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1 RDM Ossatures Manuel d exercices Yves Debard Institut Universitaire de Technologie du Mans Département Génie Mécanique et Productique 26 juin mars 2011

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3 Table des matières 1 Exemples 1 Exemple 1 : Portique plan Exemple 2 : Treillis plan à nœuds articulés Exemple 3 : Anneau plan Exemple 4 : Plancher Exemple 5 : Ossature spatiale Exemple 6 : Modes propres d un anneau plan Exemple 7 : Ossature plane Analyse statique 16 E1 : Treillis plan à noeuds articulés E2 : Ossature plane E3 : Ossature plane E4 : Ossature plane E5 : Ossature plane E6 : Poutre droite E7 : Poutre courbe E8 : Ossature plane E9 : Poutre à section droite variable soumise à son poids propre E10 : Treillis spatial à nœuds articulés E11 : Portique plan poutre soumise à une variation de température E12 : Treillis plan poutre soumise à une variation de température E13 : Ossature plane appui incliné Sections droites : caractéristiques et contraintes 32 S1 : Caractéristiques d une section droite S2 : Torsion d une poutre rectangulaire S3 : Caractéristiques d une section droite S4 : Caractéristiques d une section droite S5 : Caractéristiques d une section droite S6 : Caractéristiques d une section droite S7 : Caractéristiques d une section droite S8 : Caractéristiques d une section droite S9 : Caractéristiques d une section droite S10 : Contrainte normale dans une section droite : flexion déviée S11 : Contraintes dans une section droite : flexion-torsion S12 : Cisaillement du à l effort tranchant S13 : Contrainte normale dans une poutre à section droite variable S14 : Contrainte normale dans une section droite : flexion déviée S15 : Section droite à parois minces S16 : Contraintes tangentielles dans un caisson multicellulaire

4 S17 : Cisaillement dans un profil mince fermé et simplement cloisonné S18 : Flexion - torsion S19 : Contraintes normales dans une poutre à section droite variable Flambement eulérien 60 F1 : Ossature plane F2 : Poutre droite F3 : Poutre droite à section variable F4 : Poutre console flexion-torsion F5 : Lame équerre flexion-torsion F6 : Lame équerre flexion-torsion F7 : Flambement d un mât vertical sous son poids propre F8 : Flambement d une poutre droite F9 : Flambement d un cadre Modes propres 75 D1 : Treillis plan à nœuds articulés D2 : Poutre droite à section variable D3 : Vibrations transversales d une poutre droite bi-encastrée D4 : Portique plan D5 : Ossature spatiale D6 : Ossature plancher D7 : Vibrations transversales d une poutre droite libre D8 : Premier mode propre d une poutre console avec masses Références 83

5 Chapitre 1 Exemples Exemple 1 : Portique plan Référence : A. Giet, L. Géminard, Résistance des matériaux, tome 2, 1968, pages Données : La structure plane représentée sur la figure est constituée de deux poutres de même section droite. Soient A l aire des sections droites et I Z leur moment quadratique par rapport à l axe Z. L ossature est encastrée en 1 et articulée en 4. Les poutres sont en acier de module de Young E. Le nœud 2 porte une force de composantes (P, 0, 0). L énergie de déformation due à l effort tranchant est négligée (modèle de Bernoulli). On donne : L = 2 m A = 16 cm 2, I Z = 135 cm 4 E = MPa P = N

6 2 RDM Ossatures Modélisation et calcul : Les étapes de la modélisation sont : Fichier Nouvelle étude Définir le type de l ossature Ossature plane Entrer les coordonnées des 4 nœuds : (0,0) (0,1) (0,2) (2,2) Poutres Créer des poutres définies par leurs nœuds extrémités : 1 2, 2 3, 3 4 Sections droites Section droite quelconque A = 16 cm 2, I Z = 135 cm 4 Liaisons L ossature est encastrée en 1 et articulée en 4 Cas de charges Le nœud 2 porte une charge de composantes (10000, 0, 0) N. Matériaux Définir Module de Young = MPa Calculer Paramètres Modèle de Bernoulli Calculer Analyse statique Enregistrer les données et lancer le calcul Résultats Exploiter les résultats du calcul Déplacements nodaux : u 2 = mm, v 2 = mm, θ 2z = u 3 = mm, v 3 = mm, θ 3z = θ 4z = Actions de liaison : R 1x = N, R 1y = N, M 1z = N.m R 4x = N, R 4y = N Remarque : dans la référence, l énergie de déformation due à l effort normal est négligée.

7 Manuel d exercices 3 Exemple 2 : Treillis plan à nœuds articulés Référence : A. Giet, L. Géminard, Problèmes de résistance des matériaux, tome 1, 1973, page 52. Problème : La structure représentée sur la figure est composée de trois barres articulées entre elles. L ensemble est relié à l extérieur par trois rotules en 2, 3 et 4. Les trois barres ont la même section droite : carré plein de côté 10 mm. Les poutres 1 2 et 1 4 sont en acier : module de Young = MPa coefficient de dilatation = K 1 La poutre 1 3 est en laiton : module de Young = MPa coefficient de dilatation = K 1 Le nœud 1 porte une charge P de composantes (0, 10000, 0) N. L ossature subit une augmentation de température de 50 K. Modélisation : Les étapes de la modélisation sont : Nouvelle étude Définir le type de l ossature : Plane Définir l unité de longueur : m Entrer les coordonnées des nœuds : (0, 0.8), ( 0.6, 0), (0, 0), (0.6, 0)

8 4 RDM Ossatures Poutres Créer des poutres définies par leur nœud origine et leur nœud extrémité Relaxations Les trois poutres sont du type rotule-rotule (liaisons intérieures) Sections droites Section droite paramétrée Carré plein de côté 10 mm Matériaux Modifier la couleur courante Attribuer la couleur courante à la poutre 1 3 (bouton Élément) Entrer les caractéristiques de la poutre en laiton (bouton Définir) module de Young = MPa, coefficient de dilatation = 18E 6 K 1 Entrer les caractéristiques des poutres en acier ( bouton Définir) module de Young = MPa, coefficient de dilatation = 11E 6 K 1 Liaisons L ossature est articulée en 2, 3 et 4 Cas de charges Le nœud 1 porte une force de composantes (0, 10000, 0) N Variation de température = 50 K Calculer Analyse statique Enregistrer les données et lancer le calcul Déplacement du nœud 1 : u 1 = 0, v 1 = 0.96 mm Allongement des poutres : 1 2 = 1 4 = mm, 1 3 = mm Efforts normaux : N 1 2 = N 1 4 = 4370 N, N 1 3 = 3008 N Remarque : pour extraire ces résultats, utiliser le bouton droit de la souris.

9 Manuel d exercices 5 Exemple 3 : Anneau plan Référence : solution analytique. Données : L anneau de plan moyen {O, xy} et de section droite constante (carré plein de coté c) représenté sur la figure est réalisé en acier de module de Young E et de coefficient de Poisson ν. Le tronçon 6 2 porte une force uniformément répartie d intensité linéique (0, p, 0). Le tronçon 5 4 porte une force uniformément répartie d intensité linéique (0, p, 0). L énergie de déformation due à l effort tranchant est prise en compte (modèle de Timoshenko). On donne : E = MPa, ν = 0.3 c = 10 mm, L = R = 50 mm p = 10 N/mm Modélisation : Le problème présente une symétrie par rapport aux plans x = 0 et y = 0. Il suffit de modéliser le quart de l anneau. Les étapes de la modélisation sont : Fichier Bibliothèque La géométrie existe dans la bibliothèque d ossatures paramétrées Ossature plane Numéro 31 : R = 50 mm, L = 50 mm, l arc est discrétisé en 20 éléments

10 6 RDM Ossatures Matériau Définir E = MPa, ν = 0.3 Sections droites Section droite paramétrée Carré plein de côté c = 10 mm Liaisons/Symétries La structure est symétrique par rapport au plan x = 0 : désigner le nœud 1 La structure est symétrique par rapport au plan y = 0 : désigner le nœud 3 Cas de charges La poutre 1 2 une force uniformément répartie d intensité (0, 10, 0) N/mm Calculer Paramètres Modèle de Timoshenko Calculer Analyse statique Enregistrer les données et lancer le calcul Référence : Déplacements : v 1 = (6 π2 + 17π 6) pr 4 + π pr2 (2 + π) pr (2 + π) EI z 4 EA 4 GAk y = = mm Actions de liaisons : (π 14) pr4 u 3 = + pr2 6 (2 + π) EI z 2 EA pr2 2 GAk y = = mm F 1x = 0, M 1z = F 3y = pr = 500 N, M 3z = Moment fléchissant dans la section 2 : Contraintes normales : σ c σ d σ a σ b } ( π) pr2 6 (2 + π) (2 + 3 π) pr2 3 (2 + π) Mf z2 = 4 pr2 = 6483 N.mm 3 (2 + π) = N.mm } ( π) pr2 = (2 + π) c 3 = ± MPa = pr c 2 2 (2 + 3 π) pr2 (2 + π) c 3 = { = N.mm MPa

11 Manuel d exercices 7 Solution éléments finis : Déplacements : Actions de liaison : v 1 = mm, u 3 = mm F 1x = 0 N, M 1z = N.mm, F 3y = 500 N, M 3z = N.mm Moment fléchissant dans la section 2 : Mf z2 = 6477 N.mm Contraintes normales : σ a = MPa, σ b = MPa, σ c = MPa, σ d = MPa Remarque : Avec le module RDM Éléments finis (hypothèse contraintes planes, 600 triangles à 6 nœuds), on obtient : v 1 = mm u 3 = mm σ a = MPa, σ b = MPa, σ c = MPa, σ d = MPa La théorie des poutres courbes [3] donne : σ c = MPa, σ d = MPa

12 8 RDM Ossatures Exemple 4 : Plancher Référence : W. Weawer, J. Gere, Matrix analysis of framed structures, Van Nostrand Reihnold, 1990, pages Problème : L ossature plancher représentée sur la figure est constituée de cinq poutres de même section droite. Les sections 1, 3, 5 et 6 sont encastrées. Le nœud 2 porte une force de composantes (0, 0, 50) kn et un couple de comosantes (0, 100, 0) kn.m. La poutre 1 2 porte en son milieu une force ponctuelle de composantes (0, 0, 150) kn. La poutre (5 4) porte sur toute sa longueur une charge uniformément répartie d intensité linéique (0, 0, 75) kn/m. L énergie de déformation due à l effort tranchant est négligée (modèle de Bernoulli). On donne : L = 2 m module de Young = MPa, coefficient de Poisson = 0.25 aire = 10 2 cm 2, constante de torsion de Saint Venant J = cm 4, I Z = 10 5 cm 4 P = 5000 dan Modélisation et calcul : Les étapes de la modélisation sont : Nouvelle étude

13 Manuel d exercices 9 Définir le type de l ossature : Plancher Entrer les coordonnées des nœuds Poutres Créer des poutres définies par leur nœud origine et leur nœud extrémité Sections droites Section quelconque Aire = 100 cm 2 Constante de torsion de Saint Venant : J = 2E5 cm 4 Moment quadratique : I Z = 1E5 cm 4 Liaisons L ossature est encastrée en 1, 3, 5 et 6 Cas de charges Le nœud 2 porte une force F z = 50 kn Le nœud 2 porte un couple M y = 100 kn.m La poutre 1 2 porte une force ponctuelle F z = 150 kn située à 3 m du nœud origine La poutre 5 4 porte une force uniformément répartie f z = 75 kn/m Matériau Définir Module de Young = MPa, coefficient de Poisson = 0.25 Calculer Analyse statique Enregistrer les données et lancer le calcul Déplacements nodaux : w 2 = mm, θ 2x = rad, θ 2y = rad w 4 = mm, θ 4x = rad, θ 4y = rad Actions de liaison : F 1z = kn, M 1x = kn.m, M 1y = kn.m F 3z = kn, M 3x = kn.m, M 3y = kn.m F 5z = kn, M 5x = kn.m, M 5y = kn.m F 6z = kn, M 6x = kn.m, M 6y = kn.m

14 10 RDM Ossatures Exemple 5 : Ossature spatiale Référence : J.-J. Barrau, S. Laroze, Calcul de structures par éléments finis, ENSAE, Problème : L ossature spatiale représentée sur la figure est constituée de poutres dont les sections droites sont des rectangles pleins. Les coordonnées nodales sont : nœud x (m) y (m) z (m) Les caractéristiques élastiques du matériau sont : E = MPa et ν = L énergie de déformation due à l effort tranchant est prise en compte (modèle de Timoshenko). Les sections 1 et 6 sont encastrées. Le nœud 4 porte une force F de composantes (0, 0, 1000) dan. Modélisation et calcul : Les étapes de la modélisation sont : Nouvelle étude Définir le type de l ossature : Spatiale Définir l unité de longueur : m Entrer les coordonnées des nœuds

15 Manuel d exercices 11 Poutres Les poutres sont définies par leur nœud origine et leur nœud extrémité Matériaux Module de Young = MPa, coefficient de Poisson = Sections droites Changer les poutres 3 5 et 5 6 de groupe Paramétrée Désigner la poutre 2 3 Rectangle plein : mm Paramétrée Désigner la poutre 3 5 Rectangle plein : mm Paramétrée Désigner la poutre 5 6 Rectangle plein : mm Repère local Modifier le repère local de la poutre 1 2 (angle = 90 ) Liaisons L ossature est encastrée en 1 et 6 Cas de charges Le nœud 4 porte une charge de composantes (0, 0, 1000) dan Calculer Paramètres du calcul Modèle de Timoshenko Calculer Analyse statique Enregistrer les données et lancer le calcul Moments aux extrémités des poutres (en dan.m) élément M to Mf Y o Mf Zo M te Mf Y e Mf Ze 1 2 Référence RDM Ossatures Référence RDM Ossatures Référence RDM Ossatures Référence RDM Ossatures Référence RDM Ossatures

16 12 RDM Ossatures Exemple 6 : Modes propres d un anneau plan Référence : Guide de validation des progiciels de calcul de structures, AFNOR, 1990, page 208. Problème : L ossature plane représentée sur la figure est constituée d un anneau (centre O, rayon moyen R) et d une patte 1 2 de longueur L. L ensemble est encastré en 1. L anneau et la patte ont des sections droites rectangulaires pleines. Soient E le module de Young du matériau et ρ sa masse volumique. On recherche les six premiers modes propres de cet anneau. L énergie de déformation due à l effort tranchant est négligée (modèle de Bernoulli). On donne : R = 0.1 m, L = m E = MPa, ρ = 2700 kg/m 3 Section droite de l anneau : H a = 5 mm, B a = 10 mm Section droite de la patte : H p = 3 mm, B p = 10 mm Modélisation : Les étapes de la modélisation sont : Bibliothèque (une partie de la géométrie existe dans la bibliothèque d ossatures paramétrées) Définir le type d ossature : Plane Entrer le numéro de l ossature paramétrée : 30 Rayon = 0.1 m, angles : 0 et 360 degrés, le cercle est discrétisé en 60 éléments Poutres (création de la patte)

17 Manuel d exercices 13 Ajouter une poutre verticale Origine : nœud 1, longueur = m Matériau Module de Young = MPa Masse volumique = 2700 kg/m 3 Sections droites Changer la patte de groupe de section Paramétrée Désigner l anneau Rectangle plein : 5 x 10 mm Paramétrée Désigner la patte Rectangle plein : 3 x 10 mm Liaisons La patte est encastrée en 1 Poutres Discrétiser la patte en 6 éléments Calculer Modes propres 6 premiers modes propres Enregistrer les données et lancer le calcul Fréquences en Hz : Mode Référence RDM Ossatures

18 14 RDM Ossatures Exemple 7 : Ossature plane Référence : W. Weawer, J. Gere, Matrix analysis of framed structures, Van Nostrand Reihnold, 1990, page 283. Données : L ossature plane représentée sur la figure est constituée de cinq poutres droites identiques articulées entre elles. Les caractéristiques de ces poutres sont : Module de Young : E Longueur : L Aire de la section droite A Les nœuds 1 et 2 sont articulés et le nœud 4 repose sur un appui simple (u 4 = 0). Le nœud 3 porte une force (P, 2 P ). La poutre 1 2 porte en son milieu une force de composantes (0, 2 P ). La poutre 2 4 porte en son milieu une force de composantes (0, 2 P ). La poutre 3 4 porte sur toute sa longueur une charge triangulaire dont l intensité à l extrémité 4 a pour composantes (0, 6 P/L). L énergie de déformation due à l effort tranchant est négligée (modèle de Bernoulli). On donne : L = 1.5 m module de Young = MPa section droite paramétrée : carré creux, côté extérieur c = 100 mm, t = 5 mm P = 1000 dan Modélisation : Les étapes de la modélisation sont :

19 Manuel d exercices 15 Fichier Nouvelle étude Définir le type de l ossature : Plane Entrer les coordonnées des nœuds 1 et 2 : 0, 0, 1.5, 0 Nœuds Créer un nœud défini par un nœud de référence et ses coordonnées polaires : nœud 3 : nœud de référence = 1, coordonnées = (60, 1.5 m) nœud 4 : nœud de référence = 2, coordonnées = (60, 1.5 m) Afficher Échelle maximale Poutres Créer des poutres définies par leur nœud origine et leur nœud extrémité Relaxations Toutes les poutres sont du type rotule-rotule Sections droites Bibliothèque Carré creux de côté 100 mm et d épaisseur 5 mm Liaisons L ossature est articulée en 1 et 2 L ossature repose sur un appui simple (u = 0) en 4 Charges Le nœud 3 porte une force de composantes (1000, 2000) dan La poutre 1 2 porte en son milieu une force de composantes (0, 2000) dan La poutre 3 4 porte sur toute sa longueur une charge triangulaire dont l intensité en 4 est égale à (0 4000) dan/m La poutre 2 4 porte en son milieu une force de composantes (0, 2000) dan Matériau Définir Module de Young = MPa Calculer Analyse statique Enregistrer les données et lancer le calcul Déplacements nodaux : u 3 = mm, v 3 = mm, v 4 = mm Actions de liaison : R 1x = 699 dan, R 1y = 211 dan R 2x = 699 dan, R 2y = 4789 dan R 4x = 2398 dan Efforts intérieurs sur la poutre 3 4 : N 3 = N 4 = 667 dan, T Y 3 = 1000 dan, T Y 4 = 2000 dan

20 Chapitre 2 Analyse statique E1 : Treillis plan à noeuds articulés Référence : F. Frey Analyse des structures et milieux continus, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1985, page 108. Problème : L ossature plane représentée sur la figure est constituée de 9 poutres droites articulées entre elles. L ensemble est lié à l extérieur par un appui simple en 4 et une rotule en 1. La structure est en acier de module de Young E = MPa. Les poutres sont des carrés creux de côté 70 mm et d épaisseur 5 mm (bibliothèque). Le nœud 1 porte une force : Les nœuds 2 et 3 portent une force : {Q} = {P } = { } { } dan dan

21 Manuel d exercices 17 Actions de liaison : R 1x = 0, R 1y = 5400 dan R 4y = 3600 dan Efforts normaux : N 12 = N 23 = 5143 dan N 34 = 3600 dan N 15 = 6278 dan N 56 = 3758 dan N 64 = 5091 dan N 25 = 3600 dan N 53 = 1883 dan N 63 = 4680 dan

22 18 RDM Ossatures E2 : Ossature plane Référence : A. Jalil Calcul pratique des structures, Eyrolles, 1985, page 55. Problème : L ossature plane représentée sur la figure est constituée de 3 poutres droites soudées entre elles. L ensemble est lié à l extérieur par un appui simple en 1 et une articulation en 4. La structure est en acier. Les trois poutres sont des HEA 600. La poutre 1 2 porte en son milieu A une force : P A = (0, 2000) dan. La poutre 3 4 porte en son milieu C une force : P C = ( 1000, 0) dan. La poutre 2 3 porte en son milieu B une force : P B = (0, 2000) dan et sur le tronçon 2 B une charge uniformément répartie q = (0, 1000) dan/m. L énergie de déformation due à l effort tranchant est négligée (modèle de Bernoulli). Les actions de liaison sont : { } 0 R 1 = dan 4679 { } 1000 R 4 = dan 2321 Le moment fléchissant maximal est égal à dan.m et situé sur la poutre 2 3 à X = 2.66 m.

23 Manuel d exercices 19 E3 : Ossature plane Référence : A. Jalil Calcul pratique des structures, Eyrolles, 1985, page 57. Problème : L ossature plane représentée sur la figure est constituée de quatre poutres droites. L ensemble est lié à l extérieur par deux rotules en 1 et 5. Les poutres 2 3 et 3 4 sont liées entre elles par une rotule. La structure est en acier. Les quatre poutres sont des HEA 600. { } Le noeud 2 porte une force P 4000 = dan. 0 La poutre 1 2 porte une charge uniformément répartie q 1 = Les poutres 2 3 et 3 4 portent une charge uniformément répartie q 2 = { } 1000 dan/m. 0 { } 0 dan/m L énergie de déformation due à l effort tranchant est négligée (modèle de Bernoulli). Les actions de liaison sont : { } 1250 R 1 = dan 9583 { } 7750 R 5 = dan Le moment fléchissant est maximal en 4 et Mf max = dan.m

24 20 RDM Ossatures E4 : Ossature plane Référence : A. Jalil Calcul pratique des structures, Eyrolles, 1985, page 6. Problème : l ossature plane représentée sur la figure est constituée de quatre poutres droites. L ensemble est lié à l extérieur par deux articulations en 1 et 5. Les poutres 2 3 et 3 4 sont liées entre elles par une rotule. La structure est en acier de module de Young MPa. Les quatre poutres sont des HEA 600. Le noeud 2 porte une force F = (2000, 5000, 0) dan et un couple C = (0, 0, 3000) dan.m Les poutres 2 3 et 3 4 portent une charge uniformément répartie q = (0, 1000, 0) dan/m projeté. L énergie de déformation due à l effort tranchant est négligée (modèle de Bernoulli). Actions de liaison : R 1 = 6000 dan, R5 = 5000 dan 0 0

25 Manuel d exercices 21 E5 : Ossature plane Référence : W. Weawer, J. Gere Matrix analysis of framed structures, Van Nostrand Reihnold, 1990, page 228. Problème : L ossature plane représentée sur la figure est constituée de six poutres droites articulées entre elles. L ensemble est lié à l extérieur par deux articulations en 3 et 4. L ossature est en acier de module de Young E. Les caractéristiques des poutres sont : poutres 1 4 et 3 2 : aire = A poutres 1 2 et 3 4 : aire = 0.6 A poutres 3 1 et 4 2 : aire = 0.8 A La structure porte les charges suivantes : le noeud 2 porte une force P 1 de composantes (2P, P, 0). la poutre 2 4 porte en son milieu une force P 2 de composantes (P, P, 0). la poutre 1 2 porte en son milieu un couple C de composantes (0, 0, 1.2 P L). la poutre 3 1 porte sur toute sa longueur une charge uniformément répartie. La charge par unité de longueur q a pour composantes : (2.5 P/L, 0, 0). la poutre 3 4 porte en son milieu une force P 3 de composantes (0, 2 P, 0).

26 22 RDM Ossatures L énergie de déformation due à l effort tranchant est négligée (modèle de Bernoulli). Données numériques : module de Young : E = MPa L = 1.25 m poutres 1 4 et 3 2 : carré plein de côté 50 mm poutres 3 1 et 4 2 : rectangle plein de dimensions mm poutres 1 2 et 3 4 : rectangle plein de dimensions mm P = 1000 N Déplacements : nœud 1 : mm, nœud 2 : mm 0 Actions de liaison : { } 2890 R 3 = 5667 N, R4 = { } N Efforts aux extrémités des poutres (en N) : poutre N à l origine T Y à l origine N à l extrémité T Y à l extrémité

27 Manuel d exercices 23 E6 : Poutre droite Référence : Guide de validation des progiciels de calcul de structures, AFNOR, 1990, page 20. Problème : la poutre droite d axe x représentée sur la figure est encastrée à ses deux extrémités. Les caractéristiques de la section droite sont : aire = 10 3 m 2, I Z = m 4 Le module de Young est E = Pa. Elle porte : 0 sur toute sa longueur une force uniformément répartie p = N/m. 0 au point d abscisse x = 0.3 m une force P = 0 N et un couple C 0 = 0 N.m au point d abscisse x = 0.7 m une force Q = N. 0 L énergie de déformation due à l effort tranchant est négligée (modèle de Bernoulli). Action de liaison : R Ax = N Déplacement : v (x = 0.5 m) = m Forces intérieures : T Y (x = 0.5 m) = 540 N, Mf Z (x = 0.5 m) = 2800 N.m

28 24 RDM Ossatures E7 : Poutre courbe Référence : Solution analytique. Problème : L ossature plane représentée sur la figure est constituée d une poutre courbe 1 2 de centre O et de rayon moyen R. La section droite est un carré plein de côté c. La poutre est encastrée en 1. Elle porte en 1 une force de composante (0, P, 0). Les caractéristiques élastiques du matériau sont E et ν. On donne : R = 60 mm, c = 30 E = MPa, ν = 0.28 P = 6000 N. L énergie de déformation due à l effort tranchant est prise en compte (modèle de Timoshenko). Modélisation : Ossature paramétrée 30 (20 éléments, rayon = 60 mm, angle de départ = 0, angle de l arc = 270 ). Le déplacement vertical du point 2 est : v 2 = 3 πp R ( ) 9 π P R 3 + } 4 {{ EA} πp R = mm EI Z 4 GA k Z } {{ } } {{ } effort normal moment fléchissant effort tranchant E où A est l aire de la section droite et I Z son moment quadratique par rapport à Z. G = 2(1 + ν) est le module d élasticité transversal. Le dernier terme représente l influence du cisaillement transverse. k Z = 5/6 est le coefficient d aire cisaillée. On obtient pour v 2 (en mm) : nombre d éléments Timoshenko Bernoulli référence

29 Manuel d exercices 25 E8 : Ossature plane Référence : solution analytique. Problème : l ossature plane représentée sur la figure est constituée de trois poutres droites articulées entre elles. Elle est en acier de module de Young E L ensemble est lié à l extérieur par trois articulations en 1 et 2 et 3. Les caractéristiques des poutres sont : poutre 1 4 : rectangle plein 2.5 a 2 a poutre 2 4 : rectangle plein 1.5 a 2 a poutre 3 4 : carré plein de côté 2 a La poutre 1 4 porte une charge d intensité linéique q qui lui est perpendiculaire. L énergie de déformation due à l effort tranchant est négligée (modèle de Bernoulli). On donne : L = 10 cm, E = MPa, a = 10 mm, q = 8 N/mm Déplacements : Efforts normaux : u 4 = 3 q L2 2 E a 2 = mm, v 4 = 2 q L2 E a 2 = mm N 1 4 = 0, N 2 4 = 2 q L = 1600 N, N 4 3 = 3 2 q L = 1200 N

30 26 RDM Ossatures E9 : Poutre à section droite variable soumise à son poids propre Référence : solution analytique. Problème : la poutre droite de longueur L représentée sur la figure est encastrée en 1. Soient E et ρ respectivement le module de Young et la masse volumique du matériau. La section droite est un rond plein dont le diamètre varie linéairement entre les sections 1 et 2. La poutre est soumise son poids propre. Soit g l accélération de la pesanteur. On donne : E = MPa, ρ = 8000 kg/m 3 g = 10 m/s 2 L = 1.2 m, D = 50 mm Calculer le déplacement vertical et la rotation de la section 2. Flèche en 2 : Modèle de Bernoulli : Modèle de Timoshenko : v 2 = ρ g L4 = mm 3 E D2 v 2 = ρ g L4 3 E D 2 2 (1 + ν) L2 ρ g 3 E ky = = mm Rotation de la section 2 : θ 2z = ρ g L3 2 E D 2 =

31 Manuel d exercices 27 E10 : Treillis spatial à nœuds articulés Référence : W. Weawer, J. Gere Matrix analysis of framed structures, Van Nostrand Reihnold, 1990, page 352. Problème : la structure représentée sur la figure ci-dessous est constituée de 9 poutres articulées entre elles. Les coordonnées des nœuds sont (en m) : noeud x y z Soient E = MPa et ν = 0.3 les caractéristiques élastiques du matériau. Les caractéristiques (section quelconque) des poutres sont : 4 5, 4 6 et 5 6 : A = 100 cm 2, J = I Y = I Z = cm 4 1 4, 1 6, 3 5, 3 6, 2 4 et 2 5 : A = 200 cm 2, J = I Y = I Z = cm 4 L ensemble est fixé au mur par 3 rotules en 1, 2 et 3. Le nœud 6 porte une force de composantes (48, 24, 24) kn. La poutre 1 4 porte en son milieu une force de composantes (0, 0, 24) kn. La poutre 4 5 porte sur toute sa longueur une force uniformément répartie d intensité linéique (0, 0, 24) kn/m.

32 28 RDM Ossatures Déplacements nodaux : nœud 4 : ( , , ) mm nœud 5 : ( , , ) mm nœud 6 : ( , , ) mm Actions de liaison : nœud 1 : ( 13.8, 74, 1.8) kn nœud 2 : ( 6, 204, 122.4) kn nœud 3 : ( 28.2, 154, 28.2 kn

33 Manuel d exercices 29 E11 : Portique plan poutre soumise à une variation de température Référence : solution analytique. Problème : la structure plane représentée sur la figure est constituée de 3 poutres de même matériau et de même section droite (rond creux de diamètre extérieur d et d épaisseur t). La poutre 2 3 est articulée en 2 et 3. L ensemble est encastré en 1 et 4. Soient E et α respectivement le module de Young et le coefficient de dilatation du matériau. La poutre 2 3 subit une variation de température égale à T. L énergie de déformation due à l effort tranchant est négligée (modèle de Bernoulli). On donne : L = 1 m, H = 0.3 m, d = 80 mm, t = 5 mm E = MPa, α = K 1 T = 50 K Soient A et I z respectivement l aire et le moment quadratique de la section droite. L allongement de la poutre 2 3 est égal à : où N est l effort normal dans la poutre 2 3. L effort normal N est solution de l équation : 1 H3 δ = N soit N 2 3 EI z δ = α T L + N L EA ( ) L 2 EA + H3 = 1 3 EI z 2 α T L On obtient : N = N, δ = mm

34 30 RDM Ossatures E12 : Treillis plan poutre soumise à une variation de température Référence : solution analytique. Problème : Le treillis plan à nœuds articulés représenté sur la figure ci-contre est constituée de 5 poutres de même matériau et de même section droite (carré creux de côté extérieur c et d épaisseur t). Les poutres 1 2, 1 3 et 1 4 ont la même longueur L. Le triangle est équilatéral. L ensemble est articulé en 2 et 4. Soient E et α respectivement le module de Young et le coefficient de dilatation du matériau. La poutre 1 3 subit une variation de température égale à T. On donne : L = 0.5 m, c = 40 mm, t = 5 mm E = MPa, α = K 1 T = 30 K Soit A l aire de la section droite. L effort normal dans les poutres 1 2, 1 3 et 1 4 est égal à : N = 3 α T E A = N L effort normal dans les poutres 2 3 et 3 4 est égal à : N 3 = 7296 N Le déplacement vertical du point 1 est égal à : 2 NL EA L allongement de la poutre 1 3 est égal à : = mm δ = α T L + NL = mm EA

35 Manuel d exercices 31 E13 : Ossature plane appui incliné Référence : solution analytique. Problème : la structure plane représentée sur la figure ci-dessous est constituée de 2 poutres de même matériau et de même section droite (rond creux de diamètre extérieur d et d épaisseur t). Elle est articulée en 1 et repose en 3 sur un appui incliné à 45 par rapport à l axe x. Soit E le module de Young du matériau. La poutre (2 3) porte une charge uniformément répartie d intensité (0, q, 0). On donne : L = 0.3 m, d = 30 mm, t = 5 mm, E = MPa, q = 1000 N/m L énergie de déformation due à l effort tranchant est négligée (modèle de Bernoulli). Modélisation : ajouter un changement de repère {x, y } en 3, puis définir la liaison dans ce repère local. Posons : X = 2 ql 3 = 200 N Les actions de liaison sont égales à (dans le repère {x, y}) : { } X R 1 = = 2 X { } 200 N, R3 = 400 Le moment fléchissant en 2 est égal à : XL = 60 N.m { } X = X { } 200 N 200 Soient A et I z respectivement l aire et le moment quadratique de la section droite. Le déplacement horizontal du nœud 3 dans le repère {x, y} est égal à : u 3 = 6 ql4 12 ql EI z 9 EA = mm

36 Chapitre 3 Sections droites : caractéristiques et contraintes S1 : Caractéristiques d une section droite Problème : considérons la section droite représentée sur la figure ci-dessous. Soient G le centre de gravité et C le centre de torsion. 1. Première étude : On donne : L = H = 100 mm, t = 20 mm. Calculer les caractéristiques de la section droite pour plusieurs maillages. 2. Deuxième étude : Pour t = 5, 10, 20, 30, 40 mm, calculer les caractéristiques de la section et comparer avec les solutions analytiques valables pour les profils minces. Modélisation : Prendre une ossature spatiale quelconque, modéliser la section (section paramétrée) puis entrer dans le menu Calculer section droite.

37 Manuel d exercices 33 Pour éditer les caractéristiques, sélectionner la commande Caractéristiques du menu Fichier. 1. Première étude : On obtient (la valeur en % représente l écart avec la valeur obtenue avec le maillage le plus fin) : Maillage J (cm 4 ) I ω (cm 6 ) Y C ( mm ) k Y k Z 100 TR % 2.95 % 0.89 % 2.81 % 2.99 % 400 TR % 0.94 % 0.40 % 0.99 % 1.20 % 20 TR % 0.58 % 0.54 % 1.14 % 1.71 % 100 TR % 0.15 % 0.15 % 0.26 % 0.43 % 150 TR % 0.15 % 0.15 % 0.26 % 0.38 % 400 TR % 0.05 % 0.06 % 0.08 % 0.13 % 2200 TR Deuxième étude : Les formules de résistance des matériaux (R.D.M.) valables pour les profils minces sont donnés dans les références [1, 2, 4] : J = t3 3 (h + 2 b), I ω = h2 b 3 t (2 h + 3 b) 12 (h + 6 b), Y C = 3 b2 h + 6 b b2 h + 2 b où h = L t et b = H t/2 On obtient (M.E.F. = solution éléments finis obtenue avec 400 triangles à 6 nœuds) : t (mm) J (cm 4 ) I ω (cm 6 ) Y C (mm) M.E.F. R.D.M. (%) M.E.F. R.D.M. (%) M.E.F. R.D.M. (%) représente l écart entre la solution analytique et la solution éléments finis, cette dernière servant de référence.

38 34 RDM Ossatures S2 : Torsion d une poutre rectangulaire Référence : S. Laroze, Mécanique des structures Tome 2 : Poutres, Cépaduès, 2005, page 93. Problème : la poutre console représentée sur la figure est en acier de caractéristiques élastiques E et ν. Son extrémité libre est soumise à un couple de composantes (0, C, 0). On donne : E = MPa, ν = 0.3, L = 1 m, a = 100 mm, C = 100 kn.m Calculer la constante de torsion de la section droite, la rotation θ de l extrémité libre de la poutre et le cisaillement maximal τ max pour plusieurs maillages de la section. Modélisation : activer le menu Calculer section droite du menu Modéliser. Référence : J = a π 5 τ max = a C J n=1,3, π 2 1 n 5 tanh 3 n π, θ = C L 2 G J n=1,3,... 1 n 2 cosh 3 n π 2 On obtient (activer le menu Contraintes sur section droite du menu Résultats) : maillage J (cm 4 ) θ (rad) τ max (MPa) 100 TR TR TR TR TR référence Remarque : le cisaillement est maximal en A et B.

39 Manuel d exercices 35 S3 : Caractéristiques d une section droite Problème : Considérons la section droite représentée sur la figure ci-dessous : 1. Première étude : On donne : H = 120 mm, L = 100 mm, t = 20 mm Calculer les caractéristiques de la section droite pour plusieurs maillages. 2. Deuxième étude : Pour t = 5, 10, 20, 30, 40 mm, calculer les caractéristiques de la section et comparer avec les solutions analytiques valables pour les profils minces. Modélisation : Prendre une ossature spatiale quelconque, modéliser la section (section paramétrée) puis activer le menu Calculer section droite.

40 36 RDM Ossatures Pour éditer les caractéristiques, sélectionner la commande Caractéristiques du menu Fichier. 1. Première étude : On obtient (la valeur en % représente l écart avec la valeur obtenue avec le maillage le plus fin) : Maillage J (cm 4 ) I ω (cm 6 ) k Y k Z 100 TR % 2.61 % 3.14 % 4.33 % 400 TR % 1.14 % 1.24 % 1.60 % 100 TR % 0.35 % 0.41 % 0.43 % 200 TR % 0.26 % 0.30 % 0.32 % 400 TR % 0.14 % 0.17 % 0.17 % 800 TR % 0.09 % 0.08 % 0.09 % 4552 TR Deuxième étude : Les formules de résistance des matériaux (R.D.M.) valables pour les profils minces sont donnés dans les références [1, 2, 4] : J = t3 (H t + 2 L) 3 I ω = (H t)2 L 3 t 24 On obtient (M.E.F. = solution éléments finis obtenue avec 400 triangles à 6 nœuds) : t (mm) J (cm 4 ) I ω (cm 6 ) M.E.F. R.D.M. (%) M.E.F. R.D.M. (%) représente l écart entre la solution analytique et la solution éléments finis, cette dernière servant de référence.

41 Manuel d exercices 37 S4 : Caractéristiques d une section droite Problème : Considérons la section droite représentée sur la figure ci-dessous : 1. Première étude : On donne : H = 250 mm L = 100 mm, t = 20 mm. Calculer les caractéristiques de la section droite pour plusieurs maillages. 2. Deuxième étude : On donne : H = 250 mm, L = 100 mm. Pour t = 5, 10, 20, 30, 40 mm, calculer les caractéristiques de la section et comparer avec les solutions analytiques valables pour les profils minces. Modélisation : Prendre une ossature spatiale quelconque, modéliser la section (section paramétrée puis activer le menu Calculer section droite.

42 38 RDM Ossatures Pour éditer les caractéristiques, sélectionner la commande Caractéristiques du menu Fichier. 1. Première étude : On obtient (la valeur en % représente l écart avec la valeur obtenue avec le maillage le plus fin) : Maillage J ( cm 4 ) I ω ( cm 6 ) Y C (mm) k Y k Z 100 TR % 5.08 % 0.49 % 2.81 % 3.86 % 400 TR % 1.25 % 0.29 % 1.18 % 1.33 % 100 TR % 0.32 % 0.08 % 0.58 % 0.42 % 200 TR % 0.20 % 0.08 % 0.39 % 0.34 % 400 TR % 0.09 % 0.03 % 0.15 % 0.12 % 800 TR % 0.05 % 0.02 % 0.09 % 0.06 % 2500 TR Deuxième étude : Les formules de résistance des matériaux (R.D.M.) valables pour les profils minces sont donnés dans la référence [4] : h = H 1.75 t J = t3 3 (h L) I ω = h2 L 3 t 7 On obtient (M.E.F. = solution éléments finis obtenue avec 400 triangles à 6 nœuds) : t (mm) J (cm 4 ) I ω (cm 6 ) M.E.F. R.D.M. (%) M.E.F. R.D.M. (%) représente l écart entre la solution analytique et la solution éléments finis, cette dernière servant de référence.

43 Manuel d exercices 39 S5 : Caractéristiques d une section droite Problème : Considérons la section droite représentée sur la figure (UPN 400). On donne (en mm) : h = 400, b = 110 t w = 14, t f = 18 r = 18, r 1 = 9 Calculer les caractéristiques de la section droite pour plusieurs maillages. Modélisation : Prendre une ossature spatiale quelconque, modéliser la section (bibliothèque) puis activer le menu Calculer section droite. Pour éditer les caractéristiques, sélectionner la commande Caractéristiques du menu Fichier. On obtient (la valeur en % représente l écart avec la valeur obtenue avec le maillage le plus fin) : maillage J (cm 4 ) I ω (cm 6 ) Y C (mm) k Y k Z 100 TR % 8.87 % 4.14 % % 3.15 % 400 TR % 1.26 % 0.45 % 2.92 % 0.26 % 100 TR % 3.22 % 1.62 % 7.24 % 1.28 % 200 TR % 0.07 % 0.00 % 0.16 % 0.00 % 400 TR % 0.00 % 0.04 % 0.00 % 0.04 % 800 TR % 0.02 % 0.04 % 0.05 % 0.04 % 2600 TR

44 40 RDM Ossatures S6 : Caractéristiques d une section droite Problème : Considérons la section droite représentée sur la figure (IPN 500). On donne (en mm) : h = 500, b = 185 t w = 18, t f = 27 r = 18, r 1 = 10.8 Calculer les caractéristiques de la section droite pour plusieurs maillages. Modélisation : Prendre une ossature spatiale quelconque, modéliser la section (bibliothèque) puis activer le menu Calculer section droite. Pour éditer les caractéristiques, sélectionner la commande Caractéristiques du menu Fichier. On obtient (la valeur en % représente l écart avec la valeur obtenue avec le maillage le plus fin) : Maillage J (cm 4 ) I ω (cm 6 ) k Y k Z 100 TR % % 2.72 % % 400 TR % 1.33 % 0.16 % 2.85 % 100 TR % 3.5 % 0.35 % 7.05 % 200 TR % 0.26 % 0.35 % 0.37 % 400 TR % 0.37 % 0.37 % 0.56 % 800 TR % 0.36 % 0.35 % 0.58 % 3200 TR

45 Manuel d exercices 41 S7 : Caractéristiques d une section droite Problème : considérons la section droite représentée sur la figure : HEM 320. On donne (en mm) : h = 359, b = 309 t w = 21, t f = 40 r = 27 Calculer les caractéristiques de la section droite pour plusieurs maillages. Modélisation : Prendre une ossature spatiale quelconque, modéliser la section (bibliothèque) puis activer le menu Calculer section droite. Pour éditer les caractéristiques, sélectionner la commande Caractéristiques du menu Fichier. On obtient (la valeur en % représente l écart avec la valeur obtenue avec le maillage le plus fin) : Maillage J (cm 4 ) I ω (cm 6 ) k Y k Z 100 TR % 1.56 % 1.82 % 3.02 % 400 TR % 0.66 % 0.91 % 1.27 % 100 TR % 0.02 % 0.04 % 0.06 % 200 TR % 0.02 % 0.04 % 0.04 % 400 TR % 0.01 % 0.00 % 0.01 % 800 TR % 0.00 % 0.00 % 0.00 % 3600 TR

46 42 RDM Ossatures S8 : Caractéristiques d une section droite Problème : considérons la section droite représentée sur la figure (cornière à ailes inégales et à coins arrondis : [ 70 x 50 x 7 ]). On donne (en mm) : a = 70, b = 50 t = 7, r = 7 r 1 = 3.5 Calculer les caractéristiques de la section droite pour plusieurs maillages. Modélisation : Prendre une ossature spatiale quelconque, modéliser la section (bibliothèque) puis activer le menu Calculer section droite. Pour éditer les caractéristiques, sélectionner la commande Caractéristiques du menu Fichier. On obtient (la valeur en % représente l écart avec la valeur obtenue avec le maillage le plus fin) : Maillage J (cm 4 ) I ω (cm 6 ) β ω (cm 6 ) Y C (mm) Z C (mm) k Y k Z 200 TR % 15.45% % 1.64 % 1.30 % 2.34 % 3.26 % 400 TR % 6.27 % 7.10 % 0.98 % 0.74% 1.31 % 1.80 % 100 TR % 0.02 % 1.33 % 0.16 % 0.12% 0.12 % 0.19 % 200 TR % 0.01 % 0.32 % 0.00 % 0.00% 0.00 % 0.00 % 400 TR % 0.01 % 0.05 % 0.00 % 0.00% 0.00 % 0.03 % 800 TR % 0.00 % 0.01 % 0.00 % 0.00% 0.00 % 0.00 % 1360 TR

47 Manuel d exercices 43 S9 : Caractéristiques d une section droite Problème : considérons la section droite représentée sur la figure ci-dessous : 1. Première étude : On donne : H = 200 mm, B = 120 mm, t = 20 mm. Calculer les caractéristiques de la section droite pour plusieurs maillages. 2. Deuxième étude : Pour t = 5, 10, 20, 30, 40 mm, calculer les caractéristiques de la section et comparer avec les solutions analytiques valables pour les profils minces. Modélisation : Prendre une ossature spatiale quelconque, modéliser la section (section paramétrée) puis activer le menu Calculer section droite.

48 44 RDM Ossatures Pour éditer les caractéristiques, sélectionner la commande Caractéristiques du menu Fichier. 1. Première étude : On obtient (la valeur en % représente l écart avec la valeur obtenue avec le maillage le plus fin) : Maillage J (cm 4 ) I ω (cm 6 ) β ω (cm 6 ) k Y k Z 100 TR % 1.13 % 0.41 % 1.53 % 1.39 % 400 TR % 0.56 % 0.23 % 0.68 % 0.50 % 100 TR % 0.11 % 0.07 % 0.21 % 0.04 % 200 TR % 0.08 % 0.05 % 0.15 % 0.02 % 400 TR % 0.04 % 0.02 % 0.06 % 0.02 % 700 TR % 0.00 % 0.00 % 0.00 % 0.02 % 1240 TR Deuxième étude : Les formules de résistance des matériaux (R.D.M.) valables pour les profils minces sont donnés dans les références [1, 2, 4] : h = H t b = B 0.5 t J = t3 3 (h + 2 b) I ω = h2 b 3 t (b + 2 h) 12 (2 b + h) On obtient (M.E.F. = solution éléments finis obtenue avec 400 triangles à 6 nœuds) : t (mm) J (cm 4 ) I ω (cm 6 ) M.E.F. R.D.M. (%) M.E.F. R.D.M. (%) représente l écart entre la solution analytique et la solution éléments finis, cette dernière servant de référence.

49 Manuel d exercices 45 S10 : Contrainte normale dans une section droite : flexion déviée Référence : Solution analytique. Problème : la poutre console représentée sur la figure ci-dessous est soumise en son extrémité libre à une force de composantes (P, 0, 3 P ). On donne : L = 1 m, a = 100 mm, P = N Étudier la contrainte normale dans la section encastrée. Modélisation : sélectionner l option Ossature spatiale. Solution analytique : dans la section encastrée, la contrainte normale est égale à : avec soit I Y = a4 6, I Z = 2 a4 3 σ = Mf Z Y + Mf Y Z I Z I Y, Mf Y = P L, Mf Z = 3 P L σ = 3 P L 2 a 4 (3 Y 4 Z) La contrainte de traction est maximale en A(a, a/2) : σ T = 15 P L 2 a 3 = 75 MPa. La contrainte de compression est maximale en B( a, a/2) : σ C = 75 MPa. Méthode des éléments finis : pour extraire les résultats ci-dessus, activer le menu Contraintes sur section du menu Résultats, désigner la poutre, puis entrer l abscisse de la section encastrée (commande Abscisse de la section du menu Modéliser).

50 46 RDM Ossatures S11 : Contraintes dans une section droite : flexion-torsion Référence : solution analytique. Problème : La structure représentée sur la figure ci-dessous est composée de deux poutres de section droite carrée (côté c). Elle est encastrée en 1 et porte en 3 une force de composantes (0, 0, P ). Soient E et ν les caractéristiques élastiques du matériau. On donne : E = MPa, ν = 0.3 L = 0.5 m, H = 0.4 m c = 40 mm P = 3000 N Pour plusieurs maillages de la section droite, calculer : le déplacement vertical des nœuds 2 et 3. dans la section encastrée, la contrainte de cisaillement et la contrainte équivalente de Von Mises au point M. dans la section encastrée, la position et la valeur du cisaillement maximal. Modélisation : Sélectionner l option Ossature spatiale ou l option Ossature plancher. Solution analytique : Les caractéristiques de la section sont : A = c 2, I Z = c4 12, J = c 4, k Y = 5/6

51 Manuel d exercices 47 le déplacement vertical du nœud 2 est égal à : w 2 = P L3 3 EI Z + P L GA k Y = = mm le déplacement vertical du nœud 3 est égal à : ( P (L 3 + H 3 ) w 3 = + P ) H2 L P (L + H) + = = mm 3 EI Z GJ GA k Y en M et dans le repère {XY Z}, le tenseur des contraintes a pour expression : σ 0 τ [σ(m)] = avec σ = 6 LP c τ 0 0 3, τ = On obtient donc : σ = MPa et τ = MPa HP c 3 On en déduit la contrainte équivalente de Von Mises : σ V M = σ τ 2 = MPa Le cisaillement est maximal en N. En ce point, le tenseur des contraintes a pour expression : 0 τ 0 [σ(n)] = τ HP avec τ = c P 2 c 2 Le cisaillement maximal est donc égal à : τ max = τ = MPa. Remarque : le deuxième terme de l expression ci-dessus est dû à l effort tranchant. Méthode des éléments finis : Déplacements (utiliser le bouton droit de la souris) : modèle de Bernoulli modèle de Timoshenko maillage w 2 (mm) w 3 (mm) w 2 (mm) w 3 (mm) 50 TR TR3 = TR6 = TR6 = = référence Contraintes : pour extraire les résultats demandés, activer le menu Contraintes sur section du menu Résultats, désigner la poutre 1 2, puis entrer l abscisse de la section encastrée (commande Abscisse de la section du menu Modéliser). maillage τ max (MPa) σ VM (MPa) 100 TR TR TR TR référence

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