Fonction exponentielle - Corrigé

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1 Fonction exponentielle - Corrigé Exercice : Partie A. (a) Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A est donné par ()= (b) Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point B est donné par () Or ()= ( )=, ainsi ()= (c) La droite est à la fois tangente en A à et tangente en B à, son coefficient directeur s exprime de deux façons que l on peut donc égaliser : ()= () = = =. Idée : on exprime deux équations réduites de : En considérant comme tangente en A à : = ()( )+()= + = + ( ) En considérant comme tangente en B à : = ()( )+()= ( )(+)+( )= + + = + ( )+ Par unicité de l écriture d une équation réduite : ( )+= ( ) ( )+=0 ( )+=0 Le réel est bien solution de l équation : ( ) +=0. Partie B. (a) ()=( ) += + = =0 donc,par somme, ()= La droite d équation = est asymptote (horizontale) à la courbe représentative de au voisinage de. La ite en + se calcule directement : ( )= =+ donc,par produit, ()=+ (b) est dérivable sur R comme produit et somme de fonctions dérivables : ()= +( ) =(+ ) = >0 donc () a le même signe que : ()<0 sur ;0, ()>0 sur 0;+ et (0)=0. (c) 0 + () () (0)=(0 ) += +=. (a) est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur ;0 et 0 ; ensemble d arrivée, donc d après le corollaire des valeurs intermédiaires, l équation ()=0 admet une unique solution sur ;0. Cette équation admet également une unique solution sur 0;+. Conclusion : l équation ()=0 admet exactement deux solutions dans R. (b) À l aide d une calculatrice,,68 et 0,77 Partie C. E est le point de la courbe d abscisse donc ses coordonnées sont et ()= F est le point de la courbe d abscisse donc ses coordonnées sont et ( )= La tangente à la courbe au point E a pour équation : = ( )+ ( ) =0

2 Vérifions que F appartient à cette tangente, pour cela, remplaçons les coordonnées de F dans l équation : ( ) = ( ) =+ =+( ) =()=0. E et F appartiennent à la tangente la courbe en E : la droite (EF) est la tangente à la courbe au point E.. La droite (EF) a pour coefficient directeur d après ce qui précède. Or la tangente à au point F d abscisse a pour coefficient directeur ( )= () = Conclusion : la droite (EF) est la tangente à au point F. Remarque : On a donc démontré que la droite (EF) est à la fois tangente à et. L exercice ne le propose pas mais une démonstration similaire aurait permis de prouver que la droite (E F ) (où E est le point de d abscisse et F le point de d abscisse ) est elle aussi tangente à et. L exercice a donc permis de prouver qu il existe exactement deux tangentes communes aux deux courbes. Exercice : Partie A. (a) La fonction est dérivable sur 0 ;+ comme somme de fonctions dérivables et ()=. Dans le prérequis : pour tout réel, on a > ce qui implique que ()>0 sur 0 ;+. La fonction est donc strictement croissante sur 0 ;+ pour tout 0 ;+,() (0) Or (0)= 0 = d après le deuxième prérequis. Et donc : pour tout 0 ;+, (). (b) pour tout 0 ;+, () >0 On en déduit que > > pour tout 0 ;+ Pour utiliser correctement le dernier prérequis, plaçons-nous sur ;+ : Pour tout ;+, >.(a) ()= = =+ Enin,par inverse : et = ù = =+,alors =+ =+ donc,par composée, =0 ()=0 =+ (b) La fonction est dérivable sur 0 ;+ comme composée et produit de fonctions dérivables et ()= + = = () a le même signe que : est positive sur 0; et négative que ;+ 0 + () + 0 () 0 0

3 Partie B. (a) On sait que =, on en déduit, par passage à l inverse, que = (b) Par passage à la ite, la forme est indéterminée, on est amené à modifier l écriture : ()= = = =+ et =0,donc,par somme =+,et par inverse, () =0.(a) = = = = = =( ) =( ) =( ). () =0 et ()= donc,par composée, = On en déduit que la suite ( ) converge vers ( ). Exercice 3 :. (a) ()= 0 pour tout 0;+ et ne s annule qu en 0. Donc la fonction est strictement croissante sur 0;+ et (0)= 0 =0. Pour tout 0;+, () (0)=0 On en déduit que est positive sur 0;+. Pour tout 0;+, 0 donc Et donc >0 : le dénominateur de ne s annule pas sur R, on en déduit que est définie sur R. (b) = =+ =0 = = = = = (c) ()= ( ) ( ) ( ) = = + ( ) = ( ) ( ). (a) dérivable sur R comme produit et somme de fonctions dérivables sur R : ()= +( ) =( ) () est du signe de : ()>0 sur ; et ()<0 sur ;+. Ainsi, est strictement croissante sur ; et strictement décroissante sur ;+. ()= =0 =0 = ( ) = ()=( ) = >0

4 (b) est continue (car dérivable) et strictement croissante sur ; et 0 ; ensemble d arrivée, donc d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation ()=0 admet une unique solution sur ;. Cette équation admet également une unique solution sur ;+ pour les mêmes raisons. Conclusion : l équation ()=0 admet exactement deux solutions dans R. (c) À l aide d une calculatrice,,5<<,4 et,84<<,85 (d) ()=0 ( ) =0 ( ) = = car. 3.(a) ()= ( ) ( ) = () ( ) ()>0 sur ; et ()<0 sur ;+ Ainsi, est strictement croissante sur ; et strictement décroissante sur ;+. (d) ()= = Exercice 4 : VRAI - FAUX = + + = ( ) =. ()= 8 ( +) 4 ( ) ( +) = 8 ( + +) ( +).()= + = + quand tend vers + FAUX = 6 ( +) >0:VRAI 3. ()= quand tend vers + admet deux asymptotes : les droites d équations = et = : VRAI. 4. (0)= = =4 La tangente à au point d abscisse 0 a pour équation =4( 0)+(0)=4 VRAI 5. La fonction = a les mêmes variations que FAUX car et 6. La fonction = est déinie sur R FAUX car s annule en 0 7. La fonction = += a une ite inie en 0 FAUX =0 + = += =0 + =+ + () + 0 () ont des variations contraires.

5 N 88 page 90 : Partie A : Etude d une fonction auxiliaire ) Par somme : ()= et ()=+ ) ()= +>0 donc est strictement croissante sur R. + () + () + 3) a) D'après le tableau de variation de, comme 0 appartient à l ensemble d arrivée, l équation ()=0 admet une unique solution sur R. (0,94) 0,00004<0 et (0,94) 0,007>0 donc 0,94<<0,94. b) est strictement croissante sur R donc <,()<()=0 et >,()>()=0 On en déduit que la fonction est négative sur ;, positive sur ;+ et s annule en. Partie B : Etude d une fonction >0 > 0> >0, on en déduit le tableau de signe : () ) 5= et = donc,par produit, ()=+ 5=+ et = donc,par produit, ()=+ 3) ()=( )+( 5) = +( 5) =+( 7) Donc ()= ( + 7)= () Sachant que >0, on en déduit que () et () sont du même signe. D après la question 3)b) de la partie A, on déduit le tableau suivant : + () 0 + () + + () 4)) ()=( 5)( )=( 5) ) =( 5)(

6 Or on sait que ()=0 + 7=0 = 7 On remplace dans l égalité précédente : ( 5) 7 ()= ( 5) 5 = 7 7 On a bien la formule recherchée. = ( 5)(5 ) 7 = ( 5)( 5) 7 b) La fonction h est dérivable sur ; comme quotient de fonctions dérivables de dénominateur non nul : h ()= ( 5)( 7) ( 5) ( 7) Et donc h ()= ( 5)( 9) ( 7)² = ( 5)(4 4 +5) ( 7) On en déduit que h ()>0 et donc que h est strictement croissante sur ; 5 0,94<<0,94 donc h(0,94)<h()<h(0,94) et donc,905<h()<,895 5) () ( 5)=( 5)( )= ( 5) =( +5) On en déduit que ()>( 5) sur ; 5 et ()<( 5) sur 5 ;+ Partie C : Etude d une suite de rapports de distance ) = = () ( 5) = ( 5) () ( 5) 0 5 et 5>0. car pour tout 3, 5>()

7 ) ) = ( 5) () = ( 5) = = 5 5 On reconnaît une suite géométrique de raison b) < < donc =0 La suite ( ) converge donc vers 0, ce qui était prévisible car le numérateur correspond à une distance qui tend vers 0 et le dénominateur, une distance qui tend vers +. N 93 page 9 : ) a) Pour tout 0;+, sin() et comme >0, alors : (sin ()) et donc () =0 donc par encadrement de ites ()=0 b) Voir en fin de corrigé. c) On cherche à résoudre l équation : ()= (sin ()) = sin()= Sur 0;, cette équation a pour unique solution = Les courbes et ont donc un unique point d intersection pour 0; : 3 ; d) On cherche ici à résoudre l équation : ()= (sin ()) Sur 0;, cette équation a pour unique solution = = sin()= Les courbes et ont donc un unique point d intersection pour 0; : ; )a) ()=(cos()) 3 (sin()) =cos() 3 sin () Comme >0,alors, () a le même signe que cos() sin () 3 b) 3 cos+ 6 = 3 cos()cos 6 sin ()sin 6 = 3 3 cos() sin () Et donc 3 cos+ 6 =cos() sin () 3 c) Sur 0;, d après le cercle trigo, il est plus facile de déterminer les valeurs qui rendent le cosinus négatif, on déduit ensuite celles qui le rendent positif : cos+ 6 <0 <+ 6 <3 3 <<4 3 On en déduit que

8 cos+ 6 > ou 4 3 < 0 () () 0 0 3) ) = 3 0,3 b)