) = 0, h > 0. Preuve cov(ɛ + t,ɛ t h) = cov(ɛ t,ɛ t h) = 0, h > 0, où ɛ + t = max(ɛ t,0), ɛ t = min(ɛ t,0).

5 Autocorrélations empiriques du CAC 40 ( ) ˆρ(ɛ t,ɛ t h ) ˆρ( ɛ t, ɛ t h ) ˆρ(ɛ + t,ɛ t h ) En rouge les paramètres statistiquement significatifs au niveau 5%, en utilisant 1/n comme approximation de la variance des autocorrélations, pour n = 2380.

6 Modèle EGARCH Modèle TGARCH 1 Asymétrie des séries financières et inadéquation des GARCH standard 2 Modèle EGARCH Modèle TGARCH 3

7 Modèle EGARCH Modèle TGARCH Modèle GARCH exponentiel (EGARCH) de Nelson (1991) où { ɛt = σ t η t logσ 2 t = ω + q i=1 α ig(η t i ) + p j=1 β j logσ 2 t j g(η t i ) = θη t i + γ[ η t i E η t i ]. Modélisation multiplicative de la volatilité σ 2 t = q p ( ) eω exp{α i g(η t i )} σ 2 βj t j i=1 Pas de contraintes de signes a priori mais les conditions j=1 γ < θ < γ, α i 0, β j 0. assurent que σ 2 t croît avec le module des innovations passées (à signe fixé).

8 Modèle EGARCH Modèle TGARCH Modèle GARCH exponentiel (EGARCH) où { ɛt = σ t η t logσ 2 t = ω + q i=1 α ig(η t i ) + p j=1 β j logσ 2 t j g(η t i ) = θη t i + γ[ η t i E η t i ]. Pb d identifiabilité : γ = 1. Asymétrie prise en compte par le paramètre θ. L asymétrie des séries financières impose θ < 0. Ecriture de σ 2 t en fonction des innovations normalisées (η t i ). logσ 2 t est un ARMA car (g(η t )) est un bruit blanc iid de variance Var[g(η t )] = θ 2 + γ 2 Var( η t ) + 2θγCov(η t, η t ).

9 Modèle EGARCH Modèle TGARCH Modèle difficile à estimer et à utiliser pour faire des prévisions Stationnarité stricte : si β(z) = 1 p β i z i a toutes ses racines de module strictement plus grand que 1, alors σ 2 t = ϕ(η u,u < t). Inversibilité : σ 2 t est une fonction compliquée de {ɛ u,u < t} i=1 ( ) logσ 2 t = ω + αg ɛt 1 + βlogσ 2 t 1 σ. t 1 modèle délicat à estimer (cf O. Wintenberger et S. Cai, 2011).

10 Modèle EGARCH Modèle TGARCH α(l) β(l) = i=1 λ il i, g η (x) = E[exp{xg(η t )}] Cas Gaussien Moments du processus EGARCH(p, q) Soit m un entier positif. Sous les conditions de stationnarité stricte et si µ 2m = E(η 2m t ) <, g η (mλ i ) <, (ɛ 2 t ) admet un moment à l ordre m i=1 E(ɛ 2m t ) = µ 2m e mω g η (mλ i ). Dans le cas gaussien, tous les moments existent. Le modèle n est alors pas adapté à la prise en compte de la propriété de leptokurticité. i=1

11 Modèle EGARCH Modèle TGARCH 1 Asymétrie des séries financières et inadéquation des GARCH standard 2 Modèle EGARCH Modèle TGARCH 3

12 Modèle EGARCH Modèle TGARCH Modèle GARCH à seuil (TGARCH ou ZARCH de Zakoïan, 1994) σ t { ɛt = σ t η t = ω + q i=1 α i,+ɛ + t i α i, ɛ t i + p j=1 β jσ t j Contraintes de positivité ω > 0, α i,+ 0, α i, 0, β i 0. A travers les α i,+ et α i,, la volatilité présente dépend à la fois du module et du signe des innovations passées. Modèle symétrique si pour tout i = 1,...,q, α i,+ = α i, = α i. q p σ t = ω + α i ɛ t i + β j σ t j i=1 j=1

13 Modèle EGARCH Modèle TGARCH News impact curve News impact curves pour les modèles ARCH(1) : ɛ t = ɛ 2 t 1 η t (pointillés) et TARCH(1) : ɛ t = (1 0.5ɛ t ɛ+ t 1 )η t (trait plein).

14 Modèle EGARCH Modèle TGARCH Stationnarité : étude fondée sur Conséquences : ɛ + t = σ t η + t, ɛ t = σ t η t. max{p,q} σ t = ω + a i (η t i )σ t i, a i (z) = α i,+ z + α i, z + β i. i=1 En particulier si p = q = 1 le modèle admet une unique solution strictement stationnaire non anticipative ssi E{loga(η t )} < 0. TARCH(1) avec (η t ) de loi symétrique : α 1,+ α 1, < e 2E log η t.

15 Modèle EGARCH Modèle TGARCH Toujours si p = q = 1 le modèle admet une solution stationnaire au second-ordre ssi E[(α 1,+ η + t α 1, η t + β 1) 2 ] < 1. Asymétrie : sous l hypothèse de stationnarité au second ordre, en supposant symétrique la distribution de η t, on a par exemple pour le modèle TARCH(1) : dès que α 1,+ α 1,. cov(σ t,ɛ t 1 ) = α 1,+ E(ɛ + t 1 )2 α 1, E(ɛ t i )2 = (α 1,+ α 1, )E(ɛ + t i )2 0

16 Modèle EGARCH Modèle TGARCH Stationnarité du modèle TGARCH(p, q) : étude similaire à celle du modèle GARCH(p,q) avec la représentation vectorielle : z t = b t + A t z t 1 où b t = b(η t ) = ωη + t ωη t 0. ω 0. 0 R p+2q, z t = ɛ + t ɛ t. ɛ + t q+1 ɛ t q+1 σ t. σ t p+1 R p+2q,

17 Modèle EGARCH Modèle TGARCH Stationnarité du modèle TGARCH(p, q) : étude similaire à celle du modèle GARCH(p,q) avec la représentation vectorielle : z t = b t + A t z t 1 où A t = α 1,+ η + t α q,+ η + t α q, η + t β 1 η + t β p η + t α 1,+ η t α q,+ η + t α q, η t β 1 η t β p η t I 2(q 1) 0 2(q 1) 1 0 2(q 1) 1 0 2(q 1) (p 1) 0 2(q 1) 1 α 1,+ α q,+ α q, β 1 β p 0 (p 1) 2(q 1) 0 (p 1) 1 0 (p 1) 1 I p 1 0 p 1 1.

18 1 Asymétrie des séries financières et inadéquation des GARCH standard 2 3

19 Application : estimation de modèles sur l indice CAC Corrélogramme h ˆρ( rt, r t h ) des valeurs absolues du CAC 40 et corrélogramme croisé h ˆρ( rt,r t h ) mesurant les effets de levier Les traits en pointillé correspondant à ±1.96/ n

20 Ajustement par des modèles GARCH asymétriques GARCH(1,1) strandard EGARCH(1,1) r t = ɛ t, ɛ t = σ t η t, η t N (0,1) ( ) σ 2 t = ɛ 2 t σ2 t 1 ( ) (0.02) (0.02) r t = ɛ t, ɛ t = σ t η t, η t N (0,1) ( ) logσ 2 t = ( 0.53 η t 1 + η t 1 2π ) (0.15) (0.03) (0.14) logσ 2 t 1 (0.02) QGARCH(1,1) r t = 3.10 ( ) + ɛ t, ɛ t = σ t η t, η t N (0,1) σ 2 t = ɛ 2 t ɛ t σ 2 t 1 ( ) (0.01) ( ) (0.03)

21 Ajustement par des modèles GARCH asymétriques GJR-GARCH(1,1) r t = ɛ t, ɛ t = σ t η t, η t N (0,1) ( ) σ 2 t = ɛ 2 t ɛ 2 t 1 1l {ɛ t 1 >0} σ 2 t 1 ( ) (0.02) (0.02) (0.03) TGARCH(1,1) r t = ɛ t, ɛ t = σ t η t, η t N (0,1) ( ) σ t = ɛ + t ɛ t σ t 1 ( ) (0.01) (0.02) (0.02). Log-vraisemblance des différents modèles GARCH EGARCH QGARCH GJR-GARCH TGARCH logl n

22 Volatilités des modèles estimés 500 premières valeurs de l indice CAC40 et volatilité estimée ( 10 4 ) par les modèles GARCH(1,1) ordinaire, EGARCH(1,1), QGARCH(1,1), GJR-GARCH(1,1) et TGARCH(1,1)

23 Distances entre modèles estimés : Moyenne des carrés des écarts entre les volatilités estimées ( ). GARCH EGARCH QGARCH GJR TGARCH GARCH EGARCH QGARCH GJR TGARCH volatilités estimées par modèles EGARCH et TARCH, puis TGARCH et GJR-GARCH : nuage des points ( σ 2 ) t,tgarch σ2 t,garch,σ2 t,egarch σ2, (graphe de droite) ( t,garch σ 2 ) t,tgarch σ2 t,garch,σ2 t,gjr-garch σ2 (graphe de gauche) t,garch

24 Loi marginale : série réelle vs modèles estimés Variance ( 10 4 ) et Kurtosis de la série du CAC 40 et de simulations de longueur des 5 modèles estimés. CAC 40 GARCH EGARCH QGARCH GJR TGARCH Kurtosis Variance Nombre de rendements du CAC en dehors de r ± 3 ˆσ t THEO est la valeur théorique moyenne quand la loi conditionnelle est N (0, ˆσ 2 t ). THEO GARCH EGARCH QGARCH GJR TGARCH

25 Asymétries : série réelle vs modèles estimés Corrélogramme h ρ( rt, r t h ) des valeurs absolues (graphes de gauche) et corrélogramme croisé h ρ( rt,r t h ) mesurant les effets de levier (graphes de droite) : pour la série du CAC 40 (graphes du haut), et pour le GARCH standard (graphes du milieu) et le TGARCH (graphes du bas) estimés sur la série du CAC

26 Asymétrie des séries financières et inadéquation des GARCH standard Fin du chapitre 3

27 Symétrie des GARCH standard Notons que σ t est une fonction de η 2 t 1,...,η2 t h ɛ 2 t h 1,ɛ2,..., que l on note t h 2 et de h(η 2 t 1,...,η2 t h,ɛ2 t h 1,ɛ2 t h 2,...). Puisque η t h est indépendante des autres variables de h, on a pour tout h Cov(σ t,ɛ t h ) = E { E ( σ t ɛ t h η t 1,...,η t h+1,ɛ t h 1,ɛ t h 2,... )} { } = E h(η 2 t 1,...,η2 t h+1,x2,ɛ 2 t h 1,ɛ2 t h 2,...)xσ t hdp η (x) = 0 quand la distribution P η est symétrique. Retour

28 Calcul de g η (λ) = E exp { λg(η) }, g(η) = θη + γ( η E η ) Soit φ la densité de η N (0,1), et On a donc Ee λη = 0 e λx φ(x)dx = E η = e λ2 2 φ(x λ)dx = e λ 2 2 Φ(λ) xφ(x)dx = 2/π. g η (λ) = e λγ 2/π [ e λ2 (θ+γ) 2 /2 Φ { λ(θ + γ) } + e λ2 (θ γ) 2 /2 Φ { λ(θ γ) }] Puisque Φ(x) 1/2 + xφ(0) et log2φ(x) 2xφ(0) quand x 0, logg η (λ) = O(λ), λ 0. Retour

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