ECO Microéconomie PC 6 - Choix dans l incertain, assurance et aléa moral - Correction

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Marie-Josèphe St-Denis
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1 ECO Microéconomie PC 6 - Choix dans l incertain, assurance et aléa moral - Correction Exercice 1 : Le critère de l espérance d utilité Une société financière effectue des placements pour le compte de l un de ses clients. Elle s appuie sur le critère de l espérance d utilité pour rationaliser ses choix. Pour ce faire, elle utilise une fonction d utilité Von Neumann- Morgenstern U(R) où R est le revenu net en milliers d euros généré par le placement. De deux placements possibles, le meilleur est celui qui conduit à l espérance d utilité la plus grande. Se pose toutefois le problème du choix de la fonction d utilité. Afin de déterminer celle-ci, elle soumet le client à la procédure suivante : elle lui propose divers projets risqués. Chacun est caractérisé par un prix π qui caractérise la mise de fonds et un gain possible G. Le projet peut réussir avec une probabilité p, auquel cas le gain est réalisé. Avec la probabilité complémentaire, il échoue et les gains sont alors nuls. Pour chaque projet, elle demande à son client la probabilité minimale p à partir de laquelle il désire que ce placement soit réalisé. Les réponses du client sont données dans le tableau suivant. Prix π Gain G Prob. de succès minimale p On normalise la fonction d utilité en posant U(0) = 0 et U(1) = Déterminez la relation reliant le prix π et le gain G à la probabilité minimale de succès p. Utilisez les réponses du client pour construire une fonction d utilité pour des revenus compris entre 3 et 5. L individu éprouve-t-il de l aversion vis-à-vis du risque? 2. On compare deux placements. Le premier coûte 1 millier d euros et il rapporte 3 milliers d euros avec une probabilité de 0, 6 et rien avec une probabilité 0, 4. Le second coûte 2 milliers d euros et rapporte un gain de 6 milliers d euros avec une probabilité 0, 36, 2 milliers d euros avec une probabilité 0, 36 et rien avec une probabilité 0, 28. Montrez que le placement 1 a une espérance de revenu inférieure au placement 2. Quel placement doit être choisi selon le critère de la maximisation de l espérance d utilité? 1

2 Exercice 2 : Choix de portefeuille Supposons que les préférences d un individu soient représentées par une fonction CARA (indice absolu d aversion pour le risque constant) : U (x) = 1 exp ( ax) et a > Cet individu est indifferent entre (i) une loterie qui donne 1000 avec probabilité 1/2 et 0 autrement, et (ii) un gain certain de 470. Quel est l équivalent certain de la loterie qui donne 1500 avec probabilité 1/2 et 500 autrement? 2. Montrer que l équivalent certain de la loterie dont le gain x est une variable aléatoire normale de moyenne µ et de variance σ 2 est µ σ2 a Cet individu dispose d un montant M à investir. Il peut investir dans deux titres financiers. Le premier est un titre non risqué dont le prix est 1 et le rendement ρ = 1 + r. Le second titre est un titre risqué dont le prix est 1 et le rendement z, où z est une variable aléatoire normale de moyenne m et de variance s 2. On appellera Y le montant investi dans le titre risqué. (a) Calculer l espérance de l utilité de l agent pour un montant Y donné. (b) Calculer le montant optimal d investissement risqué Y. Commenter. 2

3 Exercice 3 : Le pooling ou la mutualisation des risques Considérons deux individus encourant indépendamment le même risque x = ( 1 2, 10000; 1 2, 0). Leurs richesses initiales sont respectivement égales à euros et euros. Ces deux individus décident de former un pool, c est-à-dire qu ils décident de se mettre ensemble selon le schéma solidaire suivant. Soit aucun des membres du pool n a eu de perte, alors la richesse de chacun reste inchangée. Soit, il y a eu un seul sinistre (l un des membres a perdu euros). Dans ce cas, chacun des membres prend en charge la moitié de la perte due au sinistre. Enfin, les deux individus peuvent simultanément être victimes d un sinistre (chacun des membres du pool a perdu euros). La richesse de chacun d entre eux sera diminuée d autant. 1. Calculer l espérance et la variance de x. 2. Calculer les nouvelles richesses dans chacun des états de la nature pour chaque individu faisant partie du pool ainsi que les probabilités de survenance de ces états. Écrire le profit de leurs richesses finales sous la forme d une loterie. 3. Quel est le nouveau risque ỹ auquel ils font face maintenant qu ils sont dans le pool? (l écrire sous forme de loterie). Calculer son espérance et sa variance. Qu en déduisez-vous en comparant par rapport à x? Quel est selon vous l intérêt de se mettre dans un pool? 4. Que deviennent leurs richesses finales si un troisième individu faisant face au même risque mais indépendamment des deux autres venait à intégrer le pool? (la règle étant la même : en cas de sinistre, chacun participe à la même hauteur pour dédommager celui (ou ceux) qui ont perdu de l argent). 5. Que pensez-vous de la manière dont vont varier l espérance et la variance du nouveau risque au fur et à mesure qu on augmente le nombre d individus dans le pool? Qu est-ce qui se passerait si les risques étaient liés? (Donner juste l intuition économique). 3

4 Exercice 4 : Demande d assurance et aléa moral I. Un individu dispose d une richesse W et fait face à un risque d accident. En cas d accident il perd une somme L < W. La probabilité d accident est égale à π. L individu évalue ses risques au moyen d une fonction d utilité Von Neumann-Morgenstern U (R) avec U ( ) > 0 > U ( ). On utilisera à titre d illustration la fonction U (R) = log R. Une compagnie d assurance propose un contrat qui promet un montant de remboursement Q (choisi par le consommateur) en échange du paiement d une prime T = pq avec 0 < p < Pour une valeur donnée de p calculer le montant Q d assurance choisi par le consommateur. 2. Quelle relation doivent vérifier π et p pour que les compagnies d assurances ne fassent pas de pertes? 3. Montrer que, parmi les contrats qui garantissent une espérance de profit nulle à la compagnie d assurance, le meilleur contrat pour l agent est un contrat d assurance totale (c est-à-dire tel que Q = L). 4. On suppose maintenant que la compagnie d assurance fait face à un coût fixe α pour l écriture d un contrat. (a) Quelle est la relation entre T et Q qui garantira que la compagnie d assurance ne fait pas de pertes? (b) Supposons que la compagnie d assurance obtient un profit nul. Que dire du contrat d assurance choisit par l agent? 4

5 II. On se place dans le même cadre (lorsque α = 0), mais les agents peuvent maintenant influencer leur probabilité personnelle d accident par une variable d auto-protection x. Si l agent choisit un niveau d autoprotection x, son revenu est R x et la probabilité d accident devient π (x), avec π (x) < 0 et π (x) > On suppose que la compagnie peut observer parfaitement la variable x et qu elle peut donc pratiquer des prix personnalisés. Caractériser les valeurs de x et Q à l optimum social. Montrer que si π (0) > 1/L, il est optimal d avoir une valeur strictement positive de x. Montrer que cet optimum peut être atteint via un équilibre de marché si la compagnie d assurance peut moduler les primes individuelles en fonction de l effort x consenti par chaque agent. 6. On suppose que la compagnie ne peut pas observer la variable x et que le montant des primes est donc indépendant de x. Calculer l équilibre de marché en supposant toujours un profit nul pour l assureur. Quelle est la valeur de x? L équilibre est-il efficace? Pourquoi? 5

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