Chapitre 1 : Progressions et suites numériques

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1 Chapitre 1 : Progressions et suites numériques I. Progressions 1. Progression arithmétique a) Cours a, a, a,, a n formant une progression arithmétique (PA) si et seulement si + = a i + r N R où est une constante appelée raison. s appelle le tee de ag, allant de 1 à. Exemple 1 : 2 ;7 ;12 ;17 ;22 (PA croissante car > ) Exemple 2 : 17 ;14 ;11 ;8 ;5 ;2 = = = = = = PA décroissante car < b) Formules Formule donnant le terme général = = + = + = + = + = + Par récurrence sur on aura : = + (1) Das l eeple o a ie = + = + = Propriétés des termes équidistants des termes extrêmes.,,, m termes,., +,, une PA. De à il y a termes et de à m termes il y a encore m termes alors et seront nommés deux termes équidistants des extrêmes. On a { = + = + è è

2 Par soustraction on aura: = + = + Donc la somme des termes équidistants des extrêmes est égale à la somme des termes extrêmes. Dans l eeple o a ie + = + = = Remarque : Trois nombres réels ; ; forment une PA = + = + ; b sera appelé le moyen arithmétique entre a et c. Soe des tees d ue PA,,, est une PA de raison r. = + + est la somme des premiers termes de cette progression. On a : = = Par addition on aura : = = + D où : = + Ou = [ + ] c) remarque Insérer entre deux réels et oes aithtiues. Il s agit de touve les oes ; ;. tels que ; ; ;.. est une (PA). On a = + + = + Les nombres ; ;. s appellet oes aithtiues.

3 Exercices 1. Calculer et d ue PA oaissat : = ; = ; = 2. Calculer et d ue PA oaissat : = ; = ; = 9 3. Les deu peies tees d u PA sot -3 et +3 ; quel est le centième terme? 4. Le 5 ème et le 11 ème tee d ue PA sont -3 et 15 ; quelle est la somme des 40 premiers termes de cette progression? 5. La soe des tois tees osutifs d ue PA est, leu poduit est ; quels sont ces termes? 6. La soe des tois tees osutifs d ue PA est, la soe de leurs carrés est 365 ; quels sont ces termes? 7. Démontrer que ; ; + + ; + + ; + + est une PA. 8. On donne,,., tels que : = + où et deux nombres donnés : a) Exprimer en fonction de, et. b) Déduire que,,, est une PA

4 2. Progressions géométriques (PG) a) Cours,,, est une (PG) si et seulement si + = où est une constante appelée raison N; R; R Exemple 1 : 2 ;6 ;18 ;54 ;162 (PG croissant car > ) Exemple 2 : 32 ;16 ;8 ;4 ;2 ;1 = ; = ; = = = ; = ; = PG décroissant car < < b) Formules Formule donnant = = = = = = Par récurrence sur on aura : = Das l eeple o a ie = = = Propriétés des termes équidistants des termes extrêmes,,,, une PG de raison, et deux termes équidistants des termes extrêmes on a : = de à il y a termes = de à il y a termes En divisant on aura = =

5 Donc le produit des termes équidistants du extrêmes est égal au produit des extrêmes. Dans l eeple o a ie = = = = Remarque : ; ; est une PG = = ± s appelle oe gotiue ete et. Poduit des tees d ue PG =. = En multipliant on aura =. = = = [ ] = La formule (3) donne le produit p. Soe des tees d ue PG = = pour = = + D où = + = = D où la formule =

6 Remarque : Si = = = Si < < < + lim + = et lim + = ; Dans ce as o dit ue la pogessio gotiue est ovegete et sa soe à l ifii est gale à. C est-à-dire = (le nombre de terme augmente indéfiniment) Exercices : Insérer entre et moyens géométriques. Il suffit toujours de calculer les nombres,,, tels que,,,, ; est une progression géométrique ; on a : = + = + Si + est pair, on doit avoir Les nombres,,, sont les moyens géométriques demandés. Exercices 1. Calculer et d ue pogessio gotiue oaissat =, = et =. 2. Insérer entre 32 et 1, 4 moyens géométriques. 3. Les deu peies tees d ue PG sot et ; Quel est le 10ème terme? 4. Le 3 ème et le 9 ème tee d ue PG sot et. Quel est le peie tee de ette progression? 5. La soe des tois tees osutifs d ue PG est et leu poduit est. Quelles sont ces termes? 6. Mettre sous forme fractionnaire =, 7. Calculer la somme illimitée = + + +

7 8. On donne ; et tois tees d ue PA tels ue leu soe est gale à 9 où ; et sont 3 nombres réels tels que leur somme est égale à 9. Calculer ; et. En déduire que ; ; forment une PG. 9. On donne les trois réels ; + et + a) Calculer pour ces 3 termes forment une PA b) Calculer pour ces 3 termes forment une PG II. Suite Numérique 1. Définition Une suite numérique est une application de N dans R : R = est le terme général de cette suite et N Exemple : = + 2. Propriétés La suite ( est oissate à pati d u ag si pour on a + ; est strictement croissante si + > Exemple 1 : = ; + = + = + + = > = + > La suite est strictement croissante. La suite ( doissate à pati d u ag si pour on a + est strictement décroissante si + < Exemple 2 : décroissante. = = 9 ++ < + < et sera strictement est stationnaire à partir de

8 Si > ; + = s appelle suite statioaie ou suite ostate. est ue suite ajoe s il eiste R, tel que N; Exemple : = cos cos donc 1 est un majorant de,,, sont encore des majorants. est ue suite ioe s il eiste R tel que N Exemple : = cos -1 est donc un minorant,, sont encore des minorants. est ue suite oe losu elle est ioe et ajoe. Exemple : = cos On a : + est bornée ootoe losu elle est oissate ou doissate. strictement monotone (si est strictement croissante ou strictement décroissante). est une suite périodique de période N à partir du rang si > + = (p est le plus petit entier possible) est une suite convergente si et seulement si lim + = étant un nombre fini s appohe idfiiet de. Dans tous les autres cas sera une suite divergente. + si augete idfiiet est-à-dire > > si diiue idfiiet est-à-dire < <

9 + Toute suite croissante et majorée par est convergente et sa limite unique. Toute suite décroissante et minorée par est convergente et sa limite unique. Si quand + on a : et Alors : + + ; ; ; ; R; si p est pair, on doit avoir et Si à pati d u etai ag et si + quand + alors + Si à pati d u etai ag et si quand + alors Si à pati d u etai ag et si et quand + alors la suite admet comme limite. 3. Déteriatio d ue suite La suite sera déterminée si : a) On donne en fonction de Exemple : = + = ; = ; = b) On donne une formule entre deux termes consécutifs avec le premier terme, cette suite sera nommée une suite récurrente. Exemple : = et la relation de récurrence + = (pour =, on aura = = et ainsi de suite on peut faire varier dans, pou otei tous les tees de ette suite l u aps l aute

10 De même la relation de récurrence peut être donnée en fonction de trois termes consécutifs. Dans ce cas, on donne les deux premiers termes de la suite. 4. Raisonnement par récurrence Pou dote u ue elatio est vraie N, on peut utiliser le raisonnement de récurrence suivant : On dmontre que est vraie On suppose que est vraie et on démontre que est vraie Exercices Dans ce cas sera vraie N. 1. Calculer les limites des suites suivantes définies par : = 2. Soit la suite définie par : = = { + = N Démontrer par récurrence que cette suite est stationnaire 3. Montrer que la suite définie par : est périodique. { = + = 4. Soient et deux suites définies par : = + N = + a) Démontrer que la suite + est une suite géométrique. (Ses termes forment une PG).

11 b) Démontrer que la suite est une suite arithmétique. (Ses termes dorment une PA). c) Déduire de ce qui précède : = = On donne la suite définie par : = { + = N a) Supposons que N ; ; Montrer alors que N ;. b) On définit la suite par : = + Démontrer que est une suite arithmétique. En déduire puis en fonction de. Quelle est la nature de. 6. Soit la suite définie sur N par : = ; = { + = + a) On définit la suite par son terme général = +. Montrer que est le tee gal d ue suite gotiue et alule en fonction de. b) E dduie l epessio de en fonction de La suite est-elle convergente? 7. Montrer que la suite définie par :

12 = et = est décroissante et minorée. Trouver sa limite Montrer que la suite définie par = et = + est croissante et majorée par 2. Trouver sa limite. 9. Soient et deux réels tels que < <. On considère les suites et définies par = ; + = + = ; + = { + Calculer + +! Et + +. En déduire les limites des suites et. 10. Démontrer par récurrence la formule suivante : + = + sachant que est le tee gal d ue suite, ave =, =. 11. On considère la somme : = Montrer que chaque terme de cette somme peut se mettre sous la forme. En déduire une expression simple de. Trouver la limite de quand. 12. On donne la limite telle que = + où N. Calculer,,. On note par =. En déduire la nature de la suite On considère la suite définie par + = + avec =.

13 Montrer que cette suite est minorée par et décroissante. Trouver sa limite. 14. On considère les deux suites et telles que : = +! +! + +! = +! +! + +! +! On sait que! = ;! = ;! = ;! = ; [ ]! = et! =! a) Montrer que la suite est décroissante et que la suite est croissante. b) Montrer que la suite est positive et tend vers zéro lorsque +. c) En déduire que les deux suites sont convergentes et ont même limite. NB : Les suites et seront appelées suites adjacentes.