Analyse factorielle de variance: Principes d expérimentation

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1 Analyse factorielle de variance: Principes d expérimentation Plans à groupes indépendants: organisation Organisation factorielle: variables et plus produit cartésien des niveaux Longueur de la liste Type de mots Abstraits Concrets 10 mots n 11 n 1 0 mots n 1 n 30 mots n 31 n 3

2 Plans factoriels à groupes indépendants: notion particulière Effet principal effet spécifique de la variable indépendante Effet d interaction l effet d une variable indépendante n est pas le même à tous les niveaux de l autre variable indépendante Graphique d un effet principal v.d. v.i. 1 v.i.

3 Graphique d un effet d interaction v.d. v.i. 1 v.i. Rappel (1) Laquelle des? Permutations: assemblement d objets quand la séquence d assemblage fait une différence P r! ( r)! Combinaisons: assemblement d objets quand la séquence d assemblage ne fait pas de différence C r! r!( r)!

4 Limite des plans factoriels: multiplication des facteurs Si pour facteurs, il y a 1 interaction; pour 3 facteurs, il y a 4 interactions; pour 4 facteurs, il y a 11 interactions; pour 5 facteurs, il y a 6 interactions. pour, Rappel () Au début de tout se trouve la variance, 1 soit l éloignement d une mesure (i) par rapport à sa tendance centrale ( )

5 Rappel (3) Cette variance sera décomposée en deux sources de variance, chacune décomposable. Une nouvelle notation sera utilisée + total traitement erreur Analyse factorielle de variance: Principes statistiques (1) + total traitement erreur + + A B total AxB erreur traitement.b.: traitement s appelle maintenant cellules dans Howell

6 Analyse factorielle de variance: Principes statistiques () soustractions erreur AxB total traitement traitement A B Calcul de l analyse de variance: les sommes de carré (1) Total traitement erreur j ij j n T j ( ) ( ) T n j

7 Calcul de l analyse de variance: les sommes de carré () traitement A B j a nb T T b na Longueur de la liste Type de mots Abstraits Concrets 10 mots n 11 n 1 0 mots n 1 n 30 mots n 31 n 3 T n a b j ( ) ( ) ( ) Calcul de l analyse de variance: effet de l interaction Rappel AxB traitement A B Interprétation d une interaction significative graphique comparaisons multiples calculs d effet simple d une variable indépendante aux niveaux de l autre variable indépendante

8 F Comparaison des variances: le rapport F ( 1, k ) k CM CM traitement erreur où k-1 et -k sont les dl du rapport F Calcul de l analyse de variance: des sommes de carré aux carrés moyens CM traitement traitement k 1 CM erreur erreur k

9 Analyse factorielle de variance: Principes statistiques (3) les degrés de liberté (dl) total 1 k a x b dl A a 1 dl B b 1 dlinteractio n multiplication des dl des facteurs composant l'interaction dlerreur k Analyse factorielle de variance: Principes statistiques (4) les carrés moyens (CM) chaque carré moyen s obtient par la division de sa par son dl Le test F est un rapport de variance, soit le carré moyen d un traitement divisé par le carré moyen d erreur

10 Rappel (4): les étapes des tests statistiques 1) Formulation de l hypothèse nulle et de l hypothèse alternative ) Sélection d un test et du seuil alpha 3) Détermination des dl et de la valeur critère 4) Calcul 5) Décision eu égard à l hypothèse nulle 6) Formulation d une conclusion Deux indices de la taille de l effet η total σtraitement erreur traitement σ total total total σ ω σ traitement total traitement- (k-1) CM total+ CMerreur erreur

11 Présentation des résultats de l analyse de variance en style APA Tableau, voir manuel p. 19 Texte, voir p e éd. exemple: Les participants font plus d erreurs (M10,0) quand ils voient les lettres pour un court laps de temps que pour une durée de présentation plus longue (M7,0), F (1, 16) 18.00, p <.05, η 0.1. Un exemple de calcul Du schème à 1 facteur au schème à facteurs

12 Problème 11.3 Jeunes/ - élevé Jeunes/ + élevé Vieux / - élevé Vieux / + élevé ,50 19,30 7,00 1,00 1,43,67 1,83 3,74 Problème 11.3: les carrés Jeunes/ - élevé Jeunes/ + élevé Vieux / - élevé Vieux / + élevé

13 ( ) total (448) / / ,6 198,4 traitement (65) + (193) T j ( ) n+ (70) + (10) j / , ,6 6077,4 5017, ,8 erreur total - traitement 198,4 1059,8 38,6 A1 Jeunes A Vieux Total B élevé B élevé Total

14 Calcul de l analyse de variance: les sommes de carré () ( ) B A T a nb b na AxB T traitement b a A ( ) B T ( ) A (58) + (190) - (448) a nb / ,6 5133, 5017,6 115,6 0 T B (135) + (313) b - (448) /40 b na , ,6 5809,7 5017,6 79,1 0 AxB traitement - A - B 1059,8 115,6 79,1 15,1 a ( )

15 Le tableau d analyse de variance Source de variation Âge iveau de traitement Âge x iveau de traitement Erreur Total dl CM F p Au-delà de l analyse factorielle de variance Comparaisons multiples: du test t aux autres t ( dl) 1 s1 1 + s q ( dl,dl) i n CMerreur Schèmes à mesures répétées - considérer l erreur comme juchée dans les facteurs intersujets - dl (n-1)x(ab ) j

16 Un autre exemple de calcul Un schème à groupes indépendants (intersujets) x x 3. Les données A1 A B1 B B1 B C1 C C3 C1 C C3 C1 C C3 C1 C C

17 Les carrés des valeurs A1 A B 1 B B1 B C1 C C3 C1 C C3 C1 C C3 C1 C C Grand total total (830) / / traitement (40) + (7) + + (6) + (70) erreur total - traitement

18 Calculs des totaux des effets principaux de A, B, et C A1 A B1 B B1 B C1 C C3 C1 C C3 C1 C C3 C1 C C A1 540 A 90 B1 310 B 50 C C Grand total 830 C A (540) + (90) - (830) B (310) + (530) - (830) C (190) +(70) + (370) - (830)

19 A1 A B1 B B1 B C1 C C3 C1 C C3 C1 C C3 C1 C C Interaction AB B1 B Total A A A Total B intercondab (19) + (348) + (118) + (17) AxB intercondab - A - B

20 A1 A B1 B B1 B C1 C C3 C1 C C3 C1 C C3 C1 C C Interaction AC C1 C C3 Total A A Total C intercondac (10) + (180) + (40) + (70) + (90) + (130) AxC intercondac - A C

21 A1 A B1 B B1 B C1 C C3 C1 C C3 C1 C C3 C1 C C Trouvez comment le Interaction BC tableau a été construit C1 C C3 Total B B Total C intercondbc (70) + (100) + (140) + (10) + (170) + (30) AxC intercondbc B C

22 Le tableau de l interaction triple est la retranscription des totaux du tableau de départ Interaction A B C C 1 C C 3 B A 1 B B A B AxBxC traitement - A B - c - AxB BxC - AxC Source de variation dl CM F p A (expérience) 130, ,08 48,78 <,05 B (conditions) 918, ,75 34,4 <,05 C (route) 1016,67 508,33 19,04 <,05 AxB 16, ,75 8,1 <,05 AxC 116,67 58,33,19 >,05 BxC 50,00 5,00 0,94 >,05 AxBxC 146,00 73,00,73 >,05 Erreur 961, ,69 Total 477,9 47

23 Interaction AB B1 B Total A A A Total B Cette interaction est significative parce que la différence entre les niveaux de A (540 à 90) n est pas la même à chaque niveau de B (19 à 118 pour B1 versus 348 à 17 pour B) ou la différence entre les niveaux de B (310 à 50) n est pas la même à chaque niveau de A (19 à 348 pour A1 versus 118 à 17 pour A) Interaction BC C1 C C3 Total B B Total C Cette interaction n est pas significative parce que la différence entre les niveaux de B (310 à 50) est semblable à chaque niveau de C (70 à 10 pour C1 vs 100 à 170 pour C vs 140 à 30 pour C3) ou la différence entre les niveaux de C (190 à 70 à 370) est semblable à chaque niveau de B (70 à 100 à 140 pour B1 versus 10 à 170 à 30 pour B)

24 A 1 B 1 9 Exemple d effet simple A 1 B 7 A B 1 5 A B 13 Σa Σa (Σa) n(σa) Le tableau d analyse de variance Source de variation dl CM F p Type de lettrage >.05 Effet simple du Texp. au niveau du lettrage normal Effet simple du Texp. au niveau du lettrage en ital > <.05 Erreur Total 15 19

25 Un autre exemple de calcul Un schème à groupes indépendants (intersujets) 3 x. Effet de l intensité de l exercice et de son moment sur la durée du sommeil. Exercice d intensité légère modérée élevée moment matin soir matin soir matin soir 6,5 7,1 7,4 7,4 8,0 8, 7,3 7,9 6,8 8,0 7,6 8,5 6,6 8, 6,7 8,1 7,7 8,7 7,4 7,7 7,3 8, 6,6 9,5 7, 7,5 7,6 7,6 7,1 9,6 6,8 7,6 7,4 8,0 7, 9,4 Somme Moyenne Écart-type Somme de tous les Somme de tous les au carré

26 Étape 1 de calcul des sommes de carrés ( ) ( 76,4) 143,18 1,04 Total 36 41,8 15,47 traitement + 46 T j j n + 43, + 47,3 + 44, 6 ( ) + 53,9 1,14 1,04 15,47 5,57 erreur A1 exercices légers A exercices modérés A3 exercices élevés Total B1 41,8 43, 44, 19, matin B 46,0 47,3 53,9 147, soir Total 87,8 90,5 98,1 76,4

27 A a nb A1 exercices légers T a Étape A exercices modérés ( ) 87,8 + A3 exercices élevés 90, ,1 Total B1 41,8 43, 44, 19, matin B 46,0 47,3 53,9 147, soir Total 87,8 90,5 98,1 76,4 1,14 16,89-1,14 4,75 A1 exercices légers Étape A exercices modérés A3 exercices élevés Total B1 41,8 43, 44, 19, matin B 46,0 47,3 53,9 147, soir Total 87,8 90,5 98,1 76,4 ( ) 19, + 147, B T b na b 6 3 1,14 131,14-1,14 9

28 A Étape des calculs de somme de carrés: effets indépendants et interaction a nb T a ( ) 87,8 + 90, ,1 1,14 16,89-1,14 4,75 B b na T b ( ) 19, , 1,14 AxB traitement 15,47 4,75 9 1,7 A 131,14 B - 1,14 9 Le tableau d analyse de variance Source de variation Intensité de l exercice dl CM F p 4,75,375 13,06 <.05 Moment 9,00 1 9,000 48,39 <.05 Intensité x moment 1,71 0,855 4,70 <.05 Erreur 5, ,186 Total 1,04 35

29 Examen de l interaction significative A1 exercices légers A exercices modérés A3 exercices élevés Total B1 41,8 43, 44, 19, matin B 46,0 47,3 53,9 147, soir Total 87,8 90,5 98,1 76,4 Un exemple de calcul I. Lettré, une chercheure de réputation internationale, présente des mots simples de type CVC (ex.: bol) en lettrage conventionnel ou en italique en des temps d exposition courts et très courts. Elle enregistre le nombre d erreurs d identification de mots faites par 0 participants et participantes

30 Le Tableau d analyse de variance Source de variation Type de lettrage 1 Temps d exposition Type de lettrage x Temps d exposition Erreur 16 Total dl CM F p 1 1 Trois hypothèses (1) Hypothèse nulle # 1: Il n y aura pas plus d erreurs dans un type de lettrage que dans l autre F critère (1, 16) Hypothèse alternative # 1: Il y aura plus d erreurs avec le lettrage en italique qu avec le lettrage normal Hypothèse nulle # : Il y aura autant d erreurs au temps d exposition court qu au temps d exposition très court F critère (1, 16) Hypothèse alternative # : Il y aura plus d erreurs au temps d exposition très court qu au temps d exposition court

31 Trois hypothèses () Hypothèse nulle # 3: Il y aura autant d erreurs dans chacune des quatre conditions du plan factoriel composé par le type de lettrage et la durée du temps d exposition F critère (1, 16) Hypothèse alternative # 3: Il y aura plus d erreurs dans une des quatre conditions du plan factoriel composé par le type de lettrage et la durée du temps d exposition Les sommes de carré dans le calcul de l analyse de variance: rappel ( ) Total traitement erreur j ij j T n j ( ) T n j

32 Lettrage normal (A1) 90 mec (B1) 45 msec (B) Lettrage Italique (A) 90 msec (B1) 45 msec (B) A1B1 A1B AB1 AB Calcul de l analyse de variance: ( ) total (170) /0 les sommes de carré 1660 (1) 8900/ T traitement (45) + (5) j ( ) + (35) + (65) j n - 5 (170) / erreur total - traitement

33 A1 Lettrage A Lettrage Total normal Italique B ms B ms Total Calcul de l analyse de variance: les sommes de carré () ( ) B A T a nb b na AxB T traitement b a A ( ) B

34 ( ) A (80) + (90) - (170) a nb / B (70) + (100) b - (170) /0 b na T T a AxB traitement - A - B ( ) Le tableau d analyse de variance Source de variation Les dl CM F p Type de lettrage par division >.05 Temps d exposition La colonne Source de variation identifie Les les s additionnent facteurs CM Plus du schème petit que de.05 recherche s obtiennent signifie rejet de L APA l hypothèse exige nulle, des et dl plus SPSS grand identifie son Le total appropriés d autres sources Le rapport une acceptation F nouvelle représente de variation qu il compare colonne un pour la variance faut η ou omettre ω du totale de la traitement avec variable rapport le CM de l erreur dépendant e Type de lettrage x Temps d exposition 45 1 maintenant < effet 1 (CM) 15.0 de tableau dans le <.05 Erreur Total Les dl aussi