6.11 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques

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1 Chapitre 6 Méthodes de Krylov 611 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques Dans le cas où la matrice A n est pas symétrique, comment peut-on retrouver une matrice de corrélation entre AV p et V p+1 qui soit tridiagonale, comme c est le cas pour la méthode de Lanczos symétrique, de façon à retrouver des méthodes avec récurrence courte? Si V p était une base orthonormée de l espace de Krylov vérifiant une telle propriété, on aurait alors : V t p AV p = T p (61) où T p est une matrice tridiagonale, mais aussi, par transposition : V t p A t V p = T t p (62) L équation (62) implique donc que la matrice de corrélation entre A t V p et V p+1 serait aussi tridiagonale Cela n est certainement pas réalisable en pratique, puisque les relations d orthogonalité des vecteurs et la contrainte de corrélation courte entre AV p et V p+1 permettraient déjà de définir V p Si la matrice A n est pas symétrique, il n y a aucune raison que la corrélation entre A t V p et V p+1 soit courte aussi, et l on aboutit à une impossibilité Il y a trop de contraintes Pour arriver à satisfaire toutes les contraintes, il faut non plus une, mais deux familles de vecteurs, V p et Ṽp, qui vérifient d une part une relation de biorthogonalité : p V p = I p (63) et d autre part des relations de corrélations entre AV p et V p+1 et A t Ṽ p et Ṽp+1 telles que : Ṽp t AV p = T p Vp t A t Ṽ p = Tp t (64) 1

2 2 CHAPITRE 6 MÉTHODES DE KRYLOV La construction de ces bases bi-orthogonales va donc démarrer de la manière suivante : g 0 = A x 0 b v 1 = 1 g 0 g 0 ṽ 1 = 1 (g 0v 1) g 0 Avec cette construction, on a bien v 1 = 1 et (ṽ 1 v 1 ) = 1 Ensuite, pour satisfaire les relations de corrélations (64), il faut définir v 2 et ṽ 2 de sorte que les relations suivantes soient satisfaites : Av 1 = α 1 v 1 + β 1 v 2 A t ṽ 1 = α 1 ṽ 1 + β 1 ṽ 2 v 2 = 1 (ṽ 1 v 2 ) = 0 (ṽ 2 v 1 ) = 0 (ṽ 2 v 2 ) = 1 (65) Il ressort des relations (65) que nécessairement : (ṽ 1 Av 1 ) = α 1 = (A t ṽ 1 v 1 ) = α 1 (66) La condition v 2 = 1 va déterminer β 1, alors que β 1, que l on notera désormais γ 1, sera donné par la relation (ṽ 2 v 2 ) = 1 De sorte que la première itération de l algorithme de construction des bases bi-orthogonales de Lanczos non symétrique va s écrire : w = A v 1 α 1 = (ṽ 1 Av 1 ) w = w α 1 v 1 β 1 = w v 2 = 1 β 1 w w = A t ṽ 1 w = w α 1 ṽ 1 γ 1 = ( wv 2 ) ṽ 2 = 1 γ 1 w On voit bien, en écrivant cet algorithme, l impossibilité que les familles de vecteurs V p et Ṽp soient identiques Il n y a en effet aucune raison, sauf si la matrice A est symétrique, que les vecteurs w et w construits ci dessus soient colinéaires La matrice T p définie par l équation (64) va donc être de la forme suivante : α 1 γ β 1 α 2 γ 2 T p = 0 β 2 (67) 0 γp β p 1 α p

3 611 BASES DE LANCZOS BI-ORTHOGONALES POUR DES MATRICES NON SYMÉTRIQUES3 De même, à l itération p, on va construire les vecteurs v p+1 et ṽ p+1 de manière à satisfaire les relations : Av p = γ p 1 v p 1 + α p v p + β p v p+1 A t ṽ p = β p 1 ṽ p 1 + α p ṽ p + γ p ṽ p+1 v p+1 = 1 (ṽ p v p+1 ) = 0 (ṽ p+1 v p ) = 0 (ṽ p+1 v p+1 ) = 1 (68) De sorte que l itération p de l algorithme de construction des bases bi-orthogonales de Lanczos non symétrique va s écrire : w = A v p α p = (ṽ p Av p ) w = w γ p 1 v p 1 α p v p β p = w v p+1 = 1 β p w w = A t ṽ p w = w β p 1 ṽ p 1 α p ṽ p γ p = ( wv p+1 ) ṽ p+1 = 1 γ p w Soient V p et Ṽp, les matrices rectangulaires à n lignes et p colonnes, dont les colonnes sont respectivement les p premiers vecteurs (v j ) et (ṽ j ), alors, les propriétés des deux bases ainsi construites sont données dans le théorème suivant Théorème 61 Les deux familles de vecteurs (v j ) et (ṽ j ) sont bi-orthonormées : et vérifient la propriété : De plus, les vecteurs (v j ) sont normés p V p = I p (69) p AV p = T p (610) Démonstration Les vecteurs (v j ) sont normés par construction De plus, les vecteurs successifs vérifient les relations de récurrence : Av p = γ p 1 v p 1 + α p v p + β p v p+1 A t ṽ p = β p 1 ṽ p 1 + α p ṽ p + γ p ṽ p+1 (611) Ce qui implique que, pour démonter le théorème, il suffit de prouver que les relations de bi-orthogonalité (63) sont satisfaites Or les coefficients α p, β p et γ p sont justement choisis de sorte que : v p+1 = 1 (ṽ p v p+1 ) = 0 (ṽ p+1 v p ) = 0 (ṽ p+1 v p+1 ) = 1 (612)

4 4 CHAPITRE 6 MÉTHODES DE KRYLOV Il suffit donc de démontrer par récurrence sur p que (ṽ j v p+1 ) = (v j ṽ p+1 ) = 0, si j < p Or, du fait des relations (611), et grâce à l hypothèse de récurrence sur la bi-orthogonalité des vecteurs, on a les équations suivantes : (ṽ j β p v p+1 ) = (ṽ j Av p ) (ṽ j γ p 1 v p 1 ) (ṽ j α p v p ) = (A t ṽ j v p ) (ṽ j γ p 1 v p 1 ) = (β j 1 ṽ j 1 + α j ṽ j + γ j ṽ j+1 v p ) (ṽ j γ p 1 v p 1 ) = γ j (ṽ j+1 v p ) γ p 1 (ṽ j v p 1 ) (613) Soit j < p 1 et alors les deux produits scalaires restants sont nuls, soit j = p 1 et la dernière ligne s écrit : De la même façon : γ p 1 (ṽ p v p ) γ p 1 (ṽ p 1 v p 1 ) = γ p 1 γ p 1 = 0 (614) (v j γ p ṽ p+1 ) = (v j A t ṽ p ) (v j β p 1 ṽ p 1 ) (v j α p ṽ p ) = (Av j ṽ p ) (v j β p 1 ṽ p 1 ) = (γ j 1 v j 1 + α j v j + β j v j+1 ṽ p ) (v j γ p 1 ṽ p 1 ) = β j (v j+1 ṽ p ) β p 1 (v j ṽ p 1 ) (615) Soit j < p 1 et alors les deux produits scalaires restants sont nuls, soit j = p 1 et la dernière ligne s écrit : β p 1 (v p ṽ p ) β p 1 (v p 1 ṽ p 1 ) = β p 1 β p 1 = 0 (616) Ce qui achève la démonstration Remarque L algorithme de construction des bases bi-orthogonales de Lanczos non symétrique peut tomber en défaut, si le vecteur Av p γ p 1 v p 1 α p v p, est nul où si le coefficient γ p vaut 0 De même si le vecteur A t ṽ p β p 1 ṽ p 1 α p ṽ p, est nul où si le coefficient β p vaut 0 Ce qui peut arriver par exemple si l espace de Krylov K p = Vect {g 0, A t g 0, (A t ) 2 g 0,, (A t ) p 1 g 0 } a atteint sa dimension maximale, alors que ce n est pas le cas pour l espace de Krylov K p = Vect {g 0, Ag 0, A 2 g 0,, A p 1 g 0 } Il existe des techniques pour continuer les itérations dans ces cas là 612 Méthode de Lanczos non symétrique La méthode de Lanczos non symétrique consiste à rechercher la solution approchée dans l espace l espace affine x 0 + K p Puisque V p est une base de K p, x p s écrit sous la forme suivante, où z p est un vecteur de dimension p : Le gradient associé est donné par la formule : x p = x 0 + V p z p (617) g p = Ax p b = g 0 + AV p z p (618)

5 613 LA MÉTHODE DU GRADIENT BI-CONJUGUÉ : BICG 5 Seulement V p ne définit pas une base orthonormée de K p Les coefficients de z p vont être déterminés par une relation de bi-orthogonalité : p g p = 0 p AV p z p = p g 0 (619) Les coefficients z p sont donc solution du système tridiagonal : T p z p = p g 0 (620) système dont la résolution est aisée, en réalisant la factorisation de Gauss de la matrice tridiagonale T p Cependant, cette méthode présente, comme la méthode de Lanczos symétrique, l inconvénient que les solutions approchées successives ne sont pas, contrairement aux vecteurs des bases bi-orthogonales, construites à l aide d une récurrence courte Ce qui oblige à conserver tous les vecteurs (v j ) et qui rend la méthode coûteuse en terme de calcul et de stockage Comme pour la méthode de Lanczos symétrique, on va donc tacher de trouver de nouvelles bases permettant de calculer les solutions approchées successives par une récurrence courte 613 La méthode du gradient bi-conjugué : BiCG Des deux relations définissant le gradient de la solution obtenue par la méthode de Lanczos : g p = g 0 + AV p z p p g p = 0 (621) on déduit que g p est colinéaire à v p+1 On peut donc remplacer les vecteurs de la base V p par les vecteurs (g 0, g 1,, g p 1 ), qui définissent une matrice notée G p, tout en gardant la propriété de bi-orthogonalité et le caractère tridiagonal de la matrice de corrélation entre AG p et G p+1 Matriciellement, ces propriétés s écrivent : p G p = D p p AG p = T p (622) où D p est une matrice diagonale et T p une matrice tridiagonale De même, on peut remplacer les vecteurs de Ṽp par des vecteurs ( g 0, g 1,, g p 1 ), qui leur sont colinéaires en conservant la propriété de bi-orthogonalité et le caractère tridiagonal de la matrice de corrélation entre A t Gp et G p+1 Si on note D p, la matrice diagonale de correlation entre G p et Ṽp, on a : G p = ṼpD p G t pag p = D p p AG p (623)

6 6 CHAPITRE 6 MÉTHODES DE KRYLOV Si T p et D p sont respectivement des matrices tridiagonale et diagonale, alors leur produit est de la forme : d 1 a 1 d 1 c d 2 b 1 d 2 a 2 d 2 c 2 D p T p = 0 d 3 b 2 (624) 0 d p 1 b p 1 d p 1 c p d p b p 1 d p a p Quelque soit le choix de d 1, on peut choisir les coefficients (d i ) de sorte à rendre la matrice produit symétrique Il suffit pour cela que les coefficients (d i ) vérifient la relation de récurrence : d i b i 1 = d i 1 c i 1 (625) Les deux bases G p et G p ainsi déterminées vérifient donc les relations : G t pg p = D p G t pag p = T p (626) où D p est une matrice diagonale et T p une matrice tridiagonale symétrique Les bases G p et G p vont être plus simples à calculer que V p et Ṽp, grâce à la propriété de symétrie de la matrice T p Cette propriété signifie que les vecteurs AG p et G p+1, d une part, et les vecteurs A t Gp et G p+1, d autre part, sont respectivement reliés entre eux par des relations de récurrence courte avec les mêmes coefficients Néanmoins cette propriété ne donne toujours pas de récurrence courte pour le calcul des solutions successives de la méthode de Lanczos Pour ce faire, il faut construire deux nouvelles bases W p et W p, à partir de G p et G p respectivement, de sorte que la matrice W t paw p soit diagonale Comme dans la méthode du gradient conjugué, on va utiliser la factorisation de Crout de la matrice T p : G t pag p = L p D p L t p L 1 p G t pag p L t p = D p (627) Si on définit deux nouvelles familles de vecteurs (w 0, w 1,, w p 1 ) donnant la matrice W p, d une part, et ( w 0, w 1,, w p 1 ) donnant la matrice W p, d autre part, à partir respectivement des vecteurs G p et G p par les relations W p L t p = G p et W p L t p = G p on obtient : W t paw p = D p (628) Le vecteur solution approchée à l itération p de la méthode de Lanczos, exprimé dans la nouvelle base W p : x p = x 0 + W p z p g p = g 0 + AW p z p (629)

7 613 LA MÉTHODE DU GRADIENT BI-CONJUGUÉ : BICG 7 et défini par la relation de bi-orthogonalité : W t pg p = 0 W t paw p z p = W t pg 0 (630) est déterminé par la solution du système diagonal : D p z p = W t pg 0 (631) On en déduit que les deux vecteurs solutions approchées successifs vérifient : x p+1 = x p + ρ p w p (632) L ensemble des relations entre les familles de vecteurs G p, G p, W p et W p peuvent se résumer par les équations suivantes : x p = x p 1 + ρ p 1 w p 1 g p = g p 1 + ρ p 1 Aw p 1 g p = g p 1 + ρ p 1 A t w p 1 w p = g p + γ p 1 w p 1 w p = g p + γ p 1 w p 1 (633) C est la symétrie de la matrice T p et le fait que la matrice L t p est bidiagonale supérieure unitaire, qui permet d affirmer que les vecteurs G p, AG p et W p, d une part, et G p, A t Gp et W p, d autre part, sont liés entre eux par les relations de récurrence courte écrite dans l équation (633) Il suffit maintenant pour définir la méthode, d utiliser les relations de bi-orthogonalité que les vecteurs G p et G p, d une part, et W p et W p, d autre part vérifient entre eux pour définir les deux coefficients ρ p et ρ p En effet, par construction, G p et G p forment deux bases bi-orthogonales de K p et K p, alors que W p et W p en forment deux bases bi-conjuguées, d après l équation (628) On en déduit : (gp 1 ewp 1) (g p w p 1 ) = 0 ρ p 1 = (Aw p 1 ew p 1) (w p A t w p 1 ) = 0 γ p 1 = (gpat ew p 1) (Aw p 1 ew p 1 ) (634) Les équations (633) et (634) définissent complètement le nouvel algorithme, appelé méthode du gradient bi-conjugué, dont l acronyme en anglais est BiCG Initialisation du gradient bi-conjugué : g 0 = A x 0 b w 0 = g 0 g 0 = g 0 w 0 = g 0 Itération numéro p du gradient bi-conjugué : v = A w p 1 ṽ = A t w p 1 ρ p 1 = (g p 1 w p 1 )/(v w p 1 )

8 8 CHAPITRE 6 MÉTHODES DE KRYLOV x p = x p 1 + ρ p 1 w p 1 g p = g p 1 + ρ p 1 v g p = g p 1 + ρ p 1 ṽ if (g p g p )/(bb) < ɛ 2 then F in end if γ p 1 = (g p ṽ)/(v w p 1 ) w p = g p γ p 1 w p 1 w p = g p γ p 1 w p 1 A chaque itération, il suffit de calculer deux produits matrice-vecteur, v = A w p 1 et ṽ = A t w p 1, quatre produits scalaires, (g p 1 w p 1 ), (v w p 1 ), (g p g p ) et (g p ṽ), et cinq combinaisons linéaires de vecteurs, x p = x p 1 + ρ p 1 w p 1, g p = g p 1 +ρ p 1 v, g p = g p 1 +ρ p 1 ṽ, w p = g p γ p 1 w p 1 et w p = g p γ p 1 w p 1 Remarque L algorithme du gradient bi-conjugué est la bonne façon de mettre en œuvre la méthode de Lanczos bi-conjuguée Comme celle-ci, il peut tomber en défaut, du fait d un blocage de la procédure de construction des bases bi-orthogonales de K p et K p, ou parce que la matrice T p n est pas inversible Il existe des méthodes de continuation dans de telles situations 614 La méthode du résidu quasi minimal : QMR Un des inconvénients de la méthode BiCG est que la solution approchée calculée à l itération p ne minimise pas une certaine norme du vecteur résidu g p, sauf si la matrice est symétrique définie positive, auquel cas on retrouve exactement la méthode du gradient conjugué La relation de bi-orthogonalité qui définit la solution approchée peut même conduire à de fortes oscillations de g p, potentiellement déstabilisantes pour la méthode De plus, comme on l a signalé dans la remarque faite à la fin du paragraphe précédent, la méthode peut tomber en défaut si la matrice T p n est pas inversible Si l on revient à la construction des base de Lanczos non symétrique, on a : AV p = V p+1 T p+1p (635) la matrice rectangulaire à p + 1 lignes et p colonnes T p+1p étant égale à : α 1 γ β 1 α 2 γ 2 0 β 2 T p+1p = 0 γp β p 1 α p 0 0 β p (636)

9 614 LA MÉTHODE DU RÉSIDU QUASI MINIMAL : QMR 9 La solution approchée sous la forme x p = x 0 + V p z p donne un vecteur résidu de la forme : g p = Ax p b = g 0 + V p+1 T p+1p z p = V p+1 ( g 0 e (p+1) 1 + T p+1p z p ) (637) où e (p+1) 1 est le premier vecteur de la base canonique de dimension p + 1 Les vecteurs de V p+1 ne forment pas une base orthonormée, mais ils sont néanmoins tous de norme égale à 1 D où l idée de définir z p comme le vecteur qui minimise la quantité : r(z p ) = g 0 e (p+1) 1 + T p+1p z p 2 (638) Peut-on estimer la valeur exacte de la norme du résidu obtenu par cette méthode en fonction de celle du résidu optimal dans x 0 + K p, gp opt que l on obtiendrait si on appliquait, par exemple, la méthode GMRES? Considérons donc une matrice rectangulaire V et le vecteur y = V x (yy) = (V xv x) = (V t V xx) (639) La matrice V t V est symétrique positive Elle admet donc une base orthonormée de vecteurs propres et ses valeurs propres sont toutes positives Les racines carrées de ses valeurs propres sont appelées les valeurs singulières de V Elles sont identiques aux valeurs propres de V si celle-ci est carrée et symétrique positive Si les colonnes de V forment une famille de vecteurs orthonormée, V t V = I et toutes les valeurs singulières de V sont égales à 1 De l équation (639), on déduit immédiatement l encadrement suivant : σ min x y σ max x (640) où σ min et σ max sont respectivement la plus petite et la plus grade valeur singulière de V Le rapport cond(v ) = σ max σ min est le conditionnement de V Soit g p le vecteur résidu obtenu pour z p minimisant la quantité r(z p ) définie dans l équation (638) Théorème 62 g p p + 1 r(z p ) et g p cond(v p+1 ) gp opt Démonstration D après l équation (637), g p σ max r(zp ), σ max étant la valeur singulière maximale de V p+1 Comme les vecteurs de V p+1 sont de norme égale à 1, tous les coefficients diagonaux de la matrice Vp+1V t p+1 sont égaux à 1, et la trace de cette matrice est égale à p + 1 Et donc sa valeur propre maximale est inférieure à p + 1, d où σ max p + 1 Le vecteur résidu optimal peut nécessairement s écrire sous la forme : g opt p On peut donc minorer g opt p de la façon suivante : = V p+1 ( g 0 e (p+1) 1 + T p+1p z p) (641) gp opt σ min g 0 e (p+1) 1 + H p+1p z p σ min r(z p ) (642)

10 10 CHAPITRE 6 MÉTHODES DE KRYLOV Combinée avec l inégalité g p σ max r(zp ) cette équation permet d achever la démonstration du théorème Ce théorème justifie l idée que minimiser r(z p ) est raisonnable pour contrôler g p Cependant, le conditionnement de V p+1 ne peut pas être majoré, car σ min peut être très petite La méthode que l on vient d introduire s appelle méthode du résidu quasi minimal, d acronyme anglais QMR Sa mise en œuvre va être très semblable à celle de la méthode GMRES En particulier, le problème de moindres carrés que représente la minimisation de r(z p ) se résout par la méthode QR à l aide de rotations de Givens Cependant, du fait du caractère tridiagonal de la matrice T p+1p, comme les rotations de Givens n opèrent que sur deux lignes successives, on voit aisément que la matrice triangulaire supérieure R p de la factorisation QR de T p+1p est de la forme : R p = r 11 r 12 r r p 2p 2 r p 2p 1 r p 2p rp 1p 1 r p 1p 0 0 r pp (643) Cette propriété est d une grande importance pratique Elle va permettre de récupérer la solution approchée à l aide d une récurrence courte En effet, la solution du problème de minimisation de r(z p ) est donnée par : R p z p = y p (644) où y p est le vecteur des p premières composantes du vecteur g 0 Q p+1 e (p+1) 1, Q p+1 étant la matrice orthogonale, produit de rotations de Givens, telle que : [ Q p+1 T p+1p = R p [0 0] ] (645)

11 614 LA MÉTHODE DU RÉSIDU QUASI MINIMAL : QMR 11 La dernière composante de ce vecteur, r p+1, donne la valeur minimale de r(z p ) Plus précisément, si z p est la solution du système (646), alors : r p+1 = ± r(z p ) (646) La solution approchée définie par z p s écrit donc : x p = x 0 + V p R 1 p y p = x 0 + W p y p (647) Les vecteurs colonnes de W p = V p Rp 1 définissent une nouvelle base de l espace de Krylov K p Les p 1 premières composantes du vecteur g 0 Q p+1 e (p+1) 1 sont identiques à celles du vecteur g 0 Q p e (p) 1 Les deux dernières composantes se calculent en appliquant tout simplement la rotation de Givens d angle θ p : [ ] [ ] [ ] yp (p) cp s = p rp (648) r p+1 s p c p 0 Ce qui signifie que les solutions approchées successives se calculent, dans la nouvelle base W p, par une récurrence courte : x p = x 0 + W p y p = x 0 + W p 1 y p 1 + y p (p)w p = x p 1 + y p (p)w p (649) La relation W p R p = V p indique comment les vecteurs de la nouvelle base sont calculés à partir de ceux de la base de Lanczos La structure tridiagonale de la matrice R p implique que cette relation est aussi une récurrence courte : v p = r p 2p w p 2 + r p 1p w p 1 + r pp w p w p = 1 (v p r p 2p w p 2 r p 1p w p 1 ) r pp (650) On pourrait faire le même changement de base pour la méthode GMRES, mais cela n apporterait rien dans le cas général, puisque la partie triangulaire supérieure de la matrice R p de la méthode GMRES est pleine La relation entre les vecteurs V p et W p n est donc pas une récurrence courte dans ce cas là On remarque en fin que pour passer de la matrice R p 1 à la matrice R p, il suffit d appliquer les rotations de Givens à la colonne numéro p de T p+1p, avant de calculer la nouvelle rotation de Givens Or cette colonne n a que deux termes non nuls, situés dans les lignes p et p + 1 Seules les deux dernières rotations de Givens sont donc nécessaires Finalement, l algorithme QMR s écrit de la façon suivante : Initialisation de QMR : g 0 = A x 0 b r 1 = g 0 v 1 = 1 g 0 g 0 ṽ 1 = 1 (g 0v 1) g 0

12 12 CHAPITRE 6 MÉTHODES DE KRYLOV Construction des vecteurs numéro p+1 des bases bi-conjuguées de Lanczos non symétrique : w = A v p α p = (ṽ p Av p ) w = w γ p 1 v p 1 α p v p β p = w v p+1 = 1 β p w w = A t ṽ p w = w β p 1 ṽ p 1 α p ṽ p γ p = ( wv p+1 ) ṽ p+1 = 1 γ p w application des deux dernières rotation de Givens à la colonne numéro p de T p+1p : [ ] [ ] [ ] rp 2p cp 2 s = p 2 0 [ δ 1 ] [ s p 2 c p 2 ] [ γ p 1 ] rp 1p cp 1 s = p 1 δ1 δ 2 s p 1 c p 1 Calcul de la nouvelle rotation de Givens et remise à jour de la colonne numéro p de R et du vecteur y : 1 c p = 1+( βp δ ) 2 2 s p = 1 c 2 p [ ] [ ] [ ] rpp cp s = p δ2 [ 0 ] [ s p c p ] [ β p ] ρp cp s = p rp r p+1 s p c p 0 Calcul du nouveau vecteur w p et de la solution approchée : w p = 1 r pp (v p r p 2p w p 2 r p 1p w p 1 ) x p = x p 1 + ρ p w p Remarque La méthode QMR présente le double avantage de stabiliser BiCG en conservant une récurrence courte et de ne pas tomber en défaut quand la matrice T p est singulière, puisque la résolution du problème de minimisation de r(z p ) par la méthode des rotations de Givens n exige pas que la matrice T p+1p soit de rang p 615 La méthode BiCGSTAB Il existe une autre façon classique de stabiliser la méthode BiCG qui consiste à alterner à intercaler l algorithme GMRES(1) entre deux itérations de BiCG Ce qui revient à alterner minimisation du résidu et calcul par bi-orthogonalisation Comme toutes ses méthodes consistent à déterminer les vecteurs résidus comme des polynômes optimaux de A appliqués à g 0, les calculs peuvent commuter et, moyennant des transformations algébriques un peu fastidieuses la méthode α p

13 615 LA MÉTHODE BICGSTAB 13 BiCGSTAB peut effectivement s écrire comme une récurrence simple alternant minimisation et bi-orthogonalisation

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