Electromagnétisme des milieux continus OPTIQUE. Licence de Physique, Institut Galilée Université Paris-Nord 2000 / P. Kužel

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1 ltromagétsm ds mlu otus OPTIQU L d Phsqu, Isttut Gallé Uvrsté Pars-Nord / P. Kužl

2 Tabl ds matèrs. Itroduto... Sptr éltromagétqu... Rappls sur la théor du hamp éltromagétqu...3 A. quatos Mawll...3 B. rg du hamp éltromagétqu, vtur d Potg...5 C. Formalsm ompl, déomposto sptral ds hamps...6. Mlu sotrops, homogès, léars...9 quato d'od, ods plas moohromatqus t lurs suprpostos...9 A. Propagato das l vd...9 B. Propagato à travrs la matèr (absorbat ou o-absorbat)... C. Vtss d group...5 D. Dsprso d la vtss d group...7 Théor élémtar d la dsprso...3 A. Dsprso das ls mlu o-oduturs (résoa déltrqu)...3 Dsprso das ls matérau oduturs (modèl d Drud) Polarsato...3 Lumèr polarsé...3 Sphèr d Poaré...34 Vturs d Jos...35 Lumèr o-polarsé t partllmt polarsé Mlu homogès t stratfés...4 Théor oal: appromato d l'optqu géométrqu...4 A. Passag ds équatos Mawll à l'optqu géométrqu...4 B. Proprétés d l'oal...44 C. Proprétés ds raos...46 D. Applatos...47 Propagato au vosag d'u trfa: équatos d Frsl...5 A. quatos d Frsl...5 B. Réflo total...57 C. Réflo sur u mlu absorbat...6 Théor ds struturs multouhs...63 A. Réfltvté t trasmssvté d'u strutur av du trfas...63 B. Matrs d trasfrt...64 C. Applatos...68 Guds d'od optqus...76

3 A. Gud d'od plaar homogè...76 Attéuato, dsprso Mlu asotrops...8 Propagato ds ods plas...84 A. Cas sotrop...88 B. Cas ua...88 C. Cas ba...9 Vtss d phas, vtss d group...9. Réfrato doubl à l'trfa...9 llpsoïd ds ds...94 lémts optqus bréfrgts...96 A. Polarsurs...96 B. Lams rtardatrs d phas...99 Atvté optqu Répos o-loal...3 Causalté, rlatos Kramrs-Krog...3 Dsprso spatal, atvté optqu Mlu o-léars... fft éltro-optqu léar (d Pols)... A. Déformato d l'llpsoïd ds ds....3 B. Smétr du tsur d Pols...4 C. mpl d'applato...5 ffts optqus du sod ordr: mélags à tros ods...7 A. Mélag à tros ods...7 B. Géérato d la sod harmoqu...9 C. Shrosato d phas... D. Mélags d fréqus, géérato paramétrqu...4 ffts o-léars du trosèm ordr...4 A. fft éltro-optqu quadratqu (d Krr)...5 B. Mélags à quatr ods...5 ffts magéto-optqus...7 A A: Propagato ds raos das u mlu à smétr ldrqu...3 Raos rulars héloïdau....3 Raos mérds...34 A B: Notos d bas sur ls tsurs Chagmts d bas...36 Défto t proprétés d'u tsur...38 Défto...38

4 Comportmt d'u tsur das u hagmt d bas...38 Réduto d'u tsur par ds osdérato d smétr...39 Smétr trsèqu (as d la prmttvté déltrqu)...39 Réduto du ombr d omposats dépdats mposé par l mlu rstall.4 A C: Trasformé d Fourr...44

5 . Itroduto Sptr éltromagétqu L hamp éltromagétqu qu s propag das l'spa put êtr moohromatqu,.-à-d. aratérsé par u sul fréqu ν, pulsato ( πν) ou loguur d'od λ (λ /ν), ou polhromatqu, s'l trasport plusurs fréqus (loguurs d'od) sot dsrèts sot otuum. La dstrbuto d l'érg tr s omposats s'appll l sptr du raomt. Dfférts gamms du sptr éltromagétqu sot désgés par ds oms partulrs (ods rado, mro-ods, ods optqus, t.): l'rradato t la détto du hamp éltromagétqu das ls dfférts gamms sptrals sot souvt lés à ds prossus phsqus b dfférts. U aprçu d tout l sptr éltromagétqu utlsé ou assbl st doé sur l shéma à la pag suvat. L raomt appartat à l'trvall étrot tr 38 m t 77 m st apabl d produr ds ssatos vsulls das l'ol huma t s'appll "lumèr". Ctt régo st boré ds du ôtés par u raomt vsbl: ultravolt (ôté fabl loguur d'od) t fraroug (ôté grad loguur d'od). Ls tros gamms formt smbl l sptr optqu auqul o s'térssra partulr das l adr d ours.

6 fréqu: loguur d'od: (m) 8 5 H 6 (tso altratv) MH 4 ( m) ONDS RADIO (AM-rado) GH ( m) (FM-rado) (VHF -TV) (UHF -TV) - ( m) MICRO-ONDS (radar) TH 6 4 H 3 7 H -4-6 ( µm) -8 ( m) (lota) INFRAROUG (proh) (proh) ULTRAVIOLT (du vd) GAMM OPTIQU sptr vsbl 77 m 38 m - ( Å) RAYONS-X 3 H - -4 RAYONS-γ -6

7 Rappls sur la théor du hamp éltromagétqu A. quatos Mawll La propagato d la lumèr st rég par ls équatos Mawll (M): l hamp éltromagétqu das l'spa st dért par ls vturs d hamp éltrqu () t magétqu (H); pour tr ompt d l'trato av la matèr l ovt d'trodur u sod oupl d vturs D t B (dutos éltrqu t magétqu). Cs quatr vturs sot rlés par ls équatos Mawll (sstèm MKS): B + t D H j t D ρ B (.a) (.b) (.) (.d) où j (dsté d ourat éltrqu) t ρ (dsté d hargs éltrqus lbrs) jout l rôl ds sours du hamp éltromagétqu. Cs quatr équatos rpréstt ls los fodamtals d l'éltrté t du magétsm: lur ss dvt b lar lorsqu'lls sot réérts sous form d'tégrals: dl t H dl t D ds Q B ds B ds D ds + J (.a) (.b) (.) (.d) quato (.a) prm la lo d Farada d l'duto éltromagétqu, équato (.b) prm la lo d'ampèr gééralsé qu dért l'duto du hamp magétqu par u déplamt ds hargs; l'équato (.) st équvalt à la lo d Coulomb t l'équato (.d) postul l'abs ds moopôls magétqus. 3

8 optqu ous somms souvt amés à la stuato où la lumèr s propag à travrs l'trfa tr du mlu dfférts. Das as l st utl d réérr ls M af d'obtr ds odtos au lmts qu prmt la otuté ou la dsotuté ds omposats ormals (d ) t tagtlls (d t) ds vturs d hamps: H D B t t B t H D t j σ s (.3a) (.3b) (.3) (.3d) O rotr souvt ds problèms où la dsté surfaqu du ourat éltrqu j s t la dsté surfaqu ds hargs lbrs σ sot ulls: das s as ls équatos (.3a-d) prmt la otuté ds omposats tagtlls d t H t ds omposats ormals d D t B à l'trfa tr ls mlu t. Au M s'ajoutt ls rlatos osttutvs qu aratérst ls proprétés éltromagétqus d la matèr par l'trmédar d la prmttvté déltrqu ε t d la prméablté magétqu µ: D ε ε B µ H µ + P H + M (.4) où P st l vtur d la polarsato t M st l vtur d l'amatato; ε t µ sot la prmttvté t la prméablté du vd. L plus souvt, o s'térss optqu au matérau o-magétqus où µ µ. La prmttvté déltrqu rst alors la sul quatté qu détrm ls proprétés optqus ds matérau; as o put lassr ls matérau (ou ls phéomès à étudr) slo plusurs rtèrs: asotrop (ε st u tsur du rag ) sotrop (ε st u salar) homogè (ε ε(r)) homogè (ε dépd pas d r) absorbat (ε st ompl) o-absorbat (ε st rél) dsprsf (ε ε()) sas dsprso (ε dépd pas d ) o-léar (ε dépd ds hamps ou H) léar (ε dépd pas ds hamps) O omprds tutvmt, as qu ous l'avos évoqué plus haut, qu l hamp éltromagétqu put êtr déomposé omposats sptrals dot ls ampltuds s'érvt: (), D(), t. Das l as d'u mlu dsprsf où ε ε(), l'équato (.4) dot êtr omprs omm u rlato tr s omposats sptrals: ( ) ε( ) ( ) D. (.4bs) Ls rasos plus profods d la dsprso srot dsutés détal das ls haptrs 3 t 7 d mémor. 4

9 O trodut souvt parallèl à la prmttvté déltrqu u paramètr ou sous l om d la susptblté déltrqu χ: P ε χ (.5) Il s' sut ds équatos (.4) t (.5) qu la rlato tr ε t χ s'ért: ( + χ) ε ε. (.6) B. rg du hamp éltromagétqu, vtur d Potg L hagmt d l'érg éltromagétqu mmagasé das u rta volum V dot êtr égal au flu d l'érg qu tr das V rédut du traval qu l hamp r sur ls partuls hargés das V. U harg potull st soums à la for d Lort q ( + v B) v ( + v B) qv, l s' sut qu l traval ré par ls hamps par uté d tmps vaut q (l hamp magétqu produt pas d traval ar sa for st toujours prpdular à la vtss v). Das l as d'u dstrbuto otu ds hargs t du ourat, l traval du hamp par uté d tmps s'ért: j (érg dsspé par la halur d Joul). La lo d osrvato d l'érg éltromagétqu déoul sut d (.b): D t ( H ) j t d (.a): B t ( ) H + H. tat ompt d l'dtté ( H ) H ( ) ( H ) o obtt la lo d osrvato d l'érg éltromagétqu: U t + S j (.7) av: 5

10 U t D B + H, (.8) t t S H. (.9) Pour u mlu léar t o-dsprsf l'équato (.8) s'tègr falmt t o obtt: U ( D + H B) (.) U st la dsté d'érg t S, applé vtur d Potg, s'trprèt omm l flu d l'érg éltromagétqu. La dmso d S st Jm s t so modul rprést la pussa du raomt qu pass par u uté d surfa das la drto d S. C. Formalsm ompl, déomposto sptral ds hamps optqu ous rotros l raomt moohromatqu ou polhromatqu. L raomt moohromatqu ott qu'u sul omposat sptral t, par oséqut, ls hamps subsst u varato tmporll harmoqu: () t A ( t + α) a os (.) où st la pulsato d l'od t α st sa phas. La foto a(t) rprést smbolqumt l'u ds vturs du hamp éltromagétqu t A st l'ampltud d so osllato. Il ovt d rpréstr tt od sous form ompl. q. (.) s'ért sut: a t t t () t { A } A + A R, où α A A (.) fft, pour rdr ls aluls ultérurs plus smpls, ous allos souvt érr a t () t A (.3) à la pla d (.). C 'st pas strtmt orrt, mas l faut avor à l'sprt qu 'st la part réll d tt prsso qu ous térss t qu a u ss phsqu. Ctt rpréstato ompl prést auu problèm tat qu ls opératos mathématqus léars sot orés (ombasos léars, trasformé d Fourr t.). Cpdat, o st parfos amé à alulr ds quattés phsqus qu dépdt d'u pussa plus élvé ds hamps s as gt u plus grad attto t srot toujours sgalés das l adr d ours avat d'êtr abordés. 6

11 Comm ls M (.) t ls rlatos osttutvs (.4) sot léars hamps o put applqur l prp d suprposto à ss solutos. partulr, o put dérr l raomt polhromatqu omm ombasos léars ds omposats sptrals. Il put otr plusurs omposats sptrals dsrèts du tp (.): () t A ( t + α ) a os (.4) ou, das l as l plus gééral, l put portr u otuum d omposats sptrals aratérsés par lurs ampltuds A() t phass α(): () t A( ) os( t + α( ) ) a d. (.5) O put alors adoptr l formalsm ds fotos ompls tout omm pour l'équato (.3): a () t A( ) t d α( ), où ( ) ( ) A A. (.3bs) B tdu, 'st qu la part réll d a(t) qu a u ss phsqu. Nous pouvos alors érr ls M séparémt pour touts ls omposats sptrals d pulsato : + B H D j D ρ B (.6a) (.6b) (.6) (.6d) t, après ls avor résolus, applqur l'prsso (.3bs) pour trouvr ls solutos polhromatqus. Ls mpls ls plus fréqummt utlsés ds quattés qu dépdt d faço o-léar ds vturs d hamps sot la dsté d'érg t l vtur d Potg (fotos quadratqus vturs d hamps). Il s'agt ds quattés très mportats par O ot qu pour ls matérau o-léars ε ε(ε, H) t, par oséqut, tout l sstèm d'équatos Mawll dvt o-léar. L prp d suprposto prmé par ls rlatos (.5) t (.3bs) sra alors plus valabl. L'optqu o-léar osttu tout u dspl à part tèr t sra brèvmt trodut das l drr haptr d mémor. 7

12 qu'lls sot drtmt msurabls. Plus présémt, ls détturs d la lumèrs sot pas suffsammt rapds pour pouvor suvr ls osllatos à ds fréqus optqus ( 5 s ) t puvt msurr qu ds valurs mos sur u grad ombr d pérods d l'od. La valur mo d'u produt d du fotos harmoqus s'ért: a T T () t b() t A os( t + α) B os( t + β) AB os( α β) où T π/ st la pérod du sgal. trodusat ls ampltuds ompls A t B d faço aalogu à l'équato (.), o put érr: a () t b() t R{ AB }. Par oséqut la valur mo du vtur d Potg t d la dsté d'érg s'érvt das l formalsm ompl: S { } { D + B } R H (.7) U R H. (.8) 4 8

13 . Mlu sotrops, homogès, léars quato d'od, ods plas moohromatqus t lurs suprpostos A. Propagato das l vd Ls équatos d Mawll osttut u sér d'équatos dffértlls ouplés; l ovt do d' dédur ls équatos séparés pour hau ds vturs du hamp. Das l vd: ε ε, µ µ, ρ, j. Nous applquos l'opératur rotatol à l'équato (.a) t l'opératur / t à (.b); omparat ls du équatos résultats ous obtos: ( ) + ε µ, (.) t t, par oséqut, l'équato d'od pour l hamp éltrqu s'ért:. (.a) t 9

14 D faço smlar o trouv pour l hamp magétqu: H H, (.b) t où. ε µ Cs équatos sot vérfés par mpl par ls ods moohromatqus plas: ( t r ), (.3a) ( t r ) H H, (.3b) dot la pulsato t l vtur d'od sot rlés par L frot d l'od st prpdular à t l s dépla l log d av la vtss. L'applato ds M à (.3a,b) do la odto d trasvrsalté ds hamps du raomt t u rlato tr ls ampltuds: H H (.4a) µ ε η, B µ ε (.4b) où η 377 Ω st applé l'mpéda du vd. Il s' sut qu H (ou B ) st omplètmt détrmé par t qu suls suffst pour aratérsr l'état du hamp: H η ( s ), B ( s ) (.5) où s st l vtur utar parallèl à. Ls solutos dépdats ds équatos d'od (.a,b) sot applés ls mods du raomt éltromagétqu 3. lls dovt formr u bas omplèt das l'spa d 3 Ls ods plas rpréstt pas l sul sstèm possbl d solutos ds équatos (.a,b); 'st u sstèm d mods souvt utlsé par qu lurs ombasos léars orrspodt à la trasformé d

15 touts ls solutos: 'mport qull soluto ds équatos (.a,b) put êtr déomposés u suprposto léar ds fotos du tp (.3a,b): H ( t r ) ( t r) ( ) ( t r ) ( t r) H ( ), d (.6a), d. (.6b) Ls ampltuds t H ot do la sgfato ds omposats sptrals (omposats d Fourr) d'u état partulr du raomt. Lorsqu, par mpl, ous avos u mpulso du raomt éltromagétqu qu s propag suvat l'a ( ) o put la déomposr utlsat la trasformé d Fourr à u dmso: H ( t ) ( t, ) ( ) d ( t ) ( t ) ( ), H d (.7a) (.7b) Formllmt, tt mpulso put êtr aratérsé par u pulsato tral, u vtur d'od tral / t u foto (t) dérvat so vlopp: ( t) ( t) ( ) t( ) ( t, ) ( t ) ( ) ( ) d ( t ) ( )( t ) ( t ) ( ) ( ), d t (.8) Cla sgf qu l'vlopp auss b qu la phas d l'mpulso s propagt av la vtss d la lumèr. D faço gééral, ous pouvos toujours hrhr ls solutos ds équatos d'od sous form d'ods plas t la trasformé d Fourr ous prmttra d rtrouvr touts ls forms d solutos. Rvos au M: lorsqu ous hrhos ls solutos ds M sous form ds ods plas, ous pouvos drtmt rmplar l'opératur par, par t / t par. As ous rtrouvos ls M sous form: + B H D j D ρ B (.9a) (.9b) (.9) (.9d) Fourr (vor prsso (.7a,b)). Ls ods plas sot llmtés das l'spa; das la phsqu ds lasrs o utls souvt u autr sstèm d mods (fasau Gausss) qu sot aratérsés par u damètr t qu ovt mu pour la dsrptos ds fasau lasr. D'autrs sstèms d solutos sot or utlsés par mpl lorsqu ds odtos au lmts spéfqus sot mposés (fbrs optqus).

16 Ls équatos (.9,d) sgft qu' l'abs d hargs lbrs l raomt éltromagétqu (vturs D t B) st toujours trasvrs. B. Propagato à travrs la matèr (absorbat ou o-absorbat) Nous allos osdérr u mlu déltrqu (ε ε ) t o magétqu (µ µ ). L ourat ds hargs lbrs st lé au hamp éltrqu t dot satsfar la lo d Ohm: j σ, (.) où σ st la odutvté du mlu. L'équato (.6b) pour la omposat sptral put sut êtr réért sous la form: H σ ε. (.) Il st évdt qu ls ffts du ourat ds hargs lbrs puvt êtr smplmt lus das u paramètr ompl εˆ ε σ qu tdra ompt auss b ds ffts déltrqus (hargs lés) qu ds ffts ohmqus (hargs lbrs) du matérau. amos matat l'équato (.): ( ε ) ρ. O put la réérr sous form: ( ε ) ( ε σ ) + σ ( ε) j ( ) ρ ˆ. Compt tu d l'équato d otuté (osrvato ds hargs éltrqus) o trouv: j ρ ( εˆ ). Nous pouvos do, sas prdr l aratèr gééral ds solutos, omttr la dsté d ourat das la sod M t la dsté ds hargs lbrs das la trosèm M, postulat qu tous ls ffts lés au hargs lbrs sot dérts par u prmttvté ompl ε (l hapau sra oms pour smplfr la otato). Soulgos f qu tratmt 'st valabl qu pour ds omposats sptrals (mods harmoqus: t H, ) où ous pouvos rmplar la dérvé tmporll / t par u multplato d. suvat la mêm proédur qu pour l raomt das l vd, o obtt ls

17 équatos d'od: H εµ, H εµ (.) t t ou or après avor trodut ls solutos sous form ds ods plas: ( εµ ). (.3) H O put défr l'd d réfrato ompl N κ: N εµ, (.4) la rlato d dsprso s'ért sut: N, (.5) av la part réll t magar, κ. O trodut la prmttvté rlatv ε r (ou auss sous l om d la ostat déltrqu): ε ε ε r, r r ε r ε ε ; ompt tu d (.4) ls rlatos tr l'd d réfrato t la ostat déltrqu s'érvt: ε r κ, ε κ, ( ε r + ε r + ε r ), κ ( ε r + ε r ε r ) r. (.6) La part réll ' t magar '' du vtur d'od sot ds vturs qu puvt avor ds drtos dfférts. lls dépdt ds odtos au lmts: la drto d la part réll st prpdular à la surfa d la phas ostat t ll d la part magar st prpdular à la surfa d l'ampltud ostat d l'od. Ls odtos au lmts puvt êtr établs par mpl au bord d'u éhatllo absorbat. O dsutra problèm plus détal lors du tratmt d la propagato à travrs ls trfas. Admttos tutvmt pour l'stat qu das l as l plus ourat où l'od 3

18 éltromagétqu s propag das l'éhatllo prpdularmt à la surfa d'tré, ' t '' srot parallèls. O démotr alors qu ls hamps sot trasvrss: H. (.7a) Das l as gééral, o put défr l'mpéda du mlu η t o trouv à partr ds M: H H µ ε η, ( η η N ) (.7b) η ( s ), B N ( s ) (.7) O trouv alors qu la drto t l modul d H sot omplètmt détrmés par ls proprétés du mlu (par l'trmédar d ε ou η) t par ls vturs t. Matat ous allos alulr l vtur d Potg,.-à-d. l'tsté du raomt, qu s propag das l mlu: S { } H R H ; or à partr d (.9a) ou (.7): H µ ( ). O trouv: S µ µ R R { ( )} R{ ( ) ( ) } µ r r {( )( ) } µ #"! partulr, pour u propagato suvat : S η κ α ( µ ) (.8) où l offt d'absorpto α st déf par la rlato suvat (/α a l ss d la profodur d péétrato d l'od éltromagétqu): 4

19 α κ ( ) 4πκ λ. (.9) L'érg s propag suvat la drto d la part réll du vtur d'od t, pour u matérau absorbat, ll déroît potllmt av so épassur. C. Vtss d group Imagos u mpulso lasr (t, ) qu s propag suvat l'a das u mlu o-absorbat. S la varato d l'ampltud d l'mpulso st suffsammt lt, qu sgf qu sa largur sptral st ttmt férur à sa fréqu mo, ous parlos d'u od quas-moohromatqu. L mlu st aratérsé par la rlato d dsprso (.5); pour la part réll o a: ( ). (.) Comm l'd d réfrato put dépdr d, va auss dépdr d ; t v-vrsa, put dépdr d d faço ass omplqué. Notr mpulso st doé par u ombaso léar ds mods proprs: ( ) ( t ) ( ) ( t), d, (.) ll st aratérsé par sa fréqu tral (mo) t l vtur d'od orrspodat. Tpqumt, () a u mamum à t possèd ds valurs o-ulls das u vosag étrot d ( <<, od quas-moohromatqu). S ous oassos pas atmt la varato d foto d, ous pouvos dévloppr () sér d Talor: () + ( ) + ( ) $ d d d d (.) Pour smplfr l'értur ous allos désgr l offt ( d d) par v g t l offt ( d d ) par β. Rmarquos qu v g a la dmso d'u vtss t ous l'appllros vtss d group; o démotrra qu 'st u paramètr très mportat pour dérr la propagato d l'mpulso. L'équato (.) s'ért sut 4 : 4 Notos qu l'mpulso (t, ) aurat pu êtr auss b déomposé omposats sptrals d ; o obtdrat alors u prsso smlar à (.): 5

20 () + v ( ) + β ( ) $ g (.3) Das u prmr tmps ous supposos qu l sptr d l'mpulso st suffsammt étrot t qu la varato d () st lt af d pouvor églgr ls trms o-léars du dévloppmt (.3): ( ) ( ) t v ( ) t( ) ( t) ( t, ) ( ) d () t g ( v gt)( ) vt # %"%! #%"%! v gt ( A) ( B) d ( ) ( ) ( t, ) ( v t) ( ) g (.4) où l trm (A) dért l'osllato du hamp av la fréqu tral: l frot d'od d tt osllato s dépla av la vtss d phas v, (.5) ( ) t l trm (B) désg l'vlopp d l'mpulso qu s déform pas lors d la propagato t qu s dépla av la vtss d group d v g. (.6) d d + d Ctt drèr formul a été dérvé à partr d la rlato d dsprso (.): ( ) / d/d t ( ) ( ) ( t, ) ( ) d (.bs) av u dévloppmt lmté d () ( ) ( ) ( ) + d d + ( d d ( ) $, (.bs) ) qu, ompt tu d (.3), s'érrat: - 3 ( ) + v ( ) β ( v ( ) $ g g ) (.3bs) 6

21 d d( ) ( ) d + d d d d v g + v g d v g. + d d Il s' sut d l'équato (.8) t (.4) qu ( v g ) S( v t) t g t do qu l'érg d l'mpulso s propag égalmt av la vtss d group v g. Pour ls régos d la dsprso ormal, d/d > t la vtss d group st férur à la vtss d phas (à omparr ls prssos (.5) t (.6)). Das ls régos d la dsprso aomal d/d st égatf: la vtss d group st alors supérur à la vtss d phas. La vtss d group put mêm parfos dépassr : la arrv das l doma d la dsprso aomal s la varato d () st très abrupt. C mplqu qu la varato d () st auss très rapd, qu otr appromato léar 'st pas valabl, t qu'l faut tr ompt ds trms d'ordr plus élvé du dévloppmt (.3). O vrra par la sut qu s trms mèt à u étalmt rapd d l'mpulso das l tmps (ou das l'spa). D'autr part, ls régos sptrals d grad dsprso aomal sot aompagés d'u grad arossmt d l'absorpto (vor l modèl d Lort pour la dsprso d'u déltrqu) t l'mpulso optqu s trouv très fortmt attéué à l'éhll d qulqus fratos d λ. O put alors motrr qu la théor d la rlatvté 'st pas otrdt. D. Dsprso d la vtss d group Nous avos avaé qu l trm quadratqu du dévloppmt lmté (.3) mè à l'étalmt d'u mpulso das l tmps. Ct fft st ou sous l om d la dsprso d la vtss d group t dvt mportat surtout pour ds mpulsos ultra-brèvs. C st dû au fat qu s mpulsos, dot la duré st plus brèv qu'u frato d posod, ot u sptr ass larg (tpqumt / >.) t l trm o-léar β ( ) put produr u fft obsrvabl après l passag par u matérau dsprsf suffsammt épas. Il st évdt qu la dsprso d la vtss d group dot êtr sogusmt évalué par mpl das ls résoaturs ds lasrs fmtosods où ls mpulsos dovt parourr tous ls élémts dsprsfs u grad ombr d fos t rstr toujours ultra-brèvs ou das ls fbrs optqus où l'formato st odé das ds tras d'mpulsos optqus qu dovt parourr ds mllrs d lomètrs t pourtat rstr "lsbls": la dsprso d la vtss d group lmt as la ad ds mpulsos. L'objtf du alul suvat st 7

22 d'évalur l'étalmt d'u mpulso lé à la dsprso d la vtss d group. a) Tratmt tutf L offt du sod ordr du dévloppmt lmté (.bs) put êtr rlé à la dsprso d la vtss d group dv g /d d faço suvat: d d d d d d d d v g v g dv g d (.7) L'prsso (.bs) s'ért alors: g ( ) + ( ) ( ) $ v g v g dv d (.8) omparat l'prsso (.8) av (.3bs), o obtt: dv g β v g. d Cosdéros u mpulso dot la largur sptral st égal à ; la dsprso d la vtss d group o ull a pour oséqu qu ls omposats sptrals provat ds du trémtés du sptr s propagt av ds vtsss dfférts. Ctt dffér st égal à v g dv g d L'stmato d l'étalmt d l'mpulso après u parours d'u loguur L put alors s'érr: L τ v g v g L v g dv g d d L d 4 l v g dv g d L τ, (.9) où ous avos supposé qu la loguur τ d l'mpulso st lé à sa largur sptral par la rlato τ 4 l (tt rlato mplqu qu l'mpulso provt d'u sour d lumèr ohért t qu sa form put êtr approhé par u gauss). O put évalur l trm d /d : d d d + λ, d d dλ 8

23 où ous avos utlsé la rlato d/ dλ/λ; o obtt sut: d d d λ dλ d d λ d d λ λ dλ dλ d. dλ L'équato (.9) s'ért sut smplmt: λ d τ L λ. (.3) dλ b) Tratmt rgouru Nous partos d la déomposto d l'mpulso omposats sptrals: ( t( ) ) ( t, ) ( ) ( t) ( ) d ( ) ( t v g ) β 3 (v g ) ( ) d Nous défssos: τ t v g, ξ β (v g ), 3 pour obtr ( t) ( t ) ( + ) τ ξ, d. La trasformé d Fourr d la ovoluto d du fotos st égal au produt ds du trasformés d Fourr rsptvs (vor A C): FT ( f g) π FT( f ) FT( g). O pos das otr as: FT ( f ) ( + ) f ( τ) ( t v ) ( g), (vor prssos (.8) t (.4)); ξ FT. g Calul d g: 9

24 τ τ 4ξ ξ d ξ ξ π d ξ ( +τ ξ) 4ξ ξ( +τ (ξ)) d τ 4ξ τ d α π où ous avos utlsé l'dtté d valabl s R{α}. O obtt alors: α ( ) ( τ τ) t π 4ξ ( t, ) ( τ ) dτ ; π ξ o rmarqu qu l'vlopp d l'mpulso dépd o sulmt d τ t v mas auss pltmt d par l'trmédar d ξ β (v g ) ; rd ompt du hagmt d so profl. Af d pouvor mr l alul jusqu'au bout ous allos supposr u form spéfqu d l'mpulso: 3 g αt ( t, ) A ; l'mpulso péètr das l matérau dsprsf das l pla, sa loguur (dsta tmporll tr ls momts où l'tsté stataé st égal à la moté d l'tsté mamal) st égal à l τ. α Il s'agt d alulr la loguur d l'mpulso τ(l) après so parours sur la dsta L das l matérau. ατ ( τ τ) 4ξ τ τ 4ξ d τ τ α+ τ 4ξ 4ξ ατ ατ 4ξα 4 πξ (4ξα) + (4ξα) + 4ξα + τ α+ + ττ 4ξ ξ τ dτ τ ( 4ξα + ) 4ξ 4ξα + 4ξ 4ξ( 4ξα + ) dτ ( ) ( ) τ 4πξ 4ξα +

25 ατ ( + δ) ( ) ( ) ( t δ +, ) β t A, δ 4ξα α. (.3) 3 δ v g La loguur d l'mpulso à la sort du mlu dsprsf ( L) st sut égal à: 4l ( ) L dv g τ L τ + δ τ +. (.3) v τ d g Lorsqu la dsta L st très grad, o put églgr la loguur tal d l'mpulso t érr: τ ( L) 4l v g dv g d L τ ; (.33) tt drèr prsso st alors dtqu à l'équato (.9). L'prsso (.3) prmt d'évalur la varato d la phas Φ(, t) t otammt d la fréqu (, t) l log d l'mpulso: (, t) Φ t ατ δ + t + δ ( t v ) α + δ g δ (.34) La fréqu "loal" var d faço léar autour d la fréqu mo ; t fft (applé "hrp" das la lttératur aglo-sao) st lé au fat qu ls dfférts omposats sptrals s propagt av ds vtsss (d group) dfférts. Das l as d'u dsprso d group postv ( d d > ) la part arrèr d l'mpulso aura u plus grad fréqu qu la part avat. La propagato d'u mpulso ultra-brèv das l vd t das ds mlu dsprsfs st llustré sur la pag suvat. S la loguur d'od tral d tt mpulso état vos d 8 m (loguur d'od habtull ds mpulsos émss par ds lasrs fmtosods T:Saphr) la loguur d l'mpulso τ orrspodat au ombr d ls sur la fgur srat d'vro 4 s.

26 3 (A) (B) (C) Propagato d'u mpulso ultra-brèv (A) das l vd, (B) das u mlu sas dsprso d la vtss d group, (C) das u mlu av u dsprso d la vtss d group o ull.

27 Théor élémtar d la dsprso Lorsqu'u od éltromagétqu s propag das u mlu ll tragt av ls partuls hargés du mlu. Ls hargs sot aélérés par ls fors du hamp éltrqu t magétqu du raomt. Comm l raomt possèd u aratèr osllator, l mouvmt ds hargs sra égalmt osllator: as ls partuls hargés dvt ls sours d'u raomt éltromagétqu sodar. L hamp total à l'térur du matérau st sut doé par la suprposto d l'od sour t ds ods émss par ls hargs. L'fft d la somm d touts ls otrbutos mrosopqus put êtr prs ompt par u smbl d paramètrs marosopqus: ostats optqus tlls qu l'd d réfrato, l'd d'absorpto κ t., qu ous avos troduts au ours ds paragraphs préédts. L but d tt sto st d détrmr d qull maèr s paramètrs dépdt d la fréqu das ls mlu oduturs t o-oduturs,.-à-d. o étudra ls orgs mrosopqus d la dsprso. A. Dsprso das ls mlu o-oduturs (résoa déltrqu) Das u prmr tmps o s'térssra au matérau solats qu possèdt pas d hargs lbrs. L'applato d'u hamp éltrqu à u tl mlu aura pour oséqu u déplamt ds hargs lés (hargs d polarsato), ls hargs postvs état déplaés das la drto du hamp éltrqu, ls hargs égatvs das la drto opposé. C déplamt d hargs s tradut par l'apparto ds momts dpolars p au vau atomqu ou moléular. O put osdérr par mpl l déplamt r d'u éltro par rapport au oau auqul l st élastqumt lé: p r, où st la harg élémtar. U tl éltro dot obér à l'équato du mouvmt doé par la lo d Nwto: m & r mγr& r + f. (.35) L'éltro st rtu autour d sa posto d'équlbr par u for d rappl harmoqu r; l trm m γr& rd ompt ds ffts dsspatfs (prts d'érg lés à l'rradato du hamp éltromagétqu t à l'trato av ls atoms voss), m st la mass d l'éltro (ls oau qu sot bauoup plus lourds puvt êtr osdérés statqus). f st la for d Lort ré par l hamp éltromagétqu applqué: 3

28 f ( + v B) ( + ( s ) ) v (.36) où ous avos utlsé la rlato (.5) t l fat qu, das l'appromato o-rlatvst, la vtss d l'éltro v st ttmt férur à la vtss d la lumèr: la for ré par l hamp magétqu st alors églgabl dvat ll lé au hamp éltrqu. La polarsato du mlu st doé par la somm d tous ls momts dpolars élémtars: P Nr, (.37) où N st l ombr d dpôls élémtars par uté d volum. L'équato (.35) dvt sut: N P& + γp& + P lo. (.38) m m L hamp lo rprést l hamp éltrqu loal.-à-d. l hamp rsst par l dpôl qu st doé par la suprposto du hamp applqué (od dt) t du hamp d polarsato du mlu qu tour l dpôl. O motr das l ours stadard d l'éltrté t magétsm qu P lo +. (.39) 3ε O trouv après avor substtué (.39) das (.38): P& N + γp& + P. (.4) m Il s'agt do d'u équato d l'osllatur harmoqu amort t régm foré. Sa fréqu d résoa st doé par: m N 3mε, (.4) (l'fft du hamp loal s résum do rormalsato d la fréqu propr d l'osllatur) t ll s stu tpqumt das la gamm sptral optqu ou ultravoltt. L'osllatur st soums à u hamp éltrqu térur qu put êtr déomposé omposats sptrals t (ods harmoqus). O trouv falmt pour la omposat : 4

29 P N m γ (.4) Compt tu ds rlatos (.4) la prmttvté déltrqu st égal à: N ε ε + (.43) mε + γ Avat d'abordr la dsusso d tt prsso o dqura d'autrs mpls d sstèms qu mèt au résultats aalogus. O put osdérr par mpl u déplamt rlatf (vbratos) ds aos t atos das ds rstau oqus: la varabl r d l'équato (.35) aura l ss d la dsta tr ls du os: r r + r ; m sra la mass rédut: m m + m. La fréqu d résoa qu st proportoll à m / sra alors plus + fabl qu la fréqu propr d l'éltro: tpqumt, l doma fraroug st oré. La dsusso 'st pas rstrt au rstau oqus, mêm das ds rstau solats ou smoduturs à lasos ovalts l st ds vbratos ds groups d'atoms (dts vbratos polars) qu sot aompagés ds réarragmts d la dsté d hargs (t do otés à u momt dpolar) t qu puvt êtr dérts par ds équatos du tp (.4). Pour olur, l st du sorts d otrbutos à la prmttvté déltrqu du tp (.43) das ls matérau o-oduturs: () otrbuto éltroqu t () otrbuto lé à ds vbrato ds oau atomqus ou du résau rstall. Ls du otrbutos sot aratérsés par u fréqu d résoa (doma vsbl ou ultravolt pour ls éltros t fraroug pour ls oau) t par u amortssmt γ. L'équato (.43) prédt l'allur d la dsprso d la prmttvté d'u matérau oodutur. O put alors alulr la varato d l'd d réfrato t d l'd d'absorpto κ foto d la fréqu [l'équato (.4) t (.6)] t dérr ls gamms sptrals d traspar t ds bads d'absorpto ds matérau. Af d'étudr ls ourbs d dsprso détal o réért la ostat déltrqu doé par l'équato (.43) sous du form dfférts équvalts: ε ε ( ε ) stat +, (.44a) + γ r L r +, (.44b) + γ 5

30 où N ε stat + st la valur statqu d la ostat déltrqu ( ) t mε L ε stat. O étudra l as du fabl amortssmt,.-à-d. >> γ. La part magar d la ostat déltrqu st alors prsqu toujours églgabl ou pratqumt ull sauf das u vosag étrot d (o put églgr ε'' r à l'térur d l'trvall ± γ). O obtt alors 4 trvalls sptrau, hau aratérsé par u omportmt optqu dffért (vor égalmt fgurs -dssous t pag suvat). Pour ls trvalls (), (3) t (4) l'prsso (.44b) put êtr approhé par: L ε r +, ε r. (.44) O trouv alors: () γ: ε' r () ε stat, ε' r () augmt av la fréqu; ε'' r st églgabl. ε r, κ. O s trouv das l doma d la dsprso ormal,.-à-d. () st u foto rossat. La polarsato st phas av l hamp éltrqu t possèd u fabl ampltud. () γ + γ: Auss b la part réll qu la part magar d ε r sot o ulls: ε'' r prést u p, alors qu ε' r déroît rapdmt foto d la fréqu. O s trouv das l doma d la dsprso aomal: déroît t κ augmt av. L'ampltud d la polarsato augmt osdérablmt au vosag d la résoa: l'trato tr l hamp t la matèr st fort, l'érg éltromagétqu st absorbé par l mlu. La phas d la polarsato var rapdmt d à π passat par π/ à la 5 Amortssmt fabl Costat déltrqu ε' r ε'' r L, κ L 6

31 résoa. (3) + γ L : ε'' r st églgabl t ε' r st égatf t s'approh progrssvmt d. Ls équatos (.6) dot alors, κ ε r. O vrra plus tard qu 'st l doma sptral où l matérau st aratérsé par u très grad réfltvté. La polarsato st opposto d phas av l hamp éltrqu t so ampltud déroît lorsqu'o s'approh d L. ε' r ( L ), par oséqut, la trosèm M,.-à-d. ( ε ), qu postul qu l hamp éltromagétqu st trasvrs, admt pour tt fréqu partulèr u omposat logtudal o ull du hamp éltrqu L. C hamp éltrqu st lé à la polarsato du mlu: L ( ) P( ) L ε L, alors qu ls autrs vturs du hamp sot uls: D B H. Il s'agt do pas d'u hamp éltromagétqu qu pourrat s propagr lbrmt das l'spa mas d'u hamp éltrqu qu sut ls osllatos d la polarsato logtudal du mlu: o parl alors d'u fréqu d résoa logtudal L. (4) L : ε'' r st églgabl t ε' r st postf t rossat. O rtrouv l doma d la dsprso ormal av κ ; () roît st s'approh d. La polarsato st opposto d phas, ll 'arrv plus à suvr ls osllatos trop rapds du hamp éltromagétqu t so ampltud td progrssvmt vrs éro. D faço gééral, u méasm à damqu lt put plus otrbur à la polarsato à ds fréqus plus élvés: la matèr dvt alors omplètmt traspart t s'approh du vd au-dssus d touts ls résoas. A ttr d omparaso o motr l omportmt d la ostat déltrqu t ds ds d réfrato t d'absorpto pour u amortssmt plus grad (γ < ) vor pag suvat. Das u matérau rél l st plusurs résoas lés auss b au vbratos du résau rstall (basss fréqus) qu'au mouvmts éltroqus (hauts fréqus). La ourb d dsprso motr alors u sut d résoas smlars à ll qu l'o vt d'étudr. O ért: f j ε ε + j j + γ, j où j t γ j sot la fréqu t l'amortssmt d la j-èm résoa t l offt f j s'appll for d l'osllatur. S l matérau possèd u résoa das l doma vsbl, l dvt opaqu (s la bad d'absorpto ouvr tout la gamm) ou oloré (s u part du sptr vsbl st trasms). Ls matérau trasparts omm ds vrrs solats possèdt 7

32 , κ Amortssmt fort Costat déltrqu L ε' r ε'' r L ds résoas das l'fraroug t das l'ultravolt mas o pas das l vsbl. B. Dsprso das ls matérau oduturs (modèl d Drud) Ls matérau oduturs (métau) sot aratérsés par l'st ds éltros lbrs qu sot pas loalsés près ds oau. Alors qu ls éltros lés stt toujours la otrbuto ds éltros lbrs st largmt prédomat t détrm l'allur d la ostat déltrqu t ls proprétés optqus ds métau. Ls éltros lbr sot aélérés par u hamp éltromagétqu t frés par u frottmt flud; par otr, ls sot soums à auu for d rappl. L'équato (.35) dvt alors: mr& mγr&. (.45) Pour ls éltros lbrs o préfèr d rasor trms du ourat éltrqu: j Nv Nr&. (.46) où N st l ombr d'éltros par uté d volum. L'équato (.45) s'ért sut: dj N + γ j dt m. (.47) La soluto pour ls omposats harmoqus t prd la form suvat: 8

33 N j m. γ + Ctt rlato prmt d défr la odutvté éltrqu ompl: σ N m γ + σ, (.48) + γ ou, tat ompt d l'équval tr la prmttvté t la odutvté: ε ε σ, trodut début du paragraph.b 5, o prm la dsprso d la prmttvté du au hargs lbrs: N ε ε + mε ε γ p + γ (.49) Ctt prsso st tout à fat aalogu à l'prsso (.43) av : tt drèr odto rd ompt d l'abs d la for d rappl pour ls éltros lbrs. O a trodut la fréqu d plasma p qu st aalogu à la fréqu L trodut das l'prsso (.44b). Il s'agt d la fréqu résoat ds osllatos logtudals ds éltros lbrs: sa valur st rtqu pour la détrmato du omportmt optqu d'u odutur, ll s stu das l doma ultravolt pour la plupart ds métau. D'habtud la odto γ << p st très b vérfé (γ état tpqumt d l'ordr d 3 s t do das.5 Modl d Drud κ, κ.5 p 5 Not qu l trm ε a pour org l'abs ds hargs d polarsato qu'o a postulé au début d paragraph. 9

34 l doma d l'fraroug lota); o dstgu alors tros domas sptrau smlars au trvalls 4 d la dsprso rlé au hargs d polarsato (vor paragraph préédt): [ κ ] [ κ] p γ p εr + γ + γ () < γ: ε' r t ε'' r sot très grads l'u égatf, l'autr postf; ε'' r td très rapdmt vrs éro. Par oséqut t κ sot grads, κ > t déroît rapdmt. (3) γ << < p : ε'' r st églgabl, ε' r st égatf. st alors vos d éro, κ rst mportat mas déroît av la fréqu. O s trouv das la régo d la grad réfltvté (élat métallqu). (4) > p : ε'' r st églgabl, ε' r hag d sg à p t dvt postf. La oséqu drt st u arossmt d st u dmuto d κ au vosag d la fréqu d plasma. Ls hargs 'arrvt plus à suvr ls osllatos rapds du hamp éltromagétqu t l matérau odutur dvt traspart. 3

35 3. Polarsato Jusqu'à matat ous ous somms pas oupés d la polarsato d la lumèr,.-à-d. d la drto du vtur du hamp éltrqu [la drto du hamp magétqu st sut détrmé sas ambguïté, vor (.7a,b)]. Or la majorté ds applatos optqus or la lumèr polarsé. Par mpl, la propagato d la lumèr das ls mlu asotrops dépd d faço rual d sa polarsato. L'état d polarsato du raomt st par ovto dért par l vtur du hamp éltrqu: la plupart ds matérau optqus st o-magétqu t l'trato tr la lumèr t la matèr or surtout l hamp éltrqu. Avat d'étudr s tratos t ls ffts phsqus qu dépdt l ovt d oaîtr ls aratérstqus ds ods polarsés. Lumèr polarsé Cosdéros ls ods moohromatqus plas qu s propagt suvat l'a : { } ( t) ( t) R A, ; (3.) l vtur du hamp éltrqu dot êtr omprs das l pla. Ls omposats t du 3

36 hamp sot dépdats; la somm vtorll d s du vturs dot êtr alulé. Das ds as spéau ls du omposats puvt osllr phas ou opposto d phas t la somm vtorll odura à la polarsato léar; mas das l as gééral u polarsato llptqu st obtu. Ls équatos géérals pour t s'érvt: A A os os ( t + δ ) ( t + δ ) (3.) Il s' sut qu A A os δ s δ A A os δ s δ os( t + δ os( t + δ ) os δ ) s δ os( t + δ os( t + δ ) os δ ) s δ t do A A osδ s δ A A osδ s δ s( t )s( δ os( t )s( δ δ δ ) ). O élèv ls du équatos au arré t o ls somm: A os δ os δ + s δ s δ s ( δ δ ); A A A tt prsso s smplf t prd la form suvat: A A A os δ + A s δ, (3.3) av δ δ δ. L'équato (3.3) dért u llps, la polarsato llptqu orrspod do à l'état gééral d la lumèr polarsé. Ls as prpau d l'llps formt u sstèm d'as touré d'u agl ψ par rapport au sstèm : 3

37 a b osψ + s ψ + s ψ osψ a a os ψ s ψ + b b s ψ ; os ψ O trodut tt trasformato das (3.3); la ouvll équato s dagoals quad l trm av a b fatur s'aul,.-à-d.: s os s os os s ψ ψ ψ ψ ψ ψ osδ ab + ; A A A A tt équato prmt d détrmr l'agl ψ: A A osδ tg ψ. (3.4) A A L'équato (3.3) s'ért sut: a a + b b (3.5) Ls paramètrs a t b sot ls ampltuds ds ouvau mods proprs: a b a os ± b s ( t ) ( t ) (3.6) t o put motrr qu'lls s'prmt: a b A A os s ψ + A ψ + A s ψ + A A s ψ osψ osδ. (3.7) os ψ A A s ψ os ψ os δ Ls rlatos tr ls omposats, t a, b d la polarsato sot llustrés sur la fgur -otr. La lumèr a u polarsato léar s l déplamt d la pot du vtur st b b A ψ a A a 33

38 rtlg: tt lg form u agl ψ av la drto du sstèm d'as du laborator. Cla s produt lorsqu δ δ δ mπ ( m, ), das as l'équato (3.3) dégéèr vrs l'équato d'u drot, l rapport ds omposats du hamp éltrqu st ostat ( ) m A A t l paramètr b (l'a ourt d l'llps) s'aul. S la pot d dért u rl o parl d la polarsato rular; o obtt t état d polarsato lorsqu π δ δ δ ± t A A. La révoluto d la polarsato st dt lévogr (gauh) s δ π/,.-à-d. sδ < : das as la pot du vtur tour otr l ss d'u motr lorsqu'o rgard l'od qu s'approh d' fa; das l as otrar l s'agt d'u polarsato dtrogr (drot) 6. Das l as gééral o obtt la polarsato llptqu: la pot du vtur dért u llps. O trodut u agl χ dot la tagt st égal à l'llptté d l'llps d polarsato: b tg χ ± (3.8) a tgχ st prs postf s la rotato d st lévogr t égatf das l as otrar. Sphèr d Poaré Nous aratérsos haqu état d polarsato d la lumèr polarsé par u llps dot l grad a st rpéré par l'agl ψ ( ψ < π; vor l'prsso (3.4)) t dot l'aplatssmt st doé par la tagt d l'agl χ [π/4 χ π/4; vor l'prsso (3.8)]; l ss d parours d l'llps (polarsato dtrogr ou lévogr) état doé par l sg d χ. Il st plusurs rpréstatos graphqus ds états d polarsato: rpréstato das u 6 Das la lttératur o put malhurusmt rtrouvr ls du ovtos possbls pour la déomato d la polarsato gauh t drot: l st do éssar d spéfr à haqu fos la ovto utlsé avat d'abordr l problèm d l'état d polarsato. 34

39 pla ompl, rpréstato sur la surfa d'u sphèr Nous allos osdérr tt drèr rpréstato qu s'appll sphèr d Poaré (vor fgur -otr). L rao d la sphèr st égal à l'tsté du raomt (a + b ); l'état d polarsato (ψ, χ) st rprésté sur la surfa d la sphèr par u pot d logtud ψ t d χ lattud χ. As l'équatur st l lu ds ψ états d la lumèr polarsé rtlgmt: la polarsato horotal (ψ ) évolu d faço otu vrs la polarsato vrtal (ψ π/) lorsqu'o s dépla l log l'équatur. L pôl ord (rsp. sud) rprést la lumèr rular lévogr (rsp. dtrogr). L passag d la lumèr à travrs ls élémts optqus st sut dért par u rotato d'u pot rpréstat la polarsato atull sur la sphèr t sra dsuté plus tard à la sut d l'troduto ds mlu asotrops. Vturs d Jos L formalsm d vturs d Jos st u autr mo d la dsrpto d l'état d polarsato ds ods plas polarsés. U od pla st das tt rpréstato prmé trms ds ampltuds ompls (omparr av (3.) t (3.)) qu défsst l vtur d Jos: δ A J δ. (3.9) A Il s'agt d'u vtur ompl das u spa abstrat qu 'st pas drtmt rlé à otr spa rél. Pour obtr par mpl la omposat du hamp éltrqu l st éssar d'fftur l'opérato () { t R J t }. S o s'térss qu'à l'état d polarsato d l'od l ovt d'utlsr ls vturs d Jos ormalsés à l'uté: J J J J + J J. 35

40 Not qu la multplato par l'uté ompl d'u vtur d Jos hag la phas tal d l'od éltromagétqu mas hag par l'état d polarsato: l vtur J dért l mêm état qu l vtur δ J. La polarsato léar suvat ou st prmé par:, ; (3.) la polarsato léar suvat u drto gééral format l'agl ψ av l'a s'ért: os ψ s ψ osψ J ( ψ). (3.) s ψ os ψ s ψ Ls polarsatos rulars sot doés par: D, L. (3.) f, la polarsato llptqu prmé das l sstèm d'as proprs d l'llps s'ért: osχ J, (3.3) ( ψ, χ) π s χ où l sg d χ détrm l ss d la rotato ("+" pour la rotato gauh, "" pour la rotato drot). La polarsato llptqu prmé das l sstèm d'as gééral t aratérsé par ls paramètrs ψ t χ st sut doé par: J os ψ s ψ s ψ os χ os ψ s χ os ψ os χ + s ψ s χ. s ψ os χ os ψ s χ ( ψ, χ) π Ls élémts optqus sot aratérsés par ds matrs t l passag d la lumèr par u tl élémt st prs ompt par u multplato du vtur d Jos d l'état d polarsato tal par la matr d l'élémt optqu: J M J A ttr datf ous doros ls matrs d qulqus élémts optqus d bas, l prp t la réalsato d s élémts srot tratés détal plus tard. 36

41 37 Polarsur (polarsat suvat ou ): P, P Polarsur gééral (drto d polarsato form u agl ψ av l'a ): ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ s os s os s os os s s os os s s os P Lam rtardatr d phas (prmt d'trodur u déphasag δ tr ls omposats t ); Compsatur lam rtardatr d phas ajustabl (δ st varabl): δ δ, C, δ δ, C Lam dm-od (lam rtardatr d phas av δ π): Cosdéros so flu à l'état d polarsato d'u fasau polarsé rtlgmt à 45 par rapport à l'a. A la sort o obtt u polarsato rtlg orthogoal (touré d 9 ): ( ) π 45, J C Lam quart-d'od (lam rtardatr d phas av δ π/): Prmt d préparr la polarsato rular à partr d la polarsato léar à 45 : ( ) π 45, / J C. Mlu optqumt atf (tour la polarsato rtlg d'u agl θ ostat): θ θ θ θ os s s os A La sphèr d Poaré t l formalsm ds vturs d Jos sot ds outls ass pussats pour détrmr l'état d polarsato d'u od (d polarsato arbtrar au départ) après l passag par ls élémts optqus (polarsurs, ompsaturs t d'autrs

42 élémts bréfrgts); ous rvdros après avor étudé la propagato d la lumèr das ls mlu asotrops. Lumèr o-polarsé t partllmt polarsé Cotrarmt au lasrs, ls sours aturlls d la lumèr (sours thrmqus omm ampoul ou soll) émttt gééral la lumèr o-polarsé qu, après avor sub ds réflos sur ds surfas ou après avor été dffusé sur ls homogéétés, put dvr partllmt polarsé. Il st do mportat d dérr s états d polarsato d la lumèr. U dsrpto rgourus d problèm ésst l'troduto ds matrs d polarsato. C tratmt dépass l adr d ours, ous ous borros à u dsusso plus tutv qu prmttra d'trvor ommt la lumèr partllmt polarsé st rprésté t qu prmttra d défr l dgré d polarsato d la lumèr. Cosdéros l'od éltromagétqu d form aalogu à ll ds prssos (3.) t (3.): ( t) () t A() t ( t) () t A () t ( t+δ) () t A () t (3.4) La sul dffér par rapport à (3.) st qu l'ampltud d l'od var foto du tmps (l'od 'st pas moohromatqu); ls omposats A (t) t A (t) sot ompls t δ st u offt ostat ( δ < π) dot la sgfato s'élarra plus tard. La projto du vtur das u drto θ réalsé pérmtalmt à l'ad d'u polarsur s'ért: δ [ ] ( t) s θ ( t θ) A ( t) os θ + A ( t),. L'tsté lumus trasms par l polarsur st sut proportoll à: S ( θ, δ) ( t, θ) ( t, θ) A () t A () t os θ + A () t A () t δ δ [ () () + () () ] A t A t A t A t s θos θ s θ + (3.5) où désg la valur mo tmporll. L'état d polarsato d la lumèr dépd 38

43 sstllmt ds valurs mos ds trms rosés. S la varato tmporll ds ampltuds A t A st orrélé s valurs mos srot gééral o-ulls 7 ; s par otr tt varato tmporll st o-orrélé (l st ds varatos d l'ampltud t ds sauts d phas fréquts t aléators) ls valurs mos srot ulls. La polarsato d l'od st das as loalmt llptqu,.-à-d. ll st llptqu t aratérsé par ls paramètrs (ψ, χ) pdat u momt très brf, pus, sut à u varato d l'ampltud ou à u hagmt d phas d l'u ds omposats A, A, la polarsato, toujours llptqu, pourra êtr aratérsé par u smbl d paramètrs omplètmt dffért. L'llps d la polarsato sra do dffért à haqu stat. La valur mo qu, sul, st msurabl tdra ompt d tous s états aléators d polarsato llptqu. Pour pouvor défr u dgré d polarsato d la lumèr, magos l'arragmt pérmtal suvat: fasau dt Compsatur C δ, Polarsur P θ S(θ, δ) Déttur L fasau dt d l'tsté total S, partllmt polarsé das l as gééral, pass d'abord par u ompsatur qu lu attrbu u déplamt d phas δ trodut formllmt das l'prsso (3.4). sut, l fasau pass par u polarsur qu ' trasmt qu la part parallèl à la drto d θ. L'tsté msuré par l déttur st alors égal à ll doé par l'prsso (3.5). Das l'pér o fat varr ls du paramètrs: δ t θ. Pour haqu valur d δ o hrh u mamum t u mmum d l'tsté tourat l polarsur d 8 ; pour u valur spéfqu d δ o trouv ls valurs du mamum mamorum S ma t du mmum mmorum S m d l'tsté. L dgré d polarsato P st sut déf: P S S ma m. ma + S S m amos du as spéau: () Lumèr omplètmt polarsé: La polarsato du fasau dt st llptqu das l as gééral. Il st éssarmt u valur d phas δ pour laqull ls omposats (t) t (t) osllt phas à la sort du ompsatur,.-à-d. la polarsato du fasau à l'tré du polarsur st rtlg. Il st alors u ortato du polarsur où l'tto st total (S m ), pour 7 La somm ds valurs mos ds trms rosés st ull das l as d la polarsato rular mêm s'l st u orrélato tr ls du omposats. 39

44 l'ortato prpdular o obtt S ma S. Il résult qu P. () Lumèr o-polarsé L sgal msuré par l déttur dépd d δ d θ t vaut S ma S m S/, P. Il st possbl d démotrr qu la lumèr partllmt polarsé put êtr déomposé d faço uvoqu à la part polarsé (tsté S P ) t o-polarsé (tsté S NP ) t qu l dgré d polarsato s'ért sut: S P S P P. S + S S P NP Rvos à la sphèr d Poaré: u état d polarsato d la lumèr partllmt polarsé st rprésté par u pot à l'térur d la sphèr: sa posto st détrmé par ls paramètrs d la part polarsé (rao S P, agls ψ t χ); l tr d la sphèr rprést alors la lumèr o-polarsé. 4

45 4. Mlu homogès t stratfés Théor oal: appromato d l'optqu géométrqu La fréqu d la lumèr st d l'ordr d 4 5 H; sa loguur d'od st d l'ordr d 6 7 m. Pusqu la loguur d'od st très ptt par rapport au dmsos qu ous rotros habtullmt, la prmèr appromato d la théor éltromagétqu qu put vr à l'sprt osst à églgr tt loguur d'od,.-à-d. à supposr qu'll st fmt ptt. fft, ls aspts odulators du hamp éltromagétqu (trférs, dffrato) s mafstt fortmt s ls dmsos aratérstqus ds homogéétés ou obstals qu la lumèr rotr lors d sa propagato sot omparabls av la loguur d'od. tdat la loguur d'od vrs éro l aratèr odulator d la lumèr dsparaît t par oséqut tt approh églg a pror tous ls ffts d dffrato. rvah, ous pouvos établr qu'o appll l'optqu géométrqu: ll prmt d'trodur la oto d'u fasau optqu lmté das l'spa dot l aratèr st pourtat très proh d lu ds ods plas (qu sot llmtés das l'spa). Ls los d l'optqu géométrqu sot alors prmés trms d la géométr ds trajtors ds raos optqus. Ls prps d l'optqu géométrqu srot pas applabls () lorsqu l'd d réfrato var à l'éhll d la loguur d'od du raomt (ptts ouvrturs, 4

46 résau d dffrato ), () près du for lorsqu l fasau lumu st foalsé à ds dmsos omparabl à la loguur d'od, () tout près ds trfas (od évast rlé à la réflo total). L'approh oal prmt d'trodur la oto d'u fasau optqu à partr ds M t, as, l prmt d délr la rlato tr la théor éltromagétqu prmé par ls M t l'optqu géométrqu. La théor oal st sut apabl d prédr ls trajtors ds fasau lumu qu s propagt das u mlu av l'd d réfrato ltmt varabl. A. Passag ds équatos Mawll à l'optqu géométrqu Nous ommços la dsusso d l'appromato à partr ds M. lls mèt trvalmt à l'équato (.) qu do l'équato d'od sous form:. (4.) t Nous supposos qu l hamp éltrqu s'prm: ( t r ) ( r ) ( r ) t,t,, (4.) où t sot la pulsato t l vtur d'od mos d l'od éltromagétqu, s b qu (r,t) var ltmt foto d r t t. Par u varato lt ous tdos qu <<, (4.3a) t <<. (4.3b) Cla sgf qu la varato d l'vlopp du hamp éltrqu du raomt dot êtr églgabl dvat sa valur à l'éhll d la loguur d'od mo λ π : () π λ () π ( + λ) ( ) λ ( + λ) ( ) () π λ () <<, (4.4) tt odto sra rmpl gééralmt s l fasau 'st pas étrotmt foalsé t s so ampltud s'stomp pas à l'éhll d la loguur d'od. Il s'agt do d'u formulato mathématqu ds odtos () t () éoés das l paragraph préédt sur la valdté 4

47 d l'appromato géométrqu. L sod trm d l'équato (4.) s'ért: ε ε l ε +, ε ε où ous avos utlsé l'm (.): D ε ε + ε, d'où ε. ε L'équato (4.) s'ért sut:! $ # " ε + l ε + ε t (4.5) L'ordr d gradur ds trms! t " st. O alul l rapport tr ls trms # t ": ε ε () ε [ ] ( + λ) ε( ) ε π ε λ ( + λ) ε( ) ε() <<. (4.6) Ctt rlato st vérfé s la varato d la prmttvté à l'éhll d la loguur d'od st ttmt férur à sa valur: odto () d la lmt géométrqu d l'optqu. sut, o a l drot d églgr ls trms $ t # d l'équato d'od. La odto d la valdté d l'optqu géométrqu qu glob auss b la rlato (4.4) qu la rlato (4.6) s'ért alors: λ, La loguur d'od dot êtr très férur à touts ls dmsos aratérstqus qu'o put rotrr. Il sufft do d gardr qu ls trms d'ordr l plus élvé das l'équato d'od (4.5). L'prsso (4.) rprést u od pla; ous allos gééralsr tt prsso 43

48 pour tr ompt du fat qu, à aus d'u varato lt d l'd d réfrato, l frot d'od put êtr ourb: ( t ϕ( r) ) ( r, ) ( r t) t. (4.7), La foto ϕ(r) s'appll l'oal; la rlato ϕ(r) C T détrm ls surfas d phas ostat t, par oséqut, l'oal dért la ourbur du frot d'od. Ls drtos prpdulars à la surfas d phas ostat srot alors ls drtos d propagato ds raos lumu. La magtud d ϕ(r) st d l'ordr d la dsta r, ou plus présémt d l'ordr d r (où st l'd d réfrato), à aus du fatur multplatf d /. Par oséqut ls dérvés spatals d ϕ(r) sot d l'ordr d gradur d. O substtu la form (4.7) das l'équato (4.5) t o gard qu ls trms ls plus élvés. Ls trms $ t # otrbut do pas t o trouv: ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ),. t L'équato (4.5) dvt alors: ( ϕ) (4.8) t s'appll équato d l'oal. C'st l'équato fodamtal d l'optqu géométrqu. B. Proprétés d l'oal Ls M das l'appromato d l'optqu géométrqu s'érvt: ϕ H ϕ + η η H ϕ ϕ H (4.9a) (4.9b) (4.9) (4.9d) L vtur ϕ st do prpdular à t à H. O hrh ls prssos pour la dsté d'érg éltromagétqu t pour l vtur d Potg. La dsté d'érg U s'ért (.8): 44

49 U 4 R ε { D + B H }, (4.) où ous avos utlsé l'équato (4.9b) pour prmr la part magétqu d l'érg: U m 4 R ε 4 µ µ { B H } H H ( ϕ ) ( ϕ ) 4 [ ] #%"%! #"! 4 [ ϕ ( ϕ )] ϕ( ϕ ) ( ϕ) 4η ε 4 ε L vtur d Potg st sut égal à: S R { H } ( ϕ ) ϕ U η η ϕ ε U η ϕ (4.) Das l'appromato d l'optqu géométrqu l'érg éltromagétqu s propag à la vtss v / das la drto s ϕ. O déft alors ds raos lumu omm ds trajtors orthogoals à la surfa ϕ(r) C T das haqu pot r, la tagt d'u tll trajtor st toujours parallèl à s; o appll s l vtur d rao. L hagmt d l'oal l log d'u trajtor s'ért: dϕ ϕ s, (4.) ds do la dsta optqu tr du pots P t P st égal à la dffér ds valurs d l'oal s du pots: P P ds dϕ ϕ( P ) ϕ( P ). (4.3) P P Comm la dsté d'érg (4.) dépd pas d tmps das l'optqu géométrqu, la lo d osrvato d l'érg éltromagétqu s'ért: ( s) S I, où I S st l'tsté d'u rao. O tègr tt prsso à l'térur d'u volum 45

50 otat u smbl d raos (fasau optqu) t o obtt: V ( I ) dv I s ds I ds I ds s, S ds t par oséqut I (4.4) ds I ds ds s volum V l log d'u fasau: osrvato d la pussa (vor fgur -otr). Applato: u sour d lumèr potull sotrop plaé à l'org d'u sstèm d'as va rradr l raomt d la mêm tsté I das touts ls drtos. Par smétr, l frot d'od du raomt sra sphérqu t so oal sra égal à ϕ(r) r (t do ϕ r/r). La pussa rradé das tout l'spa sra égal à P 4πr I () r Pour satsfar l'équato (4.4), l'tsté dot déroîtr av l arré d la dsta: I I () r. r C. Proprétés ds raos Af d'étudr ls trajtors ds raos, l'équato d l'oal doé sous form (4.8) ou (4.) put êtr réért: d ds d ds ( s) ( ϕ) s ( ϕ) ( ϕ) ( ) ( ϕ) ϕ t falmt d ds ( ) s. (4.5) Ctt u équato dffértll qu détrm drtmt la trajtor ds raos à partr du profl d l'd d réfrato. ll sgf qu, lors d'u déplamt ftésmal l log d la trajtor s du rao, l vtur d rao s a tda à s rtourr das la drto du gradt d l'd d réfrato. Il déoul qu ls raos lumu hrht toujours à 46

51 s propagr das la drto d l'd plus élvé. D. Applatos Mlu homogè Pour u mlu homogè ( ), o trouv: s a, où a st u vtur ostat pour u rao doé, la trajtor d propagato st alors rtlg. Compt tu du fat qu s dr ds l'équato d la trajtor du rao s'ért: a r s + b. Smétr ldrqu, appromato paraal C'st u as mportat ar l trouv so applato das ls fbrs optqus. O appll R la dsta radal tr u pot par lqul l rao pass t l'a, sut (R). O part d l'équato (4.5) pour la trajtor ds raos. L'appromato paraal st valabl pour ls raos qu formt u agl très fabl av l'a, ll prmt d rmplar la dérvé d/ds par d/d: d d dr d R ( s) ds d d d. R d R R dr O trouv l'équato dffértll: d R d. d dr La soluto d tt équato dépd du profl radal d l'd d réfrato; u dsusso plus détallé d problèm st présté das l'a A. Smétr sphérqu U autr as qu vaut u attto partulèr st l as d'u mlu dot l'd d 47

52 réfrato possèd u smétr sphérqu (r); u bo mpl d'u tl mlu st l'atmosphèr trrstr; l alul qu sut put srvr à la détrmato ds trajtors ds raos solars arrvat sur la surfa d la Trr. d ds r ( s ) d ds d ds dr ds /r d ds ( s) ( r s) s ( r s) # s"! s d r r r. r dr O obtt f t do d ds ( r s) () r α p r s, θ r dθ r + dr r dθ α dr ds où p st u ostat. Or s α dr dθ r p r r r dr + dθ () r p, p r () r r dr + dθ t o obtt falmt l'tégral: dr θ() r p, r r p () r qu put êtr alulé pour u profl partulr d l'd d réfrato. Los d réflo t d réfrato s α u O utlsra l'dtté ( s) ( ϕ). S α s b 48