Solution : 1. Soit y = α + βt, l équation de la droite considérée. Le problème de régression linéaire s écrit. i=1 2(α + βt i b i )t i

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1 Exercces avec corrgé succnct du chaptre 3 (Remarque : les références ne sont pas gérées dans ce document, par contre les quelques?? qu apparassent dans ce texte sont ben défns dans la verson écran complète du chaptre 3) Exercce III.. Ecrre le problème de la régresson lnéare comme un problème de mondres carrés : plus précsément on se donne une famlle de ponts (t,b ) m (les t étant dstncts) et on cherche à fare passer une drote le plus près possble de ces ponts. 2. La queston précédente condut à une foncton de deux varables à mnmser. On admet que ce mnmum est donné en annulant les deux dérvées partelles. Donner le système lnéare de deux équatons à deux nconnues ans obtenu. Soluton :. Sot y = α + βt, l équaton de la drote consdérée. Le problème de régresson lnéare s écrt où E(α,β) = mn E(α,β) (α,β) IR 2 m (α + βt b ) 2. = La soluton (α,β ) donne les coeffcents de la drote soluton du problème de régresson lnéare et elle vérfe E(α,β ) = mn E(α,β). (α,β) IR 2 2. Calculons les deux dérvées partelles E α (α,β) = m = 2(α + βt b ) E β (α,β) = m = 2(α + βt b )t La soluton (α,β ) du problème de régresson lnéare est donc donnée par la soluton des deux équatons lnéares obtenues en regroupant les termes α m + β m = t = m = b α m = t + β m = t2 = m = b t Exercce III.2 On cherche à approcher les données (t,b ) m (les t étant dstncts) à l ade d un polynôme de degré nféreur ou égal à n, on suppose m n, on note p(t) = α + α 2 t α n t n, et on cherche les coeffcents α,α 2,...,α n qu mnmsent E(α,α 2,...,α n ) = m (p(t ) b ) 2. =

2 Ecrre le problème de mondres carrés sous forme matrcelle. Montrer alors que la matrce A est ben de rang n. (On rappelle que la matrce carrée de Van der Monde V, v j = t j, est nversble s tous les t sont dstncts). Soluton : Sot p(t) = α + α 2 t α n t n, un polynôme de degré n. Pour que ce polynôme approche les données (t,b ) =,...,m le plus près possble, l dot mnmser la quantté suvante E(α,α 2,...,α n ) = m (p(t ) b ) 2 = Ax b 2. = En effet on peut écrre p(t ) b p(t 2 ) b 2... = p(t m ) b m où les matrces A et x sont défnes par : α + α 2 t α n t n b α + α 2 t α n t n 2 b 2... α + α 2 t m α n t n m b m A = t... t n t 2... t n t m... t n m = A, x = α α 2. α n α α 2... α n. b b 2... b m = Ax b, Dans les données, les ponts t sont tous dstncts, ce qu mplque que la matrce V, consttuée des n premères lgnes de A est nversble, d où la matrce A est de rang n. Exercce III.3 Donner les équatons normales du problème de mondres carrés assocé à la régresson lnéare. Montrer que l on retrouve les équatons de l exercce??. Soluton : La matrce A du problème de régresson lnéare s écrt (vor la correcton de l exercce??) : Les équatons normales sont A = t t t m A T Aˆx = A T b ce qu donne en effectuant les produts matrcels ( m m = t ) m = t ˆx = m = t2. ( m = b ) m = t. b On retrouve ben ans le système de deux équatons à deux nconnues de l exercce??. Exercce III.4 Sot b IR n, montrer que b T z = 0, z IR n b = 0. 2

3 Soluton : L mplcaton est évdente pusque l on multple 0 par le vecteur z. Supposons mantenant que b T z = 0, z IR n, alors cette égalté étant vrae pour tout z l est en partculer pour z = b, ce qu donne b T b = b 2 = 0. Or la norme d un vecteur est nulle s et seulement s ce vecteur est nul, ce qu donne b = 0. Exercce III.5 Ecrre l algorthme de l orthogononalsaton de Schmdt, donnée dans le document??. Soluton : Cet algorthme est très smple et suppose connues des fonctons telles que norme, produt scalare... ce qu est le cas de Sclab. : E = B / B 2: pour k = 2,...,n fare 3: Ẽ k = B k k B k,e j E j 4: E k = Ẽk/ Ẽk 5: fn pour Exercce III.6 Sot E M mn, une matrce dont les colonnes sont des vecteurs orthonormés de IR n, montrer que E T E = I Soluton : On a donc ou ce qu est équvalent E,E =, E,E j = 0 pour j, E T E =, E T E j = 0 pour j. Les termes de la matrce (carrée) C = E T E sont donc C est donc la matrce dentté. c = E T E =, c j = E T E j = 0 pour j, Exercce III.7 On applque l orthogonalsaton de Schmdt (vor le document??), sur les n colonnes A,A 2,...,A n d une matrce A M m,n de rang n (m n), on obtent les vecteurs E,E 2,...,E n qu seront les colonnes d une matrce E.. Montrer que les colonnes A k de A peuvent s écrre sans explcter les scalares α jk. k A k = α jk E j 3

4 2. En dédure que A = ET, où T est une matrce trangulare supéreure nversble. Soluton :. Reprenons l algorthme d orthogonalsaton de Schmdt, alors pus ce qu donne De manère générale ce qu donne E = A / A A = α E, Ẽ 2 = A 2 A,E E et E 2 = Ẽ2/ Ẽ2 A 2 = A,E E + Ẽ2 E 2, A 2 = α 2 E + α 22 E 2. k Ẽ k = A k A k,e j E j et E k = Ẽk/ Ẽk k A k = A k,e j E j + Ẽk E k, A k = k α jk E j. 2. Consdérons le produt C = ET de deux matrces, E M m,n et T M n,n, alors c k = n e j t jk. On peut auss consdérer c k comme le ème élément de la kème colonne de C. Alors cette colonne est donnée par n C k = ET k = t jk E j. S l on compare avec le résultat de la queston précédente : A k = k α jk E j, on vot que t jk = α jk pour j =,...,k et que t jk = 0 pour j = k +,...,n, ce qu correspond à une matrce trangulares supéreure α α α n 0 α α 2n T = α nn La matrce T est nversble car α = Ẽ. Exercce III.8 4

5 . Montrer que s Q est une matrce orthogonale, alors Q T est orthogonale. 2. Montrer que s Q est orthogonale, alors Qy = y pour tout vecteur y de IR n. Soluton :. On a Q orthogonale Q = Q T (Q T ) = Q Q T orthogonale. 2. On va démontrer le résultat pour le carré de l expresson, ce qu est équvalent pour des réels postfs. Dans ces équvalences, on utlse le fat que Q T Q = I. Qy 2 = (Qy) T Qy = y T Q T Qy = y T y = y 2. Exercce III.9 On veut effectuer une régresson lnéare sur les ponts suvants : (,0.5), (0.5,), (2,2.5). Applquer la méthode QR pour résoudre ce problème et utlser SCILAB, en partculer la procédure qr, pour fare les calculs. Soluton : La matrce A et le vecteur b correspondants à ce problème sont A = 0.5 2, b = Les étapes du calcul sont alors les suvantes : calcul de la décomposton QR par qr ce qu donne A = QR, où R = ( ) c calcul de Q T b =, d ( résoluton de Rx = c, ce qu donne x = calcul de l erreur d 2 = ) ( R 0 ), Exercce III.0 Sot A une matrce m n de rang n m. ( Soent ) Q une matrce orthogonale et R une matrce carrée R trangulare supéreure telles que A = Q. 0 Montrer que, s χ 2 désgne le condtonnement calculé à partr de la norme matrcelle subordonnée à la norme 2, χ 2 ( R) = χ 2 (A T A). Soluton : Revoyez le len entre la norme. 2 et le rayon spectral vu au chaptre 2. (χ 2 ( R)) 2 = R 2 2 R 2 2 = ρ( R T R)ρ(( R ) T R ). On remarque que A T A = R T Q T QR = R T R = R T R donc χ 2 (A T A) = χ 2 ( R T R) = RT R 2 ( R T R) 2, 5

6 or R T R et son nverse sont des matrces symétrques, toujours dans le chaptre 2, on a montré on a donc également R T R 2 = ρ(r T R), ( R T R) 2 = ρ(( R T R) ) = ρ( R ( R T ) ) = ρ(( R T ) R ) On a utlsé le résultat montré dans le chaptre 2 : ρ(ab) = ρ(ba) on sat d autre part que ( R T ) = ( R ) T, ce qu permet de termner la démonstraton. Ce résultat est mportant car dans le cas des équatons normales on est condut à résoudre un système dont la matrce est A T A, dans le cas de la factorsaton QR on est amené à résoudre un système dont la matrce est R, comme vous le savez le condtonnement est toujours supéreur à donc la matrce R a un condtonnement plus fable que la matrce A T A, ce qu est ntéressant numérquement. 6

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