Vecteurs. 1. Translations - Vecteurs associés. DÉFINITION : Translation PROPRIÉTÉ. DÉFINITION : Vecteurs associés DÉFINITION

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1 Vecteurs 1. Translations - Vecteurs associés : Translation On considère deux points et du plan. On appelle... en la transformation qui, à tout point M du plan, associe l unique point M tel que [M ] et [M] ont même... M M M M VOCULIRE : Le point M est appelé... du point M. On dit également que M est le... de M. REMRQUE : Une transformation sert à modéliser mathématiquement un mouvement. La... est la transformation qui modélise le demi-tour. La... est la transformation qui modélise le glissement rectiligne. Pour la définir, on indique la direction, le sens et la longueur du mouvement. On considère quatre points,, C et D. Dire que la translation qui transforme en transforme C en D équivaut à dire que DC est un... (éventuellement aplati). PREUVE C est la conséquence de la propriété : «un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se...». : Vecteurs associés À chaque translation est associé un... Pour et deux points, le vecteur... est associé à la translation qui transforme en. La notation «vecteur» regroupe les trois informations la définissant : la... (celle de la droite ()), le... (de vers ) et la... est l... du vecteur et son... Deux vecteurs qui définissent la même translation sont dits... Deux vecteurs égaux ont même...; même...; même... / C / D 1

2 = CD si et seulement si DC est... (éventuellement...). MÉTHODE 1 Construire un vecteur Ex. 15 p. 210 Placer trois points, et C non alignés. Construirele point D telque CD =. REMRQUE : Une translation peut être définie par un point quelconque et son translaté. Il existe donc une... de vecteurs associés à une translation. Ils sont tous égaux. Le vecteur choisi pour définir la translation est un... de tous ces vecteurs. La translation... du représentant choisi pour la définir. On le note souvent #» u. : Vecteur nul Le vecteur associé à la translation qui transforme un point quelconque en lui-même #» #» est le..., noté 0. insi, = = CC =... = 0 : Vecteur opposé Le vecteur de la translation qui transforme en est appelé... à. NOTTION : Le vecteur opposé à se note... et on a l égalité... =... La notation n existe pas. REMRQUE : Deux vecteurs opposés ont même direction, même longueur mais sont de sens contraires. 2. Opérations sur les vecteurs. dditions : Enchaînement de translations L enchaînement de deux translations est... : Relation de Chasles Soit,, C trois points. L enchaînement de la translation de vecteur puis de la translation de vecteur C est la... et on a : =... #» REMRQUE : + = = 0. Soit et CD deux vecteurs. lors : + CD = + + #» 0 = 2

3 .. : Propriété du parallélogramme Soit,, C, D quatre points. Dire que D = + C équivaut à dire que DC est un... + C C D C PREUVE Onsuppose que D = + C. On utilise la relation de Chasles pour décomposer D :... On ajoute C aux deux membres de l égalité : :... :... :... On utilise à nouveau la relation de Chasles Donc, la relation de départ est équivalente à : et MÉTHODE 2 Construire la somme de deux vecteurs Ex. 21 p. 211 On remplace l un des deux vecteurs par un représentant : soit de même origine afin d utiliser la règle du parallélogramme ; soit d origine l extrémité de l autre afin d utiliser la relation de Chasles. 1) Construire un carré CD de centreo. 2) Construire les vecteurs #» u = + OD et #» v = D+ OC REMRQUE : + C = #» 0 si etseulementsi. Soustraction Soustraire un vecteur,c est... Exemple Soit troispoints, et C non alignés. Donner un représentant du vecteur #» u = C. 3

4 3. Coordonnées d un vecteur Dansunrepère(O;I,J),onconsidèrelatranslationdevecteur #» u b+ +M quitranslate l origineoenunpoint M de coordonnées (a;b). Lescoordonnéesduvecteur #» #» u u sontles... Ona #» u =...etonnote #» J+ u. + + O I a... Deuxvecteurssont...sietseulementsicesvecteursont... Dansun repère(o;i,j), lescoordonnéesdu vecteur sont... PREUVE Soit, et M de coordonnées respectives (x ;y ), (x ;y ) et (x M ;y M ) dans un repère(o;i,j) telsque OM = et OM est un parallélogramme. MÉTHODE 3 Lire les coordonnées d un vecteur Ex. 38 p. 213 Lire les coordonnées du vecteur #» u sur la figure cidessous. #» u J / I MÉTHODE 4 Construire un vecteur à partir de ses coordonnées Ex. 42 p. 213 Dans un repère orthonormé, construire le représentant d origine ( (6; ) 2) du vecteur #» 4 u de coordonnées. 3 4

5 MÉTHODE 5 Repérer un point défini par une égalité vectorielle Ex. 44 p. 213 Dans un repère orthogonal (O;I,J), on a les points ( 2; 3), (4; 1) et C(5;3). Calculer les coordonnées 1) du vecteur ; 2) du point D tel que = CD. : Somme de deux vecteurs ( Si #» u et #» v sont deuxvecteursdecoordonnéesrespectives x y ) et ( x y ),... alors lescoordonnéesdu vecteur #» u + #» v sont. MÉTHODE 6 Repérer un point défini par une somme vectorielle Ex. 50 p. 214 Dans un repère orthogonal (O;I,J), on place les points (2; 3), (4; 1), C(5; 3) et D( 2; 1). Quelles sont les coordonnées du point E tel que E = D+ C? 4. Multiplication par un réel Soit #» u unvecteurdecoordonnées (x;y) et λ unréel.lamultiplication de #» u par λ est levecteur...decoordonnées... MÉTHODE 7 Repérer le produit d un vecteur par un réel Ex. 61 p. 215 Dans un repère orthogonal, construire le représentant d origine (1; 4) du( vecteur ) 0,5 #» u avec #» 2 u. 3 5

6 Soientdeuxvecteurs et CDet λ unréeltelsque = λ CD. si λ > 0, et CD sontde...et... si λ < 0, et CD sontde...et... REMRQUE : #» u et λ #» u ontlamêmedirection.leurssens etleurslongueursdépendent de λ. 5. Colinéarité On dit que deux vecteurs non nuls sont colinéaires sietseulementsi... REMRQUE : Par convention,levecteurnulestcolinéaire àtoutvecteur #» u. Deuxvecteurs #» u et #» v nonnulssont colinéaireslorsqu il existeun réel λ tel que... MÉTHODE 8 Vérifier la colinéarité de deux vecteurs Ex. 74 p. 216 ( ) ( ) Pourvérifierquedeuxvecteursnonnuls #» x u et #» x v y y sont colinéaires, il suffit de: possibilité 1 trouverunréel λ nonnultel que x = λx et y = λy; possibilité 2 vérifierque lesproduitsen croix, xy et x y,sont égaux. Soit (O;I,J) un repère orthogonal. Les vecteurs suivants sont-ils colinéaires? ( ) ( ) 1) #» 2 u et #» 6 v ( ) ( ) 2) w #» 5 et #» 12 z. 3 7 Deux droites () et(cd) sont parallèles sietseulementsi... Troispoints, etcsontalignéssietseulementsi... Exemple (1;2); (3;1) et C(5;3) sont-ils alignés? 6

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