9 Nombres. complexes. Sommaire CHAPITRE. Partie A (s14) 2

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1 CHAPITRE 9 Nombres complexes Sommaire Partie A (s14) 2 1 Rappels de première Forme algébrique Forme trigonométrique 3 2 Forme exponentielle Définition Règles de calcul en notation exponentielle 5

2 Ch.09 Nombres complexes T ale STI2D Partie A (s14) L histoire des nombres complexes débute avec l apparition de quantités négatives sous un radical, au xvi e siècle avec le mathématicien italien Jérôme Cardan. Raphaël Bombelli, un autre mathématicien italien, détermine des règles de calcul sur ces nombres appelés alors «impossibles». Ce n est qu à partir du xix e siècle que se développe l aspect géométrique des nombres complexes, sous l impulsion de l abbé Buée de Jean-Robert Argand, puis avec les travaux de Gauss et de Cauchy. Ils sont actuellement utilisés en algèbre et en analyse, mais surtout en tant qu outil pour les physiciens, en optique ou en électricité. Ensemble de Mandelbrot 1 Rappels de première 1.1 Forme algébrique Définition 1. L ensemble C des nombres complexes a les caractéristiques suivantes : il contient le nombre i vérifiant i 2 = 1 ; chaque élément z s écrit de manière unique z = a + ib où a est la partie réelle de z : Re(z) et b la partie imaginaire : Im(z) ; le conjugué du nombre complexe z = a + ib est le nombre z = a ib. Représentation graphique dans le repère (O, U, V ) : partie imaginaire b V O U partie réelle a M(z = a + ib) Proriété 2. on multiplie par l expression conjuguée On pose z = a + ib, z = a + ib deux nombres complexes et k un réel : z ± z = (a + a ) ± i(b + b ) zz = (aa bb ) + i(ab + a b) z + z = z + z z z = z z z z = zz = (a + ib)(a ib ( ) ) z z z a 2 + b 2 z = z z z R z = z z ir z = z 2/5 Lycée Georges Brassens

3 Exemple 3 Soit z = 2 + 3i et z = i 5, on a : 2z 3z = 2(2 + 3i) 3(i 5) = 4 + 6i 3i + 15 = i ; zz = (2 + 3i)(i 5) = 2i i 2 15i = 2i i = 13 13i ; z + z = (2 3i) + ( i 5) = 3 4i ; 2 + i (2 + i)( 3 i) 6 2i 3i i = = = = i ( 3 + i)( 3 i) i. Proriété 4. Si M a pour affixe z = a + ib et M a pour affixe z = a + ib, alors : le vecteur MM a pour affixe z z ; MM = (a a) 2 + (b b) 2 ; le milieu I de [MM ] a pour affixe z I = z + z. 2 Ces propriétés sont utiles pour les démonstrations dans le cadre de la géométrie avec utilisation des nombres complexes. 1.2 Forme trigonométrique Définition 5. on note aussi z = r(cosθ + i sin θ) avec r = z Soit z = a + ib un nombre complexe non nul et M le point d affixe z. le module de z est le réel positif z = z z = a 2 + b 2 ; l argument de z est le nombre réel θ tel que arg(z) = θ = ( u, OM)[ 2π] ; on a cos θ = a z et sin θ = b z. Tout nombre complexe non nul z peut s écrire z = z (cos θ + i sin θ). Cette écriture s appelle la forme trigonométrique de z. b = r sin θ V z = r = a 2 + b 2 θ M(z) 0 U a = r cos θ Pour trouver la forme trigonométrique d un nombre z, il faut calculer successivement le module et l argument de z. 3/5 Lycée Georges Brassens

4 Exemple i 3 = = = 4 = 2 ; arg(1 + i cos θ = 1 3) : 2 θ = π 3 3 sin θ = i [ ( π ) ( π )] 3 = 2 cos + sin 3 3 arg(1 + i 3) = π 3. Proriété 7. z = 0 z = 0 arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) [2π] z = z = z ( ) z arg z = arg(z) arg(z ) [2π] 2 Forme exponentielle 2.1 Définition e désigne le nombre d Euler Pour tout nombre réel θ, on pose : cos θ + i sin θ = e iθ e i 0 = 1 et e i π 2 = i Définition 8. Tout nombre complexe z non nul de module r et d argument θ peut s écrire sous la forme z = r e iθ. Cette écriture, avec r > 0, est appelée forme exponentielle du nombre z. Remarque 9 On a alors z = r e iθ = r(cos θ + i sin θ) = r cos θ + ir sin θ = a + ib. Exemple 10 Différentes écritures du nombre complexe 1 + i 3 : Forme algébrique Forme trigonométrique Forme exponentielle 1 + i 3 [ ( π ) ( π )] 2 cos + i sin e i π 3 Exemple 11 Passage de la forme exponentielle à la forme trigonométrique, puis algébrique de z = 4 e i 3π 4 [ ( ) ( )] : 3π 3π z = 4 cos + i sin 4 4 ( ) 2 2 z = i 2 = i 2 4/5 Lycée Georges Brassens

5 2.2 Règles de calcul en notation exponentielle Remarque 12 Pour les calculs du type «somme» ou «différence», on utilisera la forme algébrique. On préférera la forme exponentielle pour les calculs de produits ou de quotients. Proriété 13. Soit θ et θ des nombres réels et n un nombre entier : produit : e iθ e iθ = e i(θ+θ ) ; ( puissance : e iθ) n = e inθ ; inverse : quotient : 1 e iθ = e iθ ; e iθ e iθ = e i(θ θ ) ; conjugué : e iθ = e iθ. on utilise les formules d addition Démonstration de la première propriété : e iθ e iθ = (cos θ + i sin θ) (cos θ + i sin θ ) = cos θ cos θ + i cos θ sin θ + i sin θ cos θ sin θ sin θ = (cos θ cos θ sin θ sin θ ) + i(cos θ sin θ + sin θ cos θ ) = cos(θ + θ ) + i sin(θ + θ ) = e i(θ+θ ). Exemple 14 On considère les nombres complexes z 1 = 2 e i π 3 et z2 = 2 3 e i π 6 : z 1 z 2 = e i π 3 e i π 6 = 4 3 e i( π 3 + π 6 ) = 4 3 e i π 2 ; z2 4 = ( 2 ) 3 e i π 4 6 = ( 2 3 ) 4 e i4 π 6 = 144 e 2iπ 3 ; z 2 = 2 3 e i π 6 z 1 2 e i π 3 = ei( π 6 π 3 ) = 3 e i π /5 Lycée Georges Brassens