Factorielle de n. Combien y a-t-il de zéros à la fin de n!? * 20! = *

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Bénédicte Bouchard
il y a 6 ans
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1 situatios Meu gééral U éocé au lycée : Combie y a-t-il de zéros à la fi de!? *************************** 20! = *************************** Cette situatio a été expérimetée au collège, au lycée et avec des étudiats. Eviro deux heures semblet écessaires pour ue mise e œuvre aboutie. Retour au Meu Gééral La situatio e détail

2 Meu Gééral Voir situatios Meu gééral Objets s potetiellemet d appretissage Voir Voir Sythèse Voir Voir Voir Retour au Meu Gééral

3 Mathématique situatios Étude des chiffres de! das u système de umératio doé Meu gééral Aalyse du problème

4 Aalyse Mathématique situatios Meu gééral U ombre m écrit das la base 10 se termie par k zéros si et seulemet si sa décompositio e produit de facteurs premiers peut s écrire : m = 2 k 1 5 k 2 avec k = mi(k 1, k 2 ) Retour au Meu Suite

5 Aalyse Mathématique situatios Meu gééral Preuve : Supposos que le ombre m se termie par k zéros alors m = m 1 10 k = m 1 2 k 5 k ; si 5 divise m 1 alors 2 e divise pas m 1 (sio il y aurait u 0 de plus) et de même si 2 divise m 1 alors 5 e divise pas m 1. Doc m = 2 k 1 5 k 2 avec k = mi(k 1, k 2 ) Réciproquemet : Si m = 2 k 1 5 k 2 avec k = mi(k 1, k 2 ) alors m = 2 k 5 k 2 k 1 k 5 k 2 k et l u des deux ombres k 1 k ou k 2 k au mois est ul ; doc m se termie par k zéros. Retour au Meu Suite

6 Aalyse Mathématique situatios Meu gééral Pour détermier le ombre de zéros à la fi de!, il suffit doc de détermier l exposat de 5 das la décompositio e produit de facteurs premiers, le ombre de 2 état plus importat que le ombre de 5... Ce que l o peut obteir de la maière suivate : ou bie : ( ) E 5 k k=1 p ( ) E 5 k k=1 avec p l etier tel que 5 p < 5 p+1 Retour au Meu

7 Objets s potetiellemet situatios Meu gééral - écriture scietifique, arrodi d u réel - lie etre écriture décimale et décompositio e facteurs - divisibilité par 2 et par 5 - techique de déombremet - récursivité - représetatio de foctios discotiues, de suites, de courbes sur la calculatrice - écriture das ue autre base que 10, base ciq ici - usage du symbole Sigma - utilisatio de différetes calculatrices - utilisatio du calcul formel avec calculatrice ou logiciel Retour au Meu

8 Sites : situatios Meu gééral Feuille à problèmes Foire aux questios Recréomaths Prologemets Maths-Express - Exercice 11 Retour au Meu

9 Coexes situatios Meu gééral Des prologemets possibles : - quel est le derier chiffre o ul de!? - quel est le ombre de chiffres de!? - pour les élèves de Termiale S e spécialité : ombre de zéros e base avec premier ou o E lire u aperçu Retour au Meu

10 Coexes : U Aperçu situatios Meu gééral Le premier fait à remarquer est que le problème du ombre de zéros de Factorielle de est pas itrisèque, ce ombre dépedat de la base choisie pour écrire!. Pour tout ce qui cocere les ombres il y a des problèmes itrisèques, comme par exemple «est-ce que est premier?» et des problèmes qui dépedet de la base choisie, comme par exemple «le ombre de chiffres pour écrire u ombre». Regardos 12! ; e base 10, 12! s écrit , e base 2 il s écrit : 12! = , pardo 1100! = , et das la base 60, chère aux babyloies : 12! = , c est à dire presque 37 suivi de 4 zéros. A ce propos, ue petite aecdote : il y a quelques aées avec u collègue ous ous exercios à calculer e base 8, e vue de préparer ue coférece sur «les ombres et les machies» ; d où u échage du type : - 3 fois 7? doc 3 fois 6 fait 22, et 3 fois 5? La porte état ouverte, ue persoe de passage a eu u air complètemet ahuri et o a du lui expliquer ce que ous faisios. Retour au Meu Suite

11 Coexes : U Aperçu situatios Moralité : comme le calcul de! met e jeu essetiellemet la multiplicatio des ombres, le premier problème coexe est : «Établir les tables de multiplicatio das ue base a doée». Meu gééral Ce problème a de plus u itérêt historique comme e témoige la table de multiplicatio par 9 e base 60 retrouvée e Irak (avat l ivasio américaie!) sur ue tablette babyloiee datat d eviro 3800 as, utilisée par les scribes de l époque. Retour au Meu Suite

12 Coexes : U Aperçu situatios La suite! figure das la bibliothèque e lige des suites, aisi que la suite du ombre de zéros de! sous le om A Visiter la page du site Das cette page u grad ombre de propriétés de cette suite sot doées, outre celles déjà vues, voici ue foctio géératrice : Meu gééral g(x) = 1 1 x k=1 x 5k 1 x 5k. Le deuxième problème coexe est : «Trouver le ombre de zéros à la fi de! das ue base a doée». Pour la base 2, la répose se trouve das l ecyclopédie sous le om A ; cette page précise que le ombre de zéros de! e base 2 est égal aussi à mois le ombre de 1 das l écriture biaire de. Visiter la page du site Pour la base 3, voir A Visiter la page du site O pourra remarquer aussi que le ombre de zéros de! e base 5 est égal à celui de! e base 10, pourquoi? Retour au Meu Suite

13 Coexes : U Aperçu situatios Meu gééral Voici u programme (parmi tat d autres possibles), rédigé e «maple», qui associe à u ombre, le ombre c de zéros termiat! écrit das ue base b. >Nzero :=proc(,b) local a,c,i ; a :=covert(!,base,b) ; if a[1]>0 the c :=0 else c :=1 : for i to ops(a)-1 do if a[i+1]=0 the c :=c+1 fi ; if a[i]=0 ad a[i+1]>0 the break fi : od : fi : ed : >Nzero(12,2) ; 10 Retour au Meu Suite

14 Coexes : U Aperçu situatios Meu gééral U autre problème coexe est celui de : «Trouver le derier chiffre o ul de! e base b». Pour la base 10 usuelle, o pourra cosulter la page A qui précise que le ombre décimal 0, formé à l aide de ce derier chiffre o ul de! pour variat de 0 à l ifii est u ombre trascedat Visiter la page du site... c est u résultat très récet! Si pour la base 2 le résultat est évidet car le derier chiffre o ul e peut être que 1, pour la base 3 voir A Visiter la page du site Il semble que das la base 60 et pour > 5, le derier chiffre soit 12, 24, 36 ou 48. Etc. Retour au Meu

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