introduction historique des nombres complexes Hervé Gurgey complexes 13 septembre 2009

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1 13 septembre 2009

2 Equations polynomiales de degré 3 La méthode de Cardan, proposée par Jérôme Cardan dans son ouvrage Ars Magna publié en 1545, est une méthode permettant de résoudre les équations polynomiales du troisième degré.

3 Equations polynomiales de degré 3 La méthode de Cardan, proposée par Jérôme Cardan dans son ouvrage Ars Magna publié en 1545, est une méthode permettant de résoudre les équations polynomiales du troisième degré. ( En fait ces équations, comme pour le second degré, possèdent des méthodes générales de résolutions donnant les solutions en fonction des coefficients du polynôme en utilisant seulement les quatre opérations habituelles sur les nombres rationnels, et l extraction de racines carrées, cubiques...

4 Equations polynomiales de degré 3 La méthode de Cardan, proposée par Jérôme Cardan dans son ouvrage Ars Magna publié en 1545, est une méthode permettant de résoudre les équations polynomiales du troisième degré. ( En fait ces équations, comme pour le second degré, possèdent des méthodes générales de résolutions donnant les solutions en fonction des coefficients du polynôme en utilisant seulement les quatre opérations habituelles sur les nombres rationnels, et l extraction de racines carrées, cubiques... Cette méthode permet de mettre en place des formules appelées formules de Cardan donnant en fonction de p et q les solutions de l équation : x 3 + px + q = 0

5 Equations polynomiales de degré 3 La méthode de Cardan, proposée par Jérôme Cardan dans son ouvrage Ars Magna publié en 1545, est une méthode permettant de résoudre les équations polynomiales du troisième degré. ( En fait ces équations, comme pour le second degré, possèdent des méthodes générales de résolutions donnant les solutions en fonction des coefficients du polynôme en utilisant seulement les quatre opérations habituelles sur les nombres rationnels, et l extraction de racines carrées, cubiques... Cette méthode permet de mettre en place des formules appelées formules de Cardan donnant en fonction de p et q les solutions de l équation : x 3 + px + q = 0 On dit que les équations de degré 3 sont résolubles par radicaux.

6 Formules de Cardan Propriété Si 4p q 2 0 l équation admet au moins une solution α obtenue par la formule : α = 3 q p q q p q

7 Etude d un exemple On considère l équation : x 3 2x + 5 = 0

8 Etude d un exemple On considère l équation : x 3 2x + 5 = 0 ici 4p q 2 = 4 ( 8) = 643

9 Etude d un exemple On considère l équation : x 3 2x + 5 = 0 ici 4p q 2 = 4 ( 8) = 643 L équation admet donc au moins une solution : α = ,

10 Etude d un exemple On considère l équation : x 3 2x + 5 = 0 ici 4p q 2 = 4 ( 8) = 643 L équation admet donc au moins une solution : α = , L étude des variations de P(x) = x 3 2x + 5 prouve que l équation n admet pas d autre solutions : y y = x 3 2x + 5 α x

11 Etude d un autre exemple On considère l équation : x 3 15x 4 = 0

12 Etude d un autre exemple On considère l équation : x 3 15x 4 = 0 ici 4p q 2 = 4 ( 8) = 13068

13 Etude d un autre exemple On considère l équation : x 3 15x 4 = 0 ici 4p q 2 = 4 ( 8) = Les formules de cardan ne peuvent donc pas être appliquées Or l étude des variations de P(x) = x 3 2x + 5 prouve que l équation admet trois solutions!!! : y y = x 3 2x

14 La formule de cardan ne s avoue pas vaincue!! Il peut paraître surprenant qu aucune des trois solutions de cette équation ne puisse être donnée par la formule de Cardan.

15 La formule de cardan ne s avoue pas vaincue!! Il peut paraître surprenant qu aucune des trois solutions de cette équation ne puisse être donnée par la formule de Cardan. Par analogie avec le second degré, lorsque < 0 l équation n admet pas de solution donc l algèbre qui ne permet pas de calculer la racine carré de nombre négatif est cohérente avec le nombre de solutions.

16 La formule de cardan ne s avoue pas vaincue!! Il peut paraître surprenant qu aucune des trois solutions de cette équation ne puisse être donnée par la formule de Cardan. Par analogie avec le second degré, lorsque < 0 l équation n admet pas de solution donc l algèbre qui ne permet pas de calculer la racine carré de nombre négatif est cohérente avec le nombre de solutions. Bombelli ( ) imagine qu il existe un ensemble contenant strictement de R dans lequel il existerait des racines carrées de nombres négatifs et dans lequel les propriétés calculatoires dans R se prolongeraient La formule de Cardan donnerait alors comme solution : α =

17 La formule de cardan ne s avoue pas vaincue!! Il peut paraître surprenant qu aucune des trois solutions de cette équation ne puisse être donnée par la formule de Cardan. Par analogie avec le second degré, lorsque < 0 l équation n admet pas de solution donc l algèbre qui ne permet pas de calculer la racine carré de nombre négatif est cohérente avec le nombre de solutions. Bombelli ( ) imagine qu il existe un ensemble contenant strictement de R dans lequel il existerait des racines carrées de nombres négatifs et dans lequel les propriétés calculatoires dans R se prolongeraient La formule de Cardan donnerait alors comme solution : α = Or on peut démontrer que : ( ) 3 = et ( 2 1 ) 3 = 2 121

18 La formule de cardan ne s avoue pas vaincue!! Il peut paraître surprenant qu aucune des trois solutions de cette équation ne puisse être donnée par la formule de Cardan. Par analogie avec le second degré, lorsque < 0 l équation n admet pas de solution donc l algèbre qui ne permet pas de calculer la racine carré de nombre négatif est cohérente avec le nombre de solutions. Bombelli ( ) imagine qu il existe un ensemble contenant strictement de R dans lequel il existerait des racines carrées de nombres négatifs et dans lequel les propriétés calculatoires dans R se prolongeraient La formule de Cardan donnerait alors comme solution : α = Or on peut démontrer que : ( ) 3 = et ( 2 1 ) 3 = On a alors α = ( 2 + ) ( ) 1 = 4

19 Un problème de notation la fonction racine carrée ne peut pas se prolonger correctement à ce sur ensemble

20 Un problème de notation la fonction racine carrée ne peut pas se prolonger correctement à ce sur ensemble En effet on aurait : 1 1 = ( 1) ( 1) = 1 = 1 et : 1 1 = 1 2 = 1

21 Un problème de notation la fonction racine carrée ne peut pas se prolonger correctement à ce sur ensemble En effet on aurait : 1 1 = ( 1) ( 1) = 1 = 1 et : 1 1 = 1 2 = 1 Ce qui donnerait : 1 = 1!!!

22 Un problème de notation la fonction racine carrée ne peut pas se prolonger correctement à ce sur ensemble En effet on aurait : 1 1 = ( 1) ( 1) = 1 = 1 et : 1 1 = 1 2 = 1 Ce qui donnerait : 1 = 1!!! Gauss décida en 1831 de noter C ce sur ensemble et de remplacer 1 par i

23 Un problème de notation la fonction racine carrée ne peut pas se prolonger correctement à ce sur ensemble En effet on aurait : 1 1 = ( 1) ( 1) = 1 = 1 et : 1 1 = 1 2 = 1 Ce qui donnerait : 1 = 1!!! Gauss décida en 1831 de noter C ce sur ensemble et de remplacer 1 par i Ainsi i 2 = 1

24 Un problème de notation la fonction racine carrée ne peut pas se prolonger correctement à ce sur ensemble En effet on aurait : 1 1 = ( 1) ( 1) = 1 = 1 et : 1 1 = 1 2 = 1 Ce qui donnerait : 1 = 1!!! Gauss décida en 1831 de noter C ce sur ensemble et de remplacer 1 par i Ainsi i 2 = 1 On pourra alors remplacer, par exemple, 16 par 16 1 c est à dire 4 i

25 La fin de l histoire En ce qui concerne les équations polynomiales. Il revint à Ludovico Ferrari ( ) de mettre en place une méthode de résolution par radicaux des équations du quatrième degré.

26 La fin de l histoire En ce qui concerne les équations polynomiales. Il revint à Ludovico Ferrari ( ) de mettre en place une méthode de résolution par radicaux des équations du quatrième degré. L histoire se termine avec Abel et Galois au 19 ieme qui démontrèrent l impossibilité de résoudre par radicaux les équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 5