L approximation de Thomas-Fermi associée a une formule des niveaux d énergie arbitraire

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1 L approximation de ThomasFermi associée a une formule des niveaux d énergie arbitraire L. Dagens To cite this version: L. Dagens. L approximation de ThomasFermi associée a une formule des niveaux d énergie arbitraire. Journal de Physique, 1970, 31 (10), pp < /jphys: >. <jpa > HAL Id: jpa Submitted on 1 Jan 1970 HAL is a multidisciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 Le On A Tome 31 ND 10 OCTOBRE 1970 LE JOURNAL DE PHYSIQUE L APPROXIMATION DE THOMA SFERMI ASSOCIÉE A UNE FORMULE DES NIVEAUX D ÉNERGIE ARBITRAIRE par L. DAGENS Commissariat à l Energie Atomique, Centre de Limeil B. P. 27, 94, VilleneuveSaintGeorges (Reçu le 19 juin 1970) 2014 Résumé. construit une densité générale du type ThomasFermi comme une approximation fonctionnelle de la densité d Hartree. On utilise la méthode de Brillouin à partir de la densité à une particule qui dérive d une formule approchée pour les niveaux d énergie. Une correspondance biunivoque existe entre densité ThomasFermi et formule des niveaux. Celle de WKB donne la théorie ThomasFermi usuelle. On obtient celle de Kirzhnits et de Golden à partir de la formule de Dunham (développement en 01272). On établit les formules générales pour la densité, l énergie et l énergie libre. On montre que le principe variationnel général de Kohn et Sham est satisfait, ainsi que la relation du viriel. La densité satisfait également une condition d intégrabilité fonctionnelle qui généralise un résultat de Kirzhnits. On explicite les formules générales dans le cas où la formule des niveaux est du type local. On applique la théorie à une approximation de la densité due à Swiatecki. Celleci ne vérifiant pas la condition d intégrabilité fonctionnelle (ni la relation du viriel) on établit une expression modifiée qui coïncide avec celle de Swiatecki quand le potentiel vérifie l équation de Laplace. Elle dérive d une nouvelle formule des niveaux, exacte jusqu à l ordre inclus, et vérifie donc les propriétés générales énoncées plus haut. Abstract generalized ThomasFermi density is constructed as a functional approximation of the Hartree density. The Brillouin s method is applied to a one particle state density variationally derived from a given approximate one dimensional level formula n(ek) k ; n ~ n[v] is a functional of 03BD 2 m(ek V/ A one to one correspondence is derived between a ThomasFermitype theory and the related level formula. The WKB formula gives the usual ThomasFermi theory. The Kirzhnits and Golden theory is obtained from the Dunham formula (semiconvergent h2 expansion of n[03bd]). We give the general formulas for the density, energy and free energy in the one and three dimensional case. More explicit results are obtained when n[03bd] is restricted to be of the local type. The général theory satisfies the Kohn and Sham variational principle and the virial theorem. The density satisfies a functional integrability condition which generalise a result of Kirzhnits. The present theory is applied to a density approximation given by Swiatecki. This is a local type expression which does not satisfy the functionnal integrability condition. A modified form is established, associated to a new level formula, and equal to the Swiatecki s approximation when the potential satisfies the Laplace equation. Introduction. problème du fondement et de la généralisation de l approximation de ThomasFermi a été souvent abordé depuis les travaux anciens de Dirac [1] et de Brillouin [2]. La méthode de Dirac est basée sur la considération de la matrice densité. Elle a été particulièrement développée par Kirzhnits [3] et par Golden [4]. Elle est très générale et permet d inclure l échange et les corrélations. Elle permet en particulier d obtenir la densité p[ 1 V] sous forme d un développement limité en Fi2. Le terme d ordre zéro est l approximation ThomasFermi usuelle. Kirzhnits [3] a calculé les termes d ordre Fi2 et Fi4. En réalité une comparaison avec la méthode décrite plus loin montre que ce développement est inexact dès l ordre Fi2 si le spectre énergétique est discret : les corrections de structure discrète du spectre, signalées par Plaskett [5], n y sont pas incluses. La seconde méthode, qui remonte à Brillouin [2], sert de cadre à ce travail. Elle a une portée plus limitée mais permet une discussion beaucoup plus précise et approfondie des approximations faites. Elle a été principalement développée par Fényes [6], Plaskett [5] et March et Plaskett [7]. On part directement des équations d Hartree et on fait successivement les trois approximations suivantes : (a) les fonctions d ondes radiales sont calculées à l approximation WKB. (b) on obtient la densité correspondante en faisant la moyenne du carré de la fonction d onde sur une oscil Article published online by EDP Sciences and available at

3 p lation (cos > 1/2). (c) la somme sur les niveaux occupés est remplacée par une intégrale. March et Plaskett [7] ont montré que l erreur due à l approximation (c) était importante en ce qui concerne l énergie ThomasFermi des atomes. Elle est alors d ordre h à cause du caractère singulier du potentiel coulombien. Les termes correctifs peuvent être calculés en utilisant la formule sommatoire d Euler Maclamin, comme l a indiqué Plaskett [5]. Une correction analogue existe pour la fonctionnelle densité. L auteur a montré, dans un travail en cours, qu elle était d ordre!i 2 comme la première correction quantique. Payne [8] a fait une remarque importante. Il a montré sur un exemple que la densité (d Hartree) exacte différait de la densité ThomasFermi par des termes oscillants d ordre h et n admettait donc pas de développement limité en puissances de!i2, ce qui contredit apparemment les résultats de Golden [4] et de Kirzhnits [3]. L auteur a indiqué récemment comment cette difficulté pouvait être éliminée [9]. La densité Thomas Fermi est interprétée comme une approximation de la densité d Hartree considérée comme fonctionnelle linéaire. Elle permet le calcul des valeurs moyennes des fonctions f (x) suffisamment régulières. On a montré dans [9] que la fonctionnelle linéaire valeur moyenne de f (x) sur la fonction d onde gi d énergie fixée admettait un développement asymptotique en puissances ascendantes de!i2. La densité correspondante admet donc un développement en h notée p dont les coefficients sont d ailleurs des distributions, singulières aux points tournants. La différence 1 If 12 est localement d ordre h mais sa moyenne sur toute fonction indéfiniment dérivable est d ordre!i 00. On a montré aussi dans [9] que le développement p résultait simplement de celui de la formule des niveaux WKBDunham [10], qui donne le développement asymptotique en h du nombre de zéros de la fonction d onde d énergie e. On peut alors donner une extension considérable à la méthode de BrillouinMarchPlaskett [2, 7]. C est l objet de ce travail. On remplace les approximations (a) et (b) indiquées plus haut par la seule approximation 1 If 12 > p, où la densité fonctionnelle approchée dérive de l expression k n[e V], que nous appellerons «formule des niveaux», en suivant la méthode décrite dans [9], à propos de la formule WKBDunham. On obtient ainsi, en laissant n arbitraire, une classe très étendue de théories Thomas Fermi. Chacune est associée à une formule des niveaux. On se propose d en étudier les propriétés générales et d illustrer l efficacité de la méthode par l étude approfondie d un cas particulier, l approximation de Swiatecki modifiée. Donnons une présentation rapide des résultats et du plan de ce travail. On a considéré le problème pour un système de fermions complètement dégénéré (T 0) à urie dimension et à trois dimensions (dans l hypothèse du champ central). On établit d abord les formules générales de la densité et de l énergie associée à une formule des niveaux arbitraire k n. On établit la relation remarquable (10) entre la fonctionnelle densité et la formule des niveaux dont elle dérive. Une relation analogue existe en trois dimensions, mais moins simple et approximative. On montre, dans la section suivante, que la théorie ainsi construite est cohérente : la densité fonctionnelle dérive du principe variationnel général de Kohn et Sham [ 11 ] ; la relation du viriel est vérifiée ; la densité vérifie la condition d intégrabilité fonctionnelle (21). Dans le cas particulier où la densité s exprime localement en fonction du potentiel (Section III) on retrouve la condition déjà donnée par Kirzhnits [12]. On reprend plus brièvement la théorie générale à trois dimensions dans les sections V et VI. On applique la théorie générale à une expression de la densité proposée par Swiatecki [13]. Cette expression a l avantage d être valide dans la région où 1 V change de signe. Elle est toutefois incorrecte car elle ne vérifie pas la condition d intégrabilité fonctionnelle. Nous proposons, section II et VI, une expression modifiée qui dérive d une formule des niveaux et qui coïncide avec l expression originelle de Swiatecki là où le potentiel V vérifie l équation de Laplace, AV 0 (en une ou trois dimensions). Une application numérique, en une dimension, montre que la nouvelle expression est plus précise que celle de Swiatecki. En fait elle est exacte jusqu à l ordre!i2 inclus, alors que celle de Swiatecki diffère de la fonctionnelle densité exacte par un terme d ordre!i2. On donne également les formules explicites applicables aux problèmes atomiques mais sans présenter d applications numériques. I. Formules générales en une dimension. Soit un système de fermions (de spin donné) se mouvant dans un potentiel unidimensionnel V(x). Le problème en trois dimensions sera considéré plus loin. Les fonctions d onde sont solutions de l équation de. Schrödinger,,, avec k 1, 2,... ; 8(k) sont les niveaux d énergie correspondants au facteur h 12 m près. La densité d Hartree relative à No particules est définie par l expression : On désigne par (pu f ) la valeur moyenne de f (x) calculée pour la densité d Hartree ; (ph ; ) est la fonctionnelle linéaire correspondante qui associe à tout f (x) la moyenne (ph ; ;D4 De la même façon on désigne par (1 Ifk 12 f) la moyenne de f sur la fonction d onde

4 839 4 k et par (1 If k 12; ) la fonctionnelle linéaire correspondante. La donnée de la fonctionnelle est équivalente à celle de la densité. Une fonction ou distribution p(x) sera considérée comme une approximation ThomasFermi de la densité d Hartree si la fonctionnelle linéaire (p ; f ) est une bonne approximation de (p. ; f ) pour toutes les fonctions f (x) suffisamment régulières. On peut dire de façon peu rigoureuse que p et pu sont voisins en moyenne. Ceci n exclut pas des écarts PH P localement très grands, mais de nature oscillatoire, dont l intégrale est très petite. Observons que p(x) n est pas nécessairement une fonction mais peut être une distribution très singulière. C est précisément le cas pour le développement asymptotique des fonctionnelles linéaires (ph ; ) et (j If 2, ) en puissances ascendantes de h2 [9]. On obtient la densité ThomasFermi généralisée à partir de celle d Hartree en faisant successivement On remplace la densité deux approximations : (i) 1 If k 2 par une approximation fonctionnelle pk définie pour tout k > 1/2, même non entier [9]. (ii) On remplace la sommation sur les niveaux k par une intégration. 2. On considère d abord le second point. La sommation sur k est évaluée à l aide de la formule sommatoire d EulerMaclamin [14]. L idée d appliquer cette formule à la théorie de ThomasFermi est due à March et Plaskett [7]. Soit a(k) une fonction régulière de k dans le domaine 1/2 k No + 1/2 ; on a alors : de Swiatecki considérée plus loin ; les deux membres de l équation précédente diffèrent alors par des termes oscillants d amplitude importante dont la moyenne sur f est très petite. L erreur sur la moyenne de f peut être évaluée par l équation (3). On observe que l erreur est identiquement nulle si fk varie linéairement avec k. 3. La seconde étape consiste à remplacer la fonctionnelle valeur moyenne sur un niveau (1 4k 12 ; ) par une fonctionnelle approchée (pk ; ), qui s exprime simplement à l aide du potentiel V(x). On généralise la démarche proposée dans [9]. On suppose les niveaux d énergie e(k) donnés approximativement par la formule des niveaux : où n est une fonctionnelle de v E V. Par exemple, à l approximation WKB, n est donnée par : On associe à la formule des niveaux (5) une expres ) de la fonctionnelle valeur sion approchée (pk ; moyenne (1 k 12 ; ). On applique le principe variationnel de RayleighSchrôdinger : La variation ôe(k) du niveau d énergie c(k) consécutive à une perturbation infiniment petite 8 Y 8v du potentiel est égale à la moyenne de ô V(x) sur l état k : Varions la relation (5). On obtient : Le terme correctif C { 1 ne sera pas considéré dans la suite de ce travail. Il provient du caractère discret du spectre d énergie. On applique la formule précédente à la valeur moyenne approximative fk (Pk ; f ) dont l expression est donnée plus loin. On a : Les variations sont faites respectivement à V(x) fixé et e fixé. Ainsi : La dérivée dn/de est prise à V(x) fixé. Elle est donc égale à dk/de. 5n[v ; ôv] est la variation de n consécutive à la variation infinitésimale ôv(x). La densité approchée associée est donc : On suppose que fk varie lentement avec k. La correction d EulerMaclaurin C est alors petite. Négligeant ce terme on obtient ainsi la formule d approximation valide en moyenne sur les fonctions f (x) suffisamment régulières La dérivée fonctionnelle de n[v] par rapport à v est définie par la formule : L expression (6) est correctement normalisée. Si en effet on remplace bv par 1 on a bien bn[v 1 ] * dn/de et en conséquence (k Il 1 k) 1 Il en résulte la formule générale comme il se doit. Cette.formule s applique même si Pk varie rapidement avec k, comme c est le cas pour l approximation

5 La 840 La densité ThomasFermi associée à la formule des niveaux (5) s obtient en substituant l approximation pk, équation (6), dans la formule sommatoire (4). L intégration en k est remplacée par une intégration en a. Les limites d intégration sont 10 e(t) et 1 a(no + ). Le facteur de/dn deldk disparaît lors du changement de variable. On obtient : C est une grandeur additive qui est de la forme o En fait : o La borne inférieure oo assure à p[v] d être manifestement une fonctionnelle de la fonction v 8 V; l existence de l intégrale (8) doit être vérifiée dans chaque cas particulier. il et 10 vérifient les équations : 4. On désigne par N[v] la fonctionnelle définie par l intégrale en x de p [v]. L intégrale en x de p(x) est donc égale à N[ 1 V] N[ 1o v] soit, en tenant compte de (8) : II. Principes variationnels et condition d intégrabilité fonctionnelle. théorie ThomasFermi construite sur la formule des niveaux n [v] vérifie un principe variationnel général (Kohn et Sham [11]) qui implique un certain nombre de propriétés importantes telles que la condition d intégrabilité fonctionnelle et la relation du viriel. Calculons la variation de E[v] consécutive aux variations br et ôv(x). On a posé v 1 V. On varie la formule (13). Il apparaît le terme : on intervertit l ordre des intégrations et on utilise les relations (7) et (9) pour trouver le résultat utile : que l on transforme à l aide de la formule (6), en observant que bn ôn, d après (9). On obtient la formule fondamentale : On voit que le nombre de niveaux occupés No s obtient exactement en intégrant p(x), sans autre erreur que celle inhérente à la formule des niveaux. La correction d Euler Maclaurin est identiquement nulle pour cette quantité et pour le potentiel chimique q. La formule (10) permet de caractériser il sans passer par l intermédiaire de n[v]. En fait la donnée de la densité p [v] est équivalente à celle de la formule des niveaux (5). Celleci s écrit en effet : 8N est la variation de N consécutive à celles due 1 et de V(x). On en déduit une nouvelle expression de p[v], qui apparaît comme la dérivée fonctionnelle de E à N constant : Considérons maintenant la fonctionnelle E[p, V] obtenue en éliminant il entre E[17 V] et N[p, V] n est en fait fonction que de p et s écrit : y est indépendant des. A priori y est une fonctionnelle du potentiel Y. y est identiquement nul pour l approximation WKB. C est également le cas pour une classe plus générale de densités localement définies par le potentiel (section III). Considérons maintenant la grandeur énergie. Il s agit de la somme des énergies des niveaux occupés, La formule variationnelle implique que E est stationnaire pour toute variation de p(x) laissant N[p] inchangée : et

6 Les 841 C est un cas particulier du principe variationnel général de Kohn et Sham [ 11 ]. On peut s affranchir de la contrainte ÔN 0 en introduisant un multiplicateur de Lagrange 1 et en annulant la variation de l énergie libre d Helmoltz : III. Théories ThomasFermi locales en une dimension. formules qui précèdent sont extrêmement générales. On va maintenant se limiter au cas où la densité est définie par le comportement local de de v 1 V. Il suffit de considérer des formules de quantification de la forme : consécutive à celle de p avec la contrainte ôq 0. La densité p vérifie donc l équation : On obtient alors, à partir de (14) et (18) une autre expression de p[v] : P est une fonction universelle de v(x) et de ses n premières dérivées ; c est une constante. 1. La formule des niveaux WKBDunham [10] est de cette forme, avec c 1/2 et : On y remplace F par son expression (18) en fonction de N et on dérive par rapport à ri. On obtient ainsi la condition d intégrabilité fonctionnelle : On a remplacé ô V par bv. Cette condition, de caractère très général, exprime simplement l égalité des deux dérivées secondes de F par rapport à il et v(x) Cette condition sera utilisée plus loin pour obtenir une densité correcte à partir d une expression proposée par Swiatecki [13]. On va montrer que la relation du viriel (23) est vérifiée pourvu que n[v] soit dimensionnellement homogène. n [v] est homogène si l identité suivante est vérifiée quel que soit v(x) et : Cette relation implique : 8(v) _ + 1 ou 0 suivant que v est positif ou négatif. lip est exprimé sous forme d une série semiconvergente en Fi2. On a explicité les deux premiers termes. Le premier correspond à l approximation WKB et conduit à la théorie ThomasFermi usuelle. Les termes suivants sont des distributions très singulières. La signification du symbole de dérivation D,, est donnée dans [9] : on intègre en x avant de dériver en c. La formule de Dunham conduit à la densité de ThomasFermi avec corrections quantiques. On obtient ainsi (en une dimension) les formules déjà connues (Golden [4], Kirzhnits [3]) ; toutefois, les fonctions singulières (non intégrables) sont remplacées par des distributions bien définies [9]. Bien d autres formes de P sont possibles. On étudiera en détail (Section IV) celle qui correspond à l approximation de Swiatecki. 2. Calculons l expression générale de ônlôv(x) relative à la forme (24) de n[v]. La variation de nn consécutive à une variation ôv de v est : En annulant la dérivée en À pour À 1 on obtient, compte tenu de (19) On montre facilement que la somme des deux premiers termes est égale à l énergie cinétique Pv PU... sont les dérivées partielles de P par rapport à v, v,... On élimine les dérivées bv,... par des intégrations par parties. On suppose que P et ses dérivées s annulent aux deux extrémités du domaine d intégration en x. On obtient : d où l expression de la dérivée fonctionnelle [15] (on utilise les relations (11) et (18) ; on observe que pv dx est l énergie potentielle) ; on a donc bien : Elle est égale à la dérivée d Euler de P par rapport à x. On obtient p[" V] en intégrant en 1. L expres

7 sion de N est donnée par la relation générale (12), soit : avec y N[110 y]. La quantité y est identiquement nulle pour l approximation WKB. La condition d intégrabilité prend une forme particulièrement simple. On substitue (26) dans l équation (21). Elle s écrit : D/Dx est la dérivée d Euler. Cette formule a déjà été donnée par Kirzhnits [12]. Elle est identiquement vérifiée si p est la dérivée d Euler d une fonction P. Elle a une conséquence immédiate : il n existe pas de densité qui soit fonction de v et v seulement. Nous y reviendrons à propos de l approximation de Swiatecki. 3. On considère maintenant un cas particulier important. On suppose P fonction de v et v (si P dépend linéairement de v" on peut éliminer cette dépendance en ajoutant à P la dérivée d une fonction Q(v, v ) convenablement choisie ; la valeur de n[v] n est pas modifiée si Q s annule aux bornes de l intervalle d intégration). Pour des raisons dimensionnelles P est de la forme : La contribution p[qo V] à la densité est toujours omise en pratique. D après (33) cette omission est justifiée en moyenne si p[v] est de la forme (31). On observe que le potentiel chimique 11 est alors exactement donné par (33). IV. La densité de Swiatecki modifiée en une dimension. On applique la théorie précédente à une expression de la densité introduite par Swiatecki [13]. La densité proposée psw relative à un état d énergie e est exacte dans toute région où v est linéaire. Elle s exprime à l aide de la fonction d Airy Ai(x). Elle s écrit : dk/de est la densité de niveaux. Swiatecki a obtenu l expression précédente en supposant v localement linéaire et en résolvant alors l équation de Schrôdinger dont la solution finie est proportionnelle à Ai ( ç). Le coefficient de normalisation de la formule (14) est alors exacte à l approximation WKB. Cette densité décroît exponentiellement dans la région v 0, ce qui est qualitativement correct. Elle est oscillante dans la région v > 0 où l amplitude moyenne est asymptotiquement égale à la valeur WKB (2 nv ). La densité ThomasFermi correspondante vaut : j est une variable sans dimension. La densité associée s obtient en intégrant la formule (26). L intégration en 1 s effectue explicitement [15]. On trouve : 1 est la dérivée de ç par rapport à x. Sa valeur est : On peut montrer sans difficulté que la quantité y, équation (12), est identique à zéro si P est asymptotique à l approximation WKB quand h 0. Autrement dit la condition supposée valide pour e assez grand, implique, en ce qui concerne (31), On a changé de variable d intégration, en posant de 1 v I2/3 dç. La fonction ço(() est définie par : j est calculé pour a il (v il V). Les fonctions An, n 0, 1,... sont définies dans l annexe, formule (Al) ; l intégrale Ao est explicitement donnée par (A3) en fonction de Ai et Ai. 2. La densité Psw[v] n est fonction que de v et v ; elle ne peut pas vérifier la condition d intégrabilité fonctionnelle (28) et ne dérive donc pas d une formule des niveaux. On se propose d établir une expression modifiée, p[v], fonction de v, v et v", qui dérive d une formule des niveaux et qui coïncide avec ps,, équation (35), lorsque v" 0. On pose : La densité associée p s obtient à l aide de la formule (31), soit: qo est défini par (9). La valeur de sg (v ) 1 est donnée par l équation (32). On détermine ç en imposant à p d être identique à Ps,,, lorsque v" 0. On obtient l équation :

8 Elle s intègre immédiatement. La solution nulle en ç oo est potentiel v(r) à symétrie sphérique. Les variable sangulaires se séparent et la partie radiale ({J(r )/r vérifie l équation d onde en une dimension : La fonction 9 obtenue est donc singulière en j 0. Mais la densité associée p est régulière. Elle s écrit, en exprimant 9 à l aide de tpo et qjo, Les niveaux d énergie e(kl) sont alors approximativement donnés par la formule des niveaux Ces formules sont générales, indépendantes de la forme particulière de qjo. On les applique à l expression de Swiatecki, soit ço nao(ç). On obtient,po na1(ç) (Annexe A) et relative au potentiel V + Â. avec L expression : ps, est donnée par la formule (35). La nouvelle expression (37) vérifie la condition d intégrabilité fonctionnelle. De plus elle est asymptotiquement (h 0) plus précise que PSw. En effet son développement en puissances ascendantes de!i2 dans la région v > 0 coïncide, en ce qui concerne les termes non oscillants, avec le développement exact construit sur la formule WKBDunham, jusqu à l ordre!i2 inclus. Ce n était pas le cas en ce qui concerne pst 3. Un test numérique montre que p est plus exact que psw. La formule des niveaux associée à p est, d après (12) et (33) : représente la densité radiale 1 ({J 2 relative à un niveau klm (prise en moyenne sur toutes les directions). Elle est normalisée suivant la formule : La densité tridimensionnelle correspondante s obtient en divisant cette densité radiale par 4 nr 2 On construit la densité ThomasFermi généralisée en effectuant une sommation sur les No niveaux d énergie au plus égale à 1 : La formule analogue associée à ps, sera notée nsw. On a calculé numériquement n(ek) nsw(ek) et nwkb(8k) (approximation WKB) pour les premiers niveaux el, e2,... relatifs aux potentiels x2, x4 et x12 (les premiers niveaux d énergie sont donnés réf. [16]). On ne reproduit pas les résultats relatifs à x2, où n et nwk$ donnent le résultat exact. Le tableau 1 reproduit les valeurs relatives à x4 et x12. On constate que nsw et nwkb sont comparables et que n (formule de Swiatecki modifiée) est beaucoup plus exacte. On remplace la sommation sur k et 1 par une intégration [7]. L intégrale obtenue diffère de la somme précédente par un terme correctif (correction d EulerMaclaurin [14]) qui sera omis dans la suite. une inté L intégration en k est ensuite remplacée par gration en e. On obtient TABLEAU 1 avec V. Théorie générale en trois dimensions et application. On envisage maintenant le même pro blème en trois dimensions. On suppose que les No particules (de spin donné) se meuvent dans le même La seconde intégrale de la première équation est trop compliquée pour être effectivement calculée : elle correspond au terme p[ 1o V] du cas monodimensionnel ; elle est identiquement nulle dans le cas de l approximation WKB et, dans le cas général, elle

9  ) 844 est du même ordre de grandeur que la correction d EulerMaclaurin. On l omet donc dans la suite. Cette approximation supplémentaire étant faite on observe que la densité devient une fonctionnelle de la quantité 1 V, d où la notation utilisée dans l équation (40). On posera aussi : C est la densité radiale associée à n[ ] et relative aux états de moment angulaire 1 fixé et d énergie inférieure à Le nombre de niveaux occupés d énergie inférieure à il est donné, avec les approximations indiquées plus haut, par la formule : La condition d intégrabilité (21) s établit ici de la même manière et s écrit : Ainsi les principaux résultats de la théorie en une dimension sont transposables en trois dimensions. Toutefois la formule simple et rigoureuse (9) liant 1 et No est remplacée par une formule beaucoup plus compliquée et qui n a pas été explicitée : on a en effet remplacé le domaine d intégration exacte de la formule (40) (qui conduit à une correction d Euler Maclaurin nulle en ce qui concerne N) par un domaine plus simple où la condition 1/2 g k est omise. 3. On se limite maintenant au cas où la fonctionnelle n a la forme simple (29) considérée section III. 3 avec v  au lieu de v. P(v Â, v s écrit : compte tenu de la relation de normalisation (39) et de (40). Un calcul analogue pour l énergie (k0 klm donne, toujours avec les mêmes approximations, avec toujours À 1(l + 1)/r2. L expression de bn/bv(r) a été calculée plus haut et son intégrale : L expression correspondante de l énergie F E qn est libre résulte immédiatement de la formule (31). C est une fonction de v À, v + 2 Âlr et v" 6 Alr 2. La densité ThomasFermi tridimensionnelle p[v] est donnée par (40). C est manifestement une fonction de v, v, v" et r : 2. On généralise en trois dimensions les résultats obtenus sgction II. Les développements sont formellement analogues et ne seront pas reproduits. Il importe ici de bien distinguer les symboles blôv(r) et ljjfjv(r). Dans le premier cas on varie vautour du point r (ôv 8(r r)) et dans le second cas on varie v au voisinage de la couronne d aire 4 nr La relation entre les deux symboles est : Avec dà/dl (2 l + 1)/r2 s écrit : l intégrale précédente Cette expression se simplifie à la limite r oo ; dans ce cas pl ne dépend plus que de và., v et v" et l intégration en peut être remplacée par une intégration en e ; on obtient alors : Cette remarque faite, on établit comme plus haut, les principes variationnels (17) et (19). Ils s écrivent : De la même façon on trouve (avec v 1 V) ce qui correspond à (15) et (20). Le théorème du viriel en résulte si la fonctionnelle n[v] est dimensionnellement homogène. où po est égal à pi pour 1 À 0 ; c est la densité radiale des niveaux S (1 0) occupés. Elle est donnée par la formule : La formule (51) est valable pour r infini (courbure négligée). Revenons au cas où r est quelconque. On peut obtenir le résultat cherché sans calcul si on admet que p doit être une fonction de quantités locales invariantes telles que v, 1 grad v 1 1 v 1 et : d

10 T. On 845 On obtient ainsi la formule cherchée : L énergie cinétique se calcule à l aide de la formule générale donnée plus haut. On y substitue l expression (52) de po et on change de variable d intégration, ç au lieu de a ; on a à calculer l intégrale : en remplaçant simplement v" par le laplacien Av. po est donnée par la formule explicite : où j est calculé en a 11. Après intégrations par parties on fait apparaître des fonctions définies dans l annexe et on trouve : On obtient N[17 V] en intégrant en r la formule (53) et l énergie E à partir de l équation générale (43). L énergie cinétique est donc : 4. On applique les formules précédentes à la densité de Swiatecki modifiée (37). On obtient ainsi une nouvelle expression de la densité tridimensionnelle qui vérifie la condition d intégrabilité fonctionnelle (48) et dérive en conséquence du principe variationnel (46). La relation du viriel sera alors satisfaite. Ce n était pas le cas pour l expression donnée par Swiatecki [13]. L expression de po résulte de (37) avec v" remplacé par Av et v il V(r), soit : (rappelons que c est la densité radiale des états S). (de L intégration en a s effectue immédiatement dj v 12/3). On obtient, en utilisant la formule (A2) de l annexe Le premier terme est précisément l expression proposée par Swiatecki [13]. Cet auteur a calculé l intégrale A i à l aide. de développements en série. En fait l intégration s effectue analytiquement en utilisant une formule due à Aspnes [17]. Le calcul est effectué dans l annexe et l expression de A 1 est donnée par la formule (A6). L énergie associée à la densité de Swiatecki modifiée est la somme de l énergie cinétique W et de l énergie potentielle : où p est donnée par la formule (55). LE JOURNAL DE PHYSIQUE. 31, N 10, OCTOBRE donné : il faut donc doubler les expressions de la densité et de l énergie cinétique. D autre part, l expression de l énergie doit être modifiée car l énergie d interaction des électrons y est comptée deux fois. L énergie totale est donc, réintroduisant le facteur!i2/2 m : Les formules précédentes donnant p, N, W et Epot seront appliquées ultérieurement aux systèmes atomiques (atomes, ions). Quelques modifications triviales sont nécessaires. Les formules précédentes sont relatives à des particules de spin OÙ Ve h2 Ve/2 rrz est le potentiel dû aux électrons. L expression générale de la densité se simplifie car on peut éliminer Av 2 m f1.v/!i2 en utilisant l équation de Poisson Av 4 ne2 p. On obtient ainsi l expression :, où maintenant p est la densité relative aux deux directions de spin, d où le facteur 2. ao est le rayon de Bohr!i2 /me2. Conclusion. a construit la théorie Thomas Fermi associée à une formule de quantification a priori arbitraire k n[v]. La densité correspondante est une approximation fonctionnelle de la densité d Hartree. Elle est obtenue par la méthode de Brillouin, convenablement modifiée. La première modification, due à March et Plaskett, conduit aux corrections de structure discrète du spectre, qui n ont pas été considérées en détail dans ce travail. La seconde consiste à approcher la densité monoparticulaire 1 Ifk 2 par la fonctionnelle valeur moyenne dérivée de la formule des niveaux k n[v]. On a explicité les formules pour la densité, l énergie et le potentiel chimique, en une et trois dimensions. La relation entre formule des niveaux et la densité ThomasFermi associée est biunivoque. Sa forme est particulièrement simple en une dimension : n [v] et dx diffèrent f p[v]

11 Les 846 simplement par une constante. La théorie Thomas Fermi ainsi construite vérifie le principe variationnel général de Kohn et Sham et, en conséquence, la relation du viriel. La densité vérifie une condition d intégrabilité qui généralise celle donnée par Kirzhnits pour une théorie locale. La théorie ThomasFermi usuelle dérive de la formule WKB. On obtient les corrections quantiques calculées par Golden et Kirzhnits en partant de la formule des nivéaux de Dunham. Ce calcul n a pas car il est inutile d introduire des correc été poursuivi tions en h et!i4, etc..., sans tenir compte de celles dues à la structure discrète du spectre qui sont ellesmêmes d ordre!i2. Ce problème fera l objet d un autre travail. On a étudié en détail une expression due à Swiatecki. On a construit la formule des niveaux associée d où on a déduit une nouvelle expression qui vérifie la condition d intégrabilité (21). Une application numérique, en une dimension, illustre l exactitude accrue de la nouvelle expression. On a explicité les formules directement applicables au problème atomique. L équation de Poisson Av 4 ne2 p permet de les simplifier. Les résultats numériques seront publiés plus tard. Annexe. calculs relatifs à la densité de Swiatecki font intervenir des intégrales de la forme : Le calcul de An s effectue à partir de Ao à l aide d une formule de récurrence due à Aspnes [17]. On a : Utilisant la relation (A2) on a aussi (si n > n > 3) 3 ou ce qui reste vrai si n 1 ou 2 à condition de définir A 1 et A 2 par la formule (A2), c estàdire comme dérivée première et seconde de AQ ; on a et On déduit facilement des relations précédentes les expressions de A 1 et A 2 n est un nombre entier non négatif. En dérivant par rapport à ç et en transformant l intégrale par une intégration par parties on trouve la relation générale : Bibliographie [1] DIRAC (P.), Proc. Camb. Phil. Soc., 1930, 26, 376. [2] BRILLOUIN (L.), 1934, l atome de ThomasFermi (Actualités sci. industr. n 160, Paris, Herman). [3] KIRZHNITS (D. A.), Zh. E. T. F., 1957, 32, 115 ; Soviet Phys. JÉTP, 5, 64. [4] GOLDEN (S.), Phys. Rev., 1957, 105, 604. [5] PLASKETT (J. S.), Proc. Phys. Soc., 1953, A, 66, 178. [6] FÉNYES (I.), Z. Phys., 1949, 125, 336. [7] MARCH (N. H.) et PLASKETT (J. S.), Proc. Roy. Soc., 1956, A, 235, 419. [8] PAYNE (H.), Phys. Rev., 1963, 132, [9] DAGENS (L.), J. Physique, 1969, 30, 593. [10] DUNHAM, Phys. Rev., 1932, 41, 721. [11] KOHN (W.) et SHAM (L. J.), Phys. Rev., 1965, 140, A, [12] KIRZHNITS (D. A.), Zh. E. T. F., 1958, 34, [13] SWIATECKI (W. J.), Proc. Phys. Soc., 1955, A, 68, 285. [14] MILNETHOMSON (L. M.), 1933, The calculus of finite differences. LondonMacmillan. [15] DAGENS (L.), rapport C. E. A., 1970 (à paraître). [16] KRIEGER (J. B.), LEWIS (M. L.), ROSENZWEIG (C.), J. Chem. Phys., 1967, 47, [17] ASPNES (A.), Phys. Rev., 1966, 147, 554.