[ édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 5 [ ] [correction] Soient u 0 ]0, 1[ et pour tout n N,

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1 [ édité le 0 juillet 04 Enoncés Suites récurrentes Exercice [ 0038 ] [correction] Etudier la suite définie par u 0 > 0 et pour tout n N, Exercice [ ] [correction] Soient a > 0, u = a, u = Montrer que (u n ) est convergente. Exercice 3 [ 0033 ] [correction] Soit et (u n ) la suite définie par u n+ = + 4 u n a + a, u 3 = a + a + a, f : x x3 + 3 u 0 R et n N u n+ = f(u n ) a) Justifier que l équation f(x) = x possède trois racines réelles (qu on n exprimera pas). b) Etudier le signe de f(x) x ainsi que la monotonie de f. c) Préciser le comportement de (u n ) en discutant selon la valeur de u 0. Exercice 5 [ ] [correction] Soient u 0 ]0, [ et pour tout n N, u n+ = u n u n Montrer que (u n ) est monotone de limite nulle. Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants n u k et ( u k ) Exercice 6 [ ] [correction] Soit f : [a, b] [a, b] une fonction de classe C telle que x [a, b], f (x) < a) Montrer que f admet un point fixe unique α. b) Montrer, pour tout u [a, b], la convergence vers α de la suite (u n ) définie par u 0 = u et n N, u n+ = f(u n ) Exercice 7 [ ] [correction] Soit f : [a, b] [a, b] une fonction lipschitzienne et α [a, b]. On considère la suite définie par u 0 = α et u n+ = u n + f(u n ) Montrer que (u n ) converge vers un point fixe de f. Exercice 4 [ 0033 ] [correction] Soient (avec a > 0) et (u n ) la suite définie par f : x x3 + 3ax 3x + a u 0 > 0 et n N,u n+ = f(u n ) Etudier les variations de f, le signe de f(x) x et en déduire le comportement de (u n ). Exercice 8 [ 0039 ] [correction] Soit (u n ) la suite définie par u 0 ]0, 4[ et n N u n+ = 4u n u n a) Montrer que (u n ) est bornée. Quelles sont les limites possibles de (u n )? b) Montrer que si (u n ) converge alors (u n ) est soit stationnaire égale à 0, soit stationnaire égale à 3. c) En posant u 0 = 4 sin α, déterminer les valeurs de u 0 pour lesquelles la suite (u n ) est stationnaire.

2 [ édité le 0 juillet 04 Enoncés Exercice 9 [ ] [correction] Soient ρ R + et θ ] π, π]. On considère la suite complexe (z n ) définie par a) Exprimer (z n ) à l aide d un produit. b) Déterminer la limite de (z n ). z 0 = ρe iθ et n N, z n+ = z n + z n Exercice 3 [ 0783 ] [correction] Soit (x n ) n N une suite de réels positifs. On pose, pour tout n > 0, y n = x + x + + x n a) Ici x n = a pour tout n, où a > 0. Etudier la convergence de (y n ). b) Même question dans le cas où x n = ab n pour tout n, avec b > 0. c) Montrer que (y n ) converge si, et seulement si, la suite (x n n ) est bornée. Exercice 0 [ ] [correction] Soit (u n ) une suite de réels positifs telle que n N, u n+ (u n + u n+ ) Montrer que (u n ) converge. On pourra commencer par étudier la monotonie de v n = max(u n+, u n ). Exercice [ ] [correction] Soient (u n ) et (v n ) les suites récurrentes réelles définies par : u 0, v 0 R + et n N, u n+ = u n v n, v n+ = u n + v n Montrer que les suites (u n ) et (v n ) convergent vers une même limite. Exercice [ 0036 ] [correction] Pour α ]0, π/], on étudie les suites (u n ) et (v n ) définies par { { u0 = cos α un+ = (u n + v n )/ et n N, v 0 = v n+ = u n+ v n a) Etablir que pour tout n N, u n = v n cos α n et v n = cos α k k= Exercice 4 [ 0477 ] [correction] Soit (x n ) n la suite définie par x > 0 et n N, x n+ = x n + n/x n a) Calculer avec Maple, les 0 premiers termes de la suite pour différentes valeurs de x. Commenter. b) Minorer x n. Si (y n ) n vérifie la même relation de récurrence, étudier x n y n. En déduire le comportement asymptotique de (x n ). Exercice 5 [ 0365 ] [correction] Soient (a n ) une suite réelle positive, bornée et (u n ) la suite récurrente définie par u 0 > 0 et u n+ = u n + a n + pour tout n N Montrer que la suite (u n ) converge si, et seulement si, la suite (a n ) converge. Exercice 6 [ ] [correction] Montrer que la suite réelle (x n ) définie par x 0 [a, b] et n N, x n+ = (f(x n) + x n ) où f est -lipschitzienne de [a, b] dans [a, b], converge vers un point fixe de f. b) Etudier sin α n v n et en déduire les limites de (u n ) et (v n ).

3 [ édité le 0 juillet 04 Corrections 3 Corrections Exercice : [énoncé] Si (u n ) converge sa limite l vérifie l = + l /4 d où l =. u n+ u n = 4 (u n ) donc (u n ) est croissante. Si u 0 > alors (u n ) diverge vers +. Si u 0 [0, ] alors on vérifie aisément que (u n ) est majorée par et on conclut u n. Exercice : [énoncé] u n+ u n donc (u n ) est croissante. Par récurrence montrons u n a +. La relation est vraie pour n = et l hérédité s obtient par u n+ = a + u n a + a +. Exercice 3 : [énoncé] a) Il suffit de dresser le tableau de variation de f. On note α < β < γ ces trois racines. x α β γ b) f est croissante et f(x) x c) u n u n+ f(u n ) f(u n+ ) donc u 0 f(u 0 ) (u n ) croissante. De même u n u n+ f(u n ) f(u n+ ) donc u 0 f(u 0 ) (u n ) décroissante. Les seules limites finies possibles pour (u n ) sont α, β, γ. Enfin si u 0 α (resp. β, γ) alors pour tout n, u n α (resp. β, γ) et de même pour. Au final on peut conclure : u 0 ], α[ donne (u n ) décroissant vers. u 0 = α donne (u n ) constante égale à α. u 0 ]α, γ[ donne (u n ) convergeant vers β. u 0 = γ donne (u n ) constante égale à γ. u 0 ]γ, + [ donne (u n ) croissant vers +. Exercice 4 : [énoncé] f (x) est du signe de 3(x a) donc f est croissante et par suite (u n ) est monotone. Les racines de l équation f(x) = x sont 0, a et a. Ce sont les seules limites possibles pour (u n ). f(x) x est du signe de ax x 3 = x(x a)(x + a). Si u 0 ]0, a] la suite est croissante est majorée par a donc converge vers a Si u 0 [ a, + [ la suite est décroissante et minorée par a donc converge vers a. Exercice 5 : [énoncé] u n+ u n = u n 0 donc (u n ) est décroissante. Aisément, on montre que u n ]0, [ pour tout n N et donc on peut conclure que (u n ) converge. Sa limite l vérifie l = l l d où l = 0. et n u k = n u k u k+ = u 0 u n+ u 0 ( u k ) = u k+ u k = u n+ u 0 0 Exercice 6 : [énoncé] a) Soit g : [a, b] R définie par g(x) = f(x) x. g est continue, g(a) 0 et g(b) 0 donc g s annule en un point α qui est alors point fixe de f. Si α et β sont deux points fixes distincts alors par application du théorème des accroissements finis, il existe c [a, b] tel que f (c) = ce qui est incompatible avec les hypothèses. b) La fonction x f (x) est continue sur le segment [a, b], elle y admet donc un maximum en un point c [a, b] et en posant k = f (c) on a x [a, b], f (x) k avec k [0, [ Par l inégalité des accroissements finis, f est k lipschitzienne et alors par récurrence : n N, u n α k n u α 0 d où le résultat. Exercice 7 : [énoncé] u n+ u n = (f(u n) f(u n )) + (u n u n ) Puisque f est lipschitzienne on a f(u n ) f(u n ) u n u n donc u n+ u n est du signe de u n u n, (en fait la fonction itératrice est croissante).

4 [ édité le 0 juillet 04 Corrections 4 Par suite (u n ) est monotone et étant bornée elle converge vers un l [a, b]. La relation u n+ = u n + f(u n ) donne à la limite l = l + f(l) donc f(l) = l. Exercice 8 : [énoncé] a) On observe que x 4x x est une application de [0, 4] dans lui-même. Par suite u n [0, 4] pour tout n N. Si (u n ) converge alors, en posant l sa limite, on a l = 4l l d où l = 0 ou l = 3. b) Supposons que u n 0. S il existe un rang n tel que u n = 0 alors la suite (u n ) est stationnaire égale à 0. Sinon on a u n > 0 pour tout n N et donc u n+ u n 3u n > 0. Ainsi, à partir d un certain rang, la suite est strictement croissante. De même si u n 3 sans être stationnaire égale à 3, on observe que la suite u n 3 est strictement croissante à partir d un certain rang. c) On obtient aisément u n = 4 sin n α. La suite est stationnaire si, et seulement si, il existe n N tel que u n = 0 ou 3 i.e. sin ( n α) = 0, 3/, 3/ soit encore n α = kπ/3 avec k Z. Ainsi les u 0 pour lesquels la suite est stationnaire sont les sin(kπ/3. n ) avec k Z et n N. Exercice 9 : [énoncé] a) z = ρ eiθ +ρ = ρ cos θ ei θ. Par ce principe : b) e i θ n et Finalement z n sin θ θ. z n = ρ cos θ cos θ 4 cos θ n ei θ n cos θ cos θ 4 cos θ n = sin θ n sin θ sin θ θ n (ou si θ = 0) Exercice 0 : [énoncé] On a u n v n et u n+ v n, v n+ = max(u n+, u n+ ) avec u n+ (u n + u n+ ) v n et u n+ v n donc (v n ) est décroissante. (v n ) est décroissante et minorée par 0 donc (v n ) converge. On a u n+ v n. ( ) ( v n+ max (u n+ + u n ), u n+ = max (u n+ + u n ), ) (u n+ + u n+ ) = u n++ donc v n+ v n u n+ v n donc (u n ) converge vers la même limite que (u n ). Exercice : [énoncé] Les suites (u n ) et (v n ) sont bien définies et à termes positifs. Sachant a, b R +, ab a + b on a n, u n v n puis u n+ u n et v n+ v n Les suites (u n ) n et (v n ) n sont respectivement croissante et décroissante et on a n, u 0 u n v n v 0 Par convergence monotone, (u n ) et (v n ) convergent vers des limites l et l. En passant la relation v n+ = u n + v n à la limite on obtient l = l. Exercice : [énoncé] a) Exploiter + cos x = cos x et raisonner par récurrence. b) sin α n v n = n sin α via sin a cos a = sin a. Par suite et aussi v n sin α n sin(α/ n ) sin α α u n sin α α

5 [ édité le 0 juillet 04 Corrections 5 Exercice 3 : [énoncé] Notons que la suite (y n ) est croissante, elle est donc convergente si, et seulement si, elle est majorée. a) Ici y n+ = a + y n. Soit l la racine positive de l équation l l a = 0 i.e. l = + + 4a On remarque que y = a l et on montre par récurrence y n l. La suite (y n ) est croissante et majorée donc convergente. b) On observe que la nouvelle suite (y n ) est désormais égale à b fois la précédente, elle est donc convergente. c) Si (y n ) converge vers l alors x n n Si (x n n y n l donc (x n n ) est bornée. ) est bornée par une certain M alors x n M n, la suite (y n ) définie par (x n ) est alors inférieure à celle obtenue par (M n ), cette dernière étant convergente, la suite (y n ) converge. Exercice 4 : [énoncé] a) Définissons une procédure récursive calculant les termes de la suite x:=proc(n, x) local y; if n= then RETURN(x) else y:=x(n-, x); RETURN(y+(n-)/y); fi end; On peut alors évaluer les termes de la suite pour différentes valeurs de x x:=5;seq(evalf(x(k, x)), k=..0); On remarque que (x n ) tend vers + et on peut même présumer x n n. On remarque aussi que pour x = on a x n = n ce qu on justifie aisément par récurrence. b) La suite proposée est bien définie et à termes dans ]0, + [. En exploitant a + b ab, on peut affirmer x n+ n donc x n n pour n. On en déduit x n +. Pour n, posons u n = x n y n, quitte à échanger éventuellement les suites (x n ) n et (y n ) n pour que u = x y 0. On a ( u n+ = n ) u n x n y n Or pour n, n n x n y n 4(n ) > 0 On en déduit que pour tout n, u n 0 et (u n ) n décroissante. La suite (u n ) est donc convergente et par conséquent x n y n. Puisque pour y =, on obtient y n = n, on peut affirmer x n n. Exercice 5 : [énoncé] Posons M = sup a n n N On vérifie aisément que la suite (u n ) est bien définie et que pour tout n M + u n Supposons la convergence de la suite (u n ). Sa limite est strictement positive. En résolvant l équation définissant u n+ en fonction de u n, on obtient a n = u n+ u n On en déduit que la suite (a n ) converge. Inversement, supposons que la suite (a n ) converge vers une limite l, l 0. Considérons la suite (v n ) définie par v 0 = et v n+ = v n + l + pour tout n N On vérifie que la suite (v n ) est bien définie et à termes strictement positifs. L équation x = x + l + possède une racine L > 0 et on a v n+ L v n L + L ce qui permet d établir que la suite (v n ) converge vers L. Considérons ensuite la suite (α n ) définie par α n = u n v n On a et donc avec α n+ = α n + (l a n ) (u n + a n + )(v n + l + ) α n+ k ( α n + a n l ) k = [0, [ m + où m > 0 est un minorant de la suite convergente (v n ).

6 [ édité le 0 juillet 04 Corrections 6 Par récurrence, on obtient n α n k n α 0 + k n p a p l p=0 Soit ε > 0. Puisque la suite (a n ) converge vers l, il existe p 0 tel que p p 0, a p l ε La relation x n+ = x n + f(x n ) donne à la limite sachant f continue donc f(l) = l. l = l + f(l) et alors Pour n assez grand n p=p 0 k n p a p l ε + k= k p = kε k p 0 p=0 k n p a p l = C te k n ε et k n α 0 ε et on en déduit α n ε + kε k Ainsi α n 0 et par conséquent u n L Exercice 6 : [énoncé] La fonction itératrice de cette suite récurrente est g : x (f(x) + x) On vérifie aisément que cette fonction est définie sur [a, b] et à valeurs dans [a, b]. On en déduit que la suite (x n ) est bien définie et que c est une suite d éléments de [a, b]. On a x n+ x n = (f(x n) f(x n )) + (x n x n ) Puisque f est -lipschitzienne, on a f(x n ) f(x n ) x n x n et donc x n+ x n est du signe de x n x n. Par conséquent, la suite (x n ) est monotone et sa monotonie découle du signe de x x 0. La suite (x n ) étant de plus bornée, elle converge vers une certaine limite l avec l [a, b].

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