Chapitre 2: CINEMATIQUE DU POINT

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1 I - DÉFINITIONS : Chapite : CINEMATIQUE DU POINT La mécanique est une banche de la physique qui s'intéesse aux mouvements et aux changements des positions des objets physiques. A - La cinématique : Elle pemet d'étudie les mouvements d'un mobile, pa appot à un epèe de éféence, en fonction du temps indépendamment des causes qui les poduisent. Elle a pou but de pécise les tajectoies et les lois hoaies. B - La dynamique : Elle pemet d'étudie les causes physiques qui povoquent le mouvement. C - La statique : Elle pemet d'étudie les conditions pou lesquelles il n'existe pas de mouvement (étude de l équilibe d un système soumis à des actions extéieues). En mécanique classique, et au cous de nos études, on considèe que tout système physique est éduit à un point matéiel coïncidant avec son cente de gavité et contenant sa masse m. Nous admettons que sa vitesse v est négligeable devant la céléité de la lumièe C. II - TRAJECTOIRE et POSITION DU POINT MATÉRIEL : A- TRAJECTOIRE : La tajectoie d'un mobile ( point matéiel ) est le lieu géométique des positions successives occupées pa le mobile au cous du temps pa appot au epèe choisi. Elle est définie pa tois fonctions du temps : x(t), y(t) et z(t) qui pemettent de détemine l'équation hoaie du mouvement s = f(t). s est appelé abscisse cuviligne et égale à la longueu de l'ac M 0 M, M 0 est la position initiale du mobile B- POSITION DU POINT MATÉRIEL : La position du point matéiel peut ête définie au cous du temps en fonction du vecteu position OM = (t) ; pou cela il est nécessaie de considée un éféentiel ( fixe et non défomable au cous - 1 -

2 du temps ) fomé d'un epèe othonomé (défini pa son oigine, sa base et ses axes ) menu d'une hologe qui indique le temps. On peut aussi epée ce vecteu en utilisant les difféents systèmes de coodonnées III- REPÈRES OU RÉFÉRENTIELS : SYSTÈME DE COORDONNÉES 1- Coodonnées catésiennes: Dans un epèe othonomé d'axes Ox, Oy, Oz et de base (i, j, k) othonomée. ( O est l'oigine du epèe ), la position du point M au cous du temps est définie pa le vecteu position : OM(t) = (t) = x i + y j + z k x, y, z, sont les coodonnées catésiennes du point M. Le module de OM est OM = x + y + z Pou un élément de volume, on a en coodonnées catésiennes : dv = dx.dy.dz IV- VECTEURS VITESSES ET ACCÉLÉRATIONS : A- LA VITESSE : Le vecteu vitesse du point M est le vecteu lié d'oigine M égal au vecteu déivé pa appot au temps du vecteu position : dom si = OM alos : v = dt Dans le epèe othonomé (O, i, j, k), on a : Le module du vecteu vitesse est la quantité : dx dy dz v = i + j + k dt dt dt ds dx dy dz v = = + + dt dt dt dt où «ds» est la vaiation élémentaie de l'abscisse cuviligne. Remaque : La vitesse instantanée est potée pa la tangente à la tajectoie au point M alos que la vitesse moyenne est potée pa la code MM'

3 B- L'ACCÉLÉRATION : L'accéléation à un instant donné d'un mobile M, considéé comme un point matéiel, est le vecteu déivée du vecteu vitesse pa appot au temps. dv d OM a = = dt dt Dans le epèe othonomé (O, i, j, k), on a : dv d x d y d z a = = i + j + k dt dt dt dt Le module «a» du vecteu accéléation a est la quantité : d x d y d z a = + + dt dt dt 1 L unité de l accéléation est le mète pa seconde pa seconde : (m / s ) ou m.s. C - HODOGRAPHE : Si on étudie le vecteu vitesse en imposant une oigine fixe O 1 et en epésentant le vecteu équivalent au cous du temps, la coube obtenue en considéant l'ensemble des positions de H constitue l'hodogaphe du mouvement. Losque M décit la tajectoie, H décit l hodogaphe des vitesses. Remaque : le vecteu vitesse du point H est équivalent au vecteu accéléation du mobile M et on écit : a = = = dt dt dt do1h dv d OM - 3 -

4 COORDONNÉES CYLINDRIQUES En coodonnées cylindiques, la position du point M est epéée pa le ayon polaie ρ ( t ), pa l'angle polaie θ ( t ), et la cote z( t ), qui peuvent vaie en fonction du temps : Les coodonnées cylindiques ρ, θ et z du point M sont liées aux coodonnées catésiennes pa les elations suivantes : x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z ρ = x + y y θ = actg θ est défini à π pès x z = z avec = OM = x + y + z Dans la base othonomée des coodonnées cylindiques OM = ρ e + z k ρ (e, e, e ) ρ θ z le vecteu position s'écit : Pou un élément de volume en coodonnées cylindiques on a : dv = ρ d ρ d θ dz En utilisant les ésultats obtenus en coodonnées polaies et en les complétant, on obtient pou : le vecteu vitesse : dom... v = = ρ eρ + ρθ eθ + z k dt Le vecteu accéléation s'écit : - 4 -

5 COORDONNÉES SPHÉRIQUES 3- COORDONNÉES SPHÉRIQUES : En coodonnées sphéiques la position du point M est epéée pa Dans la base othonomée des coodonnées cylindiques. le vecteu position : OM =.e. le vecteu vitesse : (e, e, e ) θ ϕ on a :. le vecteu accéléation s'écit : (on vous laisse le soins de le démonte) θ ϕ θ a = ( θ ϕ sin θ ).e + ( + θ ϕ sin θ cos θ ).e + ( θϕ cot g θ + ϕ).e ϕ - 5 -

6 COORDONNÉES POLAIRES IV- COORDONNÉES POLAIRES OU SEMI-POLAIRES En coodonnées polaies, la position de M est epéée pa le ayon vecteu OM = ρ.e ρ de module ρ ( t ) et pa l'angle polaie θ ( t ) qui peuvent vaie en fonction du temps : x = ρ cos θ y = ρ sin θ Pou un déplacement élémentaie, on doit avoi deux accoissements dρ et dθ L'élément de suface est égal à ρ.dρ dθ. On définit les vecteus unitaies (e, e ) ρ θ dans la base (i, j) : Dans la base des coodonnées polaies (e, e ), le vecteu position s'écit ρ θ Remaque : Les accéléations adiale et othoadiale sont difféentes de celles nomale et othonomale

7 COORDONNÉES INTRINSÈQUES TRIÈDRE DE SERRET-FRENET A chaque point M d'une coube C, il est possible d'associe le tiède d'oigine M qui est un éféentiel tangent à la coube dont les axes sont définis pa les vecteus unitaies, et avec: Le tiède constuit su la base diecte (T, N, B) est appelé tiède de Seet-Fenet. Le plan contenant les vecteus T et N est appelé plan osculateu. Remaque impotante: L'oigine du tiède est le point M et non pas le point O. Le vecteu vitesse s'écit : Le vecteu accéléation est défini pa : ds v = v.t = T dt dv v a = T + N dt R Autes emaques : Dans la base (T, N, B) du tiède de Seet-Fenet, les composantes du vecteu vitesse sont : c - 7 -

8 Le vecteu accéléation a est la somme d'un vecteu accéléation tangentielle tangente et d'un vecteu accéléation nomale a N poté pa la nomale pincipale : dv v a = at + a N = a T.T + a N.N = T + N dt R dv v at = et a N = dt R c c a T poté pa la Remaque : Si on connaît l'accéléation du mouvement, on peut intége pou détemine son équation ; et en connaissant son équation, on déive pou détemine son accéléation

9 CHANGEMENT DE REPÈRE 1-Mouvements elatifs et absolus : Les équations hoaies de la tajectoie, de la vitesse et de l'accéléation d'un mobile dépendent du système de éféence auquel est appoté le mouvement. Soit un éféentiel fixe au cous du temps, un éféentiel en mouvement pa appot à et M un point qui se déplace pa appot à selon le schéma suivant : Le mouvement de M pa appot à est appelé mouvement elatif. La tajectoie ( C ), la vitesse et l'accéléation sont toutes elatives. Le mouvement de M pa appot à ( epèe fixe) est appelé mouvement absolu. La tajectoie ( C a ), la vitesse et l'accéléation absolues. Le mouvement de pa appot à est appelé mouvement d'entaînement. La tajectoie (C e ), la vitesse et l'accéléation sont dites d'entaînement. -COMPOSITION DES VITESSES : Supposons que ( x, y, z ) sont les coodonnées de M dans le epèe fixe et que ( X, Y, Z ) sont les coodonnées de M dans le epèe mobile A l'instant t on a : Si on déive OM = OO' + O'M o O'M = X.I + Y.J + Z.K - 9 -

10 dx dy dz V =.I +.J +.K est appelée vitesse elative et epésente la vitesse du point M dans le dt dt dt epèe mobile doo' di dj dk V e = ( + X + Y + Z ) dt dt dt dt est appelée vitesse d'entaînement et epésente la vitesse du epèe mobile pa appot au epèe fixe ( méthode du point coïncidant dont les coodonnées X, Y, et Z sont constants dans le temps ) THÉORÈME DE COMPOSITION DES VITESSES : Le vecteu vitesse absolue est égal à la somme des vecteus vitesses elative et d'entaînement : V = V + V a e 3- COMPOSITION DES ACCÉLÉRATIONS : Si on déive le vecteu vitesse absolue pa appot au temps, on obtient le vecteu accéléation absolue définit dans le epèe : d X d Y d Z a = (.I +. +.K) est l'accéléation du point M pa appot au epèe mobile dt dt dt ou accéléation elative d OO' d.i d.j d.k a e = ( + X.. + Y. + Z. ) est l'accéléation d'entaînement qui epésente dt dt dt dt l'accéléation du epèe mobile pa appot au epèe fixe ( méthode du point coïncidant dont les coodonnées X, Y, et Z sont constants dans le temps ) dx di dy dj dz dk ac = ( + + ) est l'accéléation complémentaie ou l'accéléation de Coiolis. dt dt dt dt dt dt

11 THÉORÈME DE COMPOSITION DES ACCÉLÉRATIONS : Le vecteu accéléation absolue est égal à la somme des vecteus accéléations elative, d'entaînement et de Coiolis : On démonte aussi que : a = a + a + a a e c