Tableur en ligne. Exercice 1 : Intérêts à taux fixe. Qu est-ce qu une obligation? (facultatif) Les intérêts simples et les intérêts composés

Transcription

1 Les intérêts simples et les intérêts composés 1ES Tice Suites et tableur - Placements financiers Un capital produit des intérêts simples si les intérêts sont uniquement calculés sur ce capital. Un capital produit des intérêts composés si à la fin de chaque période, les intérêts générés sont ajoutés au capital pour produire de nouveaux intérêts. On dit aussi que ces intérêts sont capitalisés. Tableur en ligne Pour ceux qui n auraient pas de tableur installé chez eux, le site Framasoft propose un tableur en ligne suffisant pour finir le TP à la maison. Attention, pour la virgule, il faut utiliser un point : Exercice 1 : Intérêts à taux fixe Pour placer ses économies, Ursule veut souscrire des obligations sur 10 ans à % annuel (intérêts simples). 1) On note O n la somme du capital initial et des intérêts au bout de n années dans le cas où Ursule place Ecrire les cinq premiers termes de la suite 2) Réaliser une feuille Excel, qui donne O n ainsi que la somme des intérêts acquis pour 0 n 10 3) Ecrire O n en fonction de n. Qu est-ce qu une obligation? (facultatif) «Il s agit d un titre d un certain montant, ici 0, représentant un prêt de ce montant à une entreprise ou l État. Le titulaire initial de ce titre est celui qui a prêté l argent. Dire que l obligation est à taux fixe de 4,5% et remboursement intégral du capital au terme (5 ans), c est dire que chaque année, le détenteur de l obligation encaisse un coupon de 45 et que la dernière année, il encaisse 1045, le dernier coupon plus le capital» 1 Pourquoi l intérêt périodique versé avec une obligation s appelle le coupon? «Il n y a encore pas si longtemps (la «dématérialisation» des titres date du milieu des années 1980), une obligation était un document qui comportait en bas de petits papiers pour chaque échéance. À la date de paiement, le titulaire de l obligation devait découper aux ciseaux le papillon correspondant et le présenter à sa banque pour toucher son intérêt annuel. C est pour cela que l on parle de coupon» Exercice 2 : Intérêts composés En 2017, pour placer 5 240, Ursule a ouvert un livret A au taux d intérêt annuel de 0,75 % (taux composés). On suppose que ce taux restera fixe dans l avenir (dans la réalité, il est régulièrement réadapté par le gouvernement). On note A n la somme disponible sur son livret à l année n. 1) Calculer les trois premiers termes de la suite (A n ) 2) Donner une définition par récurrence de (A n ) 3) Ecrire (A n ) en fonction de n 1 Claude Danthony «Emprunts : mensualités, intérêt, taux, TEG, risque de taux» Images des Mathématiques, CNRS, 2009

2 4) Utiliser la calculatrice pour déterminer en quelle année, le livret dépassera Des explications se trouvent (au choix) : Derrière la couverture du livre (page b) Dans le livre page 137 Des ressources en vidéo sur le site M@th-et-tiques d Yvan Monka Sur le site xmaths.free de Xavier Delahaye, sous forme papier Il est obligatoire de savoir bien utiliser la calculatrice : sinon on ne peut pas répondre à certaines questions. Exercice 3 : Plan Epargne Logement Dans la perspective d acheter un logement, Ursule ouvre un Plan d Epargne Logement (PEL). 1) Le taux, au 1 er septembre 2017, d un PEL est de 1 % annuel (hors éventuelle prime de l état). Le PEL constitue un placement à intérêts composés. a) Démontrer qu augmenter un capital de 1 % revient à le multiplier par 1,01 b) Estimer le taux d intérêt équivalent semestriel (utile si on effectue des versements semestriels) c) Estimer le taux d intérêt équivalent trimestriel (pour des versements tous les 3 mois) d) Pour calculer les intérêts, certaines banques utilisaient un taux par quinzaine. Estimer le. e) D autres banques utiliseraient un taux journalier. Montrer qu il est d environ 0,00273 % f) Et si des versements se faisaient tous les mois, on aurait besoin d un taux équivalent mensuel estimez le. 2) Ursule envisagerait d ouvrir un PEL avec le capital initial minimum de 225. Il effectue chaque semestre, un versement de 270 (c est le versement obligatoire minimal) : le premier versement étant à l ouverture du PEL et le dernier à la clôture du PEL. On considère la suite (S n ) n 0 où S n est la somme en euros disponible sur le livret au bout de n semestres. On prendra comme taux d intérêts semestriel 0,499 % a) Donner les quatre premiers termes de la suite (S n ) n 0 b) Montrer que (S n ) n est ni arithmétique, ni géométrique c) Donner une définition par récurrence de la suite (S n ) d) Sous Excel, construire un tableau pour afficher les termes de la suite (S n ) e) Par lecture du tableau, dire au bout de combien de temps Ursule disposera d au moins euros? 3) Le plafond des dépôts est de Si Ursule ouvre son PEL avec 225 euros et qu il verse chaque semestre la même somme, de combien doivent être ses versements pour que le plafond soit atteint en 12 ans? (au-delà de cette durée, les intérêts du PEL sont imposés) 4) Finalement, pour son futur projet immobilier, Ursule souhaite disposer de plus de en dix ans. A l ouverture du PEL, il dépose euros. En utilisant la feuille de calcul de la question 2c, déterminer le montant de ses versements semestriels (on suppose qu il verse toujours la même somme).

3 Pour corriger le TP Exercice 1 : Intérêts à taux fixe Question 1 O 0 = Les intérêts versés la première année sont de % du capital initial : Donc O 1 = = = 0, = 250 Les intérêts versés la deuxième année sont aussi de % du capital initial : Donc O 2 = = = 250 Les intérêts versés la troisième année sont aussi de % du capital initial : Donc O 3 = = = 250 Les intérêts versés la quatrième année sont aussi de % du capital initial : Donc O 4 = = = 250 Rappel : Un capital produit des intérêts simples si les intérêts sont uniquement calculés sur ce capital initial. Question 2 Une première feuille possible Une seconde feuille possible. On peut modifier le taux ou la somme initiale et la feuille se met à jour. Noter l utilisation du signe $ qui permet une recopie sans modifier la cellule référencée. Question 3 O 0 O 1 O 2 O Pour passer d un terme à l autre, on ajoute 250. On reconnait une suite arithmétique de premier terme 00 et de raison 250. On utilise la formule du cours : u n = u 0 + n r O n = O 0 + n r = n

4 Exercice 2 : Question 1 Augmenter un capital de 0,75 % revient à le multiplier par 1 + 0,75 = 1,0075 A 0 = A 1 = A 0 1,75 = ,0075 = 5279,3 A 2 = A 1 1, , ,89 Question 2 En généralisant la question 1, A n+1 = 1,0075 A n (A n ) est donc la suite géométrique de premier terme A 0 et de raison 1,0075 (A n ) est donc définie par : { A 0 = A n+1 = 1,0075 A n pour n N Question 3 Comme (A n ) est une suite géométrique, A n = q n A 0 = 1,0075 n 5240 Question 4 En affichant suffisamment de termes de la suite, on lit que : A ,35 et A ,31 Donc n = 19, donc l année est = 2036 Ursule devra attendre fin 2036 pour avoir plus de Exercice 3 : Intérêts composés Question 1a : Augmenter un capital de 1 % revient à le multiplier par = 1,01 Preuve : Notons le capital de départ en euros C L augmentation est de 1 % de C Le capital final : 1 C = 0,01 C C + 0,01 C = 1,01 C 1,01 s appelle le coefficient multiplicateur. Une interprétation : Si le capital n augmentait pas, le capital final serait % du capital initial Mais on ajoute 1 % du capital initial et + 1 = 101 = 1,01 Le capital final représente 101 % du capital initial Question 1b 1,01 Début d année fin premier semestre fin d année q q

5 Il s agit de déterminer le taux «moyen» semestriel : de quel taux faut-il augmenter chaque semestre le capital (intérêts composés) pour que sur l année cela donne un taux de 1 %? Soit q le coefficient multiplicateur sur un semestre (voir schéma). : q q = 1,01 Donc q = 1,01 1,004988, ,4988 Le taux semestriel est d environ 0,499 % (le taux n est pas 0,5 % même si dans ce cas il est extrêmement proche) Question 1c 1,01 Début Après 4 mois Après 8 mois Au bout d un an q q q Il s agit de déterminer le taux «moyen» trimestriel : de quel taux faut-il augmenter chaque trimestre le capital (intérêts composés) pour que sur l année cela donne un taux de 1 %? Soit q le coefficient multiplicateur sur un trimestre (voir schéma). : q q q = 1,01 Donc q 3 3 = 1,01 Donc q = 1,01 Le taux semestriel est d environ 0,332 % = (1,01) 1 3 1,003322, ,3322 Question 1d Notons a le coefficient multiplicateur pour passer d un capital à celui de la quinzaine suivante. 1 er janvier 16 janvier 1 février 16 février a a a Vous remarquerez que toutes nos «quinzaines» n ont pas le même nombre de jours (les mois n ont pas le même nombre de jours). Comme il y a 12 mois, et deux quinzaines par mois, cela fait 24 quinzaines dans une année. Avec notre définition de la quinzaine, a est le nombre positif tel que : a 24 = 1,01 24 a = 1,01 = 1, , ,04147 Sur la calculatrice, on tape : 1,01^(1/104) et on trouve : a 1, ,04147 Le taux équivalent par quinzaine est d environ 0,041 % Question 1e A rédiger obligatoirement! Idée : soit b le coefficient multiplicateur du capital d un jour sur l autre : 365 b = 1,01 = (1,01) , ,00273 Donc le taux équivalent journalier serait de 0,0027 %

6 Question 1f Soit d le coefficient multiplicateur du capital d un mois sur l autre sur l autre : 12 d = 1,01 = (1,01) , , Donc le taux équivalent mensuel serait d environ 0,0080 % + 0, Question 2a Augmenter chaque semestre, le capital de 0,499 % revient à le multiplier par 1,00499 S 0 = 225 Au bout d un semestre, le capital S 0 a été multiplié par 1,00499 : 1,00499 S 0 auquel s ajoute le versement effectué de 270 donc S 1 1,00499 S ,12 Le capital S 1 a été multiplié par 1,00499 : 1,00499 S 1 auquel s ajoute le versement effectué de 270 donc S 2 1,00499 S ,60 Le capital S 2 a été multiplié par 1,00499 : 1,00499 S 2 auquel s ajoute le versement effectué de 270 donc S 3 1,00499 S ,43 Question 2b S 0 = 225 S 1 496,12 S 2 768,60 +S 1 S 0 +S 2 S 1 S 1 S 0 496, ,12 et S 2 S 0 768,6 496,12 272,48 Comme S 1 S 0 S 2 S 1, la suite n est pas arithmétique (on ne passe pas d un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre) S 0 = 225 S 1 496,12 S 2 768,60 S 1 S 2 S 0 S 1 S 1 496,12 2,2049 et S 1 768,60 1,549 S S 0 496,12 Comme S 1 S 0 S 2 S 1, la suite n est pas géométrique (on ne passe pas d un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre) Question 2c On généralise le procédé de la question 2a.

7 S 0 est donné (égal à 225 ) et on va expliquer comment passer d un terme quelconque S n à son suivant S n+1 Au bout d un semestre, le capital S n est multiplié par 1,00499 : 1,00499 S n Auquel s ajoute un versement de 470 Donc S n+1 = 1,00499 S n On peut donc définir la suite (S n ) par récurrence : { S 0 = 225 S n+1 = 1,00499 S n Trouver une formule donnant directement S n en fonction de n est ici possible mais beaucoup plus difficile! Question 2d On va organiser le tableau pour que l on puisse modifier facilement le taux semestriel (régulièrement, le gouvernement adapte le taux d intérêt du PEL aux taux des marchés financiers), le capital initial et le montant des versements semestriels (utile à Ursule pour ses simulations). Question 2e Attention à bien respecter la rédaction S ,15 et S ,75 Donc, Ursule doit attendre 17 semestres, soit 8 ans 6 mois, pour avoir plus de 5000 Question 3 Soit x le montant de ses versements trimestriels en euros. Au bout de 1 semestre, le total des dépôts sera de x euros Au bout de 2 semestres, le total des dépôts sera de x euros Au bout de 3 semestres, le total des dépôts sera de x euros Au bout de 24 semestres, le total de ses dépôts sera de x euros On résout l équation x = x = x = x = x = ,63 Ursule devra verser 2 540,63 chaque semestre. Question 4 On raisonne par essais, en modifiant le contenu de la case B3 Ursule devra verser 1594 euros par mois. Pour information, le salaire médian net (en 2014) en France était de 1783 par mois