TS Exercices sur les limites de suites (3)

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1 TS Exercices sr es imites de sites () O cosidère a site défiie sr N par so premier terme récrrece por tot etier atre ) Démotrer par récrrece qe, por tot etier atre, o a : ) Détermier e ses de variatio de a site ) Dédire des qestios précédetes qe a site ) O ote a imite de Jstifier qe et qe E dédire a vaer de coverge te qe et a reatio de O cosidère a site défiie sr N par so premier terme et a reatio de récrrece por tot etier atre e ) Démotrer par récrrece qe, por tot etier atre, o a : ) Détermier e ses de variatio de a site ) Dédire des qestios précédetes qe a site ) O ote a imite de coverge O admet qe e (égaité obte par passage à a imite das a reatio de récrrece) E dédire a vaer de O cosidère a site défiie sr N par so premier terme 7 et a reatio de récrrece por tot etier atre ) Démotrer par récrrece qe, por tot etier atre, o a : ) Détermier e ses de variatio de a site ) Dédire des qestios précédetes qe a site ) O ote a imite de a) Jstifier qe coverge b) O admet qe (égaité obtee par passage à a imite das a reatio de récrrece) E dédire a vaer de 5 ) Écrire agorithme qi por e vaer de e, rée strictemet positif, saisie e etrée, permet d afficher e sortie e ps petit etier atre te qe e Programmer cet agorithme sr cacatrice et idiqer e ombre obte e sortie por e, Por tot etier atre, o pose : ) Cacer,, ) Por tot etier atre, démotrer égaité ) Le bt de cette qestio est de détermier e forme simpifiée de (o ) O écrit égaité das e cadre ci-dessos : por,,, et o fait a somme membre à membre comme Recopier ce cadre sr e demi-page (i e fat pas q i y ait de page à torer) et barrer e diagoae es termes qi s aet das a somme (méthode par «téescopage» o par «domios additifs») E dédire qe ) Détermier im 5 Por tot etier atre, o pose (a somme commece por ) ) Qe est e ses de variatio de a site? ) Démotrer, qe por tot etier atre, o a ) O écrit iégaité por,,, et o fait a somme membre à membre des iégaités obtees comme das e cadre ci-dessos (o appiqe a rège d additio des iégaités : «O pet additioer membre à membre des iégaités de même ses») : Recopier ce cadre et barrer e diagoae es termes qi s aet (pricipe des domios additifs o téescopage)

2 E dédire qe por tot etier atre, o a : est majorée est covergete (o e demade pas de et qe ) Démotrer à aide des qestios précédetes qe a site détermier a imite) Les exercices sivats portet sr e techiqe cassiqe de majoratio-mioratio à coaître Atremet dit, o a : Pricipe de majoratio-mioratio d e somme Si A a a a avec a a a, aors o a ecadremet sivat : a A a ombre de termes e ps petit A ombre de termes e ps grad Ce pricipe pet être appeé «e ps bête des ecadremets», «ecadremet e ps bête d mode» o ecore «pricipe de majoratio-mioratio grossier» Cet ecadremet ce démotre aisémet Démostratio Soit A e somme de ombres Notos m e ps petit terme de a somme et M e ps grad Par additio membre à membre d iégaités de même ses, o a : m m m A M M M termes termes O e dédit a méthode pratiqe por majorer e somme : O rage es termes das ordre croissat O compte e ombre de termes O appiqe iégaité E dépit de sa simpicité et d fait q i pet sember doer ecadremet grossier, ce pricipe d ecadremet pet s avérer efficace por détermier a imite de certaies sites défiies par e somme, comme o e voit das exercice 8 Soit etier atre o fixé O pose S E observat qe o a, démotrer qe o a : 7 Soit etier atre fixé O pose S Démotrer qe o a : S!! S 8 Por tot etier atre o, o pose S O e cherchera pas e expressio expicite de S e foctio de ) E partat de, comparer sccessivemet es ombres :,,,,,,,,, ) E dédire ecadremet de S pis im S ) Écrire agorithme qi por e vaer de, etier atre o, saisie e etrée, permet d afficher e sortie a vaer de S Programmer cet agorithme sr cacatrice et idiqer e vaer approchée de S 5 m A M

3 Étde d e site récrrete Sotios ) Détermios e ses de variatio de a site ère méthode : méthode par différece (c est a première méthode à aqee i fat peser orsqe o doit étdier e ses de variatio d e site) N O «cace» a différece O factorise cette différece pis o fait étde d sige (o aayse e sige de a différece) ) Démotros par récrrece qe, por tot etier atre, o a : Por N, o défiit a phrase P : Iitiaisatio : Vérifios qe P est vraie Par hypothèse de défiitio de a site, o a D où Hérédité : P est vraie Cosidéros etier atre te qe a phrase P soit vraie c est-à-dire Démotros q aors a phrase O a : (par hypothèse de récrrece) P est vraie c est-à-dire Doc car a foctio «carré» est strictemet croissate sr itervae Par site, P est vraie Doc Cocsio : O a démotré qe Doc, d après e théorème de récrrece, a phrase ; P est vraie et qe si P est vraie por etier atre, aors P est vraie por tot etier atre O e dédit qe por tot etier atre, o a : P est vraie La site est défiie par récrrece O e dispose pas de expressio expicite de so terme gééra I est doc pas possibe de démotrer ce réstat atremet q e faisat e démostratio par récrrece N Or d après a qestio ) Doc Comme et O e dédit qe N, o pet dire qe soit Cocsio : La site est strictemet décroissate à partir de idice e méthode : Soit etier atre fixé O a : d après a qestio ) Doc e mtipiat es dex membres de cette iégaité par ( d après a qestio )), o obtiet : Or Doc O a doc N Cocsio : La site est strictemet décroissate à partir de idice e méthode : méthode par qotiet (cette méthode par qotiet marche très bie ici ; ce est cepedat pas a méthode à aqee o doit peser e premier ; e effet, cette méthode écessite de vérifier d abord qe tos es termes de a site sot strictemet positifs) N Or d après a qestio ) Doc

4 Comme tos es termes de a site sot strictemet positifs d après a qestio ), o e dédit qe a site est strictemet décroissate à partir de idice ) Dédisos-e qe a site coverge Das a qestio ), o a démotré qe N doc a site est miorée par Das a qestio ), o a démotré qe a site est strictemet décroissate à partir de idice Or tote site décroissate miorée coverge (théorème d cors) O e dédit qe a site coverge O e dit pas qe a site coverge vers Ce sera e bt de a qestio ) O marqe jste qe a site coverge O est pas e mesre de préciser a imite : a site pet coverger vers ombre strictemet positif Doc Cocsio : im O pet doc dire coverge vers Compémet : O pet représeter es termes de a site récrrete (procédé habite) vers O visaise graphiqemet a covergece de O a tracé a corbe C d éqatio y x et a droite d éqatio y x Représetatio graphiqe C ) im Jstifios qe et qe O sait qe a imite est miorat des termes de a site (car a site est décroissate) Doc Or doc j car im (a site es mêmes qe cex de a site coverge vers ) et es termes de a site à exceptio d premier terme) sot O i im (car Ce poit pet être détaié aisi : im N * ) par propriété d opératio agébriqe (imite d prodit e écrivat cotiité de a foctio «carré» Par icité de a imite d e site (i e pet y avoir q e see imite), o a : () Dédisos-e a vaer de () o o Or ) o par O pet aisi faciemet observer e comportemet de a site (mootoie et covergece) O pet assi tiiser a cacatrice por visaiser a site e mode escaier o web (cf ttorie) Forme expicite d terme gééra de a site O pet commecer par faire e première recherche 8 Aisi, «par dédctio», i sembe atre de proposer a forme sivate : Por démotrer cette cojectre (c est-à-dire qe N ), o procède par récrrece

5 La forme expicite d terme gééra permet évidemmet de retrover de maière très simpe a covergece de a site vers est a imite de a site C est miorat qi est jamais atteit et c est e ps grad de tos es miorats Étde d e site récrrete N e er facter : d après a qestio ) o sait qe N e facter : o procède par iégaités sccessives N Doc N d où N e O obtiet doc : N e soit N e d où N e Par coséqet, a site est strictemet décroissate à partir de idice I est coseié de programmer a site sr a cacatrice e preat e vaer de et de faire apparaître a costrctio des termes e méthode qi marche très bie ici : méthode par qotiet car tos es termes de a site sot strictemet positifs ) Démotros par récrrece qe, por tot etier atre, Por N, o défiit a phrase P : Iitiaisatio : Vérifios qe P est vraie par hypothèse doc Hérédité : P est vraie Cosidéros etier atre te qe a phrase P soit vraie c est-à-dire Démotros q aors a phrase O a : De ps, o a : e Doc, par sige d prodit, Doc P est vraie Cocsio : P est vraie c est-à-dire Par e théorème de récrrece, o e dédit qe, por tot etier atre, a phrase P () est vraie c est-à-dire qe por tot etier atre, o a : ) Détermios e ses de variatio de a site ère méthode : Méthode por étdier e ses de variatio de a site : o étdie e sige de a différece N e e O étdie e sige de chac des dex facters d prodit e N e Or N doc N d où N d où N Or a site est à termes strictemet positifs e e soit N e Par coséqet, a site est strictemet décroissate à partir de idice ) Dédisos des qestios précédetes qe a site coverge D après a qestio ), a site est miorée par D après a qestio ), a site est strictemet décroissate Or tote site décroissate et miorée coverge coverge Doc a site Attetio, o e pet pas dire à ce stade-à q ee coverge vers C est e bt de a qestio ) de trover a imite de a site ) im Jstifios qe e O sait qe est a imite de a site À partir de à, o va exprimer de dex maières différetes a imite de ce qi va os permettre de trover e égaité vérifiée par D e part, im de maière évidete (car a site vers a même imite pisq ee a es mêmes termes mais décaée de ) coverge vers doc a site coverge

6 D atre part, im im im im e e (car a foctio f : x xe x est cotie sr R doc f f e ) e (car N e ) Par icité de a imite d e site, () Dédisos-e a vaer de () e e o e o o Cocsio : im coverge vers e Hérédité : Cosidéros etier atre te qe a phrase P soit vraie c est-à-dire Démotros q aors a phrase O a : Doc D où soit Doc P est vraie Cocsio : P est vraie c est-à-dire Par e théorème de récrrece, o e dédit qe, por tot etier atre, a phrase qe por tot etier atre, o a : ) Détermios e ses de variatio de a site Por détermier e ses de variatio de a site ( ), o pet : - tiiser a méthode de différece - tiiser a récrrece ère méthode : méthode par différece (e tiisat e réstat de a qestio précédete) P est vraie c est-à-dire Étde d e site récrrete 7 N O e pet pas détermier de forme expicité de e foctio de I est itéressat de représeter a site sr a cacatrice graphiqe (mode web o escaier) C est même e premier travai à faire ) Démotros par récrrece qe, por tot etier atre, o a N (techiqe de a qatité cojgée por es racies carrées) (factorisatio d poyôme x x évidete à aide des racies et ) Por N, o défiit a phrase P : Iitiaisatio : Vérifios qe P est vraie 7 par hypothèse d où doc P est vraie O tiise e réstat de a qestio ) : O a doc D où (rège des siges d qotiet) O e dédit qe a site est strictemet décroissate à partir de idice

7 e méthode : par récrrece O défiit a phrase P : Variate de a ère méthode : O compare et (sachat qe N ) Qad o dex expressios de même sige, o pet comparer ers carrés Les racies d poyôme x x sot et Or doc Doc D où N N (rège d sige d triôme ; est à extérier de itervae des racies) Or et sot tos es dex strictemet positifs D où N (dex ombres positifs sot ragés das e même ordre qe ers carrés) ) Dédisos des qestios précédetes qe a site coverge D après a qestio ), a site est miorée par D après a qestio ), a site est strictemet décroissate Or tote site décroissate et miorée coverge coverge Doc a site Attetio, o e pet pas dire à ce stade-à q ee coverge vers C est e bt de a qestio ) de trover a imite de a site ) im Jstifios qe O sait qe a imite d e site décroissate est miorat de a site et qe c est e ps grad des miorats O sait qe est miorat de a site doc est ps grade qe soit O raisoe par absrde Si était strictemet iférier à, o porrait trover itervae overt I coteat mais e coteat par I existerait etier atre N te qe si N, I (défiitio de a imite) Doc serait strictemet iférier à ce qi est impossibe doc O pet évoqer e fait qe est miorat strict de a site Néamois, o pet seemet dire qe a imite est spériere o égae à O dit qe iégaité stricte e passe pas à a imite Das e TPLI (théorème de passage à a imite das e iégaité), o pet jste dire q ee cocere des iégaités arges U cotre-exempe est fori par a site de terme gééra Tos es termes sot strictemet positifs Néamois, a imite est égae à Jstifios qe O sait qe est a imite de a site À partir de à, o va exprimer de dex maières différetes a imite de ce qi va os permettre de trover e égaité vérifiée par D e part, im de maière évidete (car a site vers a même imite pisq ee a es mêmes termes mais décaée de ) coverge vers doc a site coverge D atre part, im im (car a foctio f : x x est cotie sr so esembe im f f ) de défiitio doc O pet assi appiqer a propriété sivate : est e site défiie sr N dot tos es termes sot positifs o s Si, aors O sait qe doc La site est à termes positifs o s Par site, Atre faço :

8 im Par icité de a imite d e site, () d e part d atre part (admis) Programmos cet agorithme sr cacatrice et idiqer e ombre obte e sortie por e, Après avoir programmé agorithme sr cacatrice, por e,, o obtiet e sortie Étde d e site dot e terme géérae est défii par e somme Dédisos-e a vaer de () (o retrove e poyôme cosidéré à a qestio )) o Comme, o e dédit qe Cocsio : im coverge vers Remarqe : O pet assi former e disat qe est sotio de éqatio x x Cette éqatio est e éqatio irratioee O pet résodre ce type d éqatio par éqivaeces (mais o a pas appris à e faire) o par impicatio (ce qe os avos fait ici) 5 ) Écrivos agorithme qi por e vaer de e, rée strictemet positif, saisie e etrée, permet d afficher e sortie e ps petit etier atre te qe e I s agit d agorithme de détermiatio de vaer sei avec e boce «Tatqe» Les variabes, e et sot des ombres Etrée : Lire e Iitiaisatios : pred a vaer 7 pred a vaer Traitemet : Tatqe e Faire pred a vaer pred a vaer FiTatqe Sortie : Afficher est défiie par e sommatio : est pas a somme des termes d e SA i e SG (i e site arithmético-géométriqe) I y a pas de forme sommatoire d cors qe o pisse appiqer O dit qe est e série Les séries sot étdiées das eseigemet spérier O pet retrer a site sr cacatrice soit par récrrece (maadroit) soit ptôt e tiisat a «foctio somme» comme sit por a cacatrice TI : O se pace e mode «site» et das o tape : K / K o somme(seq(/(k*(k+),k,,) O otera qe e mot «seq» est rempacé par e mot «site» si a cacatrice est e fraçais Attetio à a sytaxe : i e fat omettre ace parethèses, écrire e sige de mtipicatio de a cacatrice O retre Mi pisqe a site est défiie à partir de idice K O pet aors faire apparaître e tabea de vaers o bie e age de poits ) Cacos,, O dit qe o «déveoppe» e symboe Remarqe : ; etc Attetio à e pas commettre a fate qi cosiste à écrire : errer

9 ) Démotros qe N ère méthode : * N e méthode : N * * ) Détermios e expressio simpifiée de Cas particier por : Das e cas gééra, Por écrire e somme e extesio, o est obigé d tiiser des poitiés Si o cotie, o observe pricipe d aatio des termes d e égaité avec a sivate (e e terme d e égaité s ae tojors avec e er d sivat) Ce qi permet de bie compredre e pricipe des domios additifs Qad o additioe es membres de droite, i y a des termes qi s aet dex à dex O e rédige pas vraimet O écrit : O obtiet aisi e forme sommatoire (o a défii de maière expicite e foctio de ) O pet retrover cette forme sommatoire grâce à ogicie de cac forme Ue atre faço de faire e téescopage cosiste à travaier directemet sr es sommes (chagemet d idice : trasatio d idice) ) Détermios im O tiise expressio simpifiée de détermiée à a qestio précédete O e pet e effet pas détermier a imite de a site à partir de expressio origiae (défiie par e somme) im doc im O pet doc dire qe a site coverge vers Qad o additioe membre à membre totes ces égaités, tos es membres de gache formet e somme qi est égae à a somme qi défiit (grâce à expressio de ) Ce e sot pas de égaités séparées mais des égaités q o va totes additioer membre à membre Les poitiés sot à por sigifier qe o a pas écrit totes es égaités (o e pet pas pisqe o a pas a vaer de )

10 O a doc im O dit qe a somme de a série de terme gééra est égae à et o pet s atoriser à écrire Cette écritre symboiqe sera beacop tiisée das e spérier Ee est à compredre das e ses d e imite Commetaire : O a e espèce de passage de ifii a fii a ses où o a e somme ifiie de termes qi coverge vers e imite fiie 5 Étde d e site dot e terme géérae est défii par e somme Or d où La site est strictemet croissate à partir de idice ) Démotros, qe por tot etier atre, o a Soit etier atre spérier o éga à O a : Or (o pet e fait écrire e iégaité stricte) d où Doc comme es dex membres sot strictemet positifs, par passage à iverse, o obtiet : d où ) Dédisos-e qe et qe est majorée est a somme des iverses des carrés des etiers de à I existe pas de forme sommatoire por cette site ( ogicie de cac forme e pet pas simpifier cette somme) Comme das exercice précédet, o pet retrer a site sr cacatrice e tiisat a «foctio somme» comme sit por a cacatrice TI : O se pace e mode «site» et das o tape : somme(seq(/k^,k,,) Attetio à a sytaxe : i e fat omettre ace parethèses, écrire e sige de mtipicatio de a cacatrice O retre Mi pisqe a site est défiie à partir de idice O pet aors faire apparaître e tabea de vaers o bie e age de poits ) Détermios e ses de variatio de a site O procède par différece O rempace sccessivemet par,, das iégaité et o écrit es iégaités obtees es es e dessos des atres O additioe membre à membre totes es iégaités obtees O obtiet : O a p additioer membres à membres totes es iégaités car ees ot e même ses (*) Tos es termes de a e somme se retrove das a ère somme doc es termes s aet

11 v est e site majorate O e pet pas dire qe est majorat de a site car ce est pas ombre fixe qi e déped La site v défiie par pas de U majorat doit être e costate Atre formatio éqivaete : Défiitio : est pas majorat de a site pisq i déped de État doées dex sites et v défiies sr N, o doit qe a site v majore N v orsqe O observera qe a otio (o qe a défiitio d e) de site majorate est idépedate de tote mootoie L expressio doc permet d obteir de maière immédiate majorat de cette site et doc de a site d où O e dédit, par trasitivité, qe (**) Doc est majorée par (*) O pet additioer membres à membres des iégaités de même ses Si o e iégaité et e iégaité stricte, aors o pet écrire e iégaité stricte (**) O porrait mettre e iégaité stricte, pe importe E effet, e iégaité stricte etraîe e iégaité arge (a réciproqe est fasse) ) Démotros qe a site est covergete La site est croissate et majorée par doc d après e théorème sr es sites croissates majorées (à citer : «Tote site croissate majorée coverge»), ee coverge vers e imite O pet dire et même qe car e premier terme de a site est Remarqe : O pet démotrer par diverses méthodes qe cette imite est égae à, réstat qi e maqe pas de srpredre a premier abord est évidemmet a vaer exacte de a imite de cette site réstat vaabe iqemet por cette site, bie sûr O porra oter qe est e site de ratioes (évidet car est défii comme e somme de ratioes aors qe ) O e demade pas de cacer cette imite de totes faços, e Termiae, o e a pas es moyes Cette site est à reier à a site très céèbre q o retrove sovet das eseigemet spérier : site S dot e terme gééra est a somme des iverses des carrés des etiers atres Cette site est défiie par S Ee est défiie cette fois à partir de idice O pet démotrer (a démostratio est cepedat pas d ivea de termiae) qe S ted vers ted vers +, atremet dit qe o ecore qe a somme des iverses des carrés des etiers atres (e démarrat de ) ted vers Ce réstat permet de trover a imite de a site Cette site sera reprise das e spérier avec a otio de série O retrove des réstats simiaires por totes es pissaces paires : 8 ; ; ; ; etc orsqe U te réstat a, e revache, pas été démotré à ce jor por es pissaces impaires Le mathématicie fraçais Apéry a cepedat démotré e 97 qe C où C est rée irratioe O pet trover des vaers approchées de e cacat qeqes vaers de Par exempe, avec a cacatrice TI 8, o obtiet por approchée de affichage :,9997 qi doe e vaer

12 7 S N * Démotros qe S O e cherche évidemmet pas à cacer cette somme S! ( N ) ère versio : Démotros qe O e cherche pas à cacer a somme S! O a : (es iégaités sot e fait strictes, mais o s e fiche) Doc d après e pricipe de majoratio rappeé das éocé, o pet écrire : S soit Atre versio : S O a :!!!!! (es iégaités sot e fait strictes, mais o s e fiche) Doc S! soit S E effet,!!! S N * Démotros égaité!! Démotros qe S O a (es iégaités sot e fait strictes, mais o s e fiche) Le ombre de termes de a somme est Le ps grad terme de a somme est E majorat tos es termes de a somme par Commetaires :, o obtiet soit S S O porrait rempacer e sige par e sige qi doe e majoratio ps précise O porrait majorer tos es termes de a somme par O obtiet aors a majoratio : S Cette majoratio est mois précise O a :!! Doc Comme et sot des etiers coséctifs, i s agit d prodit de tos es etiers atres de à!! Doc e versio : Démotros qe O a :!!!!! S! Le ombre de termes de a somme est Le ps grad terme de a somme est! E majorat tos es termes de a somme par!, o obtiet S! soit S! O porrait tiiser a forme sommatoire doat a somme des cbes des etiers atres de à : S Ce est pas ce qi est atted L itérêt d pricipe de majoratio grossier c est de povoir majorer o miorer des sommes dot o e vet/pet trover e expressio simpifiée (forme de rédctio)

13 8 S * ( N ) O e cherche pas à cacer a somme ) (passage à iverse das iégaité ; tos es ombres sot strictemet positifs) (o a mtipié tos es ombres par, ) ) Dédisos-e ecadremet de S pis im S D après e pricipe d ecadremet d e somme, S Atre faço : Le ps grad terme de S est Le ps petit terme de S est S est «composée» de termes D après e pricipe de majoratio-mioratio grossier d e somme, o a : S soit S O : E ecadrat chaqe terme par e ps petit et e ps grad, o obtiet : S soit S Por détermier a imite, o trasforme es dex expressios de tee sorte à e pas avoir de forme idétermiée im et Or N * im S Doc d après e théorème des gedarmes, im S Commetaire : Bie qe ecadremet obte das a qestio a) ait p apparaître grossier de prime abord, os voyos q i permet éamois de trover a imite grâce a théorème des gedarmes C est por cea q i est itéressat d étdier ce pricipe ) Les variabes, S, sot des ombres Etrée : Saisir Iitiaisatio : S pred a vaer Traitemet : Por aat de à Faire S pred a vaer S FiPor Sortie : Afficher S Avec e programme correspodat sr cacatrice, o trove : S5,97979