Les fonctions de re fe rence

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1 BTS-SIO Les fonctions de re fe rence Les fonctions affines De finition : Soit (m; p) R2 et une application f telle que : f: R 7 f (x) = mx p R x f est dite fonction affine. Si m = 0 f est une fonction affine constante, si p =, f est une fonction affine line aire. Dans un repe re orthogonal, les graphes des applications affines sont des droites. Proprie te s : Soit f une fonction affine telle que (m; p) R R, f: R 7 f (x) = mx p R x la fonction f est de rivable sur R, f0 : R x R 7 f 0 (x) = m m<0 p m x f (x) f 0 (x) m>0 f (x) 0 f 0 (x) f (x) 0 f (x) A0 (0; p) p m x m<0 A0 (0; p) p m p m m>0 Notations : Pour m < 0 : la limite de f (x) lorsque x tend vers est ; et la limite de f (x) lorsque x tend vers est. On note : lim f (x) = et lim f (x) =. x S.Mirbel x page / 6

2 Pour m > 0 : la limite de f(x) lorsque x tend vers est ; et la limite de f(x) lorsque x tend vers est. On note : lim x f(x) = et lim f(x) =. x Exercice-exemple : Étudier les deux fonctions affines f i i variant de à 2, dont on donne les expressions :. f (x) = x f 2 (x) = x 3 S.Mirbel page 2 / 6

3 2 Les fonctions trinômes Définition : Soit (a; b; c) R R 2, et l application f telle que : f : R R x f(x) = ax 2 bx c f est appelée fonction trinôme, ou fonction polynôme du second degré. Pour (a; b; c) = (; 0; 0), on a f(x) = x 2, f est la fonction carrée. Dans un repère orthogonal, les graphes des fonctions trinômes sont des paraboles. Soit une fonction trinôme f : La fonction trinôme f est dérivable sur R, f : R R x f(x) = ax 2 bx c f : R R x f (x) = 2ax b a < 0 a > 0 Ü ½ ¾ Ü ½ ¾ ¼ ܵ ¼ ܵ ½ ¾ µ ½ ¼ ܵ ¼ ܵ ¾ µ f( b 2a ) b 2a b 2a f( b 2a ) Notations : Pour a < 0 : la limite de f(x) lorsque x tend vers et est. On note : lim f(x) = et lim f(x) =. x x Pour a > 0 : la limite de f(x) lorsque x tend vers et est. On note : f(x) = et lim lim x f(x) =. x S.Mirbel page 3 / 6

4 On note le nombre b 2 4ac ; si 0, x = b 2a et x 2 = b 2a < 0 = 0 Ü ½ Ü ½ ܽ ܾ ܵ Ò µ ܵ Ò µ ¼ Ò µ > 0 Ü ½ Ñ Ò Ü ½ Ü ¾ µ Ñ Ü Ü ½ Ü ¾ µ ܵ Ò µ ¼ Ò µ ¼ Ò µ Exercice-exemple : Étudier les fonctions f i pour i variant de à 3 dont on donne les expressions :. f(x) = 3x 2 2x 2. f(x) = x x 3 3. f(x) = x 2 x S.Mirbel page 4 / 6

5 3 Les fonctions homographiques Définition : Soit (a; b; c; d) R 2 R R et l application f telle que : f : R\{ d c } R x f(x) = axb cxd f est appelée fonction homographique. Pour (a; b; c; d) = (0; ; ; 0), on a f(x) = x, f est la fonction inverse. Dans un repère orthogonal, les graphes des fonctions homographiques sont des hyperboles. Remarque : Si ad bc = 0 alors λ R ; (ax b) = λ(cx d) et en simplifiant, x R\{ d c }; f(x) = λ. Pour la suite on supposera ad bc 0. Soit une fonction homographique f : f : R\{ d c } R x f(x) = axb cxd La fonction homographique f est dérivable sur R\{ d c } : f : R\{ d c } R x f (x) = ad cb (cxd) 2 ad cb < 0 ad cb > 0 Ü ½ Ü ½ ¼ ܵ ܵ ½ ¼ ܵ ܵ ½ I( d c ; a c ) I( d c ; a c ) Notations : Pour ad bc < 0 : La limite de f(x) lorsque x tend vers est a c ; la limite de f(x) lorsque x tend vers est a c. On dit que la droite d équation y = a c est asymptote à la courbe de la fonction f en et en. S.Mirbel page 5 / 6

6 La limite de f(x) lorsque (x tend vers d c ) (x < d c ) est ; la limite de f(x) lorsque (x tend vers d c ) (x > d c ) est ; on dit que la droite d équation x = d c est asymptote à la courbe de la fonction f en d c. La fonction f n est pas continue en d c : la limite de f(x) lorsque (x tend vers d c ) (x < d c ) est différente de la limite de f(x) lorsque (x tend vers d c ) (x > d c ) (et chacune de ces limites n est pas réelle). On note : lim f(x) = a x c ; lim f(x) = a x c ; lim f(x) = et x d c x< d c lim f(x) =. x d c x> d c Pour ad bc > 0 : La limite de f(x) lorsque x tend vers est a c ; la limite de f(x) lorsque x tend vers est a c. On dit que la droite d équation y = a c est asymptote à la courbe de la fonction f en et en. La limite de f(x) lorsque (x tend vers d c ) (x < d c ) est ; la limite de f(x) lorsque (x tend vers d c ) (x > d c ) est ; On dit que la droite d équation x = d c est asymptote à la courbe de la fonction f en d c. La fonction f n est pas continue en d c : la limite de f(x) lorsque (x tend vers d c ) (x < d c ) est différente de la limite de f(x) lorsque (x tend vers d c ) (x > d c ) (et chacune de ces limites n est pas réelle). On note : lim f(x) = a x c ; lim f(x) = a x c ; lim f(x) = et x d c x< d c Exemple de tableau de signe, si (a 0) ( b a < d c ) : lim f(x) =. x d c x> d c Ü ½ Ü Ò µ ¼ Ò µ Ò µ Ü Ò µ Ò µ ¼ Ò µ ܵ Ò µ ¼ Ò µ Ò µ Exercice-exemple : Étudier les fonctions homographiques f i, i variant de à 3 dont on donne les expressions. Vous donnerez l ensemble de définition D pour que les fonctions soient des applications de D dans R.. f (x) = 3x 2x 2. f 2 (x) = 2 5 4x5 3. f 3 (x) = 2 3x S.Mirbel page 6 / 6

7 4 Les fonctions polynômes Définition : Soit (a 0 ; a ;...; a n ) R n R et l application f telle que : f : R R x f(x) = a n x n a n x n... a x a 0 f est appelée fonction polynôme de degré n. Si n = 0 alors la fonction polynôme est une fonction constante. Si n = alors la fonction polynôme est une fonction affine. Si n = 2 alors la fonction polynôme est un trinôme. Si n = 3 (a 0 ; a ; a 2 ; a 3 ) = (0; 0; 0; ) la fonction polynôme est la fonction cube. Soit une fonction polynôme f de degré n telle que n > 0 : La fonction f est dérivable sur R, on a : f : R R x f(x) = a n x n a n x n... a x a 0 f : R R x f (x) = na n x n (n )a n x n 2... a La fonction f est une fonction polynôme de degré n. Exercice-exemple : Étudier les fonctions polynômes f i pour i entier naturel variant de à 3, dont on donne les expressions suivantes :. f (x) = x f 2 (x) = x 4 x f 3 (x) = x 3 3x 2 3x. S.Mirbel page 7 / 6

8 x 0 x>0 BTS-SIO 5 Les fonctions logarithmes 5. La fonction logarithme népérien Définition : La fonction logarithme népérien, notée ln, est l application définie et dérivable sur R =]0; [, telle que : ln() = 0 et ln : ]0; [ R x ln (x) = x Ü ¼ ½ ÐÒ Üµ ¼ ÐÒ ¼ ܵ ÐÒ Üµ ½ Il existe un unique nombre e tel que ln(e) =, on a e 2, Notations : La limite de ln(x) lorsque x tend vers 0 est et la limite de ln(x) lorsque x tend vers est. lim ln(x) = et lim ln(x) =. x La droite d équation x = 0 est asymptote à la courbe de la fonction ln. La fonction ln est bijective. Exercice : On rappelle l équation d une tangente à une courbe d une fonction f en x0 : y = f (x0)(x x0) f(x0), f est la fonction dérivée de f. Déterminer l équation de la tangente à la courbe de la fonction logarithme au point d abscisse. Tracer cette tangente sur le graphique ci-dessus. S.Mirbel page 8 / 6

9 L application logarithme de base a, log a, est bijective de ]0; [ dans R. Pour toutes fonctions logarithmes, a ]0; [ ]; [, on donne les propriétés algébriques suivantes : Soit (x; y) ]0; [ 2 n Z log a(xy) = log a(x) log a(y) log a( y ) = log a(y) log a( xy ) = log a(x) log a(y) log a(x n ) = n log a(x) log a( x) = 2 log a(x) S.Mirbel page 9 / 6 BTS-SIO 5.2 Fonctions logarithmes de base quelconque Définition : Soit a ]0; [\ =]0; [ ]; [ et l application log a telle que : log a : ]0; [ R x log a (x) = ln(x) ln(a) log a est appelée fonction logarithme de base a ; en particulier, si a = 0, log 0 est aussi notée log et on appelle cette ( fonction logarithme décimal. ) x ]0; [; log e (x) = ln(x) ln(e) = ln(x) log e = ln. Soit log a la fonction logarithme de base a : log a : ]0; [ R x log a (x) = ln(x) ln(a) L application log a est dérivable sur ]0; [, on a : log a : ]0; [ R x log a(x) = x ln(a) a < a > Ü ¼ ½ Ü ¼ ½ ÐÓ Üµ ½ ¼ ÐÓ Üµ ¼ ½ ÐÓ ¼ ܵ ÐÓ ¼ ܵ ÐÓ Üµ ½ ÐÓ Üµ ½

10 6 Les fonctions exponentielles 6. La fonction exponentielle Définition : Soit la fonction logarithme népérien ln. La fonction ln est bijective de ]0; [ dans R, sa fonction réciproque est appelée fonction exponentielle, on la note exp : exp : R ]0; [ x exp(x) telle que ( x R, ln(exp(x)) = x) ( x ]0; [, exp(ln(x)) = x), soit (ln exp = Id R ) ( exp ln = Id ]0; [ ) La fonction exp est dérivable sur R, sa fonction dérivée est elle-même, on a : exp : R ]0; [ x exp (x) = exp(x) Ü ½ ¼ ½ ÜÔ Üµ ½ ÜÔ Üµ ¼ Notations : La limite de exp(x) lorsque x tend vers est 0 et la limite de exp(x) lorsque x tend vers est. La droite d équation y = 0 est asymptote à la courbe de la fonction f. lim exp(x) = 0 et lim exp(x) =. x x La fonction exp est bijective par construction. S.Mirbel page 0 / 6

11 Exercice : On rappelle l équation d une tangente à une courbe d une fonction f en x 0 : y = f (x 0 )(x x 0 ) f(x 0 ), f est la fonction dérivée de f. Déterminer l équation de la tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point d abscisse 0. Tracer cette tangente sur le graphique ci-dessus. S.Mirbel page / 6

12 La fonction exponentielle de base a, exp a, est bijective de R dans ]0; [ ; sa fonction réciproque est la fonction logarithme de base a : (( x ( R; log a(expa(x)) = x) ( x ]0; [; exp a(log a(x)) = x)) loga exp a = IdR exp a log a = Id ]0; [) S.Mirbel page 2 / 6 BTS-SIO 6.2 Fonctions exponentielles de base quelconque Définition : Soit exp a la fonction exponentielle de base a, telle que a ]0; [ ]; [ : exp a : R ]0; [ x exp a (x) = exp(x ln(a)) ( x ]0; [; exp e (x) = exp(x ln(e) = exp(x)) exp e = exp. La fonction exponentielle de base a est dérivable sur R, on a : exp a : R ]0; [ x exp a(x) = ln(a) exp(x ln(a)) a < a > Ü ½ ¼ ½ Ü ½ ¼ ½ ÜÔ Üµ ½ ÜÔ Üµ ½ ÜÔ ¼ ܵ ÜÔ ¼ ܵ ÜÔ Üµ ÜÔ Üµ ¼ ¼

13 Pour toutes fonctions exponentielles, a ]0; [ ]; [, on donne les propriétés algébriques suivantes : Soit (x; y) R 2 b R exp a (x y) = exp a (x) exp a (y) exp a ( y) = exp a (y) exp a (x y) = exp a (x) exp a (y) (exp a (x)) y = exp a (xy) exp a (x) exp b (x) = exp ab (x) exp a (x) exp b (x) = exp a (x) b Notation : Les règles algébriques des fonctions exponentielles permettent de justifier la notation suivante : x R; exp a (x) = a x en particulier si a = e, x R; exp(x) = e x Exercice : Réécrire les propriétés algébriques des fonctions exponentielles en base a, avec la notation puissance. S.Mirbel page 3 / 6

14 Pour a < : La limite de f(x) quand x tend vers 0 est, la limite de f(x) lorsque x tend vers est 0. Les droites d equation x = 0 et y = 0 sont respectivement asymptotes `a la courbe de la fonction f. lim f(x) = et lim f(x) = 0. x 0 Pour 0 < a < : x La limite de f(x) quand x tend vers 0 est 0, la limite de f(x) lorsque x tend vers est. lim f(x) = 0 et lim f(x) =. x 0 La limite en 0 permet x de prolonger l application f en 0 par une application f afin que la fonction f soit continue en 0 : f : [0; [ R x (x > 0; f (x) = f(x) = x a ) (f (0) = 0) S.Mirbel page 4 / 6 BTS-SIO 7 Les fonctions puissances Définition : Soit a R, et f l application telle que : f : ]0; [ R x f(x) = x a = e a ln(x) f est appelée fonction puissance. Si a = alors x ]0; [; f(x) = x, si a = 0 alors x ]0; [; f(x) =, si a = alors x ]0; [; f(x) = x, si a = 2 alors x ]0; [; f(x) = x 2, si a = 3 alors x ]0; [; f(x) = x 3, si a = 2 alors x ]0; [; f(x) = x 2 = x. On peut ainsi retrouver les propriétés de certaines fonctions de référence sur l intervalle ]0; [. Soit a R, la fonction puissance est dérivable sur ]0; [, on a : f : ]0; [ R x f (x) = a x ea ln(x) = ax e a ln(x) = a e ln(x) e a ln(x) = ae (a ) ln(x) = ax a comme on pouvait s y attendre, x ]0; [, f(x) = x a ; f (x) = ax a. De la même manière, la fonction f est dérivable sur ]0; [, on a f (x) = a(a )x a 2. a < 0 0 < a < a > Ü ¼ ½ Ü ¼ ½ Ü ¼ ½ ܵ ½ ܵ ½ ܵ ½ ¼¼ ܵ ¼¼ ܵ ¼¼ ܵ ¼ ܵ ܵ ¼ ¼ ܵ ܵ ¼ ¼ ܵ ܵ ¼

15 Pour a > : La limite de f(x) quand x tend vers 0 est 0, la limite de f(x) lorsque x tend vers est. f(x) = 0 et lim f(x) =. lim x 0 x La limite en 0 permet de prolonger l application f en 0 par une application f afin que la fonction f soit continue en 0 : f : [0; [ R x (x > 0; f (x) = f(x) = x a ) (f (0) = 0) D autre part, la fonction f permet d observer (graphiquement) que la fonction f est convexe si et seulement si a < 0 et < a et la fonction f est concave si et seulement si 0 < a <. Exercice : Soit a R et la fonction puissance telle que x ]0; [; f(x) = x a.. Démontrer que la fonction puissance est bijective. 2. Donner son application réciproque. 3. A l aide de la calculatrice, tracer le graphe de l application qui à x associe x 3 et son application réciproque. 4. Tracer la droite d équation y = x. Sans justifier, que pouvez-vous dire de cette droite? S.Mirbel page 5 / 6

16 8 Croissances comparées simples Théorème : Soit n N, Représentation graphique pour lire les croissances comparées en : exp(x) lim x x n = () ln(x) lim x x n = 0 (2) lim x 0 xn ln(x) = 0 (3) lim x xn exp(x) = 0 (4) S.Mirbel page 6 / 6