Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Résolution d un Programme Linéaire Introduction

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Résolution d un Programme Linéaire Introduction"

Transcription

1 Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Résolution d un Programme Linéaire Introduction Zoltán Szigeti Ensimag April 4, 2015 Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, / 16

2 Forme Générale Définition Forme canonique Ax b x 0 c T x = z(max) Forme standard Ax = b x 0 c T x = z(max) Théorème Tout programme linéaire admet 1 une forme canonique et 2 une forme standard. Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, / 16

3 Forme Générale Démonstration (pour la forme canonique) a i x b i = ( a i ) x ( b i ). a i x = b i = a i x b i,( a i ) x ( b i ). x i 0 = x i = x i 0. x i sans contrainte de non-négativité = x i 0, x i 0, x i = x i x i. c T x = w(min) = ( c) T x = z(max). Démonstration (pour la forme standard) a i x b i = a i x +y i = b i, y i 0. Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, / 16

4 Forme Générale Exemple Mettre le programme linéaire 1 sous forme canonique puis 2 sous forme standard. 1x 1 +2x 2 1x 3 +2x 4 = 1 1x 1 +1x 2 +1x 3 1x 4 2 1x 1 3x 2 +2x 3 +2x x 2, x 3 0,x 4 0 1x 1 +2x 2 3x 3 +1x 4 = z(max) Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, / 16

5 Forme Générale Forme canonique Exemple x 1 = x 1 x 1,x 1 0, x 1 0 et x 2 = x 2. 1x 1 +2x 2 1x 3 +2x 4 = 1 1x 1 1x 1 2x 2 1x 3 +2x 4 1 1x 1 +1x 2 +1x 3 1x 4 2 1x 1 +1x 1 +2x 2 +1x 3 2x 4 1 1x 1 3x 2 +2x 3 +2x 4 3 1x 1 +1x 1 +1x 2 1x 3 +1x x 2, x 3 0,x 4 0 1x 1 1x 1 +3x 2 +2x 3 +2x 4 3 1x 1 +2x 2 3x 3 +1x 4 = z(max) x 1, x 1, x 2, x 3, x 4 0 1x 1 1x 1 2x 2 3x 3 +1x 4 = z(max) Forme standard Il faut encore introduire deux nouvelles variables x 5 0 et x x 1 1x 1 2x 2 1x 3 +2x 4 = 1 1x 1 +1x 1 +1x 2 1x 3 +1x 4 +1x 5 = 2 1x 1 1x 1 +3x 2 +2x 3 +2x 4 +1x 6 = 3 x 1, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 1x 1 1x 1 2x 2 3x 3 +1x 4 = z(max) Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, / 16

6 Algèbre Linéaire : A x = b Notation 1 Les colonnes de A sont notées : a 1,...,a n, 2 Les lignes de A sont notées : a 1,...,a m. Rappel 1 Les colonnes a 1,...,a n de A engendrent un espace vectoriel. 2 Les lignes a 1,...,a m de A engendrent un espace vectoriel. 3 Ces deux espaces vectoriels sont de même dimension. 4 Une base d un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs qui sont linéairement indépendants et engendrent tout l espace. Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, / 16

7 Algèbre Linéaire : A x = b Théorème (Existence) A x = b possède une solution si et seulement si il n y pas de contradiction : y T A = 0 et y T b 0. Exemple 1x 1 2x 2 = 1/ 2 2x 1 +4x 2 = 3/ 1 0x 1 +0x 2 1 y T A = ( 2 1 )( ) 1 2 = ( 0 0 ) et y 2 4 T b = ( 2 1 )( ) 1 = 1. 3 Résolution Elimination de Gauss : PIVOT. Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, / 16

8 Programmation Linéaire : A x = b,x 0 Lemme de FARKAS (Existence) A x = b,x 0 possède une solution si et seulement si il n y pas de contradiction : y T A 0 et y T b < 0. Exemple 2x 1 1x 2 = 1/ 1 1x 1 +3x 2 = 2/ 1 x 1, x 2 0 1x 1 +2x 2 1 y T A = ( 1 1 )( ) 2 1 = ( 1 2 ) et y 1 3 T b = ( 1 1 )( ) 1 = 1. 2 Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, / 16

9 Programmation Linéaire : A x = b,x 0 Lemme de FARKAS (Existence) A x = b,x 0 possède une solution si et seulement si il n y pas de contradiction : y T A 0 et y T b < 0. Démonstration 1 x et y ne peuvent pas tous les deux exister : 0 (y T A) x = y T (A x) = y T b < 0. 2 x ou y existe : 1 Soit b appartient au cône(a 1,...,a n ) : b est une combinaison linéaire non-négative des a 1,...,a n, n 1 xi ai = b,x i 0, A x = b,x 0. 2 Soit b n appartient pas au cône(a 1,...,a n ) : il existe un hyperplan H qui sépare b et les a i, pour le vecteur normal y de H : y T a i 0 pour tout i et y T b < 0. y T A 0 et y T b < 0. Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, / 16

10 Programmation Linéaire : A x = b,x 0,c T x = z(max) Lemme de FARKAS (Existence) A x = b,x 0 possède une solution si et seulement si il n y pas de contradiction : y T A 0 et y T b < 0. Résolution Algorithme du simplexe : PIVOT. Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, / 16

11 Programmation Linéaire Notation Soient J {1,...,n} et J = {1,...,n}\J, ( ) ( ) A J A J x J = b Ax = b ( x J ) xj x 0 0 c T x x = z(max) J ( c T J c T ) ( ) x J = z(max) J x J A J x J +A J x J = b x J,x J 0 c T J x J +c T J x J = z(max) Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, / 16

12 Programmation Linéaire Supposition Les lignes a 1,...,a m de la matrice A sont linéairement indépendantes, (rang(a) = m). Si certaines lignes sont linéairement dépendantes alors on peut en effacer une. Définition : J {1,...,n} 1 base si {a j : j J} forme une base de l espace vectoriel engendré par les colonnes de A, ( J = m). si et seulement si (A J ) 1 existe, si et seulement si A J est non-singulière : det(a J ) 0. 2 solution de base associée à( J :) la solution ( unique de A J x J = b, xj (A = J ) 1 ) b. 0 3 réalisable : si (A J ) 1 b 0. x J 4 Z. optimale Szigeti (Ensimag) : si la solution de base ROassociée 1A à J est une solution April 4, / 16

13 Exo 9.1. Énoncé On considère le programme linéaire: 1x 1 +1x 2 1x 3 = 2 1x 1 1x 2 +1x 3 = 2 x 1, x 2, x 3 0 2x 1 +3x 2 +4x 3 = w(min) On pose J = {1, 2}. (a) Montrer que J est une base réalisable. (b) Montrer que la solution de base est optimale. Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, / 16

14 Exo 9.1. Solution ( ) (a) J = {1, 2} est une base : det(a J ) = det = ( ) xj 2 J = {1, 2} est réalisable : = x J 0 3 w = 2x 1 +3x 2 +4x 3 = 4. x 1 2 (b) On considérant x 3 comme constante, on obtient x 2 = x 3 et x 3 x 3 w(min) = 2x 1 +3x 2 +4x 3 = 4+7x 3 4, donc 2 0 est une solution réalisable optimale. 0 Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, / 16

15 Solution d un PL : Méthode graphique Exemple 1 2x 1 +1x 2 8 1x 1 +2x 2 7 x 2 3 x 1, x 2 0 4x 1 +5x 2 = z(max) 4x 1 +5x 2 = z(max) x 2 x 2 = 3 x 1 +2x 2 = 7 x 1 2x 1 +x 2 = 8 Solution Optimale 2x 1 +1x 2 = 8 1x 1 +2x 2 = 7 ( x1 x 2 ) = ( ) 3 2 Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, / 16

16 Solution d un PL : Méthode graphique Exemple 2 2x 1 +1x 2 2 1x 1 +2x x 1 4x 2 4 x 1, x x 1 +2x 2 = z(max) x 2 2x 1 +x 2 = 2 x 1 +2x 2 = z x 1 +2x 2 = 5 x 1 4x 2 = 4 x 1 Solution Optimale n existe pas. Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, / 16

17 Algorithmes pour résoudre un PL Algorithme Auteur Théorie Pratique Simplexe Dantzig 47 non-polynomial très rapide Ellipsoïde Khachiyan 79 polynomial très lent Point intérieur Karmarkar 84 polynomial rapide Remarques sur l algorithme du simplexe 1 Il existe une solution optimale qui est un sommet (point extrême) du polyèdre (borné). 2 L algorithme du simplexe se promène sur des sommets du polyèdre en améliorant la valeur de la fonction objectif. 3 Le nombre de sommets peut être exponentiel! 4 Il existe des exemples où l algorithme du simplexe passe par tous les sommets du polyèdre et il y en a 2 n (n = nombre de variables). Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, / 16

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Optimisation linéaire

Optimisation linéaire Optimisation linéaire Recherche opérationnelle GC-SIE Algorithme du simplexe Phase I 1 Introduction Algorithme du simplexe : Soit x 0 une solution de base admissible Comment déterminer x 0? Comment déterminer

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique

Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique F. Clautiaux francois.clautiaux@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 Motivation et objectif du cours

Plus en détail

Recherche opérationnelle. Programmation linéaire et recherche opérationnelle. Programmation linéaire. Des problèmes de RO que vous savez résoudre

Recherche opérationnelle. Programmation linéaire et recherche opérationnelle. Programmation linéaire. Des problèmes de RO que vous savez résoudre Recherche opérationnelle Programmation linéaire et recherche opérationnelle Ioan Todinca Ioan.Todinca@univ-orleans.fr tél. 0 38 41 7 93 bureau : en bas à gauche Tentative de définition Ensemble de méthodes

Plus en détail

Programmation Linéaire - Cours 2

Programmation Linéaire - Cours 2 Programmation Linéaire - Cours 2 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Sommaire 1 2 3 Retournons dans le yaourt! Reprenons l exemple du 1er cours Forme normale

Plus en détail

La notion de dualité

La notion de dualité La notion de dualité Dual d un PL sous forme standard Un programme linéaire est caractérisé par le tableau simplexe [ ] A b. c Par définition, le problème dual est obtenu en transposant ce tableau. [ A

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire NICOD JEAN-MARC Master 2 Informatique Université de Franche-Comté UFR des Sciences et Techniques septembre 2008 NICOD JEAN-MARC Rappels sur les graphes 1 / 47 Sommaire 1 Exemple

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

INTRODUCTION A L OPTIMISATION

INTRODUCTION A L OPTIMISATION INTRODUCTION A L OPTIMISATION Les domaines d application L optimisation est essentiellement un outil d aide à la décision au sein de l entreprise, mais aussi pour des individus. Le terme optimal est souvent

Plus en détail

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images.

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. On se place dans un espace vectoriel E de dimension finie n, muni d une base B = ( e 1,..., e n ). f désignera un endomorphisme de E 1 et A la matrice de f dans la

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009.

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009. Licence de Gestion. 3ème Année Année universitaire 8-9 Optimisation Appliquée C. Léonard Correction de l épreuve intermédiaire de mai 9. Exercice 1 Avec les notations du cours démontrer que la solution

Plus en détail

Cours Diagonalisation

Cours Diagonalisation Cours Diagonalisation par Pierre Veuillez 1 Objectif Pour une matrice A donnée, déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telle que A = P D P 1. Interprètation : Quelle relation reconnaît-on?

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q

Plus en détail

Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Étape 1 de l algorithme du simplexe

Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Étape 1 de l algorithme du simplexe Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Étape 1 de l algorithme du simplexe Zoltán Szigeti Laboratoire G-SCOP INP Grenoble, France Z. Szigeti (G-SCOP, Grenoble) RO 1A 1 / 15 Rappel de l algorithme

Plus en détail

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3 Chapitre 5 Systèmes linéaires 1 Généralités sur les systèmes linéaires 2 11 Définitions 2 12 Opérations élémentaires 2 13 Systèmes échelonnés et triangulaires 3 2 Résolution des systèmes linéaires 3 21

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

Chapitre 1 : Programmation linéaire

Chapitre 1 : Programmation linéaire Graphes et RO TELECOM Nancy 2A Chapitre 1 : Programmation linéaire J.-F. Scheid 1 I. Introduction 1) Modélisation En Recherche Opérationnelle (RO), modéliser un problème consiste à identifier: les variables

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret Notes de cours L1 MATH120 Hervé Le Dret 18 octobre 2004 40 Chapitre 3 Vecteurs dans R m Dans ce chapitre, nous allons nous familiariser avec la notion de vecteur du point de vue algébrique. Nous reviendrons

Plus en détail

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs d un espace vectoriel général. Dans ce chapitre désigne

Plus en détail

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé Université Pierre et Marie Curie Licence Sciences et Technologies MIME L énoncé est repris sur fond mauve. En prune : des commentaires. Examen de l UE LM15 Janvier 007 Corrigé Commentaires généraux barème

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Programmation Linéaire - Cours 4

Programmation Linéaire - Cours 4 Programmation Linéaire - Cours 4 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Sommaire Dualité 1 Dualité 2 3 Primal / Dual Dualité Les PL vont toujours par paires

Plus en détail

Séminaire ALGO. Solutions formelles locales en un point singulier d une classe de systèmes d EDP linéaires d ordre 1

Séminaire ALGO. Solutions formelles locales en un point singulier d une classe de systèmes d EDP linéaires d ordre 1 Séminaire ALGO Solutions formelles locales en un point singulier d une classe de systèmes d EDP linéaires d ordre 1 Nicolas Le Roux projet ALGO. séminaire ALGO 1 avertissement A certains moments de l exposé

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

Ensimag 2A. Rapport de TER. Application de la Recherche Opérationnelle à la Finance

Ensimag 2A. Rapport de TER. Application de la Recherche Opérationnelle à la Finance Ensimag 2A Rapport de TER Application de la Recherche Opérationnelle à la Finance Elève : Yuefei HUANG Tuteur : Zoltán SZIGETI Mai, 2010 2 Sommaire 1. Introduction... 3 2. Le marché des changes et arbitrage...

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Les codes de Hamming et les codes cycliques - Chapitre 6 (suite et fin)- Les codes de Hamming Principe La distance minimale d un code linéaire L est le plus petit nombre

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe

Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe À tout tableau est associée non seulement une base du problème initial (primal) mais également une base du problème dual. Les valeurs des variables

Plus en détail

Opérations sur les matrices. Novembre 2010

Opérations sur les matrices. Novembre 2010 Opérations sur les matrices Dédou Novembre 2010 Exemple d addition La somme de c est ( 2 3 5 4 6 7 et ( 3 4 6 7 8 8 ( 1 1 1 3 2 1. Exo 1 Calculez la somme de ( 2 2 3 5 et ( 5 7 4 1. Carte de visite des

Plus en détail

Optimisation Linéaire

Optimisation Linéaire Optimisation Linéaire Cours 2 : algorithme du simplexe Adrien Goëffon Bureau H207 / adrien.goeffon@univ-angers.fr Algorithme du simplexe On souhaite résoudre le programme linéaire suivant (ici sous forme

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Table des matières I La programmation linéaire en variables continues 1 Présentation 3 1 Les bases de la programmation linéaire 5 1.1 Formulation d'un problème de programmation linéaire........... 5 1.2

Plus en détail

Chapitre 4 : Dualité en programmation linéaire

Chapitre 4 : Dualité en programmation linéaire Graphes et RO TELECOM Nancy 2A Chapitre 4 : Dualité en programmation linéaire J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre 1 Introduction et définitions 2 Propriétés et Théorèmes de dualité 3 Conditions d optimalité

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes

Plus en détail

Optimisation Discrète

Optimisation Discrète Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

LISTE DE QUESTIONS DE COURS

LISTE DE QUESTIONS DE COURS LISTE DE QUESTIONS DE COURS sur le polycopié d Algèbre de 2008/2009 Chapitre 1 1. Définition 1.1 : Espace vectoriel. 2. Proposition 1.3 : Espace vectoriel produit. 3. Définition 1.2 : Sous-espaces vectoriels.

Plus en détail

LES ÉTAPES DE L ALGORITHME DU SIMPLEXE

LES ÉTAPES DE L ALGORITHME DU SIMPLEXE LES ÉTAPES DE L ALGORITHME DU SIMPLEXE Sommaire 1. Introduction... 1 2. Variables d écart et d excédent... 2 3. Variables de base et variables hors base... 2 4. Solutions admissibles... 3 5. Résolution

Plus en détail

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires. Exo7. 1.1. Exemple : deux droites dans le plan

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires. Exo7. 1.1. Exemple : deux droites dans le plan Exo7 Systèmes linéaires Vidéo partie 1. Introduction aux systèmes d'équations linéaires Vidéo partie 2. Théorie des systèmes linéaires Vidéo partie 3. Résolution par la méthode du pivot de Gauss 1. Introduction

Plus en détail

Algorithme du simplexe

Algorithme du simplexe Algorithme du simplexe Une solution à la programmation linéaire Hugues Talbot Laboratoire A2SI 18 mars 2008 Plan Algèbre linéaire Algorithme du simplexe Formulation et forme standard Notations Recherche

Plus en détail

Extrema locaux (ou relatifs)

Extrema locaux (ou relatifs) Chapitre 3 Extrema locaux (ou relatifs) 3.0.77 DÉFINITION Soit f : U! R une fonction, U ouvert d un espace vectoriel normé E et a 2 U. On dit que f présente un minimum local (respectivement un maximum

Plus en détail

Espaces vectoriels. par Pierre Veuillez

Espaces vectoriels. par Pierre Veuillez Espaces vectoriels par Pierre Veuillez 1 Objectifs : Disposer d un lieu où les opérations + et se comportent bien. Déterminer des bases (utilisation de la dimension) Représenter les vecteurs grace à leurs

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE POITIERS

UNIVERSITÉ DE POITIERS UNIVERSITÉ DE POITIERS Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées Mathématiques PREMIÈRE ANNEE DE LA LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES UE L «algèbre linéaire» Plan du cours Exercices Enoncés des

Plus en détail

HENRI ROUDIER ALGEBRE LINEAIRE COURS & EXERCICES CAPES &AGRÉGATION INTERNES & EXTERNES DEUXIÈME ÉDITION REVUE &.AUGMENTÉE VUIBERT

HENRI ROUDIER ALGEBRE LINEAIRE COURS & EXERCICES CAPES &AGRÉGATION INTERNES & EXTERNES DEUXIÈME ÉDITION REVUE &.AUGMENTÉE VUIBERT HENRI ROUDIER ALGEBRE LINEAIRE COURS & EXERCICES CAPES &AGRÉGATION INTERNES & EXTERNES DEUXIÈME ÉDITION REVUE &.AUGMENTÉE VUIBERT Table analytique des matières 1. La structure d'espace vectoriel 1. Espaces

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires............... 5 A. Généralités sur les variables aléatoires réelles.................... 6 B. Séries doubles..................................... 9

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble. Systèmes linéaires. Bernard Ycart

Université Joseph Fourier, Grenoble. Systèmes linéaires. Bernard Ycart Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Systèmes linéaires Bernard Ycart Si vous savez déjà résoudre un système linéaire par la méthode de Gauss, vous n apprendrez pas grand chose de neuf dans

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

4. Programmation en nombres entiers

4. Programmation en nombres entiers IFT575 Modèles de recherche opérationnelle (RO). Programmation en nombres entiers b. Séparation et évaluation progressive c. Plans de coupes Résolution de modèles entiers Programmation en nombres entiers

Plus en détail

Espace vectoriel de dimensions finies MPSI

Espace vectoriel de dimensions finies MPSI Espace vectoriel de dimensions finies MPSI 22 juin 2008 Table des matières 1 Partie libre - Partie liée - Partie génératrice 2 1.1 Partie finie liée.......................... 2 1.1.1 Vecteurs colinéaires....................

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

Les ensembles de solutions des systèmes linéaires Algèbre linéaire I MATH 1057 F

Les ensembles de solutions des systèmes linéaires Algèbre linéaire I MATH 1057 F Les ensembles de solutions des systèmes linéaires Algèbre linéaire I MATH 157 F Julien Dompierre Département de mathématiques et d informatique Université Laurentienne Sudbury, 16 janvier 211 Les systèmes

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

2 Ensembles convexes. 2.1 Définition et premières propriétés

2 Ensembles convexes. 2.1 Définition et premières propriétés 2 Ensembles convexes Les chapitres 2 et 3 présentent les éléments d analyse convexe qui nous seront utiles pour étudier les problèmes d optimisation et les algorithmes qui les résolvent. Le chapitre 2

Plus en détail

Chapitre 7 : Programmation dynamique

Chapitre 7 : Programmation dynamique Graphes et RO TELECOM Nancy 2A Chapitre 7 : Programmation dynamique J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Introduction et principe d optimalité de Bellman II. Programmation dynamique pour la programmation

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/51

Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/51 Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes Polytech Paris-UPMC - p. /5 Rappels mathématiques s Propriétés - p. 2/5 Rappels mathématiques Soit à résoudre le système linéaire Ax = b. Rappels mathématiques

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

Programmation linéaire et Méthode du simplexe (en bref)

Programmation linéaire et Méthode du simplexe (en bref) Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines Tahar Z. BOULMEZAOUD boulmeza@math.uvsq.fr Programmation linéaire et Méthode du simplexe (en bref) On appelle programme linéaire un problème d optimisation

Plus en détail

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon Oral HEC 2007 Question de cours : Dé nition d un estimateur ; dé nitions du biais et du risque quadratique d un estimateur. On considère n (n > 2) variables aléatoires réelles indépendantes X 1,..., X

Plus en détail

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77 76 IV FORMES LINÉAIRES, DUALITÉ IV Formes linéaires, dualité Sommaire IV.1 Dual d un espace vectoriel.......... 77 IV.1.a Rappels sur les e.v................... 77 IV.1.b Rappels sur les applications linéaires........

Plus en détail

Rappels sur les applications linéaires

Rappels sur les applications linéaires Rappels sur les applications linéaires 1 Définition d une application linéaire Définition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K et f une application de E dans F Dire que f est linéaire

Plus en détail

LES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1

LES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1 Chapitre XIII LES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1 XIII.1 Introduction Nous débutons par un rappel de la formulation standard d un problème d optimisation 2 linéaire et donnons un bref aperçu des différences

Plus en détail

Analyse des données et algèbre linéaire

Analyse des données et algèbre linéaire Analyse des données et algèbre linéaire Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 1/15 Machine-Learning : Une donnée x i = un ensemble de features (caractères) d un individu i x i = (x i,1,...,

Plus en détail

(2) Où trouver une solution de base pour commencer?

(2) Où trouver une solution de base pour commencer? Problèmes avec l algorithme du simplexe p. 1/1 (2) Où trouver une solution de base pour commencer? Modifier le problème de sorte que le nouveau problème auxiliaire aie une solution de base triviale et

Plus en détail

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y )

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y ) COR TD 2 Année 21 Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R 2 R 2 f 1 x, y = 2x + y, x y f 2 : R R f 2 x, y, z = xy, x, y f : R R f x, y, z = 2x + y + z, y z, x

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

Algèbre linéaire. 1 Espaces vectoriels R n. Jean-Paul Davalan. 1.1 Les ensembles R n. 1.2 Addition dans R n. (R n, +) désigne R n muni de l addition.

Algèbre linéaire. 1 Espaces vectoriels R n. Jean-Paul Davalan. 1.1 Les ensembles R n. 1.2 Addition dans R n. (R n, +) désigne R n muni de l addition. Algèbre linéaire. Jean-Paul Davalan 2001 1 Espaces vectoriels R n. 1.1 Les ensembles R n. Définition 1.1 R 2 est l ensemble des couples (x, y) de deux nombres réels x et y. D une manière générale, un entier

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

TRAVAUX PRATIQUES : PROGRAMMATION LINEAIRE

TRAVAUX PRATIQUES : PROGRAMMATION LINEAIRE Optimisation TP1 - Programmation linéaire 1 TRAVAUX PRATIQUES : PROGRAMMATION LINEAIRE Programmation linéaire Les problèmes de cette partie sont à traiter à l aide du logiciel MATLAB. La fonction à utiliser

Plus en détail

Programmation Linéaire - Cours 1

Programmation Linéaire - Cours 1 Programmation Linéaire - Cours 1 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Ouvrages de référence V. Chvátal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983.

Plus en détail

Programmation Linéaire (PLRO) et Recherche Opérationnelle

Programmation Linéaire (PLRO) et Recherche Opérationnelle Feuille 0 Programmation Linéaire et Recherche Opérationnelle Travaux Dirigés Alexandre Tessier Alexandre.Tessier@lifo.univ-orleans.fr Université d Orléans UFR Sciences Département d informatique L3 STIC

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Solutions optimales multiples. 3D.1 Unicité de la solution optimale du modèle (FRB)

Solutions optimales multiples. 3D.1 Unicité de la solution optimale du modèle (FRB) 3D Solutions optimales multiples 3D.1 Unicité de la solution optimale du modèle (FRB) Le modèle (FRB) admet une solution optimale unique. En effet (voir page 182), l'algorithme du simplexe se termine par

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Factorisation des matrices creuses

Factorisation des matrices creuses Chapitre 5 Factorisation des matrices creuses 5.1 Matrices creuses La plupart des codes de simulation numérique en mécanique des fluides ou des structures et en électromagnétisme utilisent des discrétisations

Plus en détail

1 Complément sur la projection du nuage des individus

1 Complément sur la projection du nuage des individus TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent

Plus en détail

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal 19 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Dans un premier temps, E est un espace vectoriel réel de dimension n 1. 19.1 Espaces vectoriels euclidiens Dénition 19.1 On dit qu'une forme bilinéaire

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Cours et applications

Cours et applications MANAGEMENT SUP Cours et applications 3 e édition Farouk Hémici Mira Bounab Dunod, Paris, 2012 ISBN 978-2-10-058279-2 Table des matières Introduction 1 1 Les techniques de prévision : ajustements linéaires

Plus en détail

Programmation. linéaire

Programmation. linéaire Programmation linéaire Université Virtuelle Africaine Note Ce document est publié sous une licence Creative Commons. http://en.wikipedia.org/wiki/creative_commons Attribution http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/

Plus en détail

Cours de mathématiques - Alternance Gea

Cours de mathématiques - Alternance Gea Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 11 décembre 005 1 Calcul matriciel Une matrice n m est un tableau de nombres à n lignes( et m colonnes. 1 0 Par exemple, avec n = et m =, on peut considérer

Plus en détail

Bases D edou Octobre 2010

Bases D edou Octobre 2010 Bases Dédou Octobre 2010 Base d un sous-espace vectoriel Définition Une base d un sous-espace vectoriel de R n, c est un système générateur libre de ce sous-espace vectoriel. Comme sous-espace vectoriel

Plus en détail

I - Programmation linéaire

I - Programmation linéaire EOAA - 2009/10 Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Exercice

Plus en détail

Ax = b iff (B + N) x N

Ax = b iff (B + N) x N Chapitre 3 Algorithme du simplexe 3.1 Solution de base admissible P en forme standard. A = (a 1,...,a n ) Hypothèse : n m (plus de variables que d équations) et rg(a)=m (pas d équation inutile). Donc après

Plus en détail

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA 75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche

Plus en détail

Cours de mathématiques fondamentales 1 année, DUT GEA. Mourad Abouzaïd

Cours de mathématiques fondamentales 1 année, DUT GEA. Mourad Abouzaïd Cours de mathématiques fondamentales 1 année, DUT GEA Mourad Abouzaïd 9 décembre 2008 2 Table des matières Introduction 7 0 Rappels d algèbre élémentaire 9 0.1 Calcul algébrique................................

Plus en détail

COURS OPTIMISATION. Cours à l ISFA, en M1SAF. Ionel Sorin CIUPERCA

COURS OPTIMISATION. Cours à l ISFA, en M1SAF. Ionel Sorin CIUPERCA COURS OPTIMISATION Cours à l ISFA, en M1SAF Ionel Sorin CIUPERCA 1 Table des matières 1 Introduction 4 1.1 Motivation.................................... 4 1.2 Le problème général d optimisation......................

Plus en détail

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire

Plus en détail

Examen - septembre 2012. Question de cours Enoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien. Quel est le cas d égalité?

Examen - septembre 2012. Question de cours Enoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien. Quel est le cas d égalité? Université Paris Dauphine DEMIE e année Algèbre linéaire 3 Examen - septembre 01 Le sujet comporte pages. L épreuve dure heures. Les documents, calculatrices et téléphones portables sont interdits. Question

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1.

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1. 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R 2 (2x + y, x y) R 2, f 2 : (x, y, z) R 3 (xy, x, y) R 3 f 3 : (x, y, z) R 3 (2x +

Plus en détail

Introduction des nombres complexes en TS

Introduction des nombres complexes en TS Introduction des nombres complexes en TS 1 À la découverte de nouveaux nombres Résoudre : dans, puis dans, l équation 5 + x = 0 ; dans, puis dans, l équation 3x + 2 = 0 ; dans, puis dans, l équation x

Plus en détail

6.11 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques

6.11 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques Chapitre 6 Méthodes de Krylov 611 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques Dans le cas où la matrice A n est pas symétrique, comment peut-on retrouver une matrice de corrélation

Plus en détail

IFT2505. Programmation Linéaire

IFT2505. Programmation Linéaire IFT 2505 Programmation Linéaire DIRO Université de Montréal http://www.iro.umontreal.ca/~bastin/ift2505.php Automne 2013 Solutions de base min c T x x s.c. Ax = b, x 0. Supposons m n et rang(a) = m. Sans

Plus en détail