ANNALES MATHÉMATIQUES BLAISE PASCAL
|
|
- Rémy Garon
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 ANNALES MATHÉMATIQUES BLAISE PASCAL Abdelmalek Azizi, Mohamed Ayadi, Moulay Chrif Ismaili et Mohamed Talbi Sur les unités des extensions cubiques cycliques non ramifiées sur certains sous-corps de Q( d, 3) Volume 16, n o 1 (2009), p < 16_1_71_0> Annales mathématiques Blaise Pascal, 2009, tous droits réservés. L accès aux articles de la revue «Annales mathématiques Blaise Pascal» ( implique l accord avec les conditions générales d utilisation ( Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Publication éditée par le laboratoire de mathématiques de l université Blaise-Pascal, UMR 6620 du CNRS Clermont-Ferrand France cedram Article mis en ligne dans le cadre du Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques
2 Annales mathématiques Blaise Pascal 16, (2009) Sur les unités des extensions cubiques cycliques non ramifiées sur certains sous-corps de Q( d, 3) Abdelmalek Azizi Mohamed Ayadi Moulay Chrif Ismaili Mohamed Talbi Résumé Soient k le corps quadratique réel Q( d) (respectivement le corps biquadratique Q( d, 3)), d un entier positif sans facteur carré, une extension cubique cyclique non ramifiée de k, diédrale sur Q totalement réelle, (respectivement diédrale sur Q( 3).) On constate qu on a deux structures possibles pour le groupe des unités U de, notées alpha et delta. On the units of unramified cyclic cubic extensions of some subfields of Q( d, 3) Abstract Let k be a real quadratic fields of type Q( d)(respectively biquadratic of type Q( d, 3)), d positive integer, square free, an extension not ramified of k dihedral over Q totally real, (respectively dihedral over Q( 3).) We notice that have two possible structures for the group of units U of, denoted by alpha and delta. 1. Introduction Soient k = Q( d) un corps quadratique réel ou k = Q( d, 3) un corps biqudratique, où d est un entier positif sans facteur carré, U F le groupe des unités du corps de nombres F, T F le groupe des unités de Mots-clés : Corps quartiques et biquadratiques, Unités, 3-nombre de Classes. Classification math. : 11R27, 11R29, 11R37. 71
3 A. Azizi et M. Ayadi et M.C. Ismaili et M. Talbi torsion de F et E F = U F /T F le groupe des unités sans torsion de F et une extension cubique cyclique non ramifiée de k, diédrale sur Q totalement réelle, ou diédrale sur Q( 3). Nous déterminons la structure du groupe des unités de E moyennant les indices [E : N /E ] et [E : E L E L σe k ], où L = inv(< τ >) est le corps fixé par τ, avec σ et τ les générateurs d ordre 3 et 2 de Gal(/Q) respectivement de Gal(/Q( 3)). Plus précisément, on montre que dans le cas où k (quadratique réel) deux structures de U sont possibles qu on notera par alpha et delta, et si de plus le 3-groupe de classes de k est de type (3, 3), la structure de U correspond au cas delta si et seulement si admet une unité de Minkowski. Ensuite, nous prolongeons ces résultats aux corps biquadratiques de la forme Q( d, 3). Plus précisément, nous montrons qu on a l équivalence [U k : N /U ][U : U L U L σu k ] = 3 si et seulement si la racine 3ème de l unité ζ 3 = e 2πi 3 est norme d une unité de L. Le calcul des indices [U k : N /U ] et [U : U L U L σu k ] joue un rôle essentiel dans la résolution du problème de capitulation des 3-classes d idéaux de k. 2. Cas d un corps quadratique réel Q( d) Soient k une extension quadratique réelle, une extension cubique de k non ranifiée diédrale sur Q. On adopte les notations suivantes : Gal(/Q) =< σ, τ >, σ 3 = τ 2 = 1, στ = τσ 2, L = inv(< τ >), Gal(/k) =< σ >, a = [E : E k E L E L σ] et b = [E k : N /k E k ]. Proposition 2.1. Chacun des cas suivants (α) : a = 1, b = 3; (β) : a = 3, b = 3; (γ) : a = 9, b = 3; (δ) : a = 3, b = 1; (ɛ) : a = 9, b = 1; correspond à une structure bien déterminée du groupe des unités sans torsion de. Démonstration. Voir [6] 72
4 unités des extensions cubiques de certains sous-corps Remarque 2.2. /Q est diédrale totalement réelle, k aussi quadratique réel donc [U k : N /k U ] = [E k : N /k E ], car [ : k] = 3, T = {±1} et N /k ( 1) = 1. On a aussi [E : E L E L σe k ] = [U /{±1}: U L /{±1}U L σ/{±1}u k /{±1}] = [U /{±1}: U L U L σu k /{±1}] = [U : U L U L σu k ] Lemme 2.3. On suppose que le nombre de classes de k est divisible par 3, alors [E k : E 3 k ] = ab. Démonstration. Puisque le nombre de classes de k est divisible par 3, il existe une extension non ramifiée cubique cyclique sur k, diédrale sur Q totalement réelle. D autre part, on a : donc : [E k : E 3 k] = [U k : N /k U ][N /k U : U 3 ], [U k : N /k U ] = [E k : Ek 3] [N /k U : U 3 (2.1) ]. Aussi : N /k (U L U L σu k) = Uk 3. En effet, / Q est totalement réelle, donc U L = {±1}. < e 1, e 2 >, où {e 1, e 2 } est un système fondamental d unités de L. Donc U L U L σ = {±1}. < e 1, e 2, e σ 1, eσ 1 >, alors si pour i {1, 2}, ε = e i e σ i U LU L σ, on a : ε 1+σ+σ2 = (e i e σ i ) 1+σ+σ2 = (e i ) 1+σ+σ2 (e σ i ) 1+σ+σ2 = (e i ) 1+σ+σ2 (e σ i ) 1+σ+σ2, or : L = inv(< τ > i.e e τ i = e i, ce qui entraîne que ε 1+σ+σ2 = (e i ) 1+σ+σ2 (e τ i ) 1+σ+σ2 = (e 1+τ i ) 1+σ+σ 2 = (e i ) 1+σ+σ2 +τ+τσ+τσ 2 = N k/q (e i ) {±1}, d où N /k (ε) U 3. Si ε = e 1e 2, on a N /k (ε) = (e 1 e 2 ) 1+σ+σ2. Comme e 1 e 2 L, on déduit que (e 1 e 2 ) 1+τ = (e 1 e 2 ) 2 = ((e 1 e 2 ) 1+τ ) 1+σ+σ 2 = (N /k (e 1 e 2 )) 2 = N /Q (e 1 e 2 ) = (e 1 e 2 ) 1+σ2 +τ+τσ+τσ 2 = N /Q (e 1 e 2 ) 2, 73
5 A. Azizi et M. Ayadi et M.C. Ismaili et M. Talbi donc N /Q (e 1 e 2 ) 2 = 1. On raisonne de la même façon pour ε = e i, i {1, 2}, et ε = e σ 1 eσ 2. Comme N /k(u k ) = U 3 k, alors N /k(u L U L σu k ) = U 3 k. De (2.1) on tire : [U k : N /k U ] = [E k : E 3 k ] [N /k U : N /k (U L U L σu k )] Si N : U U k est l application norme de l extension /k, alors on a donc [N(U ): N(U L U L σu k )] = [U : U L U L σu k ] [ker N : ker N U L U L σu k ], [U k : N /k U ] = [E k : Ek 3][ker N : ker N U LU L σu k ], [U k : U L U L σu k ] et comme [ker N : ker N U L U L σu k ] = 1 (d après [5]) on tire que [U k : N /k U ][U : U L U L σu k ] = [E k : E 3 k] c est à dire ab = [E k : E 3 k ]. Lemme 2.4. Si /k une extension non ramifiée, alors on a E k N /k ( ) = E k. Démonstration. Soient P un ideal premier de k et B un diviseur premier de P dans, alors B /k P est une extension non ranifiée ( B, P les localisés en β et P respectivement ), donc si x E k, il existe γ unité de B tel que x = N B (γ) et ceci pour tout idéal P premier fini de k,. D autre part, si P est un premier réel infini de k non ramifié de, B un diviseur de P dans, alors les completions de k et relativement à P et B sont R, il est donc naturel de dire que les symboles de Forbenius associés, aux idéaux infinis sont égaux à 1, d où tout élément de est norme infinie d un élément de k et comme l extension /k est cyclique, alors x est norme globale dans (voir [3]). Lemme 2.5. On suppose que /k est non ramifiée, on note par S le 3-groupe de classes de, S (σ) = {[A] S /[A] σ = [A]} le groupe des classes amligues, S (σ),fr = {[A] S /A σ = A} le sous-groupe formé par les classes fortement ambigues, alors on a #S (σ) = b #S(σ),fr. 74
6 unités des extensions cubiques de certains sous-corps Démonstration. Soit l application { S (σ) ψ = U k/n /k U c = [A] N /k (x)n /k U où x est défini comme suit : si c = [A] S (σ), alors c1 σ = 1 et A σ 1 = (x) avec x un élément de, N /k (x) est une unité de E k. L application ψ est bien définie car si c = [A] = [B] et B σ 1 = (y) alors il existe ζ tel que A = ζb, et A σ 1 = ζ σ 1 B σ 1 = (x) = ζ σ 1 (y) = z U tel que x = zζ σ 1 y = N /k (x) = N /k (z)n /k (y), ce qui montre que N /k (x) et N /k (y) ont même classe modulo le groupe de normes des unités de. L application ψ est surjective. En effet, si η E k d après le lemme 2.4, il existe x tel que η = N /k (x) donc N /k ((x)) = (1), d après le théorème 90 de Hilbert (x) = C σ 1, où C est un idéal de et par suite ψ([c]) = ηn /k U. De plus on a ker ψ = {c S (σ) /ψ(c) = 1}, donc c = [A] ker ψ x = N /k (ρ) où ρ est une unité de, comme A σ 1 = (z) et N /k (z) = x alors z/ρ est une unité de norme 1, d où ρ/z = β 1 σ ρ = zβ 1 σ donc z/ρβ 1 σ = 1, comme ρ est une unité on aurait (βa) 1 σ = 1 d où βa est ambigue et [βa] = [A] = c S (σ),fr, et par suite ker ψ S (σ),fr. L autre inclusion est évidente, donc d après le premier théorème d isomorphisme, on déduit que et #S (σ) /S(σ),fr = b. S (σ) /S(σ),fr Imψ = U k/n /k U Théorème 2.6. On suppose que /k est non ramifiée, et S k (3, 3), les cas (β) et (α) et (ε) ne peuvent avoir lieu. De plus, les trois affirmations sont équivalentes : (1) la structure de E correspond au cas (δ). (2) le sous-groupe des classes fortement ambigues dans /k n est pas trivial. (3) le corps admet une unité de Minkowski. Démonstration. D après le lemme 2.3, ab = [E k : E 3 k ]. Comme E k/e 3 k Z/3Z, ab = 3, ce qui élimine les types (β), (α) et (ε). On montre les implications 2) = 1) 3) et 1) = 2). 75
7 A. Azizi et M. Ayadi et M.C. Ismaili et M. Talbi Soit A un idéal de non principal tel que A σ = A, alors [A] 1 est ambigue et [A] S (σ),fr, d autre part on a #S(σ) = 3, car par [2] #S (σ) = #S k 3 t 2+q avec t le nombre des premiers de k qui se ramifient dans et { 1 si e est norme dans /k, q = 0 sinon où e est l unité fondamentale de k, et dans notre cas, /k est non ramifiée, donc t = 0 et q = 1 [lemme 2.5]. Puisque S k est de type (3, 3), alors = 9/3 = 3 entraîne que S(σ),fr = S(σ) et b = 1 [lemme 2.5], d où a = 3 et on a le type (α). Comme l anneau des entiers du sous-corps réel maximal de Q(ζ 3 ) (ζ3 3 = 1, la racine 3ème de l unité ) est Z et il est principal et /Q D 3, alors d après [6] le type (δ) est une condition nécessaire et suffisante pour que admette une unité de Minkowski. Si toutes les classes ambigues ne contiennent aucun idéal ambigue, on aurait S (σ),fr trivial, d où #S(σ) = b [lemme 2.4] et donc b = 3 et par suite a = 1 c est à dire le type (δ). #S (σ) Exemple 2.7. On prend k = Q( d) où d = 4uw 3 27u 2 avec u et w sont premiers entre eux, et P (x) = x 3 uwx u 2 irréductible, de plus u et w remplissent l une des conditions suivantes : 3 w. 3 w uw 3 mod 9 u = w ± 1 mod 9. 3 w uw 3 mod 9 u w ± 1 mod 27. Soient θ une racine de P, L = Q(θ), u et w sont choisis de manière a avoir le discriminant de L égal a d. On a rans L = rans k 1, dans notre cas on a toujours S L est cyclique. D après [4], le corps de décomposition de P définit une extension cubique cyclique non ramifiée de k, qu on notera diéderale sur Q (car disc(p ) = u 2 d) n est pas un carré, et on a h = ah 2 L, où h désigne le 3-nombre de classes de F (voir [6]). En se basant sur tout cela et à l aide du logiciel PARI nous donnons des exemples qui illustrent les deux types de structure qu on notera par alpha et delta. 76
8 unités des extensions cubiques de certains sous-corps u = 1 w 4w 3 27 = d h L h structure alpha alpha alpha alpha delta delta delta alpha alpha alpha delta alpha alpha delta alpha alpha delta alpha delta alpha delta delta alpha alpha delta delta alpha alpha 77
9 A. Azizi et M. Ayadi et M.C. Ismaili et M. Talbi u 1 u w d = 4uw 3 27u 2 h L h structure alpha delta delta alpha delta alpha alpha alpha alpha delta alpha alpha delta alpha alpha alpha alpha alpha alpha delta alpha Remarque 2.8. Chaque corps de décomposition des pôlynomes suivants admet une unité de Minkowski 1) P (x) = x 3 89x 1; 2) P (x) = x 3 98x 1; 3) P (x) = x 3 113x 1; 4) P (x) = x 3 256x 1; 5) P (x) = x 3 340x 1; 6) P (x) = x 3 343x 1; 3. Cas du corps biquadratique k = Q( d, 3) Dans ce cas, k désigne une extension quadratique du corps F = Q( 3), on suppose toujours que le 3-groupe de classes S k (3, 3). On singale que les lemmes 2.4 et 2.5 restent valables dans ce cas, et on démontre un lemme qui généralise le lemme 2.3 dans le cas où F est un corps le nombres ayant 78
10 unités des extensions cubiques de certains sous-corps nombre de classes premier à 3, qui est la base de notre étude dans cette section. Lemme 3.1. Soit F un corps de nombres, dont le nombre de classes est premier à 3, et soit k une extension quadratique de F. Si est une extension cyclique non ramifiée de degré 3 sur k, alors /F est galoisienne et diédrale de degré 6, et on a : [U : U L U L σu k ][U k : N /k U k ] = [U k : U 3 k ][U F : N L/F U L ] [U F : U 3 F ] où L est l une des extensions cubiques non galoisiennes de F. Démonstration. D après [7] /F est une extension galoisienne et diédrale. Posons Gal(/F ) D 3 =< σ, τ > tel que σ 3 = τ 2 = 1, στ = τσ 2 L = inv(< τ >). On a [U k : Uk 3] = [U k : N /k U ][N /k U k : Uk 3 ], donc : [U k : N /k U ] = = [U k : U 3 k ] [N /k U : U 3 k ] (3.1) [U k : U 3 k ] [N /k U : U 3 k N L/F U L ][U 3 k N L/F U L : U 3 k ]. D autre part, on montre que N /k (U L U L σu k ) = Uk 3N L/F U L. En effet, soient {e 1, e 2,...e r } un système fondamental d unités de U L, et ε U L U L σ, alors si ε = e i e σ i (1 i r) on déduit que ε 1+σ+σ2 =(e i e σ i ) 1+σ+σ2 = (e i ) 1+σ+σ 2 (e σ i ) 1+σ+σ2 = (e i ) 1+σ+σ 2 (e i ) 1+σ+σ2 = ε 1+σ+σ2 = (e 2 i ) 1+σ+σ2. Comme L = inv(< τ >) on déduit que N /k (ε) =(ei 1+τ ) 1+σ+σ 2 = e 1+σ+σ 2 +τ+τσ+τσ 2 i = N /F (e i ) =N L/F N /L (e i ) = N /k (ε) = N L/F (e 2 i ) N L/F U L. Si ε = e i e j (i j) on a ε 1+σ+σ2 = (e i e j ) 1+σ+σ2, or e i e j U L et donc (e i e j ) 1+τ = (e i e j ) 2 entraîne que (N /k (ε)) 2 = (e j e i ) 1+τ, on raisonne comme le cas précédent et on obtient (N /k (ε)) 2 = N L/F ((e j e i ) 2 ) N L/F U L, or U F /N L/F U L est un 3 groupe, alors N /k (ε) N L/F U L, 79
11 A. Azizi et M. Ayadi et M.C. Ismaili et M. Talbi (même raisonnement pour le cas ε = e σ i eσ i ). On a aussi N /k(u k ) = U 3 k, donc N /k (U L U L σu k ) = U 3 k N L/F U L. De (3.1) on tire : [U k : N /k U ] = et comme dans le lemme 2.3 on a alors : D autre part, [U k : U 3 k ] [N /k U : N /k (U L U L σu k )][U 3 k N L/F U L : U 3 k ] [N /k U : N /k (U L U L σu k )] = [U : U L U L σu k )], [U k : N /k U ] = [U k : U 3 k ] [U : U L U L σu k ][U 3 k N L/F U L : U 3 k ] [U 3 k N L/F U L : U 3 k ] = [N L/F U L : N L/F U L U 3 k ] = [N L/F U L : U 3 F ] et aussi [U F : UF 3 ] = [U F : N L/F U L ][N L/F U L : UF 3 ] implique que [U 3 kl/f U L : U 3 k ] = [U F : U 3 F ] [U F : N L/F U L ]. Finalement on a : [U k : N /k U ] = [U k : U 3 k ][U F : N L/F U L ] [U : U L U L σ U k ][U F : U 3 F ] et [U : U L U L σu k ][U : N /k U ] = [U k : U 3 k ][U F : N L/F U L ] [U F : U 3 F ] Proposition 3.2. [U : U L U L σu k ][U : N /k U ] = 3 si et seulement si ζ 3 est norme d une unité de L ( la norme de l extension L/F ). Remarque 3.3. Lorsque ζ 3 est norme d une unité de L, où ζ 3 est racine 3 ème de l unité, les cas possibles sont : ( α) [U : N /k U ] = 3; [U : U L U L σu k ] = 1. ( δ) [U : N /k U ] = 1; [U : U L U L σu k ] = 3. Ce qui caratérise deux types de structures possibles comme dans le premier cas. Preuve de la proposition. Calculons les indices [U F : UF 3 ] et [U k : Uk 3 ], on a U F = {±1, ±1± 3 2 } = {±1, ±ζ 3, ζ3 2}, donc il est clair que U F 3 = {±1} et [U F : UF 3 ] = 3. D autre part, k = Q( 3, d) d 1 et 3 d après [1], si 80
12 unités des extensions cubiques de certains sous-corps ε 0 = s + t d est l unité fondamentale de Q( d), déterminer un système fondamental d unités de k revient à savoir quand est ce que 3ε 0 est un carré dans N. Plus précisément : i) Si ε 0 est de norme 1, {ε 0 } est un système fondamental d unités de k. ii) Si ε 0 est de norme 1, alors { ε 0 } est un système fondamental d unités de k si et seulement si 6(s ± 1) est un carré dans N, et {ε 0 } est un système fondamental d unités de k sinon. Donc si N(ε 0 ) = 1 ou N(ε 0 ) = 1 et 6(s ± 1) n est pas un carré dans N, {ε 0 } est un système fondamental d unités de k, soit ε U k alors ε = ζ(ε 0 ) n où ζ U F, d où ε 3 = ζ 3 (ε 3 0 )n = ±(ε 3 0 )n = U k /Uk 3 Z/3Z Z/3Z et on a [U k : Uk 3] = 9. Si N(ε 0) = 1 et 6(s ± 1) n est pas un carré dans N. Soit ε U k alors ε = ζ( ε 0 ) n où ζ U F d où ε = ζ(ε 0 ) n = ±(( ε 0 ) 3 ) n = [U k : Uk 3 ] = 9, donc d après le lemme 3.1 on a [U : U L U L σu k ][U : N /k U ] = 3[U F : N L/F U L ], d où si ζ 3 est norme d une unité de L on déduit facilement que [U F : N L/F U L ] = 1, sinon [U F : N L/F U L ] = 3 donc [U : U L U L σu k ][U : N /k U ] = 3 ε U L tel que N L/F (ε) = ζ 3. Corollaire 3.4. Les cas possibles des deux indices [U : N /k U ] et [U : U L U L σu k ] sont : ( α) [U : N /k U ] = 3; [U : U L U L σu k ] = 1 ( β) [U : N /k U ] = 3; [U : U L U L σu k ] = 3 ( δ) [U : N /k U ] = 1; [U : U L U L σu k ] = 3 ( ε) [U : N /k U ] = 1; [U : U L U L σu k ] = 9 ce qui caractérise complètement la structure du groupe des unités de. Démonstration. Les conditions du lemme 2.4 et du lemme 2.5 sont remplies, d autre part, d après la formule des classes ambigues on a le nombre des classes ambigues est 3 d où les valeurs possibles de [U : N /k U ] sont 1 et 3 et comme [U : N /k U ][U : U L U L σu k ] = 3 m avec m = 1 ou m = 2, alors les cas possibles sont ( α), ( β), ( δ) et ( ε). Exemple 3.5. Si d = (4(3m) 3 + 1) m N \{0}, k = Q( d, 3), F 1 = Q(θ) où θ est une racine de P (x) = X 3 9mX 2 1, L = F 1 ( 3) et = L.k, et on a d après [5] h = ah 2 L = 3. D autre part, d après [7] la tour de Hilbert dans ce cas s arrête au premier étage donc h L = 0 et par suite rang 3 (L) = 0, ce qui entraîne que ζ 3 n est pas norme d une unité 81
13 A. Azizi et M. Ayadi et M.C. Ismaili et M. Talbi de L voir [5], et aussi [U : U L U L σu k ] = 3, et donc [U k : N /k U ] = 3 c est à dire le type (β). Références [1] A. Azizi «Unités de certains corps de nombres imaginaires et abeliens sur Q.», Ann.Sci.Math. Quebec 23 (1999), p [2] F. Gerth, III «Ranks of 3-class groups of non-galois cubic fields», Acta Arith. 30 (1976), no. 4, p [3] G. Januzs Algerbraic number fields, Academic press newyork,baton rouge, louisiana, [4] Y. ishi et. Miyake «Parametrization of the quadratic fields whose class numbers are divisible by three», J. Number Theory 80 (2000), no. 2, p [5] F. Lemmermeyer «Class groups of dihedralextansions», Math, Nacher 278 (2005), p [6] N. Moser «Unités et nombre de classes d une extension diédrale de Q», Société mathématique de France. Astérisque (1975), p [7] E. Yoshiba «On the 3 class field tower of some biquadratic fields», Acta Arithmetica (2003), p Abdelmalek Azizi Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Mohamed 1 Oujda MAROC abdelmalekazizi@yahoo.fr Moulay Chrif Ismaili Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Mohamed 1 Oujda MAROC mcismaili@yahoo.fr Mohamed Ayadi Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Mohamed 1 Oujda MAROC Ayadi@univ.ac.ma Mohamed Talbi Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Mohamed 1 Oujda MAROC ksirat1971@yahoo.fr 82
De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailEXISTENCE OF ALGEBRAIC HECKE CHARACTERS ( C. R. ACAD. SCI. PARIS SER. I MATH, 332(2001)1041-1046) Tonghai Yang
EXISTENCE OF ALGEBRAIC HECKE CHARACTERS ( C. R. ACAD. SCI. ARIS SER. I MATH, 332(2001)1041-1046) Tonghai Yang Abstract. In this note, we will characterize a weak version of the Brumer-Stark conjecture
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailC. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 1 6. Théorie des nombres. Damien Roy
C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 1 6 Théorie des nombres Approximation simultanée d un nombre et de son carré Simultaneous approximation to a real number and its square Damien Roy Département
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailProposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.
DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détail1 Définition et premières propriétés des congruences
Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon
Plus en détailAnalyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe
Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie
Plus en détail108y= 1 où x et y sont des entiers
Polynésie Juin 202 Série S Exercice Partie A On considère l équation ( ) relatifs E :x y= où x et y sont des entiers Vérifier que le couple ( ;3 ) est solution de cette équation 2 Déterminer l ensemble
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détail1 Première section: La construction générale
AMALGAMATIONS DE CLASSES DE SOUS-GROUPES D UN GROUPE ABÉLIEN. SOUS-GROUPES ESSENTIEL-PURS. Călugăreanu Grigore comunicare prezentată la Conferinţa de grupuri abeliene şi module de la Padova, iunie 1994
Plus en détailAlgèbres simples centrales. involution de première espèce.
Algèbres simples centrales à involution de première espèce Karim Johannes Becher Fachbereich Mathematik und Statistik, D204, Universität Konstanz, D-78457 Konstanz, Allemagne. E-mail: becher@maths.ucd.ie
Plus en détailCarl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939)
Par Boris Gourévitch "L'univers de Pi" http://go.to/pi314 sai1042@ensai.fr Alors ça, c'est fort... Tranches de vie Autour de Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) est transcendant!!! Carl Louis
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailFiltrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales
Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de
Plus en détailGroupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détailCalcul de développements de Puiseux et application au calcul du groupe de monodromie d'une courbe algébrique plane
Calcul de développements de Puiseux et application au calcul du groupe de monodromie d'une courbe algébrique plane Poteaux Adrien XLIM-DMI, UMR-CNRS 6172 Université de Limoges Soutenance de thèse 15 octobre
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailDémonstration de la conjecture de Dumont
C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 1 (005) 71 718 Théorie des nombres/combinatoire Démonstration de la conjecture de Dumont Bodo Lass http://france.elsevier.com/direct/crass1/ Institut Camille Jordan, UMR
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailCorps des nombres complexes, J Paul Tsasa
Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa One Pager Février 2013 Vol. 5 Num. 011 Copyright Laréq 2013 http://www.lareq.com Corps des Nombres Complexes Définitions, Règles de Calcul et Théorèmes «Les idiots
Plus en détailModèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions.
Problèmes mathématiques de la mécanique/mathematical problems in Mechanics Modèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions. Cristinel Mardare Laboratoire
Plus en détailNé le 13/06/1984 Russe Célibataire Langues : Russe, Anglais,
Alexey Zykin Université d Etat Ecole des Hautes Etudes en Sciences Economiques Adresse : 7, Vavilova rue, Moscou, Russie Courriel : alzykin@gmail.com Page personnelle : http://www.mccme.ru/poncelet/pers/zykin.html
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailPrincipe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif
Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Cécile Durot 1 & Yves Rozenholc 2 1 UFR SEGMI, Université Paris Ouest Nanterre La Défense, France, cecile.durot@gmail.com 2 Université
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailLa persistance des nombres
regards logique & calcul La persistance des nombres Quand on multiplie les chiffres d un nombre entier, on trouve un autre nombre entier, et l on peut recommencer. Combien de fois? Onze fois au plus...
Plus en détailNombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais...
Introduction Nombres premiers Nombres premiers Rutger Noot IRMA Université de Strasbourg et CNRS Le 19 janvier 2011 IREM Strasbourg Definition Un nombre premier est un entier naturel p > 1 ayant exactement
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailCours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre
Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailQuelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Plus en détailLa transformée de Fourier sur un groupe fini et quelques-unes de ses applications. Elise Raphael Semestre d automne 2009-2010
La transformée de Fourier sur un groupe fini et quelques-unes de ses applications Elise Raphael Semestre d automne 009-010 1 Contents 1 Transformée de Fourier sur un groupe fini 3 1.1 Dual d un groupe
Plus en détailProbabilités Loi binomiale Exercices corrigés
Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailCours d arithmétique Première partie
Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailContexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,
Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailTriangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier
Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailTaux d évolution moyen.
Chapitre 1 Indice Taux d'évolution moyen Terminale STMG Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Indice simple en base 100. Passer de l indice au taux d évolution, et réciproquement.
Plus en détailIntroduction. Mathématiques Quantiques Discrètes
Mathématiques Quantiques Discrètes Didier Robert Facultés des Sciences et Techniques Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes email: v-nantes.fr Commençons par expliquer le titre.
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailDéfinition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3
8 Systèmes de numération INTRODUCTION SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS Dans un système positionnel, le nombre de symboles est fixe On représente par un symbole chaque chiffre inférieur à la base, incluant
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailCours introductif de M2 Théorie des Nombres
Cours introductif de M2 Théorie des Nombres Jean-François Dat 2012-2013 Résumé Ce cours est une introduction aux concepts et outils de base de la théorie algébrique des nombres : théorie des entiers, théorie
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailLA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE
LA PHYSIQUE DES MATERIAUX Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE Pr. A. Belayachi Université Mohammed V Agdal Faculté des Sciences Rabat Département de Physique - L.P.M belayach@fsr.ac.ma 1 1.Le réseau
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailChapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détailLogiciel Libre Cours 2 Fondements: Programmation
Logiciel Libre Cours 2 Fondements: Programmation Stefano Zacchiroli zack@pps.univ-paris-diderot.fr Laboratoire PPS, Université Paris Diderot 2013 2014 URL http://upsilon.cc/zack/teaching/1314/freesoftware/
Plus en détail