ÉCOLE DE TECHNOLOGIE SUPÉRIEURE UNIVERSITÉ DU QUÉBEC PROJET D'APPLICATION PRÉSENTÉ À L'ÉCOLE DE TECHNOLOGIE SUPÉRIEURE

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1 ÉCOLE DE TECHNOLOGIE SUPÉRIEURE UNIERSITÉ DU QUÉBEC PROJET D'APPLICATION PRÉSENTÉ À L'ÉCOLE DE TECHNOLOGIE SUPÉRIEURE COMME EXIGENCE PARTIELLE À L'OBTENTION DE LA MAÎTRISE EN TECHNOLOGIE DES SYSTÈMES M.ING. PAR HUGUES BÉLANGER RÉSEAU DE KOHONEN POUR LA DÉTECTION DES CONTOURS D'OBJETS DANS UNE IMAGE À NIEAUX DE GRIS MONTRÉAL, LE 8 FÉRIER Dros réservés de Hugues Bélanger 1998

2 CE PROJET D'APPLICATION A ÉTÉ ÉALUÉ PAR UN JURY COMPOSÉ DE: Mme Ra Noumer, Ph.D., professeur-ueur e professeur au déparemen de géne élecrque à l'école de echnologe supéreure M. Rchard Lepage, Ph.D., professeur-coueur e professeur au déparemen de géne de la producon auomasée à l'école de echnologe supéreure auparavan, professeur au déparemen de géne élecrque M. Jacques De Guse, Ph.D., professeur au déparemen de géne de la producon auomasée à l'école de echnologe supéreure M. Langs Gagnon, Ph.D., chercheur Cenre de recherche nformaque de Monréal CRIM IL A FAIT L'OBJET D'UNE PRÉSENTATION DEANT CE JURY ET UN PUBLIC LE 1 DÉCEMBRE 1998 À L'ÉCOLE DE TECHNOLOGIE SUPÉRIEURE

3 Réseau de Kohonen pour la déecon des conours d'objes dans une mage à nveaux de grs Hugues Bélanger Sommare La déecon du conour d'un obje spécfque se rouvan dans une mage es une opéraon mporane de pluseurs sysèmes de vson. Des soluons proposées auparavan conssaen à ulser un déeceur d'arêes suve d'une méhode de regroupemen. On a reproché à ces méhodes d'êre rop rgdes e sensbles au bru. D'aures approches plus récenes ne regroupen pas les arêes au sens classque du erme, c'es-à-dre en ordonnan une sére d'arêes déecées dans l'mage. Pluô, ces approches von représener un ensemble d'arêes de façon opmale en mnmsan une foncon d'énerge. Les conours acfs ou "snake" e les cares de Kohonen en son des exemples. Des ravaux, ayan pour bu de ramener ces deux algorhmes e quelques aures à un cadre de raval commun, on éé effecués avec succès. Ce proje re avanage de ce nouveau cadre afn de modfer l'algorhme de Kohonen de deux façon. La premère consse à changer le ype d'enrée de smple poson des arêes dans l'mage à une poson pondérée par le graden de ces arêes. La deuxème consse à créer une srucure d'accuel pour un reour d'nformaon du nveau supéreur d'un sysème de vson. L'algorhme ans modfé a éé comparé à l'algorhme classque e au snake. Il semble que cee modfcaon perme de capurer de l'nformaon à propos du conour qu sera auparavan passée naperçue avec des méhodes comme le snake ou l'algorhme de Kohonen dans sa forme classque. Un es de robusesse en présence de bru a révélé que le nouvel algorhme dépenda foremen des opéraons de préraemen pour lu fournr des gradens pernens au conour de l'obje. Le snake se compore meux en présence de bru. Par conre, une hypohèse menan au développemen des conours acfs demande que le conour nal se rouve près du conour que l'on cherche. Cec n'es pas nécessare avec l'algorhme de Kohonen à cause du raemen global de l'ensemble des arêes. Il es mpéraf de poursuvre plus avan les recherches à l'néreur de ce cadre de raval. Le raemen global effecué par l'algorhme de Kohonen en fa une approche plus robuse lorsque le conour nal es élogné du conour de l'obje e donc, lorsque

4 peu d'nformaon es dsponble quan à la poson approxmave du conour. Le snake à l'avanage d'êre plus précs en présence de bru. Une combnason de ces approches ou une nouvelle approche regroupan ces avanages es souhaable.

5 Kohonen neural nework for he deecon of objecs conours n a graylevel mage Hugues Bélanger Absrac The conour deecon of he objecs found n an mage s an mporan module of a vson sysem. Prevous soluons conssed n usng an edge deecon fler followed by an edge lnkng operaon. These mehodes had he nconvenen of beng oo rgd and sensve o nose. More recenly, oher mehods have been used ha do no lnk edges n he classcal sense ha s o say by formng an ordered ls of edges from an unordered ls. Insead, hese approaches represen a se of edges opmally by mnmsng an energy funcon. Acve conours or "snakes" and Kohonen maps are prme examples. Prevous work was successful a expressng hese wo algorhms whn a common framework. Ths projec ook advanage of hs common framework o modfy he Kohonen algorhm n wo ways. The frs modfcaon conssed n changng he ype of npu whch was he poson or coodnaes of he objec edges n he mage o a poson of edges weghed by he graden magnude. The second one conssed n creang a srucure capable of recevng feedback from a vson sysem's hgher processng levels. The modfed algorhm s hen compared o he classcal Kohonen maps and o he snake. The modfed algorhm allowed capurng nformaon abou he conour ha could no be deeced usng oher mehods lke he snake or he classcal maps. The robusness of he algorhm n he presence of nose revealed ha he new algorhm srongly depended on he pre-processng operaons o provde edges and gradens ha are pernen o he objec's conour. The snake behaves beer n he presence of nose. However, one hypohess leadng o he developmen of he acve conours assumes ha he nal conour s locaed near he fnal conour. Ths hypohess does no apply o he Kohonen maps because of he global processng of he whole se of edges. I s mperave o pursue research whn hs framework. The global processng of he Kohonen maps gves robusness when he nal conour s far from he conour of he objec.e. when lle nformaon s avalable abou he approxmae poson of he conour. The snake s more precse n nosy mages. A combnaon of hese approaches would make a beer conour deecon algorhm.

6 Table des maères Page SOMMAIRE... ABSTRACT... REMERCIEMENTS...v LISTE DES FIGURES...v INTRODUCTION...1 CHAPITRE 1: Modèle du conour acf Formulaon Énerge nerne Énerge exerne Déformaon du conour acf...10 CHAPITRE : Cares de Kohonen SOFM Cares auo-organsées de Kohonen Archecure Règle de ransmsson Règle d'apprenssage L'nalsaon Propréés des SOM Approxmaon de l'espace d'enrée Apparemen de la densé d'une dsrbuon Conservaon de l'ordre opologque...7 CHAPITRE 3: Approche commune Noaon...9

7 v Table des maères sue 3. Algorhmes modfés Algorhme de Kohonen Algorhme du conour acf ou snake CHAPITRE 4: Modfcaons à l'algorhme de Kohonen Calcul des cenres de masse Inégraon de l'algorhme à un sysème de vson...39 CHAPITRE 5: Dscusson e nerpréaon des résulas Résulas de déecon de conour smple Capure de la opologe globale du conour Algorhme modfé: comparason avec l'algorhme classque Robusesse en présence de bru Apprenssage dans le cas où cerans pons son déermnés avec cerude Applcaon à une mage omographque...75 Concluson e recommandaons Références... 89

8 Lse des fgures Page 1.1 Poson des noeuds sur le conour Archecure du réseau de Kohonen Noyau de convoluon en "chapeau mexcan" Relaon enre la care des caracérsques e le veceur pods du neurone gagnan..4.4 Exemple de care applquée sur une dsrbuon unforme Exemple d'une sue d'arêes forman un conour Résula du flrage e seullage avec un flre de Sobel osnage opologque d'une care de Kohonen undmensonnelle Paron de l'espace d'enrée - cellules de oronoï Cercles auour de chaque noeud Smulaon de déecon avec 64 neurones Foncon d'apprenssage Smulaon de déecon de conour avec 64 neurones β = Smulaon de déecon de conour avec 149 neurones β = Smulaon de déecon du conour avec conour nal en forme de "8" Smulaon de déecon du conour avec conour nal en forme de "8" Conour nal en forme de "8" Smulaon de déecon de conour avec 86 neurones Déecon de conour avec le snake Image nale don le con concave supéreur gauche a éé modfé Images de la crox raée avec un flre de Sobel pus bnarsées... 55

9 v Lse des fgures sue Page 5.1 Déecon de conour β = Déecon de conour β = Déecon de conour β = Déecon de conour β = Déecon de conour β = Déecon de conour β = Smulaon de déecon de conour avec l'algorhme du snake Smulaon de déecon de conour avec l'algorhme du snake Crox bruée avec des valeurs aléaores enre 0 e 0, Résula de l'applcaon du flre de Sobel sur l'mage d'nérê Déecon de conour d'une mage bruée β = Seullage e bnarsaon des gradens de l'mage bruée Régon d'nérê chose auour de la crox Déecon de conour d'une mage bruée β = Gradens générés à parr de l'mage bruée Déecon de conour de l'mage bruée Résula du snake pour la déecon du conour d'un obje d'une mage bruée Conour rouvé en ulsan le reour d'nformaon Image omographque du coeur Résula de l'applcaon de Kohonen classque à une mage omographque Résula de l'applcaon de Kohonen modfé à une mage omographque Résula de l'applcaon du snake à une mage omographque Résula de l'applcaon de Kohonen classque à une mage omographque Résula de l'applcaon de Kohonen modfé à une mage omographque Résula de l'applcaon du snake à une mage omographque... 81

10 REMERCIEMENTS Je voudras d abord exprmer ma profonde reconnassance à mes dreceurs de proje, Ra Noumer, Ph.D. e Rchard Lepage, Ph.D., pour la confance qu'ls m'on accordée en me proposan ce proje e pour leur souen ou au long de son développemen. Je veux auss remercer Jacques de Guse, Ph.D. e Langs Gagnon, Ph.D. respecvemen du déparemen de la producon auomasée de l'éts e du Cenre de recherche nformaque de Monréal pour leurs remarques consrucves qu'ls m'on prodguées lors de la revue de mon raval. Ma reconnassance va égalemen à mes ams e collègues qu m on fourn remarques e suggesons pour ce raval e m'on offer leur suppor lors de la présenaon e de la rédacon de ce proje. Je remerce noammen mon employeur, Neoglyphcs Meda Corporaon, de m'avor alloué du emps pour ravaller à la compléon de ce proje. Enfn, je désre remercer chaleureusemen les membres de ma famlle pour le souen e l encouragemen qu ls m on apporés ou au long de ce raval.

11 INTRODUCTION La déecon du conour d'un obje ben déermné dans une mage joue un rôle décsf dans ben des cas en raemen d'mage e en vson arfcelle. Pluseurs enaves on éé faes pour accomplr cee âche e amélorer la qualé de la segmenaon. Une soluon usuelle consse à ulser une déecon locale à l'ade de déeceurs d'arêes comme Sobel 1970, Marr-Hldreh 1980 ou Canny 1986 suv d'une méhode de regroupemen. Le regroupemen des arêes "es le procédé par lequel une lse ordonnée d'arêes es formée à parr d'une lse non-ordonnée" Jan e al., 1995, p Ce ype d'approche es cependan sévèremen affecé par le bru se rouvan dans l'mage. Plus récemmen, d'aures classes d'algorhmes on éé proposées e qu son basées sur une déecon globale du conour de l'obje à l'ade d'un modèle paramérque déformable comme celu du conour acf auss connu sous le nom de "snake" nrodu par Kass e al Dans l'approche des conours acfs, le conour de l'obje es un modèle physque décr par une sue d'unés, ou noeuds, soumses smulanémen à des forces exernes qu représenen les caracérsques de l'mage e à des forces nernes d'élascé e de rgdé qu assuren une cerane cohérence duran l'évoluon du modèle nal. Une grande rgdé empêche le conour de fare des angles e des cons alors que l'élascé perme au conour de s'allonger e de se rérécr. L'évoluon de ce modèle permera au conour de rouver un éa d'équlbre en mnmsan oues les énerges. Le développemen héorque de cee approche es décr dans le premer chapre.

12 Une aure echnque peu auss êre ulsée dans le même conexe de déecon du conour d'un obje. Cee approche découle des cares de caracérsques auoorgansées "Self-Organzng Feaure Map" ou SOFM, ou modèle neuronque auoorgansaeur, proposées par Kohonen 198a, 198b, La déecon de conours ulse une care undmensonnelle. Le conour de l'obje es approxmé comme dans l'approche précédene par une sére de pons représenés par les pods des neurones se déplaçan dans un espace à dmensons, arés par les forces de l'mage représenées par les arêes. La héore relée à cee approche es développée dans le second chapre. Une nerpréaon souple de la défnon d'un algorhme de regroupemen d'arêes es nécessare afn de classfer le snake e l'algorhme de Kohonen parm ceux-c. En effe, ces deux algorhmes n'ordonnen pas, à propremen parler, une lse nonordonnée d'arêes. Ils opmsen pluô un chemn représenan l'ensemble des arêes sans nécessaremen que les pons du conour rouvé ne corresponden exacemen aux arêes que l'on veu représener. Dès lors, on es en dro de se demander s ces algorhmes ne parageraen pas une forme commune. Des recherches enreprses par Abranes e al. 1995, 1996 on perms de répondre à la queson. À srcemen parler, la réponse dans le cas général es non. Cependan, après ceranes manpulaons, l es possble de concevor ces deux algorhmes comme éan des cas parculers d'un seul e même cadre général exprman une approche unfée. Cee approche permera de consrure de nouveaux algorhmes en ayan en êe les propréés de ceux qu exsen déjà. L'unfcaon des algorhmes es présenée dans le chapre 3. Marr e Nshhara 1978 préconsaen l'approche des sysèmes de vson en an que procédés auonomes du bas vers le hau e que, jusqu'au nveau du croqus ½D, aucune nformaon de nveau supéreur ne deva êre prse en lgne de compe : les calculs ne s'effecuan qu'à parr de l'nformaon se rouvan dans l'mage. Kass e al souenaen pluô l'approche vsan à procurer aux modules de raemen de hau nveau un ensemble de soluons alernaves au leu de lu présener une soluon qu pourra êre prémaurée. À défau d'avor à porée de la man un el module de hau

13 3 nveau pouvan neragr avec les nveaux plus bas, ls on développé une approche neracve afn d'explorer d'aures possblés d'organsaon du conour. D'une façon smlare, l'algorhme de Kohonen a éé modfé par l'aueur en supposan que le module de hau nveau pourra reourner de l'nformaon e déermner, avec un degré de cerude accepable, les arêes apparenan au conour réel de l'obje. Cee modfcaon à l'algorhme de Kohonen es présenée dans le chapre 4. L'algorhme de Kohonen el qu'mplané par Abranes e Marques 1995, 1996 prend, comme données d'enrée, les veceurs de poson des arêes préalablemen déermnées à l'ade d'un opéraeur de déecon d'arêes. Le cadre commun développé par ces aueurs a perms de consdérer l'algorhme d'une façon plus globale e de modfer l'algorhme de façon à pondérer les veceurs de poson à l'enrée de l'algorhme avec le graden de l'mage calculés avec le flre de Sobel. La lgne de pensée ayan mené à cee modfcaon es smlare à celle présenée dans le paragraphe précéden. Cee approche voula que la soluon au problème de la déecon du conour ne deva pas êre précpée e fgée aux nveaux nféreurs mas pluô mplquer les modules de raemen de plus hau nveau. La modfcaon proposée à l'algorhme remplace une nformaon rgde que son les arêes par une nformaon plus rche que son les gradens de l'mage. Aucune décson n'a alors éé prse à ce nveau quan à l'emplacemen des arêes e donc, des pons du conour. Ce nouvel algorhme consdère non seulemen la poson des pons de l'mage mas auss leur pernence elle que suggérée par la magnude du graden qu leur es assocé. Cee aure modfcaon es auss présenée au chapre 4. Dans ce proje, les propréés conférées à l'algorhme de Kohonen par ses paramères on d'abord éé éables. Les paramères manpulés lors de ces smulaons son le nombre d'unés de sores du réseau, la foncon d'apprenssage e le vosnage opologque. Les effes de ces paramères on éé évalués en foncon de la qualé globale du conour, e parculèremen des cons, ans que le emps e le nombre d'éraons nécessare à la convergence. Les propréés opologques de l'algorhme de Kohonen son un élémen cenral de son succès. La capacé des cares de Kohonen à capurer la

14 4 opologe globale de la forme d'un obje dans une mage a éé explorée en nalsan l'algorhme avec un conour possédan une opologe dfférene de celu de l'obje en queson. Le conour nal possède, à la dfférence du conour de l'obje, un noeud ou chevauchemen. Cee propréé a auss éé esée avec le snake pour fn de comparason. L'algorhme de Kohonen a ensue éé modfé de façon à prendre en lgne de compe la magnude des gradens de l'mage. Le nouvel algorhme a éé applqué à la déecon d'une mage synhéque don une pare du conour a éé volonaremen alérée de façon à générer des gradens plus pes lorsque l'mage es convoluée avec le flre de Sobel. Ces gradens plus pes ne son pas denfés comme éan des arêes lorsqu'ls son seullés e bnarsés. Le conour rouvé a ensue éé comparé à ceux rouvés par l'algorhme de Kohonen classque e le snake. Un crère de sélecon plus souple des pxels poenellemen canddas à apparenr au conour de l'obje mplque une plus grande chance de fare des erreurs c'esà-dre, de consdérer un pon de l'mage ne fasan pas pare du conour réel de l'obje. Afn de eser cee hypohèse, l'mage ulsée auparavan a éé bruée. Les algorhmes de Kohonen classques, de Kohonen modfé e du snake on éé comparés quan à la qualé des conours rouvés. À ce pon, des conclusons on éé rées afn de rendre l'algorhme plus robuse lors de la déecon de conour d'un obje se rouvan dans une mage bruée. La seconde modfcaon don l es queson, nommémen celle permean de recevor un reour d'nformaon d'un nveau de raemen plus hau, a éé mplanée e esée sur la même mage synhéque. Le bu es de démonrer la fasablé d'une elle mplanaon ans que les résulas que l'on es en dro de s'aendre de cee neracon enre le nveau nermédare e le hau nveau. Fnalemen, les ros algorhmes on éé applqués à des mages réelles. En l'occurence, une mage omographque éa le cenre de cee nvesgaon. Il exse des mesures quanaves de qualé du conour. Cependan, celles-c mplquen que le

15 5 conour so édé manuellemen. La naure même de l'mage, qu présene un conour flou, rend cee opéraon hasardeuse en l'absence d'un exper dans l'nerpréaon de ce ype d'mages. Conséquemmen e à défau d'avor accès à un el groupe d'expers, des crères qualafs on éé ulsés pour évaluer les performances respecves des algorhmes. En résumé, la démarche consse à eser l'algorhme classque e la verson modfée sur des mage synhéques procuran des condons expérmenales conrôlées. Ceranes propréés son auss comparées avec l'algorhme du snake afn de vérfer le ype d'avanage que procure l'approche de Kohonen. Enfn, l'applcaon à une mage omographque des algorhmes perme de consaer la performance relave de chacun des algorhmes. Le bu de l'approche es de collger de l'nformaon quan au comporemen e aux propréés de l'algorhme de Kohonen classque, de sa verson modfée e de leur performance vs-à-vs du snake. À la fn de ce rappor, le leceur devra avor une bonne dée du comporemen de l'algorhme de Kohonen lorsqu'l es applqué à la déecon de conours ans que comprendre les possblés e les lmes de l'algorhme.

16 CHAPITRE 1. MODÈLE DU CONTOUR ACTIF Une echnque promeeuse dans le domane de la segmenaon des mages bdmensonnelles déecon du conour plus précsémen e consdérablemen éudée duran les cnq dernères années, es celle du conour acf proposée par Kass e al Le conour es représené comme un modèle élasque déformable conrôlé par une conrane de connué don les mouvemens de glssemen se produsan lors de la déformaon lu on valu le nom de snake ou serpen. La segmenaon es réalsée à ravers un processus de mnmsaon d une énerge basé sur deux forces de conrane: force exerne, qu dépend des propréés du conour à déecer e qu es responsable de mere le conour proche d un mnmum local en erme d énerge, e une force nerne responsable de la courbure e de la connué du modèle en queson. L algorhme nous perme d nrodure d aures conranes de hau nveau en défnssan des nouvelles énerges.

17 7 1.1 Formulaon Pusque les conours acfs apparennen à la famlle des courbes connues e dérvables, on peu oujours les modélser par une forme paramérque normalsée comme: où Ω = [ 0,1] a R [ x s, y s ] T s a v s = 1.1 T [ ] ndque le ransposé du veceur s es l'abscsse curvlgne ou le paramère sur la courbe au domane spaal Ω vs es le veceur de poson du pon de conour de coordonnées xs e ys v1 e v0 son les veceurs de poson des exrémés du conour v1 = v0 pour un conour fermé L énerge oale du conour qu on cherche à mnmser es alors représenée par la foncon suvane Kass e al. 1988: E * snake = 1 v s ds = [ E v s + E v s E v s ] Esnake n erne exerne ds 0 conra n e 1. E nerne représene l énerge nerne due à la rgdé e l élascé du conour, elle es basée sur la opographe courane du conour e es foncon de la forme e de la courbure conranes dans l algorhme du segmenaon. E exerne représene l énerge exerne du sysème due aux gradens de l mage e E conrane, l'énerge des aures conranes de hau nveau "hgh-level consrans" jugées pernenes pour augmener la précson duran la segmenaon. Le conour acf localse e segmene les régons d nérê dans l mage en mnmsan smulanémen ous les ermes d'énerges sur ou le modèle. Par smplcé, e pour les besons de ce proje, l'énerge de conrane ne sera pas approfonde plus avan dans les secons qu suven e donc, E conrane = 0.

18 8 1. Énerge nerne Dans le bu d nrodure nore connassance a pror sur la forme e la courbure du conour de l obje dans l algorhme de segmenaon, une énerge nerne es ncluse dans la formulaon du problème. L énerge nerne ser à manenr une cerane opologe cohérene du conour, en empêchan des noeuds ndvduels sur le conour de se ballader rop lon de leurs noeuds vosns. Le bu es de lmer l nfluence des effes exernes sur la déformaon du conour. e al. 1988: L énerge nerne modélse enre aure la enson, e elle peu êre défne par Kass En erne v s = α s vs s + β s vss s 1.3 v s s es la dérvée premère de vs par rappor à s, ands que v ss s es la dérvée seconde. On peu vor que cee énerge se compose de deux ermes, un erme du premer ordre v s s conrôlé par αs qu représene l élascé du conour, e un aure erme du second ordre v ss s conrôlé par βs qu représene la rgdé du conour. Le chox des foncons αs e βs mpose les caracérsques du conour duran sa déformaon. La propréé d élascé peu êre llusrée en examnan le erme de la dérvée premère, v s s, qu n es aure que le module au carré du veceur angen à la courbe : vs s dx s dy s = + ds 1.4 ds D aure par la longueur d une courbe défne paramérquemen peu êre exprmée par : L = 1 0 dx s dy s + ds ds ds 1.5

19 9 Ces deux expressons 1.4 e 1.5 monren que la longueur du conour n es qu une smple négraon du module de la dérvée premère le long de la courbe. La mnmsaon de la dérvée premère résule en une mnmsaon de la longueur globale du conour, ce qu reflèe une cerane élascé enre les dfférens noeuds du conour,.e. les noeuds son arés par eux-mêmes. Pusque le pods relaf de ce erme es conrôlé par αs, plus ce paramère es grand, plus l élascé es grande, e plus la endance du conour à se conracer es grande. De même, la rgdé peu êre llusrée par la dérvée seconde, v ss s, qu n es aure que le aux du changemen de la valeur de la angene à la courbe. Mnmser ce module reven à rédure la possblé d un changemen brusque en n mpore quel noeud. Pluseurs aures caracérsques d un conour acf son encore évdenes à parr des défnons menonnées c-dessus, par exemple dans le cas d un conour où l n y a pas de forces exernes avec αs > 0, le conour ene de former un cercle e l end vers un pon cercle de rayon nul avec le emps; en plus, une valeur posve de βs > 0 empêche le conour d avor des dsconnués locales,.e. l ne peu pas former des cons agus. 1.3 Énerge exerne L énerge exerne dépend des caracérsques de l mage e du bon fonconnemen de l algorhme de segmenaon. C es la force qu drge le conour vers la poson désrée dans l mage. On peu regrouper à l néreur de cee énerge pluseurs ermes qu on juge nécessare pour une bonne segmenaon spécfque. Elle conen essenellemen un erme assocé aux changemens abrupes de l mage, les arêes, en plus des aures ermes oponnels relafs à chaque cas. Une des forces les plus ulsées es celle relave au graden de l mage défne par : E edge = I x, y 1.6 où Ix,y es l llumnance de l mage en queson, es le graden. Le sgne négaf ndque que les gradens plus grands mnmseron cee énerge e areron le snake.

20 Déformaon du conour acf La déformaon du conour acf sous les dfférenes conranes dans un processus de mnmsaon de l énerge su les los de la mécanque classque. En posan vx,y, la forme paramérque du conour, comme éan la coordonnée généralsée ulsée pour la résoluon des équaons du mouvemens donnée par l'équaon de Lagrange. Le problème consse alors à mnmser la foncon J suvane : J = L v s, ds 1.7 T où Lvs, es le Lagrangen du conour Le Lagrangen L es défn par : Lv = Kv - Uv 1.8 Kv es l'énerge cnéque du conour due à son mouvemen Uv es l'énerge poenelle du conour due à sa poson L'énerge cnéque es donnée par l'équaon suvane : K v = 1 µ s v ds 1.9 Ω µs es la densé lnéque v v = : dérvée parelle de vs, par rappor à

21 11 L'énerge poenelle n'es aure que E snake donnée par l'équaon 1. e qu dépend de l'énerge nerne du modèle physque élascé e rgdé e de l'énerge poenelle exerne assocée à l'mage : Ω [ E v s + E v s ] nerne exerne U v = E = E v s ds = ds snake Ω 1.10 Le problème de mnmsaon posée par l'expresson 1.7 peu êre reformulée comme su: [ s v Enerne v s Eexerne v s ] dsd 1 J = µ 1.11 T Ω La soluon au problème physque de mnmsaon posé par l'équaon 1.7 se résume à rouver un chemn possédan un éa saonnare. Selon le calcul des varaons, ce mnmum do oujours sasfare l'équaon d'euler-lagrange: d d L ν L ν = pour un sysème conservaf. En subsuan K e U de l'équaon 1.8 par leur expresson correspondane des équaons 1.9 e 1.10 respecvemen, le Lagrangen s'exprmera donc comme su: L L = [ µ s v ω 1 s vs s ω s vss s Eexerne v s ] 1 Ω = L s,, x s,, y s,, x, y, x s, y s, x ss, y ss ds 1.13

22 1 Dans ce cas les équaons d'euler-lagrange relaves au mouvemen du conour devennen: ss s ss s v D y L y s L y s L y L y v D x L x s L x s L x L x = + = où ds v s v D Ω = 1 γ es l'énerge de dsspaon e γs es le faceur de vscosé. En remplaçan la valeur du Lagrangen de l'équaon 1.13 dans l'équaon 1.14, e après quelques manpulaon, on oben: v E y y s s y s s y s y s v E x x s s x s s x s x s exerne ss s exerne ss s = + + = + + ω ω γ µ ω ω γ µ 1.15 S on suppose que la densé lnéque µs es nulle Cohen, 1991, γs es consan e : E exerne E exerne s s s s γ ω γ β ω γ α = = = 1.16

23 13 Les équaons 1.15 e 1.16 donnen: 0,,,, = + + s v E s s v s s s s v s s s v exerne β α les condons nales e les condons aux lmes L'évoluon du conour consse au déplacemen des pons du conour de façon érave de elle sore que les forces nerne e exerne du modèle physque so équlbrées. La soluon fnale es obenue lorsque v s, approche de zéro. Pluseurs méhodes numérques on éé ulsées pour la résoluon de cee équaon. Cohen 1991 ulse l approxmaon par dfférences fnes "FDM". Il s'agra essenellemen de fare évoluer le conour élasque à un emps donné 0 en se basan sur la poson du snake à un emps anéreur = 0 -. L approxmaon par les dfférences fnes pour les dérvées parelles prend la forme suvane avec h = pas enre les noeuds du conour e = pas emporel: 1.1,,,,, 1 1,, 1 1, 1,, fgure vor h v v v h h s v s v h s v s v h v v h s v h s v s v pour v v s v s v v = + + = + = = 1.18 = 0,1,..., N-1 N = nombre des noeuds S on subsue les ermes de l'équaon 1.17 par leurs valeurs respecves des équaons 1.18, on aura:

24 = v f v v v h v v v h v v v h v v h v v h v v β β β α α 1.19 avec f v s f x s y s E v s exerne,,,,, = = v - v -1 v v +1 v+ Fgure 1.1: Poson des noeuds sur le conour S on suppose que la force exerne es consane duran un pas de emps, l équaon précédene deven : = + F A I τ 1.0 où I = marce dené de dmenson N e A = c b a a b b c b a a a b c b a a b c b a a b c b a a a b c b b a a b c N N N N N N N N N N N N N N N N N N LLLL 1.1 A es une marce symérque penadagonale avec les élémens:

25 15 a = β +1 b = - β - β +1 - α +1 c = β β + β +1 + α + α +1 De l'équaon 1.5, sachan que = [v 0, v 1,..., v N-1 ] T F = [fv 0, fv 1,..., fv N-1 ] T nous obenons que n = I+ A + F Cependan, l es plus facle e surou plus rapde de résoudre l équaon 1.0 par la décomposon en LU de I + A Cohen, La décomposon en LU consse à facorser une marce A par un produ de deux marce rangulares: l'une nféreure ou "Lower" e l'aure supéreure ou "Upper". Cee echnque de l'algèbre lnéare perme d'éver un grand nombre de subsuons lors du calcul de la marce nverse. Les deux marces I A e I + A 1 dérven du modèle des forces nernes, e mposen une cerane régularsaon sur le conour à chaque éraon. Ces deux marces jouen le rôle d'un flre passe-bas, e l'algorhme se résume par un cycle répéf: mouvemen régularsaon mouvemen régularsaon... Une des propréés des snakes es la connué, c es-à-dre qu ls peuven remplr les vdes enre les dfférenes arêes là où l y a un manque d nformaons dû au bru ou à la qualé de l mage en queson.

26 CHAPITRE. CARTES DE KOHONEN SOFM Des modèles d auo-organsaon, nsprés par l organsaon corcale des verébrés, on éé proposés dès les années 70, noammen par von der Malsburg 1973, von der Malsburg e Wllshaw 1977, Wllshaw e von der Malsburg 1976, 1979, pus par Kohonen 198. On enend par "auo-organsaon" un processus par lequel un sysème rouve, sans apprenssage supervsé, une soluon opmale à un problème. D un pon de vue praque dans les domanes d'applcaon, ces modèles d auo-organsaon on pour objecf de représener des données complexes, souven bruées caracérsées par de nombreuses mesures, c es-à-dre apparenan généralemen à un espace de grande dmenson dans un espace dscre don la opologe es lmée à 1, vore 3 dmensons. Globalemen, l s ag donc de modèles de Quanfcaon ecorelle Q qu seron doés de propréés opologques parculères. Dans ce chapre, nous présenons le prncpe des cares auo-organsées de Kohonen afn de ben monrer le len avec la méhode des conours acfs..1 Cares auo-organsées de Kohonen Ce modèle a éé présené par Kohonen 198, e malgré son nérê, l es resé assez longemps gnoré. Dans les années 1990, Kohonen a proposé dverses varanes pour la classfcaon don les algorhmes de Quanfcaon ecorelle à apprenssage. Ce modèle apparen à la classe des réseaux de neurones non-supervsés c es-à-dre qu aucune nervenon humane n es requse e que peu d nformaons son nécessares relavemen aux caracérsques des données d enrée.

27 17 Les cares de Kohonen, comme les aures réseaux auo-organsés, ne fon appel à aucun reour d nformaon de l envronnemen. Un el réseau se chargera donc lu-même de découvrr les relaons qu exsen enre les données d enrée. De façon générale, un réseau de neurones peu êre décr par 3 caracérsques soen: une archecure, une règle d apprenssage e une règle de ransmsson..1.1 L archecure L archecure des cares de Kohonen es consuée de couches de neurones. La couche d enrée compore un nombre p d unés d enrées, où p es la dmensonnalé de l espace de dépar devan êre ransformé en un espace de représenaon vor fgure.1.. Fgure.1: Archecure du réseau de Kohonen monran la relaon enre les veceurs d'enrée x, les pods des connexons w, les connexons récurrenes d'excaon + e d'nhbon -, e les sores y. Par exemple, une care de Kohonen desnée à représener un groupe d élèves selon leur pods, leur alle e leur noe au derner examen de géographe ransformera un ensemble de dépar à 3 dmensons e possédera donc, 3 unés d enrées. Dans le modèle de base, la couche de sore conen N neurones don le nombre e la opologe

28 18 son fxés dès le dépar. Le nombre de neurones déermne le nveau de déal ou l'échelle désrée pour le modèle résulan. L'échelle nfluencera l'exacude ou la capacé de généralsaon du modèle. Les deux caracérsques éan conradcores, la propréé voulue do êre déermnée par le concepeur. Ceranes heursques exsen mas l'expérence compe pour beaucoup dans la concepon de réseaux de neurones en général. La opologe de cee couche es déermnée par une foncon de vosnage. Les unés de sore son dsposées de elle sore que chacune d'enre elle possède des vosnes défnes e conserve les mêmes unés vosnes pendan l'apprenssage e après l'apprenssage. Pluseurs confguraons son possbles. Pour un réseau undmensonel, chaque uné possèdera deux unés vosnes sauf pour celles se rouvan aux exrémés. Celles-c n'auraen qu'une seule uné vosne. Un réseau bdmensonel peu adoper une confguraon "carrée" où chaque uné possèdera 4 unés vosnes par exemple. En général, ces neurones son dsposés en un arrangemen en 1 ou dmensons. Chacune des N unés d enrée es relée à chacun des neurones de sore par p connexons modfables. Le réseau conen donc Nxp connexons au oal. Enfn, chaque neurone possède des connexons laérales récurrenes, qu vendron modfer le paron d'excaon de façon à créer la forme d'un "chapeau mexcan". La règle de ransmsson, déallée à la secon.1., décr le processus de généraon du sgnal de sore e ans que le rôle des connexons laérales. Ce chapeau mexcan es caracérsé par 3 zones dsnces el qu'ndqué à la fgure.: 1. Une régon resrene d'excaon.. Un régon de pénombre ou d'acon nhbore. 3. Un régon d'excaon plus fable; cee zone possède une acon néglgeable e es habuellemen gnorée.

29 19 Ce ype d neracon correspond approxmavemen aux relaons enre les mcrocolonnes corcales. Fgure. Noyau de convoluon «chapeau mexcan».1. Règle de ransmsson So x = [ x 1, x,..., x p ], le veceur d'enrée applqué au réseau où p es le nombre d'unés d'enrée. Posons manenan ω j = [ ω j1, ω j,..., ω jp ], le veceur des pods synapques relaf au neurone de sore j. So c j = [ c j-k,..., c j-1, c j, c j+1,..., c j+k ] le veceur pods des connexons récurrenes relaf au neurone j, où K déermne le rayon d'acon de l'neracon laérale. Posons enfn y = [ y 1, y,..., y N ] le veceur de sore du réseau où N es le nombre d'unés de sore du réseau. La sore du réseau peu êre exprmée sous la forme générale suvane Haykn, 1994: p k y j = ϕ ω j x + c jl y j l + où j = 1,, L, N.1 = 1 l = k où ϕ. es une foncon non-lnéare lme la valeur de y j e assure que y j 0. La premère somme exprme la réponse pondérée des sgnaux d'enrée sur un neurone j. La seconde somme exprme la réponse de conre-réacon nerne générée par les connexons laérales. La soluon de cee équaon non-lnéare es rouvée éravemen en ulsan une echnque de relaxaon avec des équaons aux dfférences Haykn, 1994:

30 0 p k y j n + 1 = ϕ ω j x + β c jl y j l n + j = 1,, L, N. = 1 l = k où n es le emps dscre e β es le aux de convergence de ce processus. Cee foncon génère une "bulle" d'acvaon de la forme du chapeau mexcan présené à la fgure. auour de l'uné où le produ scalare ω j x es le plus grand, c'es-à-dre où l'acvaon nale de l'uné de sore y j es maxmale. Cee uné es auss appelée "uné gagnane" ou "neurone gagnan". En déalsan la sore, e pour les fns des smulaons, l es possble d'mposer une sore de la forme suvane: y j a, neurone j à l' néreur de la bulle =.3 0, neurone j à l' exéreur de la bulle Il es donc possble d'exploer la formaon d'une bulle d'acvaon de façon à prendre un raccourc. Noons c que les régons e 3 du chapeau mexcan de la fgure. son néglgées. La noon de vosnage opologque es c nrodue pour redéfnr la façon don les smulaons se son effecuées. Le vosnage opologque consse en les vosns de l'uné gagnane x e es dénoé Λ n. Cee foncon déermne l'éendue e l'amplude de la bulle d'acvaon selon que l'on l'ajuse pour smuler une conre-réacon laérale posve plus grande grand vosnage, ou une conre-réacon laérale négave plus grande pe vosnage..1.3 Règle d apprenssage Le mode d apprenssage des réseaux auo-organsés consue le prncpal vole d nnovaon de ceux-c pusque leur archecure représene plus ou mons des combnasons d aures ypes de réseau comme les mémores assocaves, le percepron, le percepron mulcouche. Il consse prncpalemen à rouver le neurone gagnan à l'ade d'une mesure de smlaré e de mere à jour les pods des neurones concernés c'es-à-dre ceux qu se rouven à l'néreur du vosnage opologque Λ n. L'dée d'ulser des connexons laérales nhbores pour ndure une compéon du ype "le plus for empore ou" a éé proposée pour la premère fos par Rosenbla La règle

31 1 d'apprenssage compéve présenée c a quan à elle éé nrodue orgnellemen par Grossberg Une éape de l'apprenssage s'effecue en chosssan aléaoremen un veceur de l'ensemble d'apprenssage x. Ce veceur es ensue comparé à chacun des veceurs pods. Le neurone gagnan x es ensue denfé à l'ade d'une mesure de smlaré habuellemen défne comme éan la dsance eucldenne enre les deux veceurs. x = arg mn x ω j = 1,, L, N.4 où. es la norme eucldenne elle que défne par, j x = p x j= 1.5 Une fos rouvé le veceur de pods gagnan, le réseau s'ajuse de manère à meux représener ce veceur d'apprenssage. Le résula fnal peu êre vsualsé par un fle s'ajusan au nuage des données d'enrée de façon à ce que chaque veceur pods approxme la densé de probablé d'une régon de l'ensemble d'apprenssage. La règle d'apprenssage pour un neurone j apparenan au vosnage opologque varable du neurone gagnan x décr une roaon des veceurs pods vers le veceurs d'enrée e s'énonce comme su: [ x ω n ] ω j n + η n j ss j Λ x n ω j n + 1 =.6 ω j n ss j Λ x n où Λ x n dénoe le vosnage opologque auour du neurone gagnan au emps dscre n, e η n es la foncon de vosnage qu conen une foncon de aux d'apprenssage α n décrossane en foncon du emps, elle déermne auss le aux d'adapaon des neurones sués à l'néreur de Λ x n. Cee foncon se veu un moyen plus smple de smuler les connexons laérales enre neurones. Dans le cas d'une foncon de vosnage gaussenne auour du neurone gagnan x,η n s'exprme comme su:

32 où r j rj r x η n = α n exp j x n Λ.7 σ n r es la dsance enre le neurone j e celu gagnan x. x Pluseurs foncons peuven êre ulsées pour le vosnage en auan qu'elles respecen la condon de non-crossance. Une foncon consane auour du neurone gagnan peu s'avérer mons coûeuse au plan des calculs. Un noyau gaussen es cependan souven ulsé à cause de la rapdé de convergence qu'l procure. La convergence es éable quand la care résulane ne change plus de façon sgnfcave. Algorhme d'apprenssage : 1. Inalsaon: chox aléaore des veceurs pods naux ω j 0 j = 1,, L, N où N es le nombre des neurones dans la srucure e es égal à la dmenson des veceurs d'apprenssage. La seule resrcon es que les pods soen dfférens. S cee resrcon n'es pas respecée, chacun des veceurs naux seraen à une dsance égale de ous les veceurs d'apprenssage empêchan du coup oue possblé de déplacemen des veceurs de la care. Il es préférable d'avor des pees valeurs pour les pods.. Présenaon: rage aléaore d'une enrée x dans la base d'apprenssage afn de le présener au réseau. 3. Smlaré: recherche du neurone gagnan x en ulsan le crère de la dsance eucldenne mnmale neurone plus proche, équaon Modfcaon des pods: ajuser les pods des neurones apparenan au vosnage opologque Λ x n suvan le pas d'adapaon η n équaon.5. Λ x n e η n vare dynamquemen duran l'apprenssage e cec pour un melleur résula. 5. Connuaon: reour à l'éape s le changemen des pods demeure nonnéglgeable.

33 3. L'nalsaon Il es possble d'ulser ros ypes d'nalsaon des neurones: l'nalsaon aléaore, l'nalsaon à parr d'un échanllon e l'nalsaon lnéare. L'nalsaon aléaore arbue à chaque neurone des pods au hasard. L'nalsaon à parr d'un échanllon de l'ensemble d'apprenssage ulse des élémens de l'ensemble d'apprenssage pour déermner les pods. Cec a l'avanage que les veceurs pods des neurones qu représenen les coordonnées de ces neurones dans l'espace des caracérsques pone déjà sur les mêmes régons que l'ensemble d'apprenssage. Quan à l'nalsaon lnéare, elle re prof de l'analyse en composanes prncpales pour l'analyse des données. Les veceurs pods des neurones son donc nalsés de elles sore qu'ls se rouven dans le même plan que celu formé par les deux veceurs propres se rouvan dans les drecons de plus grandes neres..3 Propréés des SOM Une fos que l'algorhme a convergé, le SOM "Self-Organzng Maps" ou Cares de Kohonen démonre des caracérsques sasques mporanes. Afn de démonrer ces propréés, consdérons un ensemble d'enrée connu X don la opologe es décre par une relaon mérque des veceurs x X. L'ensemble A es un ensemble dscre de sores don la opologe a éé déermnée par l'apprenssage des veceurs pods. Dénoons auss Φ, une ransformaon non-lnéare que nous appellerons care de caracérsques qu carographe l'espace d'enrée X sur l'espace de sore A el que, Φ : X A.8 Éan donné un veceur d'enrée x, le SOM procède d'abord à la déermnaon du neurone gagnan x dans l'espace de sore A selon une règle de ransformaon donnée par la care des caracérsques Φ. Le pods ω assocé au neurone gagnan x es alors consdéré comme un poneur de ce neurone vers l'espace X. Ces opéraons son représenées par la fgure.3 c-dessous. Cee propréé es ulsée dans la déecon de conours d'objes en ce que le réseau ransforme un ensemble d'arêes provenan d'un

34 4 ensemble connu ou pluô presque connu pusque l'mage es numérsée en un ensemble dscre d'unés de conour. Le pods de ces unés son des approxmaons des posons des arêes de l'mage. Espace de sore dscrea Cares des caracérsques Φ x w x Espace d'enrée connu X Fgure.3 Relaon enre la care des caracérsques Φ e le veceur pods ω du neurone gagnan x..3.1 Approxmaon de l'espace d'enrée Le SOM Φ, représené par les veceurs pods ω j j = 1,,..., N, consue une bonne approxmaon de l'espace de dépar X. Le bu prncpal d'une elle ransformaon es de fare l'approxmaon d'un grand ensemble de veceurs x X par une sére plus pee de prooypes ω j A. La base héorque de cee dée repose sur la héore de la quanfcaon vecorelle "vecor quanzaon heory" don les pons cenraux son la réducon de la dmensonnalé e la compresson des données. Afn d'llusrer cee dée, l'exemple qu su applque les cares de Kohonen à un ensemble de veceurs don nous connassons a pror la dsrbuon. Cec permera de meux vsualser la capacé de représenaon lors de l'applcaon des cares de Kohonen sur des dsrbuons plus complexes. So X la poron de R défne par : x = [ -1< x 1 < +1 ; -

35 5 1< x <+1]. Éan donné la naure bdmensonnelle du probleme, c'es-à-dre une dsrbuon dans R, l es appropré de représener ces pons sur une care D de Kohonen. Cee care représenera ulmemen l'approxmaon de l'ensemble X par un aure plus pe A qu conen les neurones de coordonnées ω j. On chos dans ce exemple un réseau de 10 neurones par 10 neurones e un ensemble d'apprenssage X de 1000 veceurs de poson dsrbués unformémens dans le sous-espace X. Une dsrbuon unforme devra générer une care don les unés son auss unformémen dsrbuées dans le sous-espace. En effe, le résula de l'apprenssage de la care de Kohonen es un ensemble représenaf de l'ensemble d'apprenssage en l'occurence, des 1000 veceurs unformémen dsrbués. La fgure.5 monre l'évoluon du réseau au cours de l'apprenssage dans le cas d une dsrbuon de pons x répars unformémen sur ou le domane. À la convergence, les neurones représenen des zones R assez équprobables, régulèremen répares e de même surface en moyenne, donc chaque neurone a la même probablé d'êre séleconné. Ces zones R son formées auour de chacune des unés ω j du réseau e son caracérsées par ce que chacun des pons de cee zone son plus près de l'uné ω j e seulemen de cee uné. Les R son donc des ensembles muuellemen exclusfs don l'unon comprend ous les pons de l'espace X el un casse-êe. Ces régons son auss appelées "cellules de oronoï" e seron raée plus avan à la secon 4. du chapre suvan.

36 6 a b c d e f Fgure.5: a dsrbuon unformes de 1000 veceurs de poson; b pods naux des neurones 10x10; éa du réseau après b 50, c 50, d 1000, e éraons respecvemen..3. Apparemen de la densé d'une dsrbuon La care des caracérsques Φ reflèe les varaons dans la dsrbuon des veceurs de l'ensemble d'apprenssage. La densé de la réparon des neurones dans l'espace de sore reflèe les varaons sasques de l'espace d'enrée: les régons de l'espace d'enrée desquelles les veceurs d'enrée son rés avec une grande probablé son

37 7 carographées sur de plus grandes régons dans l'espace de sore. Cec perme en général d'avor une melleure résoluon que pour les régons où la probablé de rer un veceur es plus fable. Auremen d, les zones de représenaon R son grandes dans les régons à fore densé de probablé e nversemen. De façon générale, l'algorhme SOM end à sur-représener les régons de fables probablé e à sous-représener les régons de grande probablé. Un moyen d'amélorer l'apparemen des densés es d'ajouer une heursque appelée conscence à l'algorhme d'apprenssage DeSeno, Cee heursque base le processus de compéon en effecuan une "redsrbuon" des probablés que chacun des neurones gagne la compéon. Les neurones ennen un décompe du nombre de fos qu'ls on gagné e se reren de la course par senmen de culpablé! lorsque celu-c deven rop grand..3.3 Conservaon de l'ordre opologque La propréé de l'ordre opologque es une conséquence drece de l'équaon.5 de mse à jour des veceurs pods qu force, enre aure, le neurone gagnan x e ous les neurones apparenan à son vosnage opologque Λ x de se déplacer vers le veceur d'enrée x. La proxmé opologque des neurones es conservée après convergence, c'esà-dre que les veceurs semblables de l'ensemble de dépar X son carographés sur des neurones se rouvan près les uns des aures. On peu donc vsualser que le SOM Φ, avec une opologe de 1D ou D déjà défne dans l'espace A, ressemble à un conour élasque "elasc ne". Cee propréé es fondamenale à l'ulsaon des SOM pour la déecon de conours.

38 CHAPITRE 3. APPROCHE COMMUNE Jusqu à manenan, e d après les deux chapres précédens, aucune smlude enre les deux algorhmes conours acfs e Kohonen 1D n'es sallane. D'un côé, les conours acfs évoluen d une manère globale au sens où ous les pons dscres noeuds du conour se déplacen en même emps. De l'aure côé, la modfcaon des pods coordonnées des neurones dans le plan caracérsque de la care de Kohonen se fa d une manère sochasque, c es-à-dre que l éa du réseau change à chaque présenaon d un veceur de l ensemble d apprenssage. L algorhme des conours acfs mpose une régularsaon au nveau des noeuds à la fn de chaque éraon, ands que celu de Kohonen ne le fa pas. De plus, les deux algorhmes génèren un conour fnal don les unés dscrèes ne se rouven pas nécessaremen sur une arêe vor fgure 3.1 mas effecuen l'approxmaon de l'ensemble de ces arêes d'une façon analogue au concep de la moyenne en sasque: la moyenne représene un échanllon sans ouefos avor nécessaremen la valeur d'un élémen de l'échanllon. Les conours acfs e les cares auo-organsées ulsen l'nformaon se rouvan dans l'mage e "nerpolen" la localsaon du conour réel de l'obje. Exprmer ces deux algorhmes à l'ade d'une approche commune servra à meux les comparer.

39 9 Dans la secon présene, l es bon de noer dès le dépar que la segmenaon es bdmensonnelle e que le conour que l'on cherche es fermé. Cec mplque donc une care de Kohonen undmensonnelle avec un vosnage pérodque, où le premer e le derner neurones son vosns. Fgure 3.1. Exemple d'une sue d'arêes forman un conour. 3.1 Noaon Avan de commencer la reformulaon des deux algorhmes, l es nécessare de rouver une noaon commune. Pusqu on ravalle avec des mages bdmensonnelles, les unés -.e. les noeuds dans le cas des conours acfs e neurone dans le cas de la care de Kohonen - son des pons en D. Chacun des pons du conour es denfé par un veceur z=[x, y] T. So: [ ] T z z 0, z1,, z N 1 = L le veceur des pons de conour à la ème éraon. où v s = z = ω j = x j, y x s, y s j conour acf " snake" Kohonen neurone j

40 30 3. Algorhmes modfés 3..1 Algorhme de Kohonen Dans la phase d apprenssage, chaque veceur d enrée es présené au réseau qu séleconne le neurone le plus proche par une mesure de smlaré eucldenne. L ensemble d apprenssage es généré par le résula d un seullage de l mage flrée avec un flre de Sobel. Le résula es ensue seullé pour générer un ensemble d'arêes vor fgure 3.. Ces arêes servron, pour l'algorhme de Kohonen, de pons de référence ndquan où se rouve le conour de l'obje de l'mage. Ce son ces arêes que l'algorhme do reler afn de ne former qu'un seul conour. Fgure 3.. Résula du flrage e seullage avec un flre de Sobel pour une mage omographque. maxmal. Les veceurs résulans représenen donc les endros de l mage où le graden es Défnssons P = [ p 1,p,...,p M ] T comme éan l ensemble d apprenssage conenan M élémens. So z j = [x j, y j ] la poson du j ème neurone du conour à la ème éraon. Les neurones son généralemen denfés el que j = 0,1,..., N-1 où N es le nombre de neurones de la care. Rappelons que β es le rayon du vosnage opologque Λ vor fgure 3.3.

41 31 Fgure 3.3: osnage opologque d'une care de Kohonen undmensonnelle. Dans le cas où les pods son normalsés,.e. que leur module es unare, le neurone gagnan z j es celu possédan la plus coure dsance eucldenne avec le veceur d enrée p =1...M el que: n = arg mn p z j = 0, 1, L, N le réseau es ms à jour suvan la règle: j 1 1 k+ n k + n k+ n j z = z + γ p z n = β, L, 0, L, + β 3. où γ es la consane d apprenssage. Fgure 3.4: Paron de l espace d enrée - cellules de oronoï

42 3 Noons j, l ensemble de ous les veceurs de posons de l'mage qu'l es possble de carographer au neurone j à la ème éraon. La carographe s'effecuan selon la règle du plus proche vosn, l'ensemble j comprendra donc ous les pons de l'mage qu son les plus près du neurone j à la ème éraon. Ce ensemble es souven appelée cellule de oronoï fgure 3.4. Les veceurs d'enrée de l'mage ne consuen donc qu'un sous-ensemble de chacune de ces cellules. L unon de oues les cellules de oronoï forme le plan caracérsque de l'mage. Cee réparon de l espace d enrée change à chaque passage d'un veceur p. Éan donné que le rayon du vosnage es égal à β, chaque neurone j apparen à β+1 cellules de oronoï, j+k k = -β,...,+β, pour n mpore quelle éraon. S on suppose que ces cellules son fxes duran un passage comple de l ensemble P, le neurone j se déplacera successvemen vers ous les pons p carographés à l néreur de ces β+1 cellules. En généralsan ce cas sur ous les neurones du réseau, la mse à jour peu êre fae une seule fos après chaque passage de l ensemble d apprenssage - les Anglo-Saxons appellen ce mode de mse à jour des pods le "bach mode". La règle de mse à jour peu ensue êre mse sous la forme suvane Abranes e al 1996: z = z 1 + γ p z 1 k = 0, L, N k k k+ β n= k β 1 k N où kn es la régon de l espace "carographée" au k modulo N ème neurone à la ème k éraon. Dénoons manenan par µ n la masse oale des veceurs d'apprenssage se rouvan dans la cellule n. Pusque ces veceurs son le résula de la bnarsaon des gradens, chacun de ceux-c possède un pods égal à 1. La masse oale des veceurs d'une cellule, µ n, es donc smplemen, dans ce cas parculer, le nombre de veceurs d enrée se rouvan à l néreur de la cellule n. Dénoons auss par ξ n le cenroïde de ces veceurs d'apprenssage pour chacune de ces cellules, les cenroïdes seron calculés comme su: ξ n = 1 µ n n p 3.4

43 33 L équaon 3.3 deven alors: z = z 1 + γ µ 1 ξ 1 z 1 k = 0, L, N k k k+ β n= k β n n On peu dès lors observer que la force de l mage agssan sur chacune des unés dépend non seulemen du cenroïde de sa cellule de oronoï mas auss des cenroïdes vosns. En décomposan chacune des forces, on oben Abranes e Marques 1996: k n k n n n 1 z = z + γ µ z z + γ µ ξ z k k n= k+ β n= k β n k+ β n= k β 3.6 z k γ = z k n = k + β γ n = k β µ n n = k + β n = k β n k µ ξ z n n n z n + z k n = k + β n = k β n k µ n 3.7 Le erme enre parenhèses ne dépend que de la forme du conour e peu dès lors êre nerpréé comme une force nerne. Le derner erme dépend des dfférences enre les cenroïdes e les unés du réseau e peu êre nerpréé comme un force de l mage. La récurson de l équaon 3.7 peu êre exprmée sous forme marcelle comme su: z + 1 = I γ A z + γ B ξ z 3.8 où la marce A es défne de la façon suvane, a j k = j+ β µ k = j k = j β k j = µ j 0 j β 0, j > β 3.9 e la marce B,

44 34 b j µ j j β = 0, auremen Algorhme du conour acf ou snake Dans le cas des conours acfs, la règle d évoluon, ou mse à jour, es donnée par l équaon 1.17: z = Tz 1 + γ T = I τ A f 1 mage z où F mage es le veceur des forces de l mage applqué aux noeuds du conour. f x, y = P x, y 3.1 mage mage P mage x,y es un poenel de l'mage possédan un mnmum sur le conour de l'obje bu. Pluseurs modèles de poenel peuven êre ulsés selon l applcaon en queson. Afn d amener l équaon 3.11 à une forme semblable à celle de l équaon 3.8, la foncon P mage sera prse comme une mage conenan des foncons mpulsonnelles réponses d un flre d égalsaon localsées aux arêes déecés par un aure algorhme. Pmage x, y = E x, y* K x, y 3.13 où Kx,y es la réponse mpulsonnelle d un flre d égalsaon auour de x,y. Sachan que E x, y = δ x p, x y p y k k p k = [ p xk, p yk ] T es la poson de la k ème arêe. k l équaon 3.1 deven: fmage x, y = E x, y* K x, y 3.14 Donc en remplaçan pour l'expresson de Ex,y,

45 35 f x, y mage = K x p, x y p k y 3.15 k k u que Kz end vers zéro quand z augmene, seulemen les arêes apparenan au vosnage d un noeud du snake von l arer. La forme de ce vosnage dépend de la réponse mpulsonnelle du flre K, un chox ypque du flre es une foncon gaussenne D. S on chos une forme parabolque ronquée de rayon D, la foncon K s'exprme comme su: 1 K x, y = 0 [ ] D x + y s x + y D s non 3.16 f mage x, y = px x k 3.17 py y k xk, yk Rx, y La sommaon se fa sur oues les arêes à l néreur du cercle avosnan chaque noeud vor la fgure 3.5 { } Rx, y = u, v; u x + v y D 3.18 Fgure3.5: Cercle R x,y auour de chaque noeud En ulsan la noaon vecorelle elle qu'éable dans la secon 3.1, on oben que:

46 36 f mage p z z = 3.19 z R x, y e I γ A z + γ f z +1 = 3.0 Deux dfférences doven êre noées à ce pon-c. D abord, la marce A, elle que défne à l équaon 3.8 dépend du emps e do donc êre calculée à chaque époque. La marce A de l équaon 3.0 es déermnée par les paramères de rgdé e de flexblé assocés au modèle physque du conour acf. De plus, la marce B de l équaon 3.8 n es pas dagonale. Elle ne le sera que pour le cas parculer où le vosnage sera égal à 0. mage

47 CHAPITRE 4. MODIFICATIONS À L'ALGORITHME DE KOHONEN Manenan mun d'une nouvelle perspecve sur l'algorhme de Kohonen, l es plus facle de le modfer. Dans le présen chapre, deux ypes de modfcaons seron présenées. Ces modfcaons on éé apporées par l'aueur afn d'explorer e d'éendre les capacés de l'algorhme de Kohonen dans sa verson classque. En premer leu, un changemen dans la façon de calculer les cenres de masse es suscepble d'amélorer la performance de l'algorhme dans ceranes suaons où l'nformaon permean de reconsuer les conours n'es pas complèe. L'aure modfcaon consse à racer la voe vers une négraon de l'opéraon de nveau nermédare qu'effecue l'algorhme de Kohonen à l'néreur d'un sysème de vson comple. Un el sysème ajouera un nveau de raemen de plus hau nveau qu ne sera pas mplané e sur lequel ceranes hypohèses seron émses. 4.1 Calcul des cenres de masse Présené sous la forme de l'équaon 3.7, l es manenan clar que l'algorhme de Kohonen pourra rer un plus grand avanage de l'nformaon se rouvan dans l'mage. Rappelons d'abord que, pour applquer l'algorhme de déecon de conour, une convoluon es applquée à l'mage d'nérê à l'ade d'un flre de Sobel. Les gradens ans rouvé son bnarsés de elle sore que seulemen les gradens maxma son représenés dans l'ensemble des veceurs d'apprenssage.

48 38 L'apprenssage du conour nal s'effecue en découpan le plan mage en cellules de oronoï pus en déplaçan chaque neurone vers le cenre de masse des veceurs d'apprenssage se rouvan dans cee cellule. Le cenre de masse es c calculé à parr de données bnares valan 1 s une arêe es présene e 0 auremen. Ce processus a donc deux mplcaons dreces pouvan affecer la performance de l'algorhme. D'abord, cerans gradens de fable amplude son gnorés du fa qu'l ne son pas séleconnés lors de la bnarsaon de l'mage. Ensue, chacun des gradens séleconnés possède le même pods dans la déermnaon du cenre de masse de la cellule de oronoï. La prncpale modfcaon proposée c découle du fa que la noon de cenre de masse es c prse en son sens le plus src e éendu en conséquence avec plus de sublé. Supposons manenan que les gradens générés par l'applcaon du flre de Sobel son ous conservés els quels au leu d'êre bnarsés. Reprenons l'équaon 3.4 pour le calcul des cenres de masse de chacune des cellules: ξ n 1 = µ n n p La somme s'effecue sur oue les posons p des veceurs d'apprenssage. Pour applquer la nouvelle défnon du cenre de masse, chaque poson sera ajusée par un faceur de pondéraon égal au module du graden calculé à cee poson par le flre de Sobel. L'équaon résulane s'exprme donc comme su: ξ n 1 = µ n n M p 4.1 où M I es le module du graden calculé par l'opéraeur de Sobel el que: M = s + s 4. x y Comme ous les opéraeurs de graden, s x e s x peuven êre mplanés en ulsan des masques de convoluons:

49 39 s x = 0 e s y = Pour des rasons praques, l es possble d'applquer une opéraon de seullage sur l'mage convoluée. Cee opéraon aura pour bu d'élmner du calcul du cenre de masse une grande quané de veceurs d'enrée de fable graden don la conrbuon sera subsanelle mas don la sgnfcaon ne jusfera pas un el bas du résula. En effe, l'auomasaon du procédé éan lmée, un ulsaeur de ce sysème devra déermner une régon d'nérê qu lmera l'acon de l'algorhme aux graden se rouvan à l'néreur de cee régon. Cee régon éan arbrare, elle pourra nclure une grande quané de gradens fables pouvan affecer le conour fnal d'une façon ou auss arbrare. En applquan seulemen l'opéraon de seullage, e non celle de bnarsaon, seuls les gradens les plus sgnfcafs son gardés ans que leur pods respecf. 4. Inégraon de l'algorhme à un sysème de vson Pusque le module de hau nveau ne sera pas mplané, l'neracon proposée c du module de nveau nermédare avec un module de hau nveau mpose qu'une hypohèse so fae en ce qu concerne les capacés du module de plus hau nveau. Nous supposerons qu'l es possble d'évaluer la probablé qu'une arêe parculère apparenne au conour de l'obje. Les crères e les règles possbles ne son pas explcées c e pour les fns d'expérmenaon, un ulsaeur génèrera un reour d'nformaon arfcellemen. L'algorhme spécfan l'neracon enre les modules de hau nveau e ceux de nveau nermédare peu êre décr comme su: 1. Une régon d'nérê ans qu'un conour nal son séleconnéss par l'ulsaeur.. L'apprenssage du réseau es effecué selon la modfcaon apporée à la secon 5.1.

50 40 3. Une fos l'apprenssage ermné, un premer conour es généré. 4. Le conour rouvé es raé à un nveau supéreur afn de rouver des arêes ayan une grande possblé de fare pare du conour de l'obje recherché. Ces arêes son denfées par leur poson dans le plan bdmensonnel de l'mage e reournées au nveau plus bas de raemen. 5. Les unés du conour exsan éan les plus rapprochées des arêes reournées par le nveau supéreur son denfées. Les unés ans denfées prennen ensue la même poson que ces arêes. 6. L'apprenssage recommence avec les paramères suvans: le conour nal es manenan le conour fnal de l'éape précédene à la seule dfférence que les arêes reournées par le module de hau nveau on remplacé les unés du conour se rouvan les plus près. Ces unés ne son plus mses à jour lors de la nouvelle sesson d'apprenssage. 7. Il es possble de reourner à l'éape 3 e de répéer jusqu'à ce que le crère d'arrê so sasfa. Un exemple de crère d'arrê pourra êre l'absence de nouvelles arêes possédan une probablé suffsane d'apparenr au conour. Afn de manenr en place les unés jugées comme apparenan au conour, l es nécessare d'apporer une modfcaon à l'mplanaon de l'algorhme. Les marce A e B respecvemen défnes aux équaons 3.9 e 3.10, semblen offrr la melleure possblé de modfcaon qu n'affecera pas subsanellemen la connué du conour. Rappelons d'abord que la marce A es c consdérée comme un marce de régularsaon e la marce B, comme une marce d'adapaon ou de déplacemen des pods. Le comporemen désré pour la marce es ou smplemen de connuer à régularser les unés du conour avosnan un pon fxe sans affecer ce pon fxe. Pour un pon fxe, la soluon sera: Donc, I A z = z pour un donné γ 4.4 I γ A = 1 4.5

51 41 e γ = A Au nveau de l'mplanaon, la foncon γ prend la forme d'une consane à chaque pas d'éraon pluô que celle d'un veceur. Il es donc plus facle de mere à zéro oues les rangées de A ayan un ndce désré. La marce B éan une marce de changemen des pods, l'effe désré es ben sûr de garder les pons fxes à la même place donc, d'annuler ou déplacemen. Cec résule en la conrane suvane: z = 0 γ B ξ pour un donné 4.7 La soluon es rvale. La ème lgne de la marce B do êre égale à zéro pour chaque ndce désré. Concrèemen, les marce A e B seron défnes de la façon suvane. a j k = j + k = j k j = µ 0, 0, β µ β j k = j 0 j β j > β s = ndce d' un pon fxe 4.8 Explcemen e dans le cas où β=1, cee marce aura habuellemen la forme suvane: µ M + µ µ 1 A = 0... µ 1 µ µ µ 1 + µ µ µ µ µ 4... µ 4 µ µ M + µ 3 4.9

52 4 Supposons que l'ndce du pon fxe =. La marce A, après reour d'nformaon, s'exprmera alors comme su: µ M + µ 0 A = 0... µ 1 µ µ µ µ µ 4... µ 4 µ µ M + µ Dans cee marce, ous les élémens a j don les ndces = corresponden aux ndces des pons fxes son annulés. Les neurones avosnans ne son pas affecés drecemen par ce changemen. Ils seron affecés lors du processus d'apprenssage par le fa que la cellule de oronoï du pon fxe sera oujours calculée à parr du même pon e l'arrangemen des neurones ne suvra pas la même dynamque d'évoluon. La même sraége es mplané pour la marce B qu s'exprme comme su: b j µ j j β = 0, auremen 4.11 Explcemen e dans le cas où β=1, cee marce aura habuellemen la forme suvane: B = µ 1 µ µ 1 µ µ µ µ µ µ µ M 1 µ M µ M 4.1 Supposons encore que l'ndce du pon fxe =. La marce B, après rerour d'nformaon, s'exprmera alors comme su:

53 43 µ 1 0 B = 0... µ 1 µ 0 µ µ 3 µ µ M 1 µ M µ M 4.13 Dans cee marce, ous les élémens b j don les ndces = corresponden aux ndces des pons fxes son annulés de la même façon que précédemmen. l'algorhme. Le prochan chapre démonrera les effes des changemens apporés à

54 CHAPITRE 5. DISCUSSION ET INTERPRÉTATION DES RÉSULTATS L'éude de l'algorhme de Kohonen présenée c se dvse en sx 6 pares. La premère consse à explorer le comporemen de l'algorhme de base en manpulan les paramères de vosnage opologque β, le nombre de neurones e le ype d'obje qu do êre déecé. D'une façon générale dans cee éude, les paramères des algorhmes esés on éé choss après quelques essas de façon à obenr un conour de bonne qualé à l'néreur de délas rasonnables. Un changemen dans ces paramères peu nfluencer le emps de calcul, la qualé du conour e la convergence des algorhmes. L'ulsaon d'mages synhéques carré, crox perme de conrôler les paramères de l'mage. Deux rasons on gudé le chox des mages. La premère voula que les algorhmes soen esés sur des mages don on connaî ben le conour e don les gradens se rouven à l'endro de ce conour. La seconde permea de eser cerans paramères de l'obje: cons carré, cons concaves e convexes crox ans qu'une zone de gradens plus fables crox. Cec perme d'exhber les forces e les fablesses de l'algorhme de façon à proposer ceranes améloraons. La deuxème pare consse à comparer l'apude de l'algorhme de Kohonen e du snake à capurer la opologe globale du conour. Les dfférences à ce nveau son noées. L'algorhme de Kohonen modfé de façon à prendre les gradens de l'mage comme source addonnelle d'nformaon es ensue mplané e comparé avec l'algorhme classque e le snake dans la rosème pare. La quarème pare consse à évaluer la

55 45 robusesse de l'algorhme ans modfé lorsqu'l es applqué à une mage bruée. Le mécansme par lequel la déecon du conour pourra neragr avec un module de raemen de plus hau nveau es mplané dans la cnquème pare. Enfn, l'algorhme de Kohonen dans ses versons classque e modfée ans que le snake on éé applquées à une mage omographque de coeur human. 5.1 Résulas de déecon de conour smple Le premer résula es généré à parr d'un problème smple. Il s'ag c de rouver le conour d'un carré se rouvan dans une mage bnare. L'algorhme ulsé c sera l'algorhme de Kohonen classque. Les exemples présenés dans cee secon posen les bases du fonconnemen du réseau e offren des résulas élémenares. Le conour nal a éé chos assez près du conour cherché. Le paramère d apprenssage γ, nfluençan la grandeur des déplacemens des unés du réseau, a éé fxée à 0,003 après quelques essas. Ce paramère s es avéré assez effcace dans les cas qu nous concernen au sens où l procure une cerane jusesse du conour rouvé ou en lman le emps de calcul dans un déla rasonable. Un vosnage de 1 perme une grande flexblé dans la recherche du conour. Éan donné que le conour nal se rouve près du conour recherché, la capacé d'organsaon globale que procure un grand vosnage ne sera pas exploée. Le crère d'arrê ulsé c es celu que la somme des déplacemens de ous les neurones so nféreur à 0,1 pxel. Un déplacemen es calculé comme éan la dsance en pxel enre les posons d'un neurone avan e après la mse à jour du conour. Le résula de la smulaon es monré à la fgure 5.1.

56 46 Fgure 5.1: Smulaon de déecon de conour avec 64 neurones, γ= 0,003, β=1 e le nombre d éraons es de 44. On peu remarquer que le conour fnal épouse ben la forme recherchée d une façon générale. Ce résula n a cependan éé aen qu après 44 éraons. La successon des mses à jour du conour compore beaucoup d éapes qu auraen pu êre évées. Cee observaon en du fa que les pons de déplacemen du conour son ellemen près les uns des aures qu'ls formen un lgne presque connue enre le conour nal e le conour fnal. Cerans pas d adapaon peuven êre remplacés par des pas plus grands au débu e dmnuan rapdemen par la sue. Cec es possble en remplaçan la consane d'apprenssage γ par une foncon qu dmnue en foncon du emps. Cee foncon peu êre composée par exemple de la somme d'un erme exponenel dmnuan plus ou mons rapdemen e d'un erme consan exprman le régme permanen. La valeur du régme permanen do êre suffsammen pee pusqu'une valeur rop grande pourra empêcher la convergence. Le paramère d apprenssage fxe es manenan remplacé par le paramère fonconnel γ = 0, 5e + 0, 003. L'évoluon de ce paramère d'apprenssage es llusré à la fgure 5.. La premère éraon prendra un paramère d'apprenssage d'envron 0,19. Cee valeur es rédue de plus de la moé à la ème éraon seulemen e le régme

57 47 permanen de 0,003 es aen aux envron de la 7 ème éraon. La rapdé de convergence es réglée à l'ade du paramère mulplan l'exposan - la valeur 1 es ulsée comme paramère c. Fgure 5.: Foncon d apprenssage γ = 0, 5e + 0, 003 Le résula obenu à l ade de cee foncon es llusré à la fgure 5.3. Fgure 5.3: Smulaon de déecon de conour avec 64 neurones, γ =0,5e + 0,003, β=1 e le nombre d éraons es de 90.

58 48 Le nombre de neurones, le paramère de vosnage ans que le conour nal son les mêmes qu à la fgure 5.1. La modfcaon du paramère d apprenssage a donc perms de rédure de plus de la moé le nombre d éraons nécessares avan la convergence de l algorhme. Par nspecon vsuelle, on noe que le résula es essenellemen le même qu'à la fgure 5.1 sauf pour le con supéreur gauche où le conour s'es meux fxé au conour du carré. Inuvemen, on pourra magner que s l'on accroî le nombre d'unés du réseau, l agrandssemen du vosnage ne devra que rès peu affecer la capacé de l algorhme à épouser des formes dsconnues elles que les cons du carré. En augmenan le nombre de neurones à 170 près de 3 fos celu des exemples précédens e en fxan le vosnage à β=4, on oben un résula el qu llusré à la fgure 5.4. Fgure 5.4: Smulaon de déecon de conour avec 149 neurones, 0,9 γ = 0,03e + 0,003, β=4 e le nombre d éraons es de 359. Le processus de convergence es c plus complexe car l mplque plus d unés. Cela explque en pare pourquo le nombre d éraons es plus élevé que pour l essa présené à la fgure 5.3. Il es cependan mons élevé que pour l essa de la fgure 5.1 ce

59 49 qu donne un ndce quan à l effcacé du paramère d apprenssage. On remarque que les cons son ben représenés malgré un vosnage de 4. Il es cependan possble de dsnguer un arrondssemen plus marqué des conours rouvés en ces endros. L aspec de la régularsaon nclus dans la marce A équaon 3.9 es sen sublemen dans ce essa. Le vosnage plus grand mpose une cohérence plus grande de chacunes des unés avec leur vosnes mas un nombre plus grand de neurones end à mnmser ce effe. Le vosnage opologque joue un rôle mporan dans la régularsaon du conour. Afn d'llusrer l effe du vosnage dans la capure des ras globaux de la forme recherchée, la capacé de l'algorhme es évaluée dans la prochane secon. 5. Capure de la opologe globale du conour Cee évaluaon consse essenellemen à lasser l'algorhme rouver le conour du carré avec, comme conour nal, une boucle en forme de "8". La dffculé résde dans le fa que les deux conours possèden une opologe dfférene. Le carré ne possède qu'une seule régon néreure. Par conre, le conour nal en possède deux. Pour ce fare, un vosnage de 1 es d abord mposé au réseau. Il s'ag encore une fos d'un vosnage offran beaucoup de flexblé. Le résula es présené à la fgure 5.5. Fgure 5.5: Smulaon de déecon de conour avec 53 neurones, γ = 0, 5e + 0, 003, β=1 e le nombre d éraons es de 630. Le conour nal es en forme de 8.

60 50 On peu consaer que le réseau a, globalemen, réuss à capurer la forme générale de la fgure. Cependan, l n a pas réuss à défare le 8 pour épouser parfaemen le conour. En effe, par la race des déplacemen, on peu consaer que cerans pons se rerouven au cenre du carré, là où l n y a pas d arêes. Cee soluon au problème de mnmsaon d'énerge es valde au sens où elle consue un mnmum local. Cependan, l'ulsaon de l'algorhme dans le bu de rouver un conour mpose une conrane de "connué" pusque le conour rouvé do correspondre au conour perçu par un êre human. En l'occurence dans le cas présen, le conour devra évdemmen représener un carré. Une aure enave a éé effecuée dans le bu de résoudre le problème en augmenan le vosnage à 4 ou en conservan les aures condons consanes conour nal, nombre de neurones e paramère d apprenssage. Le résula es llusré à la fgure 5.6. Cee fos-c, on peu noer que le réseau a formé un conour plus plausble. Le fa que la opologe du conour nal, noammen sa boucle, so défae lors de l'apprenssage es parculèremen néressan. Le vosnage opologque semble avor l'effe de guder mmédaemen l'évoluon des unés de conour vers un mnmum local dfféren de celu rouvé en ulsan un vosnage opologque β=1. Noons auss la réducon drasque du nombre d éraons. Fgure 5.6: Smulaon de déecon de conour avec 5 neurones, γ = 0, 5e + 0, 003, β=4 e le nombre d éraons es de 144. Le conour nal es en forme de 8.

61 51 Quelque ess on cependan démonré que cee soluon, nommémen celle d'ulser un vosnage opologque β=4, ne rouve pas le conour à ou coup. Cependan en augmenan le rayon du vosnage opologque dans une proporon plus grande, par rappor au nombre d'unés du conour, au débu de l'apprenssage donnne un résula beaucoup plus sable. Le rappor rayon/no. d'unés éa de 1/13 ou 4/5 dans l'exemple précéden. En augmenan ce rappor à près de 1/4 0/86 exacemen, l'organsaon globale du conour s'en vo amélorée e ce, même avec un conour nal plus dffcle à lsser vor fgure 5.7. Fgurze 5.7: Conour nal en forme de 8 comme pon de dépar à la déecon du conour du carré. Il es possble de noer qu'à l'mage de la fgure 5.6, les cons du carré son arronds. Cec es dû au relavemen grand vosnage opologque qu a éé ulsé. L'algorhme n'es cependan pas conran à une valeur fxe de conour pendan ou l'apprenssage: l es possble de varer le vosnage en cours d'apprenssage. Afn de rer avanage à la fos des capacés d'organsaon globale e de déecon des déals plus fns, le rayon du vosnage opologque a éé dmnué graduellemen lors de l'apprenssage. La dmnuon du rayon s'es fae d'après la valeur de la varaon oale des déplacemens des unés du conour en nombre de pxels.

62 5 La séquence d'arbuon du vosnage opologque β en foncon du déplacemen oal araon se déalle comme su: 1- β=0 s araon > 0 - β=4 s 3 < araon <0 3- β=3 s 1 < araon < 3 4- β= s 0,8 < araon < 1 5- β=1 s 0,4 < araon < 0,8 Le résula obenu en ulsan ces paramères es présené à la fgure 5.8. Fgure 5.8: Smulaon de déecon de conour avec 86 neurones, γ = 0, 5e + 0, 003, β vare enre 1 e 0. Le nombre d éraons es de 195. La capacé du réseau de Kohonen à défare la opologe du conour nal es une caracérsque émanan de l'algorhme e démonre une dfférence fondamenale avec l'algorhme du snake. La fgure 5.9 monre le résula d'une smulaon avec l'algorhme du snake sur un conour nal en forme de 8.

63 53 Fgure 5.9: Conour fnal en mauve à parr d'un conour nal en jaune en 8 avec le snake. Afn de défare le crosemen du conour nal avec l'algorhme de Kohonen, la grandeur du vosnage opologque a éé augmenée. Cee forme de régulaon, ransposée au snake, se radu par une plus grande rgdé du modèle physque. L'mplanaon du snake ulsé c a un paramère de rgdé déermné unformémen pour ou le conour. En augmenan le paramère de rgdé du conour à une valeur maxmale permean une convergence ne suff pas pour élmner le crosemen du conour nal sur lu-même. Au-delà d'une valeur-seul de rgdé, le modèle physque se compore comme une barre rès rgde e n'accepe que des mouvemens resrens. La dfférence enre les algorhmes se sue au nveau de la régon d'nfluence du mécansme de régulaon. L'algorhme de Kohonen perme une régulaon globale permean de rouver une soluon d'énerge mnmale à l'néreur de chacune des cellules de oronoï e pour l'ensemble des cellules de oronoï. Auss, la marce de régulaon es recalculée après chacune des éraons dans la recherche d'une soluon opmale, ce qu n'es pas le cas pour le snake. Le snake par conre possède une consane de rgdé déermnan le comporemen dynamque du conour ener en plus de force agssan dans un rayon resren auour de chacun des pons du conour. Une aracon locale d'un pon du conour n'aura donc que peu d'effe sur la rgdé pusque le conour es ans dffclemen modfable.

64 Algorhme modfé: comparason avec l'algorhme classque Le prochan exemple ser à mere en évdence l'ulé de modfer l'algorhme de Kohonen de elle sore que les gradens connus e non-bnarsés soen consdérés. L'mage sur laquelle l'algorhme sera applqué consse en une crox don le nveau de grs es maxmal.e. blanc parou à l'excepon du con concave supéreur gauche vor fgure Les nveaux de grs des pxels de ce con on éé nenonnellemen fxés de façon à créer une progresson plus douce du nor au blanc. Posons une valeur de nor égale à 0 e une valeur de blanc égale à 1. Pour ces valeurs, la progresson compore ros lgnes de pxels de large possédan des valeurs respecves de 0,5, 0,50 e 0,75. Fgure 5.10: Image nale don le con concave supéreur gauche a éé modfé. L'hypohèse ayan serv à la consrucon de cee mage se résume comme su. Le con compore des pxels vosns exhban une augmenaon plus lene des nveaux de grs que ceux se rouvan alleurs sur le conour de la crox. Il ne fa aucun doue que cee nformaon es crucale à la déecon complèe de la crox. L'applcaon d'un flre de Sobel e la bnarsaon des gradens ans rouvés ne génèreron pas d'arêes pusque ceux-c son rop fables. Cee régon ne procurera donc aucune nformaon à l'algorhme classque permean au conour de se fxer correcemen au con. En revanche, l'algorhme modfé endra compe de ces gradens connus par la naure même de sa défnon.

65 55 La dfférence enre l'nformaon raée dans chacun des cas es vsble dès lors qu'on jee un coup d'oel sur l'mage-es après raemen avec un flre de Sobel. Ces mages son présenées à la fgure 5.11 c-dessous. Fgure: 5.11: Images de la crox raée avec un flre de Sobel. En a les gradens on éé seullés e bnarsés ands qu'en b ous les gradens non-nuls on éé gardés. Les raemen dfférens accordés à une mage résulen enre aure en un nombre dfférens de veceurs d'apprenssage. La fgure 5.11a compe 169 veceurs d'apprenssage ands que la fgure 5.11b en compe 433. Cec devra normalemen mplquer que l'algorhme classque so plus rapde que la verson modfée. Cec n'es pas vra dans ous les cas pusque la rapdé de l'algorhme dépend auss du paramère d'apprenssage. L'explcaon de ce comporemen sera élaboré dans la dscusson en relaon avec le ableau 5.1. Les résulas monrés aux fgures 5.1 à 5.14 on ous éé obenus à l'ade du même conour nal conenan 100 unés. Le seul paramère qu a éé manpulé es celu du vosnage opologque qu vare de β=1 à β=3. Les mages monrées en pare a de chacune des fgures on éé générées à parr de l'algorhme classque. Les mages

66 56 monrées en pare b de chacune des fgures on quan à elles éé générées à parr de l'algorhme modfé. Fgure: 5.1: Déecon de conour à l'ade des paramères suvans: β=1, γ = 0,003e + 0,0003 avec 100 unés dans le conour en ulsan a l'algorhme de Kohonen classque e b l'algorhme de Kohonen modfé. En observan les mages de la fgure 5.1 a e b respecvemen, l es possble de consaer que le nombre de pas nécessares à la déecon du conour es de beaucoup plus grand pour la fgure a que pour la fgure b. En effe, la race lassée par les pons nermédares se rouvan enre le conour nal à l'exéreur e le conour fnal près du conour de la crox elle-même es plus dense. De plus, la convergence de l'algorhme classque fgure 5.1a s'es effecuée en 1638 éraons alors que celle de l'algorhme modfé s'es effecuée en 569 éraons. L'explcaon de ce comporemen nécesse le rappel de l'équaon 3.5: z k 1 = + + β k zk γ n= k β µ 1 n ξ 1 n z 1 k k = 0, L, N 1 l'expresson: D'après cee équaon, le changemen dans la valeur du veceur z -1 consse en z = γ k + β n= k β µ 1 n ξ 1 n z 1 k k = 0, L, N 1

67 57 Tros faceurs nfluencen c la grandeur du pas d'adapaon. Le premer es ben sûr la valeur de γ au emps = -1. Le second es la valeur de µ représenan la "masse" oale des veceurs d'apprenssage conenus dans une cellule de oronoï. Le derner faceur consse enfn en la dfférence enre la poson du cenre de masse de chacune des cellules de oronoï e la poson de chacune des unés du réseau. Dans ce cas-c, le seul faceur qu dffère es la masse de chacune des cellules de oronoï. La dfférence fondamenale enre les deux algorhmes consse au nombre de veceurs d'apprenssage ulsés. L'algorhme classque conen un nombre plus fable de veceurs d'apprensage éan donné que seules les arêes possédan une valeur maxmale son reenues. L'algorhme modfé conserve oues les valeurs de graden sauf les valeurs nulles. La somme des gradens conenus à l'néreur d'une cellule de oronoï es donc plus grande dans le cas de l'algorhme modfé que dans le cas de l'algorhme classque. Cependan cee explcaon s'applque srcemen s le nombre d'unés du réseau es le même. Dans le cas nverse où le nombre de veceurs d'apprenssage es gardé consan e le nombre d'unés du réseau es changé sera posé plus lon afn de compléer cee llusraon. La qualé des conours rouvés dffère auss pour les deux algorhmes. Le conour rouvé par l'algorhme classque exhbe des angles qu déven du conour de l'obje vor fgure 5.13a. Par conre, l'algorhme modfé n'affche qu'un seul de ces angles qu es, en comparason, assez mneur vor fgure 5.13b.

68 58 Fgure: 5.13: Déecon de conour à l'ade des paramères suvans: β=1, γ = 0,003e + 0,0003 avec 100 unés dans le conour en ulsan a l'algorhme de Kohonen classque e b l'algorhme de Kohonen modfé. Cec ven encore de la dfférence dans le nombre de veceurs d'apprenssage ulsés par les deux algorhmes. Dans la fgure 5.13a, l es possble de consaer que le neurone sué dans le con nféreur gauche n'a sub que rès peu d'adapaon. Cerans aures neurones forman les angles ndésrés on so sub mons de pas d'adapaon que ceux "collan" adéquaemen au conour ou ces pas son à chaque fos plus pe. Pendan l'apprenssage, les cellules de oronoï son recalculées après chaque pas. Il es possble que dès le dépar ou au cours de l'évoluon, ceranes unés du réseau omben à l'néreur d'une cellule ne conenan que peu ou pas de veceurs d'apprenssage. S la cellule de oronoï conen peu de veceurs d'apprenssage, la masse de cee cellule sera fable e donc le pas d'apprenssage sera auss fable. S la masse de la cellule es nulle, l'uné du réseau ne subra aucun apprenssage. Un vosnage de β=1 conrbue à l'adapaon de ces unés mas n'es pas oujours suffsan. En augmenan le nombre de veceurs d'apprenssage, les chances pusqu'on parle c d'un processus sochasque qu'une uné du réseau so conenue dans une cellule de masse non-nulle son plus grandes d'où un melleur conour pour l'algorhme modfé.

69 59 Une aure dfférence s'affche en ce qu'elle es le résula de la movaon derrère les modfcaons apporées à l'algorhme. Le con néreur qu a éé aléré par l'adoucssemen de la ranson du nor au blanc es meux représené par l'algorhme modfé fgure 5.13b que par l'algorhme classque fgure 5.13a. Cec ven confrmer l'hypohèse émse dans la secon 5 quan à l'améloraon possble de l'algorhme parce que plus de pxels devraen êre reenus pour l'apprenssage du conour. L'algorhme classque n'a pas déecé du ou ce con. Il n'a d'alleurs pas déecé d'aures pares de l'obje. À ce effe, d'aures démonsraons plus convancanes seron monrées un peu plus lon. L'algorhme modfé a pour sa par généré un conour qu épouse ben la forme de ce con. Cependan, le conour fnal end même à se fxer un peu à l'néreur du conour réel. Cec en à deux faceurs combnés. Premèremen, la défnon même du cenre de masse ξ calculé de la façon suvane: ξ N = = 1 m d N où m es la masse représenan la norme des gradens, d es la dsance à parr d'un pon de référence e N es le nombre oal de veceurs d'apprenssage. D'après cee expresson, non seulemen la norme des gradens mas auss leur poson affecen le cenre de masse. Deuxèmemen, à cause de l'opéraon applquan le flre de Sobel, les gradens ne se rouven pas exacemen à l'endro du conour sur l'mage mas un peu à côé. De plus, l'mage a éé modfée arfcellemen créan ans des gradens à un peu à l'néreur de l'endro où se sera normalemen rouvé le conour de l'obje. Cec mplque qu'un groupe de gradens peu nfluencer le déplacemen du conour un peu à côé du conour réel dans ces condons. Les mages présenées à la fgure 5.14 on éé générées à parr des mêmes condons que précédemmen sauf pour le vosnage opologque qu es manenan β=.

70 60 Fgure: 5.14: Déecon de conour à l'ade des paramères suvans: β=, γ = 0,003e + 0,0003 avec 100 unés dans le conour en ulsan a l'algorhme de Kohonen classque e b l'algorhme de Kohonen modfé. Les mages 5.14a e 5.14b monren manenan plus claremen l'effe des modfcaons de l'algorhme sur la déecon du con auparavan ndéecable avec l'algorhme classque. Les mages des fgures 5.14a e 5.14b monren un conour fnal qu es, de façon globale, plus près du conour réel que celu rouvé précédemmen alors que le rayon éa β=1. L'algorhme classque ne peu oujours pas s'agrpper au con qu a éé aléré alors que l'algorhme modfé connue de ben performer à ce nveau. De plus, de la même façon que l'augmenaon du rayon perme une plus grande cohérence globale du conour pour l'algorhme classque, elle génère un conour plus lsse en élmnan la bosse ndésrable. De ce même fa, les angles du conour rouvé enden à s'arrondr. Le conour offre un plus grande rgdé du fa qu'un plus grand nombre de vosns doven s'adaper dépendan du pas d'adapaon d'un neurone parculer. La fgure 5.15 monre le conour fnal en l'absence des pons monran l'évoluon du conour.

71 61 Fgure: 5.15: Déecon de conour à l'ade des paramères suvans: β=, γ = 0,003e + 0,0003 avec 100 unés dans le conour en ulsan a l'algorhme de Kohonen classque e b l'algorhme de Kohonen modfé. Ce effe es plus claremen vsble lorsqu'on agrand encore le vosnage opologque pour l'amener à β=3. Dans l'exemple qu su, ous les paramères on encore éé gardés consans sauf le rayon du vosnage opologque. Les résulas son présenés à la fgure Fgure: 5.16: Déecon de conour à l'ade des paramères suvans: β=3, γ = 0,003e + 0,0003 avec 100 unés dans le conour en ulsan a l'algorhme de Kohonen classque e b l'algorhme de Kohonen modfé.

72 6 L'algorhme a convergé en 99 éraons pour l'algorhme classque ands qu'l n'a fallu que 3 éraons à l'algorhme modfé. Les mages de la fgure 5.17 monren les déals du conours plus claremen. Fgure: 5.17: Déecon de conour à l'ade des paramères suvans: β=3, γ = 0,003e + 0,0003 avec 100 unés dans le conour en ulsan a l'algorhme de Kohonen classque e b l'algorhme de Kohonen modfé. Deux observaons peuven êre faes en comparan les mages de la fgure 5.17 avec celles de la fgure D'abord cee comparason monre plus claremen l'arrondssemen du conour rouvé en ce qu concerne les angles convexes e concaves. Le con aléré s'avère auss plus près du conour réel de l'mage. Il s'ag cependan d'une lluson. En regardan la fgure 5.11b, l es facle de consaer que les gradens de l'mage à ce endro se rouven claremen à l'néreur du rese du conour. Le conour rouvé n'es donc pas exac de la même façon que les aures cons on éé un peu arronds. La performance en erme de nombre d'éraons, comme en erme de emps prs par chacun des algorhmes pour converger, vare en foncon du rayon du vosnage β el qu'llusré par le ableau 5.1. D'abord, le nombre d'éraons es, ndépendemmen de β, plus élevé pour l'algorhme modfé que pour l'algorhme classque. Par conre, le emps pour chacune des éraons es consammen supéreur pour l'algorhme modfé que pour l'algorhme classque. Ce derner résula ne surprend guère pusque, ous paramères éan égaux, l'algorhme modfé ulse un plus grand nombre de veceurs d'apprenssage

73 pour l'algorhme modfé e 169 pour l'algorhme classque. L'algorhme modfé prend donc mons de emps au oal dû au nombre d'éraons nécessares pour la convergence. Cec se remarque d'alleurs dans oues les mages monran l'évoluon de chacune des unés du conour fgures 5.1 a e b, 5.14 a e b e 5.16 a e b. La dfférence dans le nombre respecf d'éraons dépend du paramère d'apprenssage γ qu avanage l'algorhme modfé lorsque ce paramère es le même pour la smulaon à l'ade de chacun des algorhmes. Algorhme classque Algorhme modfé No. d'éraons Temps/ éraon No. d'éraons Temps/ éraon β= ,86s 495 1,15s β= 109 0,86s 5 1,16s β=3 99 0,88s 3 1,17s Tableau 5.1: Comparason du nombre d'éraons e du emps pour chacune des Iéraons pour l'algorhme classque e l'algorhme modfé en enan foncon du vosnage β. L'évoluon de la performance, elle que décre au ableau 5.1, pore à crore qu'agrandr le rayon du vosnage opologque rédu le nombre d'éraons. Or ce n'es pas vra. Des ess on éé effecués avec des rayons de 10 e 0 respecvemen. En comparason avec le nombre d'unés 100 neurones, ces vosnages son rès grands e n'on pas perms pas à l'algorhme de converger. Il semble donc que les rès pes vosnages prennen plus de emps à cause de la grande flexblé du conour. Agrandr un peu le vosnage résule en une srucure légèremen plus rgde lman le nombre de confguraons possbles. Agrandr le vosnage au-delà d'une cerane valeur crée un conour rop rgde. Dans ce derner cas, supposons qu'un neurones se déplace. Ses 0 ou 40 vosns fos le rayon pour le nombre oal de vosns devron auss se déplacer. La somme cumulée de ces déplacemens, addonné pour chacun des déplacemens de ous

74 64 les neurones, résule en une varaon rop grande pour sasfare le crère qu, rappelonsle, veu que la somme de ous les déplacemens de oues les unés soen plus pes que 0,1. L'algorhme du snake applqué à la même mage perme de dsnguer ceranes nuances enre le snake e l'algorhme de Kohonen modfé. Des ess on éé effecués en modfan sysémaquemen les consanes d'élascé e de rgdé. Le conour nal a auss éé chos plus ou mons lon du conour désré. Les melleurs résulas obenus son présenés c-dessous. D'abord, en plaçan le conour nal assez près du conour escompé, le snake réuss à rouver assez ben le conour désré. Le résula es comparable à l'algorhme de Kohonen classque el que monré à la fgure 5.15a. Le conour rouvé avec l'algorhme du snake es présené à la fgure Fgure 5.18: Smulaon de déecon de conour avec l'algorhme du snake. Les paramères ulsés son les suvans: Nombre de pons du conour = 400 Coeffcen d'élascé = 3 Coeffcen de la rgdé = 3 Pas emporel = 0,01 Nombre d'éraons = 8000 Coeffcen de la force = 0,8

75 65 Deux pons prncpaux son à noer. D'abord, les cons son comparables à ceux rouvés auparavan avec l'algorhme de Kohonen classque. Ensue, l'nersecon de la branche supéreure avec la branche gauche - là où se rouven les gradens plus fables - son égalemen passés napperçus aux yeux du snake. Cee régon ava cependan éé déecée par l'algorhme de Kohonen modfé don le résula es monré en 5.15b. Éan donné que les paramères du snake s'applquen unformémen sur ou le conour, cec mpose de sacrfer l'une ou l'aure des caracérsques de la précson du déal e de l'exacude du conour global. Le snake a ensue éé esé à parr d'un conour nal élogné du conour désré d'une façon smlare à ceux employés dans les smulaons précédenes avec l'algorhme de Kohonen. Les paramères ulsés son les mêmes que ceux ayan produ le résula de la fgure Le conour résulan es présené à la fgure Fgure 5.19: Smulaon de déecon de conour avec l'algorhme du snake avec un conour nal élogné. Le résula monre ben la dffculé qu'éprouve le snake à se coller au conour de la crox. En effe, lorsque la dsance es grande, la force que les gradens exercen sur le conour acf es rès fable. Dans le cas présen, elle es nsuffsane pour déplacer le conour dans sa drecon. Cec démonre la dfférence prncpale enre l'algorhme de Kohonen e le modèle des conours acfs. La "régon d'acon" du snake es locale.

76 66 La force de l'mage exercée sur le conour n'es acve qu'à l'néreure d'un cour rayon e elle es néglgeable à mesure que l'on s'élogne du pon de l'mage généran la force. En conrepare, l'algorhme de Kohonen consdère d'emblée l'ensemble de l'mage en la découpan en cellules de oronoï. Un jeu d'opmsaon se produ ensue afn de mnmser l'énerge à l'néreur de chacune de ces cellules e l'énerge globale de l'ensemble des cellules. 5.4 Robusesse en présence de bru Dans le raemen des mages réelles, la présence de bru fa courammen obsacle à une déecon précse des conours. La robusesse au bru es donc un crère mporan pour l'évaluaon d'un algorhme. En consdéran le fa que le bru peu êre raé au nveau du pré-raemen de l'mage e qu'l n'ncombe pas seulemen à l'algorhme de déecon de conour de paller à un manque ou à une mauvase qualé d'nformaon, le comporemen de l'algorhme a éé observé en présence de bru. L'mage nale de la crox a éé reprse e bruée arfcellemen. Pour ce fare, une dsrbuon aléaore de valeurs suées enre 0,0 e 0,5 a éé générée pour la surface de l'mage 65x65 pxels e ajouée à celle-c. Le résula es monré à la fgure 5.0 cdessous. Fgure 5.0: Crox bruée avec des valeurs aléaores suées enre 0 e 0,5 générées par une dsrbuon normale.

77 67 Il es clar que l'ajou du bru changera l'allure de l'mage raée avec le flre de Sobel. L'mage des gradens es monrée à la fgure 5.1 c-dessous. Cee mage comprend ous les gradens générés par le flre de Sobel. Fgure 5.1: Résula de l'applcaon du flre de Sobel sur l'mage d'nérê. La déecon de conour a éé effecuée à parr des mêmes paramères qu'à la secon 5. e avec un vosnage β=3 dans le bu de facler la comparason. Les résulas son présenés à la fgure 5.a pour l'algorhme classque e à la fgure 5.b pour l'algorhme modfé. Fgure: 5.: Déecon de conour d'une mage bruée à l'ade des paramères suvans: β=3, γ = 0,003e + 0,0003 avec 100 unés dans le conour en ulsan a l'algorhme de Kohonen classque e b l'algorhme de Kohonen modfé.

78 68 Éan donné que ous les gradens son prs en consdéraon dans l'algorhme modfé, l es mporan de noer que, dû au bru, des gradens se rouven manenan dspersé dans l'mage. Ces gradens auron plus ou mons d'mporance dépendan de l'ampleur locale du bru. Auss, lors de la sélecon de la régon d'nérê, oue l'mage a éé seleconné e donc, ous les gradens se rouvan dans l'mage. Le nombre de veceurs d'apprenssage es de 168 pour l'algorhme classque 1 veceur de mons que précédemmen e de 3906 pour l'algorhme modfé un peu plus de 9 fos plus que pour l'mage sans bru. Il es possble de noer, en comparan les résulas obenus, que l'algorhme classque n'a pas éé subsanellemen affecé par le bru. Le résula es sensblemen le même que celu monré à la fgure 5.17, c'es-à-dre l'mage sans bru avec des paramères smlares. Le bru nrodu dans l'mage n'a pas créer de gradens suffsammen grands pour qu'ls soen reenus lors des opéraons de seullage e bnarsaon des gradens. Les gradens reenus après seullage e bnarsaon son monrés à la fgure 5.3. Fgure 5.3: Seullage e bnarsaon des gradens de l'mage bruée. La forme globale a éé conservée quoque les lgnes droes son devenues brsées. Il es à noer auss que le con sué à l'nersecon de la branche du hau e de celle de droe n'apparaî oujours pas sur l'mage des gradens. En conrepare, les gradens

79 69 conservés pour applquer l'algorhme modfé son plus nombreux e répars aléaoremen sur la surface de l'mage. La noon de cenre de gravé comme pon d'aracon des unés du conour de l'algorhme modfé devennen, de ce coup, mons sgnfcafs de la drecon à prendre pour le conour pusqu'ls conennen manenan des gradens générés par le bru. Deux soluons son possbles c: rédure la régon d'nérê afn d'élmner les gradens se rouvan à l'exéreur de la crox ou ben seuller les gradens de elle sore que les gradens néglgeables soen exclus dans le calcul des cenres de gravé. La premère soluon, celle de chosr une régon d'nérê plus près de l'obje es llusrée à la fgure 5.4. Noons d'emblée que l'on perd c l'avanage de l'algorhme modfé pusqu'on élmne manuellemen une pare subsanelle des gradens dans une seule régon de l'espace. La fne lgne blanche enouran la crox représene les lmes de la régon d'nérê. Les gradens qu seron conservés se rouven à l'néreur de cee régon. Fgure 5.4: Régon d'nérê chose auour de la crox. Le conour rouvé par l'algorhme modfé à parr de cee régon d'nérê plus pee es présené à la fgure 5.5.

80 70 D:\Marse\nouveau\brunfn.jpg Fgure: 5.5: Déecon de conour d'une mage bruée à l'ade des paramères suvans: β=3, γ = 0,003e + 0,0003 avec 100 unés dans le conour. Ce conour a éé obenu à parr des veceurs d'apprenssage conenu dans la régon elle que monrée à la fgure 5.4. En comparan la fgure 5.5 avec la fgure 5.14, l es possble de consaer que le conour rouvé se rouve légèremen à l'néreur du conour réel de l'obje. Cec es dû au fa que l'néreur de la crox conen manenan un ceran nombre de pes gradens don l'acon combnée de leurs cenres de masse are le conour vers l'néreur. Ce comporemen es mnme éan donné que le nveau de bru es relavemen bas. Un nveau de bru plus élevé produra des gradens plus grands à l'néreur de l'obje. De ce fa, les cenres de masse des cellules de oronoï se déplaceraen vers l'néreur de l'obje enraînan ans le conour avec eux. La prochane soluon apparaî en ce regard comme éan plus robuse pusqu'elle élmne les gradens plus fables d'une façon unforme sur la surface de l'mage plûo qu'à l'exéreur du conour fermé seulemen. La valeur maxmale du graden de l'mage raée avec le flre de Sobel a éé éable à 4,8. Pour la smulaon qu su, une valeur de seul de,0 a éé chose de façon à élmner les plus pes gradens ou en gardan un nombre sgnfcaf de plus grands gradens. Les gradens qu on éé conservés son monrés à la fgure 5.6.

81 71 Fgure 5.6: Gradens générés à parr de l'mage bruée. Le graden maxmal es de 4,83 e la valeur de coupure pour le seullage es de,00. Le graden de l'mage non-bruée fgure 5.11b es approxmavemen rerouvée en seullan le résula du flrage de l'mage au flre de Sobel. La déecon du conour de cee mage s'es avérée plus effcace avec seulemen 185 éraons au leu de 3 auparavan e un nombre rédu de veceurs d'apprenssage de 348 au leu de 433. Le conour fnal es monré c-dessous à la fgure 5.7. Fgure 5.7: Déecon de conour de l'mage bruée de la fgure 5.0 à l'ade des paramères suvans: β=3, γ = 0,003e + 0,0003 avec 100 unés dans le conour.

82 7 En comparan encore avec la fgure 5.17, l es possble de consaer que les conours rouvés son rès smlares. Une excepon demeure ouefos dans le con de l'nersecon de la branche supéreure e de la branche de gauche. Le con du conour rouvé à la fgure 5.7 es mons ncurvé que le même con à la fgure Cec es possblemen dû à la poson e au nombre de gradens qu on éé conservés dans cee régon. En applquan le snake à la même mage bruée fgure 5.8, on consae que l'algorhme performe ben malgré la présence du bru. Cec s'explque par le fa que le snake es mons dépendan des arêes rouvées par un aure algorhme mas ulse les forces de l'mage. Fgure 5.8: Résula du snake pour la déecon du conour d'un obje d'une mage bruée. Le conour nal es en rouge e le conour fnal en mauve. En résumé, l a éé démonré pluseurs possblés de déecon de conours à l'ade du réseau de Kohonen e sa verson modfée. La verson modfée reméde au manque d'nformaon renconrée par l'algorhme classque en consdéran les gradens pluô que leur comparses bnarsés. La performance s'en rouve poenellemen dmnuée éan donné le nombre accrû de veceurs d'apprenssage raés par l'algorhme. Ce problème peu êre parellemen résolu en effecuan seulemen une opéraon de seullage sur les

83 73 gradens de l'mage qu dmnue de ce fa le nombre de veceurs d'apprenssage. Cee soluon semble auss conourner assez ben le problème de bru dans l'mage à nveau de grs. Le rayon du vosnage opologque joue auss un rôle dans la vesse e la précson du vosnage. Il semble exser un rayon - enre 1 e le nombre oal d'unés du conour - qu génèrera une performance opmale en erme de vesse. En ce qu concerne la précson du conour, un pe vosnage représene meux les angles dros. À la lumère de ces résulas, l es manenan possble d'amélorer la performance de l'algorhme en erme de rapdé e en erme de précson en combnan les paramères c-hau de la façon suvane: 1. Ulser la verson modfée.. Seuller l'mage graden de façon à ne garder que les gradens sgnfcafs. 3. Ulser un rayon de vosnage varable. Cec permera une organsaon globale au débu, pus un plus grand raffnemen dans les régons qu demanden plus de précson. 5.5 Apprenssage dans le cas où cerans pons son déermnés avec cerude Jusqu'à manenan, les propréés de l'algorhme on éé explorées sans sa relaon au rese du sysème de vson. Un sysème de vson convenonnel comprendra un module de raemen de hau nveau pouvan effecuer un reour d'nformaon vers les modules de plus bas nveau. Tel que dscué à la secon 4., l'hypohèse que le module de hau nveau pusse assocer une probablé à chacune des unés du conour es le fondemen de la présene exploraon. S cee hypohèse s'avéra êre une voe pracable, l sera alors smple de modfer l'algorhme de elle sore qu'l pusse recevor cee sore d'nformaon e d'neragr avec le module de hau nveau. D'une façon smlare, l sera possble de connaîre des pons du conour dès avan l'applcaon de l'algorhme. La modfcaon consdérée c s'applquera de la même façon dans ce cas. L'mage de la crox es encore ulsée c à re d'exemple. Un vosnage de 3 es ulsé à la fgure 5.9. Un el vosnage produ des conours arronds. L'apprenssage

84 74 es effecué comme à l'habude jusqu'à ce que le crère d'arrê so aen. Ensue, ous les angles se rouvan à droe sur la crox son choss comme pons apparenan au conour de la crox 6 en ou. Ces pons son, par le fa même, fxés. Noons auss que les pons choss comme apparenan au conour réel n'apparennen pas au conour rouvé après un premer apprenssage. L'hypohèse sous-endan ce chox es qu'l es possble de fare une elle nférence. Le résula es monré à la fgure 5.9 c-dessous. Fgure 5.9: Conour rouvé en ulsan le reour d'nformaon. Le conour rouvé avan feedback es en jaune. Le conour fnal es ndqué en bleu. Les régons soumses au reour d'nformaon son noées par des cercles vers. Les cons son manenan ben représenés dans la mesure où ls on éé séleconnés correcemen. Il es possble de vor l'améloraon de la déecon de ces cons aux endros ndqués par des cercles vers. Le conour rouvé avan l'neracon es ndqué en jaune ands que le résula fnal es ndqué en bleu. Le rese du conour es consué de segmens de droes seulemen e cec ne consue pas une grande dffculé pour l'algorhme de les représener adéquaemen.

85 Applcaon à une mage omographque Enfn l algorhme a éé applqué à un cas réel d mage omographque. La fgure 5.30 monre une mage d une coupe du corps human au nveau du coeur. Il s'ag d'une mage acquse en médecne nucléare à l'hôpal Sacré-Coeur de Monréal. L'mage consse en une coupe d'une reconsrucon omograhque cardaque à l'ade de l'agen radoacf mb. Les nveaux de grs représenen l aspec fonconnel des organes. La couleur es plus pâle là où l y a le plus d acvé. La déecon du conour du coeur es ule e nécessare afn de déermner son volume e donc, la fracon d'éjecon. Les conours rouvés permeron auss de modélser l'organe à l'ade d'ellpse dans le bu d'en éuder le mouvemen. Fgure 5.30: Image omographque du coeur. Tros algorhmes son comparés dans la déecon du coeur dans l'mage 5.30: l'algorhme de Kohonen classque, Kohonen modfé e le snake. Les deux versons de l'algorhme de Kohonen on éé esées en ulsan les mêmes paramères d'apprenssage γ = 0,003 e - * 0,9 + 0,0003, rayon du vosnage β= e le crère d'arrê = 0,1. Le snake a éé ulsé avec les paramères qu semblaen donner les melleurs résulas e avec un conour nal ressemblan à celu ulsé pour les algorhmes de Kohonen. La valdé des conours ans rouvés sera ensue évaluée en les comparans avec des ranches en coupe de l'mage convoluée avec un flre de Sobel. Mas en premer leu, les résulas des conours rouvés son présenés drecemen sur l'mage omographque e l'mage

86 76 convoluée au flre de Sobel. Ces résulas pour l'algorhme de Kohonen classque son présenés à la fgure a b c Fgure 5.31: Résula de l'applcaon de l'algorhme de Kohonen classque à la déecon du conour du coeur d'une mage omographque. Les mages représenen respecvemen a le conour fnal sur l'mage à nveau de grs, b le conour fnal sur l'mage convoluée avec le flre de Sobel e c le conour sur l'mage convoluée avec le flre de Sobel e bnarsée. Le résula de la convoluon de l'mage avec le flre de Sobel sera prs comme norme pour évaluer le succès des algorhmes pour déecer les conours. Rappelons que l'algorhme de Kohonen classque es ulsé avec une mage bnarsée. Afn de comparer le résula de l'algorhme de Kohonen avec son ensemble d'apprenssage, la fgure 5.31c

87 77 llusre le résula de la déecon du conour sur l'mage bnarsé. Le résula de la déecon de conour avec l'algorhme de Kohonen modfé es présené à la fgure 5.3. Fgure 5.3: Résula de l'applcaon de l'algorhme de Kohonen modfé à la déecon du conour du coeur d'une mage omographque. Les mages représenen respecvemen a le conour fnal sur l'mage à nveau de grs, b le conour fnal sur l'mage convoluée avec le flre de Sobel. Le conour de la même mage a auss éé déecé en ulsan l'algorhme du snake don le résula es présené à la fgure Fgure 5.33: Résula de l'applcaon de l'algorhme du conour acf snake à la déecon du conour du coeur d'une mage omographque. Les mages représenen respecvemen a le conour fnal sur l'mage à nveau de grs, b le conour fnal sur l'mage convoluée avec le flre de Sobel.

88 78 Afn d'évaluer la poson du conour fnal, deux "ranches" de l'mage convoluée avec le flre de Sobel on éé exraes de l'mage e présenées en coupe. La vue en coupe s'mpose c pour évaluer le conour rouvé d'un obje qu ne possède pas un conour clar e faclemen denfable par un ndvdu non-spécalse de l'magere médcale. Il sera possble d'y applquer des mesures plus objecves de qualé du conour rouvé els que menonnés dans Abranes Cependan, cec mplquera la déermnaon du conour réel el que perçu par pluseurs spécalses, ce qu dépasse le cadre du présen proje. La poson du conour rouvé par chacun des algorhmes es ndqué par des barres vercales rouges. Les ranches on éé exraes à la 30 ème lgne ranche horzonale e à la 4 ème colonne ranche vercale. Les posons de chacune de ces ranches son monrées aux fgures 5.34c, 5.35c e 5.36c pour les algorhmes de Kohonen classque, Kohonen modfé e pour le snake respecvemen.

89 79 a conour à x=36,45 e 43,88 b conour à y=3,81 e 37,74 c Fgure 5.34: Résula de la déecon du conour du coeur dans une mage omographque avec l'algorhme de Kohonen classque don a monre la coupe horzonale à la 30ème lgne, b monre la coupe vercale à la 4ème colonne e c monre les posons de ces ranches, le conour fnal rouvé superposés à l'mage convoluée avec le flre de Sobel.

90 80 a conour à x=37,08 e 43,99 b conour à y=6,6 e 37,54 c Fgure 5.35: Résula de la déecon du conour du coeur dans une mage omographque avec l'algorhme de Kohonen modfé don a monre la coupe horzonale à la 30ème lgne, b monre la coupe vercale à la 4ème colonne e c monre les posons de ces ranches, le conour fnal rouvé superposés à l'mage convoluée avec le flre de Sobel.

91 81 a conour à x=36,77 e 44,7 b conour à y=6, e 36,41 c Fgure 5.36: Résula de la déecon du conour du coeur dans une mage omographque avec l'algorhme des conours acfs snake don a monre la coupe horzonale à la 30ème lgne, b monre la coupe vercale à la 4ème colonne e c monre les posons de ces ranches, le conour fnal rouvé superposés à l'mage convoluée avec le flre de Sobel. Le ableau 5. conen le résumé des coordonnées du pon où le conour crose la 30ème lgne ou la 4ème colonne. Comparons manenan les mages présenées aux fgures 5.34 a e b, 5.35 a e b e 5.36 a e b. Dans l'ensemble, ous les algorhmes représenen assez ben le conour en se basan sur les gradens générés par le flre de Sobel e des résulas smlares on éé obenus pour oues les coupes horzonales fgures 5.34a, 5.35a e 5.36a. L'algorhme du snake représene le meux le conour de