Une énigme par jour au Cycle 3.

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1 Une énigme par jour au Cycle 3. (D après une idée d une circonscription du Nord et de l IREM de la Réunion). Ces «énigmes» permettent d initier une démarche fondée sur l initiative des élèves pour utiliser les connaissances acquises et montrer leur capacité à les utiliser dans des situations où elles ne sont pas appelées explicitement. Quelques propositions complémentaires (présentes sous le tableau) peuvent permettre aux enseignants de substituer une proposition à une autre s ils le souhaitent. Ce document est prévu pour permettre à chaque enseignant d anticiper (préparation matérielle, reproduction de documents) pour assurer le travail d exploration attendu. Ces problèmes se caractérisent par : Un DEFI à relever! L absence de solution immédiate pour le résoudre. La pertinence de faire travailler les enfants en petits groupes (maximum 3 élèves) La nécessité de présenter un support écrit qui permet de communiquer une solution. Un travail d oral d élèves pour commenter une solution experte (sous forme de petits exposés, de conférence face à un ensemble d élèves de l école ou des classes ayant travaillé et si possible en présence des parents...) IL N Y A PAS DE GAGNANT! Le rôle du maître : Faire partager le défi. Répondre (sans les anticiper ) aux demandes des élèves (du matériel, des instruments à prévoir). Retenir une ou deux solutions pertinentes (économie de procédure, usage pertinent des connaissances acquises, méthodologie généralisable) Une validation des solutions qui invite à une action sur le réel, ou à une réflexion sur l estimation (en justifiant un intervalle raisonnable de validité). Pour garder en mémoire les travaux des élèves, on pourra mobiliser : L écriture symbolique La schématisation La dictée à l adulte La photographie des solutions élaborées Précaution «d auteur» : de nombreuses situations proposées sont issues ou ont été adaptées de propositions de sites, d ouvrages divers (certains sont cités, d autres sources n ont pas été retrouvées ) Merci aux collègues et auteurs de leurs contributions. 1 Semaine des mathématiques Enigmes pour le cycle 3. IEN Dijon Est Mars 2012.

2 JEUDI MARDI LUNDI CE2 CM1 CM2 1 - Trouver trois nombres qui se suivent et dont la somme est A partir d une ramette de papier fermée : Quelle est l épaisseur et quel est le poids de chacune des feuilles? 2 Combien voyez-vous de carrés? 6 Tous les petits rectangles à l intérieur de ce grand rectangle sont identiques. Quel est le périmètre de chaque petit rectangle? 9 - LE COMPTE EST BON! «Cette phrase a.lettres.» Pour que cette phrase soit correcte, par quel nombre écrit en toutes lettres doit on la compléter? 10 - «Le pot magique» - Mitsumasa ANNO Flammarion (épuisé : nous mettrons à disposition un diaporama partiel mais suffisant pour engager les élèves sur le travail attendu). Dans un océan, 2 îles, chacune a 3 montagnes, dans chacune 4 villes, dans chacune 5 quartiers et 10 pots dans chaque bahut! Combien de pots dans ce monde? 3. Pierre est né le 4 février 2002 à 12h (midi). Calculer le nombre de minutes vécues par Pierre le jeudi 15 mars 2012 à 12h (midi) Parmi les cent premiers nombres, faire la liste de tous les nombres qui n ont comme seuls diviseurs que 1 et eux-mêmes. 2 Semaine des mathématiques Enigmes pour le cycle 3. IEN Dijon Est Mars 2012.

3 VENDREDI 4 - Le propriétaire de cette maison carrée veut en doubler la surface mais conserver la forme carrée. Il ne peut pas déplacer les 4 arbres situés au 4 coins de la maison. Il ne peut construire ni étage, ni sous-sol. Comment peutil faire? 8 Le désert! Ramsès a acheté des chameaux et dromadaires, tous normaux. Au total, il compte 21 bosses et 52 pattes. Il poste un soldat par chameau. De combien de soldats a-t-il besoin? 12 A partir de la copie (réduite) d un plan de l école calculer son échelle? Ou 12 bis J ai fait 10km à vélo. Combien de tours a fait chacune des roues du vélo? PROPOSITIONS COMPLEMENTAIRES : - Réaliser la frise historique des symboles mathématiques utilisés à l école (site : - Trouvez un nombre de 6 chiffres dont : Le premier et le dernier chiffre sont les mêmes. Le premier chiffre multiplié par 2 produit un nombre à 2 chiffres. Ce nombre est le deuxième et troisième chiffre. Le dernier chiffre multiplié par 3 donne un nombre à 2 chiffres. Ce nombre est le quatrième et cinquième chiffre. Le total de tous les 6 chiffres = 22 - Allo! Les numéros de téléphone en France ont dix chiffres. Ils commencent tous par le chiffre 0. Combien de numéros différents à 10 chiffres et commençant par 0 peut-on faire? 3 Semaine des mathématiques Enigmes pour le cycle 3. IEN Dijon Est Mars 2012.

4 GUIDE PEDAGOGIQUE. Enigmes CE2 (mais à proposer aussi en CM1, CM2, suivant l intérêt, la plaisir, le loisir ). 1 Trouver trois nombres qui se suivent et dont la somme est 111. L intuition de la division de (111 : 3) est à la base d une procédure experte à partir de laquelle on peut travailler sur 37 en jouant sur + ou 1. Bien entendu le tâtonnement est un accès efficace pour situer entre 100 et 200 la série des nombres cherchés et en s en rapprochant progressivement. Variable : on peut adapter le nombre de départ ( ) 2 - Combien voyez-vous de carrés? Plutôt que de multiplier les photocopies, il sera judicieux de demander aux élèves des repérages sur du papier quadrillé après avoir observé qu il s agit de carrés assemblés pour faire un carré. Le tâtonnement aléatoire est un passage obligé : le travail individuel est à recommander pour débuter cette recherche. Chaque élève est invité à faire connaître sa réponse. En petit groupe, on peut inviter chacun à montrer les carrés qu il a vus Y en a-t-il d autres? L enseignant ne doit donner aucune indication méthodologique dans ces phases : le travail débutera dans la phase de mise en commun qui consiste autant à vérifier qu aucun carré n a été désigné deux fois, qu à rechercher l exhaustivité des réponses. On peut ensuite imaginer deux procédures (l expérience montre qu on n appréhende pas la même vision dans ces deux approches) : 1 recherche dans le quadrillage 4x4 de tous les carrés de 1x1 puis 2x2 3x3 et 4x4 2 l inverse (passer de 4x4 à 1x1) Prolongement : Reprendre le dénombrement : Pour un carré de 1x1 1 Pour un carré de 2x2 5 Pour un carré de 3x3 14 Pour un carré de 4x Semaine des mathématiques Enigmes pour le cycle 3. IEN Dijon Est Mars 2012.

5 Pour un carré de 5x5 Y aurait-il une suite algorithmique? (+4, +9, + 16, ) 3 Le temps qui passe j et 12h j j j j j j j j j j et 12h 2004, 2008 et 2012 sont des années bissextiles. (7x365) + (2x366) heures = 3693 j En minutes: 3693 x 24 X 60 = minutes En secondes: 3693 x 24 x 3600 = secondes 4 - Le propriétaire de cette maison carrée veut en doubler la surface mais conserver la forme carrée. Il ne peut pas déplacer les 4 arbres situés au 4 coins de la maison. Il ne peut construire ni étage, ni sous-sol. Comment peut-il faire? C est une double contrainte à gérer : doubler la surface / conserver la forme carrée. Il ne s agit pas de travail sur les aires ou formule des aires, mais d un travail sur les surfaces (découpage, tracé, calque, pavage peuvent permettre d approcher une résolution géométrique). 5 Semaine des mathématiques Enigmes pour le cycle 3. IEN Dijon Est Mars 2012.

6 Enigmes CM1 (mais à proposer aussi en CE2, CM2, suivant l intérêt, la plaisir, le loisir ). 5 Présenter une ramette de papier (fermée) Quelle est l épaisseur et quel est le poids de chacune des feuilles? Proportionnalité nombres décimaux - mesures Matériel : seule la ramette (une par groupe il est possible d avoir des ramettes 60g, 80g chaque enseignant peut mesurer l intérêt ou la complexité de cette variable) est à disposition des élèves. Une information est nécessaire : une ramette c est toujours 500 feuilles (à noter au tableau). Ensuite, il est recommandé de ne faire que répondre aux demandes des élèves : ils peuvent demander des instruments de pesée à prévoir Roberval balance de cuisine mais leur présence ne doit pas être ostensible). Remarque : sur l emballage de certaines ramettes on peut lire explicitement les informations demandées (masse)! Dans ce cas (on peut considérer que leur lecture directe est une excellente stratégie), on demandera la vérification de ces informations pour ne pas éviter le travail mathématique en jeu. Question supplémentaire : que signifie la mention «60g» ou «80g» qui qualifie le papier? (C est une autre situation de proportionnalité : l aire de quel rectangle de papier ) 6 Tous les petits rectangles à l intérieur de ce grand rectangle sont identiques. Quel est le périmètre de chaque petit rectangle? Il ne doit y avoir ni découpage, ni mesurage : la figure peut être dessinée au tableau. 8 - Le désert! Ramsès a acheté des chameaux et dromadaires, tous normaux. Au total, il compte 21 bosses et 52 pattes. Il poste un soldat par chameau. De combien de soldats a-t-il besoin? Le CHA-MEAU a deux bosses! Heureusement les deux taxis du désert ont 4 pattes, donc ils sont 13 (52 :4) cham + droma = 13 Le tâtonnement peut permettre de rechercher l ensemble des solutions Si 6 Semaine des mathématiques Enigmes pour le cycle 3. IEN Dijon Est Mars 2012.

7 1 chameau et 12 dromadaires : 14 bosses 12 chameaux et 1 dromadaire : 25 bosses On trouvera vite une proximité. On peut inviter à inventer d autres données pour ce type de problèmes et de les vérifier! 9 - LE COMPTE EST BON «Cette phrase a..lettres». Pour que cette annonce soit exacte, par quel nombre écrit en toutes lettres doit-on la compléter? En comptant les lettres de la phrase déjà présentes, on trouve 19. On peut donc partir du postulat que le nombre de lettres de la phrase une fois le «nombre écrit» sera supérieur à 20. Le mot «vingt» ayant déjà 5 lettres, le nombre de lettres de la phrase sera supérieur à vingt-cinq. Par essais/erreurs, on finit par trouver que cela fonctionne avec «vingt-huit». «Cette phrase a vingt-huit lettres». Cette affirmation est correcte 10 «Le pot magique» - Mitsumasa ANNO Flammarion Un album est présenté aux élèves (partiellement : la fin propose les calculs qui doivent faire l objet de l énigme). Cet ouvrage étant épuisé, nous mettrons temporairement à disposition un diaporama partiel permettant de présenter l essentiel de l ouvrage pour que le travail mathématique puisse être engagé par les élèves. A priori, on peut attendre des dessins qui vont rapidement rendre invisibles les découpages Les calculs partiels du type «Dans ce monde, combien de?» pour chaque étape : le cheminement permet une réflexion par étape. Une représentation arborescente : c est le modèle le plus efficace (avec quelques difficultés graphiques dues à la multiplication des branches à chaque étape) mais inhabituel, il ne sera que rarement initié. Il est quasi impossible de le terminer, mais lorsque le modèle est engagé le sens de la multiplication (à chaque étape (n+1) fois plus) permet d anticiper la suite, impossible à représenter = [ = 10! (n! c est «factorielle 10» )] Ni l écriture, ni la dénomination ne sont à envisager : c est le nombre de pots qui est l énigme (dans une situation multiplicative et pédagogique originale)! 12 A partir de la copie (réduite) d un plan de l école calculer son échelle? Il faut proposer aux élèves une partie de plan de l école réduite à un format quelconque. Le but est de trouver l échelle exacte de ce plan (mesurage sur le terrain ). Il peut être riche de présenter différentes réductions, différentes parties de l école afin de parvenir à une modélisation de procédure. 12 bis J ai fait 10 km à vélo. Combien de tours a fait chacune des roues du vélo? La référence à plusieurs vélos (ceux qu éventuellement les élèves ou les maîtres utilisent pour se rendre à l école) impose des calculs différents mais autour de procédures semblables. PROPOSITIONS COMPLEMENTAIRES : - Réaliser la frise historique de l apparition des symboles mathématiques utilisés à l école. TICE (recherche internet) mesure résoudre des problèmes portant sur des durées (frise à construire) 7 Semaine des mathématiques Enigmes pour le cycle 3. IEN Dijon Est Mars 2012.

8 Faire le point sur les symboles en cours ( = + - x et :) rappeler quand ils ont été étudiés (CP et CE1). Remarque : le travail sur les chiffres eux-mêmes (dans leur écriture occidentale) est moins précis datation sous forme d intervalles Cela peut être l objet d une seconde recherche (ou d un travail différent d un groupe à l autre). Les TICE doivent être utilisées pour une recherche internet (utilisation d un moteur de recherche). La représentation sous forme de frise doit être l essentiel du travail. Peut-être peut-on attirer l attention des élèves sur le fait que les signes sont relativement récents, que ce sont les plus grands savants de chaque époque auxquels on doit ces inventions et que l ordre de leur apparition correspond approximativement à leur ordre d apprentissage à l école. - Trouvez un nombre de 6 chiffres dont : Le premier et le dernier chiffre sont les mêmes. Le premier chiffre multiplié par 2 produit un nombre à 2 chiffres. Ce nombre est le deuxième et troisième chiffre. Le dernier chiffre multiplié par 3 donne un nombre à 2 chiffres. Ce nombre est le quatrième et cinquième chiffre. Le total de tous les 6 chiffres = 22 Le tâtonnement avec gestion concomitante de plusieurs données et la manipulation de chiffres/nombres/calcul) est d un intérêt incontestable. Quelques repères pourront aider à baliser une procédure au moment de la preuve (il s agit de trouver UN nombre qui vérifie cette énigme et pas de prouver que c est le seul!) Proposition 2 : les premiers et derniers chiffres sont entre 5 et 9 (si on en fait la somme on obtient : ce dernier peut être exclu puisqu il reste 4 chiffres pour faire 22) Proposition 3 : le second chiffre est 1 le troisième Propositions 4 et 5 : les chiffres quatrième et cinquième peuvent être Réponse : Allo! Les numéros de téléphone en France ont dix chiffres. Ils commencent tous par le chiffre 0. Combien de numéros différents à 10 chiffres et commençant par 0 peut-on faire? Il n est pas évident que le [0] soit envisagé dans les chiffres (soit 9 possibles au lieu de 10) La représentation sous forme d arborescence peut aider au début d une représentation qui permette de conduire à l extrapolation pour parvenir à 1x10x10x10x10x10x10x10x10x10 = 1x10 9 = Semaine des mathématiques Enigmes pour le cycle 3. IEN Dijon Est Mars 2012.