PRIMITIVES. Introduction 1. Introduction 2

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1 PRIMITIVES Introduction Tracer dans le plan rapporté à un repère orthonormé d'unité 5cm la courbe représentative de la fonction pour [0 ; ]. Évaluer l'aire de la partie du plan limitée par la courbe, l'ae et les droites d'équation = 0 et =. n pourra pour cela utiliser une graduation au diième et compter le nombre de carreau se trouvant en-dessous de la courbe. Les carreau "entiers" seront comptés pour un, les carreau "partiels" seront comptés pour. Faire la même évaluation pour l'aire de la partie du plan limitée par la courbe, l'ae et les droites d'équation = et =. En déduire une évaluation de l'aire de la partie du plan limitée par la courbe, l'ae et les droites d'équation = 0 et =. Introduction n considère la fonction affine f définie par f() = + Soit D la droite représentant f dans un repère orthonormé, soient A et B deu points de D et soient A' et B' les projetés de A et B sur l'ae parallèlement à. n suppose que A et B ont pour abscisses respectives et. Le quadrilatère ABB'A' a deu cotés parallèles et un angle droit, donc ABB'A' est un trapèze rectangle. L'aire A d'un trapèze de bases b et B et de hauteur h est égale, en unités d'aire, à B + b h Donc l'aire du trapèze ABB'A' est : A = AA' + BB' A'B' c'est-à-dire A = + 5 donc A = A B A' B' TES Primitives page / 5

2 Introduction D étant la droite représentant la fonction affine f() = +, on considère maintenant les points A et B d'abscisses respectives et, avec <, f( ) > 0 et f( ) > 0. ABB'A' est un trapèze rectangle. Son aire, en unités d'aire, est : A = AA' + BB' A'B' Sachant que A et B sont sur la droite D, leurs ordonnées respectives sont : f( ) = + et f( ) = + n a donc AA' = f( ) ; BB' = f( ) et A'B' = - Donc A = f( ) + f( ) ( - ) A = ( - ) A = ( + + )( - ) A = - ( ) + ( ) A = ( ) + - ( ) A B A = ( ) + - ( ) + Si on appelle g la fonction définie sur IR par g() = +, on peut écrire A = g( ) - g( ). n peut remarquer que g est dérivable sur IR et que pour tout IR, on a g'() = + = f(). La fonction g est une fonction dont la dérivée est f. n dit que g est une primitive de f. Retour sur Introduction La fonction f étant définie par f() =, trouver une fonction g dont la dérivée est f. A quoi est égal g() - g(0) ; g() - g() ; g() - g(0) Comparer ces résultats au déterminations des aires faites à partir de la courbe. Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I. n appelle primitive de f sur I, toute fonction F définie et dérivable sur I, dont la dérivée est f. Eemple A' B' La fonction f définie sur IR par f() = a pour primitive F définie sur IR par F() =. En effet F est dérivable sur IR et on a F' = f. n aurait pu choisir F définie par F() = + ou F() = - 5 ou plus généralement, si k est une constante réelle, F() = + k. Une fonction n'a pas une seule primitive. Eercice 0 (voir réponses et correction) f est une fonction définie sur IR. Trouver dans chacun des cas suivants une primitive de f. a) f() = 5 b) f() = c) f() = d) f() = e) f() = - + Eercice 0 (voir réponses et correction) f est une fonction définie sur IR. Trouver dans chacun des cas suivants une primitive de f a) f() = b) f() = 7 - c) f() = - d) f() = + e) f() = - 5 Eercice 0 (voir réponses et correction) f est une fonction définie sur IR. Trouver dans chacun des cas suivants une primitive de f a) f() = -5 b) f() = c) f() = 5 + d) f() = + e) f() = TES Primitives page / 5

3 Propriété Si F est une primitive de f sur un intervalle I, alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions de la forme F + k, avec k IR. Eercice 0 (voir réponses et correction) Trouver dans chacun des cas suivants l'ensemble des primitives de f sur l'intervalle I. a) f() = + + I = IR b) f() = - + I = IR c) f() = - I = ]0 ; + [ d) f() = e) f() = e I = IR I = ]0 ; + [ Eercice 05 (voir réponses et correction) Soit f définie sur ]0 ; + [ par f() = - Déterminer les primitives de f sur ]0 ; + [. Eiste-t-il une primitive de f prenant la valeur lorsque =? Propriété Soit f une fonction aant des primitives sur un intervalle I ; soit 0 I et 0 IR. Il eiste une et une seule primitive F de f telle que F( 0 ) = 0 Primitives des fonctions usuelles n donne ci-dessous les primitives de certaines fonctions connues. Ces primitives ont été obtenues à partir des dérivées connues. L'intervalle I devra être convenablement choisi. k désigne une constante réelle. f() = 0 Fonction F() = k Primitives f() = f() = a f() = f() = f() = F() = + k F() = a + k F() = + k F() = + k F() = - + k f() = F() = + k f() = n n IN F() = n + n+ + k f() = f() = e F() = ln () + k F() = e + k Eercice 06 (voir réponses et correction) Pour chacune des fonctions f ci-dessous, donner un intervalle I sur lequel f a des primitives et donner toutes les primitives de f sur I. a) f() = 9 b) f() = 5 + c) f() = + TES Primitives page / 5

4 Eercice 07 (voir réponses et correction) Dans chaque cas donner la primitive F de f vérifiant la condition imposée : a) f définie sur IR par : f() = + - ; F() = b) f définie sur ]0 ; + [ par : f() = ; F() = - Propriétés Soit I un intervalle. Si F est une primitive de f sur I et si G est une primitive de g sur I, alors F + G est une primitive de f + g sur I. Si F est une primitive de f sur I et si a est un réel, alors af est une primitive de af sur I. Remarques Les propriétés ci-dessus ont été utilisées "naturellement" dans les eercices précédents. Attention : Une primitive d'un produit ne sera pas obtenue en prenant le produit des primitives, puisque la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. Eercice 08 (voir réponses et correction) Pour chacune des fonctions f ci-dessous, donner un intervalle I sur lequel f a des primitives et donner toutes les primitives de f sur I. a) f() = + b) f() = + 5e c) f() = (- ) + Propriété Toute fonction continue sur un intervalle I a des primitives sur I. Remarques Certaines fonctions ont des primitives mais il peut être très compliqué de les trouver. Il est même parfois impossible d'eprimer les primitives d'une fonction à partir des fonctions connues. C'est le cas par eemple pour la fonction e - Eercice 09 (voir réponses et correction) Justifier que, dans chacun des cas, la fonction f a pour primitive la fonction F donnée : ) f() = ln () ; F() = ln ()- pour ]0; + [ ) f() = e ; F() = e pour IR ) f() = ln () + ; F() = ln () ln () + pour ]0 ; + [ Propriétés Une fonction de la forme u' e u a pour primitives les fonctions de la forme e u + k, avec k IR. Eercice 0 (voir réponses et correction) Pour chacune des fonctions f ci-dessous, donner une primitive de f sur IR. a) f() = e b) f() = - e - c) f() = 5 e 5 Eercice (voir réponses et correction) Pour chacune des fonctions f ci-dessous, donner une primitive de f sur l'intervalle I. a) f() = + - e I = IR b) f() = e I = IR c) f() = 5 e -0,5 I = IR d) f() = + + e - + 0,5 I = IR e) f() = -0, ,05 I = ]0; + [ TES Primitives page / 5

5 Eercice (voir réponses et correction) Justifier que, dans chacun des cas, la fonction f a pour primitive la fonction F donnée : ) f() = (- + ) e 0,5 ; F() = (- + 8) e 0,5 pour IR ) f() = ( - ) e - + ; F() = ( - ) e - + pour IR ) f() = 0-8ln () ; F() = ln () pour ]0 ; + [ Eercice (voir réponses et correction) n considère la fonction f définie sur [- ; ] dont la représentation graphique est donnée ci-contre. Soit F une primitive de f. Pour chacune des questions suivantes, une réponse et une seule est juste. ) Sur [- ; 0] F est croissante ) Sur [- ; ] ) F est croissante F est décroissante F est décroissante F n'est ni croissante ni décroissante F n'est ni croissante ni décroissante F(0) = 0 F(0) = n ne peut pas connaître F(0) ) En son point d'abscisse 0, la courbe représentative de la fonction F a une tangente parallèle à une tangente parallèle à la l'ae () droite d'équation = 5 ) Sur [0 ; ] F est positive F est négative une tangente parallèle à la droite d'équation = - n ne peut pas connaître le signe de F Eercice (voir réponses et correction) n considère la fonction f définie sur ]- ; + [ par f() = + - ( + ). Pour chacune des questions suivantes, une réponse et une seule est juste. ) F est une primitive de f lorsque F est définie sur ]-; + [ par : F() = + + F() = ) Si F est une primitive de f sur ]- ; + [, alors F() = F'(0) = - F'(0) = n ne peut pas connaître F'(0) ) Si F est une primitive de f sur ]- ; + [, alors F() = F() = ) En son point d'abscisse, la courbe représentative de la fonction F a une tangente parallèle à l'ae () une tangente parallèle à la droite d'équation = 5 ) F n'est pas une primitive de f lorsque F est définie sur ]-; + [ par : F() = - + F() = n ne peut pas connaître F() Une tangente parallèle à la droite d'équation = F() = TES Primitives page 5 / 5