1 ère S Exercices sur les fonctions de référence

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1 ère S Eercces sur les fonctons de référence Détermner par le calcul les nombres qu sont confondus avec leur mage par la foncton «carré» Détermner par le calcul les nombres qu sont confondus avec leur mage par la foncton «nverse» Donner sans eplcaton l ensemble des solutons S de l néquaton 9 4 Dans le plan mun d un repère quelconque,,, on note la courbe représentatve de la foncton «nverse» Sot a et b deu réels quelconques non nuls n note A, B,, D les ponts de d abscsses respectves a, b, a et b Détermner la nature du quadrlatère ABD 5 n note f la foncton «carré» La proposton suvante est-elle vrae ou fausse? Justfer P : «Pour tous réels a et b, on a : f ab f a f b» ette proprété reste-t-elle valable pour les autres fonctons de référence en prenant a et b dans le domane de défnton de la foncton de référence consdérée? 6 omparer sans calcul les nombres, et 7 Dre s la proposton suvante est vrae ou fausse Justfer Justfer P : «Le carré d un réel postf ou nul est touours supéreur ou égal à ce nombre» 8 Dre s les propostons suvantes sont vraes ou fausses Justfer A : «S, alors B : «S, alors» 0» 9 Dans le plan mun d un repère orthonormé,,, on note la courbe représentatve de la foncton «nverse» Détermner et tracer les aes de symétre de (on prendra un centmètre ou un «gros» carreau pour unté graphque) Aucune ustfcaton n est demandée 0 Dans le plan mun d un repère orthonormé,,, tracer la courbe d équaton d équaton y (on prendra un centmètre ou un «gros» carreau pour unté graphque) y et la drote D Le but de l eercce est d étuder la poston relatve* de la courbe et de la drote D c est-à-dre que l on cherche à savor sur quel(s) ntervalle(s) est strctement au-dessus de D, sur quel(s) ntervalle(s) est strctement au-dessous de D et en quel(s) pont(s) et D sont sécantes ) Étude graphque Étuder graphquement la poston relatve de et D n rédgera sur le modèle suvant en employant les mots «au-dessus», «au-dessus», «sécantes» : ) Étude algébrque S, alors est de D S, alors est de D Étuder le sgne de la dfférence au moyen d un tableau de sgnes et retrouver les résultats du ) n observera que l on peut factorser et D sont sécantes au ponts d abscsses * L epresson poston relatve a pluseurs sens en géométre plane : pour des drotes, l s agt de savor s elles sont sécantes ou parallèles ; pour une drote et un cercle, l s agt de savor s ls sont sans ponts communs, s ls ont un pont commun (on dt que le cercle et la drote sont tangents), s ls ont deu ponts communs (on dt que le cercle et la drote sont sécants) ; pour deu cercles, l s agt également de détermner leur ntersecton (l y a pluseurs cas possbles : ntéreurs, etéreurs, tangents ntéreurement, tangents etéreurement) Dans le plan mun d un repère, le sens est un peu dfférent pour une courbe et une drote ou pour deu courbes est parce que l on a un repère que l on peut dre «au-dessus» ou «au-dessous» La noton de poston relatve de deu courbes de fonctons ou d une courbe de foncton et d une drote a été abordée succnctement en e lors la résoluton graphque d néquatons («les solutons sont les abscsses des ponts de stués strctement au-dessus de la drote d équaton y») Mas elle n a pas été étudée en tant que telle par des méthodes algébrques comme cela est fat dans cet eercce f s n consdère la foncton f défne sur par f 5 s Il s agt d une seule foncton défne par deu epressons dfférentes suvant que < ou ) Dans le plan mun d un repère orthonormé,, (prendre le centmètre pour unté de longueur), tracer au crayon en pontllés les drotes D et D d équatons respectves y et y 5 Fare un tableau de valeurs pour chacune des deu drotes (deu valeurs de et les valeurs de y correspondantes) ) Tracer la représentaton graphque de f sur le graphque précédent n marquera précsément les ponts d arrêt Souvent, l est mportant de connaître la poston d une courbe par rapport à une drote ou à une autre courbe

2 Tracer, sans eplcaton, la représentaton graphque de la foncton «valeur absolue», notée f, dans le plan mun d un repère orthonormé,, n prendra centmètre ou «gros» carreau pour unté de longueur Résoudre graphquement (en eplquant) : l équaton : () ; les néquatons : () et () n notera S, S, S les ensembles de solutons respectfs de (), (), () n consdère la foncton f défne sur par f pour et f pour La foncton f est une foncton défne sur par deu epressons dfférentes sur les ntervalles ; et ; Il s agt ben d une seule foncton défne par deu epressons dfférentes Tracer la représentaton graphque de la foncton f dans le plan mun d un repère orthonormé n prendra centmètre ou «gros» carreau pour unté de longueur Aucune eplcaton n aucun tableau de valeurs n est demandé,, 4 n consdère la foncton f défne par f ) Eprmer f sans barres de valeur absolue suvant les valeurs de ) Tracer la représentaton graphque de f dans le plan mun d un repère orthonormé,, centmètre ou «gros» carreau pour unté de longueur 5 Développer et n prendra 6 Factorser et Mettre sous la forme d un produt de quatre facteurs 8 Développer et rédure l epresson A a b c b c a c a b 9 Sot a et b deu réels non nuls Démontrer que a b a b b a ab

3 orrgé Détermnons par le calcul les nombres qu sont confondus avec leur mage par la foncton «carré» La dffculté est de savor tradure correctement la queston n cherche les réels tels que () () est successvement équvalente à : (équaton produt-nul) 0 ou 0 0 ou oncluson : Les nombres qu sont confondus avec leur mage par la foncton «carré» sont 0 et 4 : courbe représentatve de la foncton «nverse» * a ; b A, B,, D : ponts de d abscsses respectves a, b, a et b Détermnons la nature du quadrlatère ABD Graphque : n prend un repère orthonormé n prend cm ou «gros» carreau pour unté de longueur n commence par tracer la courbe Il faut penser à conclure par une phrase par rapport à la queston posée Détermnons par le calcul les nombres qu sont confondus avec leur mage par la foncton «nverse» omme dans l eercce précédent, la dffculté est de savor tradure correctement la queston n cherche les réels 0 tels que () Dans *, () est successvement équvalente à : (on effectue le produt en cro) ou D oncluson : Les nombres qu sont confondus avec leur mage par la foncton «nverse» sont et Donnons sans eplcaton l ensemble des solutons S de l néquaton 9 L ensemble des solutons de l néquaton 9 est S ; ; n va utlser la symétre de la courbe n peut s appuyer sur la représentaton graphque de la foncton carrée ou ben résoudre l néquaton par le calcul Voc un eemple de résoluton algébrque qu est fau : 9 * 9 S ; * La faute se stue c : l faut écrre car La courbe représente la foncton «nverse» donc c est une hyperbole admettant l orgne du repère pour ae de symétre A et appartennent à et ont pour abscsses respectves a et a Donc A et sont symétrques par rapport à De même, B et D appartennent à et ont pour abscsses respectves b et b Donc B et D sont symétrques par rapport à r s dans un quadrlatère les dagonales se coupent en leur mleu, alors ce quadrlatère est un parallélogramme n en dédut que ABD est un parallélogramme

4 5 Logque ; phrases quantfées f : P : «Pour tous réels a et b, on a : f a b f a f b» Il s agt d une proposton quantfée (avec le «pour tous») ette proposton est vrae En effet, pour tous réels a et b, on a : f ab a b NB : ne pas prendre d eemple a b f a f b ette proprété reste valable pour les autres fonctons de référence (foncton «nverse», foncton «cube», foncton «racne carrée», foncton «valeur absolue»), en prenant a et b dans le domane de défnton de la foncton de référence consdérée La démonstraton est dentque à celle de la foncton «carré» Soluton fausse d une élève notée le : Les nombres, et font parte de la foncton f : 7 P : «Le carré d un réel postf ou nul est touours supéreur ou égal à ce nombre» La proposton P est fausse En effet, on peut prendre comme contre-eemple le nombre 0,5 Le carré de 0,5 est égal à 0,5 r 0, 5 0,5 Remarques : n La proprété P est fausse pour tous les réels comprs dans l ntervalle 0 ; La proposton P est vrae pour tous les enters naturels Le -0-0 f ab f a f b n passe d une écrture algébrque à une écrture fonctonnelle Beaucoup d élèves se sont nterrogés et ont douté pour tout réel pour tout enter naturel 6 omparons sans calcul les nombres n utlse la règle du cours :, et Soluton d une élève notée le : Fau : 4 4 Sot a un réel strctement postf S 0 a, alors a a a a 8 Logque ; phrases condtonnelles (mplcatons) S a, alors a a a a Il s agt de phrase ouverte défnes pour En fat, chacune d elles devrat être quantfée unversellement n a : = 0,4596 (c est le seul calcul que l on s autorse à fare ; on n a d alleurs pas beson de le fare à la calculatrce, l sufft de vor que 0 ) Donc 0 < < Par sute, d après la proprété du cours, on a : A : «S, alors» La proposton A est fausse n peut prendre 0 pour contre-eemple B : «S, alors La proposton B est vrae 0» n peut s appuyer sur la représentaton graphque de la foncton «nverse» n peut auss fare un rasonnement algébrque comme sut

5 S, alors qu donne () (car la foncton «nverse» est strctement décrossante sur l ntervalle ; 0 ) ce S, alors est négatf et donc l est auss Par conséquent, 0 () () et () donnent alors 0 Soluton fausse d une élève notée le : A : «S, alors» D après la foncton «carré», Donc A est vrae B : «S, alors B est vrae sur 9 \ 0 0» Soluton fausse d une élève notée le : Les aes de sont pour chaque postf, son équvalent négatf Dans le plan mun d un repère orthonormé,,, la courbe représentatve de la foncton «nverse» admet deu aes de symétre : les drotes et d équatons respectves y et y (on l affrme sans le démontrer) es drotes s appellent les bssectrces du repère (ben évdemment parce que le repère est orthonormé)

6 0 Poston relatve d une courbe et d une drote ) Étude algébrque : y Étudons algébrquement la poston relatve de et D D : y ) Étude graphque Étudons graphquement la poston relatve de et D est ben évdemment cette queston qu est la plus ntéressante n a : Il faut noter que cette forme factorsée est essentelle pour pouvor étuder le sgne de l epresson n cherche les valeurs charnères D SGN de SGN de 0 + SGN de Poston de par rapport à D est au-dessus est au-dessous est au-dessus de D et D de D et D de D sont sécantes sont sécantes au pont d absc 0 au pont d absc n peut dre «strctement au-dessus», «strctement au-dessous» S 0 ;, alors est strctement au-dessous de D S ; 0 ;, alors est strctement au-dessus de D et D sont sécantes au pont d abscsses 0 et Remarque sur les locutons adverbales : «en dessus» et «en dessous» qu ne prennent pas de trat d unon contrarement au locutons «au-dessus» et «au-dessous» Les locutons «en dessus» et «en dessous» ont un usage vell selon Wktonnare L epresson «poston relatve» s applque auss dans l espace pour les drotes, pour les plans, pour une drote et un plan, pour une sphère et un plan Le mot «relatf» : «relatf à» Blan : n retendra que pour la poston des courbes, «c est ntervalle par ntervalle» n notera qu l n y a pas de symbole mathématque pour eprmer la poston relatve n emploe le vocabulare de tous les ours n n utlse pas les mots «supéreur» ou «nféreur» pour la poston d une courbe par rapport à une drote ; ces termes sont réservés au réels Il n y a pas non plus de symbole pour dre «strctement au-dessus» ou «strctement au-dessous» (les symboles et sont réservés à des nombres, ls ne peuvent être employés pour des courbes) n retendra évdemment les deu approches pour étuder la poston relatve de deu courbes : - approche graphque ; - approche algébrque (avec tableau de sgne) S on note f la foncton «carré», pour étuder la poston de par rapport à D, on étude le sgne de f (on notera que l on a parfatement le drot d écrre une telle epresson) En revanche, on n a pas le drot d écrre une epresson telle que f y car on ne saurat pas que y désgne

7 Plus généralement, on retendra que pour étuder algébrquement la poston relatve des courbes représentatves f g en tenant compte de l ordre dans de deu fonctons f et g, on étude le sgne de la dfférence lequel on a écrt la dfférence pour formuler la poston relatve Étude d une foncton affne par ntervalles f s f 5 s La foncton f est une foncton affne par ntervalles ) Traçons la représentaton graphque de f Les ponts d arrêt sont A ; et B ; 4 Mettre les pontllés avec les coordonnées du pont A pus les pontllés avec les coordonnées du pont B Le pont A est eclu ; le pont B est comprs La courbe est la réunon de deu dem-drotes L une est une dem-drote d orgne A prvée du pont A (on parle de «dem-drote ouverte») ; l autre est une dem-drote d orgne B (on parle de dem-drote fermée) ) D : y ; D : y 5 Traçons D et D Fare un tableau de valeurs pour chacune des deu drotes (deu valeurs de et les valeurs de y correspondantes) Ne pas prendre tros valeurs de pour les tracés de drotes Deu valeurs suffsent! D : D : y 5 y 5 n trace les deu drotes en pontllés D D n marque sur l ae des abscsses La courbe est la réunon de deu dem-drotes Remarque : La premère dem-drote qu correspond à la représentaton graphque de la foncton sur l ntervalle ; est ouverte en A La seconde dem-drote qu correspond à la représentaton graphque de la foncton sur l ntervalle ; est fermée en B Elle «prend» le relas de la premère en ce pont n dot mettre le nom de la représentaton graphque : Défnton : Une foncton défne par ntervalles est une foncton dont l epresson vare selon l appartenance de à l un ou l autre des ntervalles dsonts dont la réunon est le domane de défnton de la foncton

8 Résolutons graphques d équatons et d néquatons f : et eercce a pour seul ntérêt d utlser la représentaton graphque de la foncton «valeur absolue» : y L étape de réécrture des équatons et néquatons est captale : elle permet de are le len avec la foncton f, pus ensute avec le graphque Représentaton graphque d une foncton défne par ntervalles f pour et pour n notera que la foncton f est ben défne sur f La foncton f est défne par ntervalles (une epresson sur chaque ntervalle) est la réunon de deu dem-drotes fermées d orgne Résolvons graphquement l équaton () L équaton () s écrt f Les solutons de () sont les abscsses des ponts de qu ont une ordonnée égale à donc S ; Résolvons graphquement l équaton () L néquaton () s écrt f Les solutons de () sont les abscsses des ponts de qu ont une ordonnée nféreure ou égale à * donc S ; La courbe est «contnue» (les deu morceau de courbe se raccordent parfatement au pont de coordonnées ; ) Le pont A ; appartent à la courbe représentatve de f Ren ne dot apparaître pour ce pont Mettre le nom de la représentaton graphque : Remarque : s l y avat eu un pont de rupture, on n aurat pas ont pas les deu ponts d un trat vertcal Résolvons graphquement l équaton () L néquaton () s écrt f Les solutons de () sont les abscsses des ponts de qu ont une ordonnée strctement supéreure à ** donc S ; ; * Autre possblté : «Les solutons de () sont les abscsses des ponts de qu sont au-dessous de ou sur la drote d équaton S ;» y donc ** Autre possblté : «Les solutons de () sont les abscsses des ponts de qu sont strctement au-dessus de drote d équaton y donc S ; ;»

9 4 f : ) Epresson de f sans barres de valeur absolue S, alors 0 S, alors 0 donc f donc ) Représentaton graphque de f f n trace les drotes D et D d équatons respectves y et y 0 L utlsaton d un logcel de calcul formel s avère etrêmement pertnente pour les eercces 5, 6, 7 et 8 5 Développements 8 6 ; Soluton détallée : Développons les epressons et n utlse les denttés remarquables cubques Développement de Développement de n vérfe le tracé sur calculatrce ou sur ordnateur en utlsant un logcel de tracé de courbes (avec la calculatrce, la valeur absolue s obtent par abs) Mettre le nom de la représentaton graphque : La représentaton graphque de f est la réunon de deu dem-drotes n applque l dentté remarquable : a b a a b ab b n applque l dentté remarquable : a b a a b ab b avec a et b avec a et b 6 Factorsatons ; 8 4 Soluton détallée : Factorsons les epressons et 8 n utlse les denttés remarquables cubques Factorsaton de Factorsaton de 8 n applque l dentté remarquable : a b a b a ab b avec a et b n applque l dentté remarquable : a b a b a ab b avec a et b

10 7 6 Soluton détallée : 6 Factorsons l epresson 6 6 (dentté remarquable a b ) 6 6 (denttés remarquables a b et a 6 b ) 9 a 0 et b 0 a b a b Démontrons que b a ab a b a b ab (on applque l égalté : b a ab ab ab a b b a ab a b b a a b ab a b ab z t yz ) y t yt 8 A a b c ab bc ac NB : n peut auss utlser un logcel de calcul formel pour vérfer le résultat Soluton détallée : y z y z y yz z n applque l dentté remarquable Développons l epresson A a b c b c a c a b Méthode : on développe séparément la «premère parte», la «deuème parte» et la «trosème parte» de A n développe a b c en applquant l dentté remarquable pour a, y b a b c a b c ab bc ca () n développe b c a en applquant l dentté remarquable pour b, y c b c a b c a bc ca ab () n développe c a b en applquant l dentté remarquable pour c, y a c a b c a b ca ab bc () En addtonnant membre à membre les égaltés (), (), (), on obtent en smplfant A a b c ab bc ac, z c :, z a :, z b :