Grandeurs physiques, évolution et mesures

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1 Les buts de cet amphi Comprendre la signification physique du formalisme mis en place Grandeurs physiques, évolution et mesures quelle est l information acquise lors d une mesure? Eplorer le rôle particulier joué par «l opérateur énergie», encore appelé «hamiltonien» Chapitre du chapitre 4 équation de Schrödinger pour une particule dans un potentiel 2 La démarche typique en Physique Système physique : une particule, le champ électromagnétique, Série de mesures à l instant t 1 1 Nombres : positions, vitesses, champ électrique, fonction d onde Préparation du système à l instant t 1 dans un état précis 2 Evolution : Newton, Mawell, Schrödinger Calcul de l état du système à l instant t 2 1. La mesure des grandeurs physiques : position, impulsion, énergie, 3 Prévision des résultats de mesures à l instant t 2 Confrontation avec l epérience

2 Mesures de position Particule ponctuelle dont la fonction d onde est Probabilité de mesurer la particule en, à d près : Valeur moyenne de la position : T.Fourier Valeur moyenne de l impulsion : Mesures d impulsion L amplitude de probabilité pour l impulsion est la transformée de Fourier de la fonction d onde Parseval-Plancherel : T.Fourier T.Fourier interférence d électrons (Hitachi) Structure commune en termes d opérateurs La mesure d une grandeur physique Valeur moyenne de la position : multiplication par Principe 3 (version faible) à toute grandeur physique, on peut associer une «observable» : opérateur linéaire hermitien agissant dans l espace des fonctions d onde Valeur moyenne de l impulsion : dérivation par rapport à (à près) Si on prépare un grand nombre de systèmes identiques tous dans l état et qu on mesure A sur chacun, la moyenne des résultats vaut hermitien :

3 Comment construire l opérateur associé à A? principe de correspondance position multiplication par impulsion 2. énergie cinétique L équation de Schrödinger dans un potentiel quelconque énergie totale hamiltonien L équation de Schrödinger dans un potentiel quelconque Les états propres de l hamiltonien V() Newton : Etats d énergie bien définie Si la particule est préparée dans l état, alors une mesure de l énergie donne avec certitude le résultat. En effet : Principe 2 (cas général) L équation de Schrödinger vue pour une particule libre avec se généralise en : relation temps-énergie avec La valeur propre est appelée énergie propre de l état Un état propre de l hamiltonien est appelé état stationnaire

4 Pourquoi des états «stationnaires»? Si on prépare la particule dans un de ces états à t = 0 : alors la solution de l équation de Schrödinger à l instant t est Evolution d un état quelconque Si la fonction d onde de la particule s écrit à l instant t = 0 avec La probabilité de présence n évolue pas dans le temps : à vérifier en eercice alors la fonction d onde à l instant t vaut à vérifier en eercice et il en va de même pour la valeur moyenne de toute quantité physique La résolution d un problème de mécanique quantique commence par la détermination des fonctions propres de l énergie. Un état d énergie bien définie n est pas «en mouvement»! L évolution dans le temps de tout état en découle immédiatement Pourquoi Hamilton? Mathématicien, physicien, astronome irlandais Parlait 10 langues à 12 ans Inventeur des quaternions, contributions majeures à l analyse vectorielle et à l algèbre linéaire (th. de Cayley-Hamilton) Effectue la synthèse entre l'optique ondulatoire et l'optique géométrique Après Lagrange, il reformule la mécanique de Newton 3. La recherche des états stationnaires équations canoniques d Hamilton-Jacobi «la mécanique newtonienne correspond à la même limite que l'optique géométrique par rapport à l'optique ondulatoire.»

5 L équation de Schrödinger «indépendante du temps» La recherche des fonctions propres de l hamiltonien V () Le puits carré infini passe en général par un traitement numérique. Il eiste cependant quelques cas solubles analytiquement : 0 L potentiel harmonique Sandwich de Al Ga As Ga As Al Ga As potentiel coulombien potentiel constant par morceau continue conditions au limites : Les états stationnaires du puits carré infini Solutions seulement pour E réelle et positive : Les énergies propres du puits carré infini E E 4 E 3 Ordres de grandeur E 2 E 1 0 L Ces fonctions propres forment une base de l espace des fonctions d onde : un électron dans un puits quantique de largeur L = m E 1 = 10 mev un nucléon (proton ou neutron) dans un noyau de diamètre L = m E 1 = 10 MeV

6 Emission de lumière par un puits quantique de nitrure de gallium Le cas général d un potentiel 1D constant par morceau E 2 On veut résoudre : V() E E 1 0 L L=12 couches atomiques L=6 couches atomiques REGION CLASSIQUEMENT INTERDITE REGION CLASSIQUEMENT PERMISE Comment «raccorder» les fonctions d onde? La fonction d onde est toujours continue (principe de base de la MQ) Quand il y a un saut fini de potentiel, la dérivée première de ψ est également continue (peut se prouver mathématiquement). Ceci n est plus vrai si le saut est infini ou en présence d une distribution de Dirac. E Continuité de ψ en = 0 : Continuité de ψ en = 0 : 0 ΔV CD-rom / site web! 4. Mesures individuelle de grandeurs physiques : la version «forte» du principe 3 un appareil de mesure doit fournir un nombre comme résultat de chaque mesure individuelle

7 Mesure de l énergie de l électron dans un puits quantique (presque réaliste ) faisceau lumineu incident E 3 E 2 E 1 Le déphasage dépend de l énergie de l électron dans le puits quantique faisceau lumineu diffusé Mesure de (par interférométrie laser) = mesure de l énergie de l électron Quel est l état de l électron après mesure de son énergie? Si la mesure a donné le résultat E à un instant t, une nouvelle mesure immédiatement après doit redonner avec certitude le résultat E Immédiatement après une mesure, le système est dans un état tel que ΔE = 0, c est-à-dire un état ψ n ()! E 3 E 2 E 1 Conclusions (vérifiées par l epérience): Le résultat d une mesure individuelle est une des énergies propres E n Immédiatement après la mesure ayant donné E n, le système est décrit par la fonction d onde ψ n () Nous allons ériger ces conclusions au rang de «principe» pour toute quantité physique Les résultats possibles d une mesure individuelle On considère une grandeur physique A et l observable associée Valeurs propres a α et fonctions propres ψ α de a α supposée ici non dégénérée Qu apprend-on dans une mesure? Une mesure individuelle, sur un système donné, donne un renseignement sur l état du système après mesure : Principe 3 (version «forte») Le résultat a d une mesure individuelle de la grandeur physique A est nécessairement une des valeurs propres a α de Juste après la mesure, la fonction d onde de la particule est inconnu appareil de mesure (classique) a 1 a 2 a 3 Si la particule a pour fonction d onde avant mesure, la probabilité p α de trouver le résultat a α est On ne peut pas, avec cette seule mesure, reconstruire l état On sait seulement que p 2 n était pas nulle vérifier la compatibilité avec la version «faible» : ( normée) La fonction d onde est modifiée de manière irréversible par la mesure : «réduction du paquet d ondes»

8 Qu apprend-on dans une mesure (II)? Si on dispose de N particules préparées dans le même état inconnu, on peut en effectuant N fois la mesure de A déterminer les probabilité p α inconnu appareil a 1 p 1 =N 1 /N de mesure (classique) a 2 p 2 =N 2 /N Le chat de Schrödinger Principe de superposition : si et sont des fonctions d onde «éligibles», alors l est aussi. Electron dans l epérience des trous d Young : «passé dans le trou de gauche» ET «passé dans le trou de droite» a 3 p 3 =N 3 /N Le dispositif diabolique de Schrödinger : A partir de (au moins partiellement) l état inconnu, on peut reconstruire Après un temps bien choisi : Le rôle de la mesure La décohérence On ouvre la boîte et on regarde l état de santé du chat Une chance sur deu de le trouver en vie Y avait-il moyen de prévoir ce qui allait arriver? Non! il ne s agit pas d une probabilité classique comme dans un tirage à «pile OU face» Quand le chat meurt-il? Tant qu on n a pas fait la mesure, l état du système (chat+ atome+ cyanure) est une superposition cohérente des deu situations «vivant» ET «mort» : on pourrait en principe reconstruire ψ(0) ET quantique OU classique Pour un système macroscopique, couplé à l environnement, la cohérence quantique entre les états «vivant» et «mort» disparaît très rapidement : ET quantique décohérence OU classique Quels sont les plus gros objets sur lesquels on va pouvoir observer le «ET» quantique? interférences de grosses molécules (virus?), cohérence quantique dans des boucles de supraconducteurs (SQUID), importance pratique considérable pour le développement de futurs «ordinateurs quantiques»