Correction. Mathématique Élémentaire. Test n 5 (14 octobre 2013) Question 1. Soit n N \ {0}. Prouvez par récurrence que

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1 Test n 5 (1 octobre 1 Question 1. Soit n N \ {}. Prouvez par récurrence que ( n x 1 x ( x n x (x n x n. Voir Test 5, 17 octobre 11, question. Question. (a On dit que A R n n est une matrice antisymétrique si A t A où A t désigne la transposée de A. Donnez un exemple de matrice M R qui est antisymétrique. (b Soit M R n n une matrice antisymétrique. Montrez que, pour tout i {1,...,n}, on a M ii. (c Soit N R n n la matrice définie par N i j ( j i. La matrice N est-elle antisymétrique? Justifiez votre réponse. 1 (a Prenons M. La matrice M est antisymétrique car 1 M t 1 M. (b Comme M est antisymétrique, on a que i, j {1,...,n}, M t i j M i j ou encore M ji M i j par définition de la transposée. Soit i {1,...,n}. Par ce qui précède, on a M ii M ii, c est-à-dire M ii, c est-à-dire M ii. (c Soient i, j {1,...,n}. A-t-on N t i j N i j? Non car N t i j N ji (par déf. de la transposée (i j (par déf. de N ( ( j i ( j i N i j. Donc, N n est pas une matrice antisymétrique. 1/5

2 Test n 5 (1 octobre 1 Question. Écrivez l ensemble X suivant sous la forme d une union disjointe d intervalles (moins il y en a, mieux c est. Justifiez les différentes étapes de votre raisonnement. { ( x + x X x R arcsin π } 6 Tout d abord intéressons nous aux conditions d existence. En effet arcsin(y est défini si et seulement si y [,1]. Par conséquent, pour que la propriété définissant l ensemble ait un sens, il faut (et il suffit que x + x 1. (1 En ce qui concerne l inéquation définissant X, remarquons que arcsin(y [ π/, π/] et π/6 [ π/,π/] et que, sur [ π/,π/], la fontion sinus est croissante. Dès lors ( x + x arcsin π 6 x + x ( π sin 1 6. Inversement, la fonction arcsin : [,1] R est aussi croissante et donc, sous les conditions d existence (1, on a x + x 1 En conclusion, on vient de montrer que ( x + x arcsin π 6 ( x + x arcsin ( 1 arcsin π 6. x + x 1. ( Déterminer les x dans X revient donc à trouver les x qui satisfont simultanément (1 et (, c està-dire les x qui satisfont : x + x x + x et 1. ( Pour l inéquation de gauche, distinguons deux cas selon le signe de x. Si x <, l inéquation devient 1 x, c est-à-dire x. Eu égard au fait qu on travaille avec les x <, les solutions sont les nombres dans [,[. Si x, l inégalité est toujours vérifiée car x + x. En conclusion, les solutions de cette première inéquation sont les réels de l intervalle [,+ [. On distingue les deux mêmes cas pour la seconde inéquation. Si x <, celle-ci devient x/ 1/ ce qui est toujours vrai puisque x <. Si x, elle devient x 1/ ce qui donne l ensemble [,1/] comme solutions pour ce cas. Au final, les solutions de cette seconde inéquation sont les réels de ],1/]. Comme x X si et seulement si x satisfait les deux inéquations de (, on a que X [,+ [ ],1/] [,1/]. /5

3 Test n 5 (1 octobre 1 Question. Soit la fonction f (z e az +a z où a R est un paramètre. Calculez z f ( a. Justifiez les différentes étapes de votre calcul. Calculons tout d abord z f. En utilisant les formules de dérivées pour la composition de fonctions, nous obtenons z f (z e az +a z z ( az + a z ( az + a e az +a z. Évalué en z a, nous obtenons z f ( a ( a( a + a e a( a +a ( a a (car e 1. Question 5. Donnez z n : ( 1 i n, pour n N, sous forme trigonométrique et sous forme cartésienne (donnez des formules qui utilisent n modulo α pour un α bien choisi. Placez les points z n dans le plan complexe. Sous forme trigonométrique, nous avons 1 i cis 5π, c est-à-dire également cis( π. Par la formule de De Moivre, on obtient que ( 1 n i (cis ( π n ( cis nπ. Ceci permet de placer les points z 1, z 1, z,...,z 5 sur le cercle unité et de voir que z 6 1. cis ( 6π Pour la forme trigonométrique des z n, on a, vu les calculs précédents, que z n cis ( nπ, c està-dire z n cis ( ( nπ mod π, ou encore ( ( n π z n cis mod 6 ( ((5n π cis mod 6. Il y a donc six valeurs distinctes pour les z n qui correspondent aux six restes possibles, c est-àdire z cis 1 si (5n mod 6, z 1 cis π 1 + i si (5n mod 6 1, z cis π + i si (5n mod 6, z cis π si (5n mod 6, z cis π i si (5n mod 6, z 5 cis 5π 1 i si (5n mod z z 1 z 1 z C.5 z 5 1 z 1.5 /5

4 Test n 5 (1 octobre 1 Question 6. (a Écrivez explicitement la matrice M R 5 5 définie par { si i j 1 M i j sinon. (b Soient les matrices A ( 1 1, B, C 1, D Calculez, si possible, AB, C t B et AD. ( (a M (b Pour A B, le produit est bien défini car A est une matrice 1 et B est une matrice 1. Nous obtenons A B ( 1 1 ( Comme C est une matrice, C t est une matrice. Dès lors, C t B est bien défini. ( ( ( C t 1 B ( 9 La matrice A est une matrice 1 et la matrice D est une matrice. Dès lors, le produit A D est impossible car le nombre de colonnes de A n est pas égal au nombre de lignes de D. Question 7. Soient n N \ {} et z une solution complexe de l équation Z n a + bi avec a + bi. Prouvez que l inverse de z existe. Le complexe z est solution de z n a + bi si et seulement si z n a + bi. Donc, zn (n >, c est-à-dire z n z n. Par conséquent z et donc z z existe. z /5

5 Test n 5 (1 octobre 1 Question 8. Soient n N \ {} et z une solution complexe de l équation avec a + bi. Soit U n l ensemble des solutions de l équation (a Prouvez que si u U n, alors z u est solution de (. Z n a + bi ( Z n 1. (5 (b Soit z une solution de (. Prouvez que z z est une solution de (5. (c Déduisez de (a et (b que l ensemble des solutions de ( est égal à {z u u n 1}. (a Il suffit de vérifier (par définition de «être solution» que (z u n a+bi. On a (z u n z n un car C est commutative et associative. Par hypothèse, z n a + bi et un 1, donc (z u n a + bi. (b Par le même type de raisonnement qu au point précédent, il suffit de vérifier que (z zn 1. Remarquons que z existe puisque z est solution de z n a + bi avec a + bi (voir la question 7. On a ( z z n (z n z n (z n z n. Par hypothèse, z n zn a + bi. Donc, (z n z n (a + bi (a + bi 1. (c Posons A {z z est solution de l équation (} et B { z u u n 1 et z n a + bi}. Par le premier point, on a que B A. Réciproquement, on voit que si z est solution de ( alors z z (z z car z (z z (z z z z et z z U n par le deuxième point. Donc z est bien de la forme z u avec u U n, c est-à-dire z B, ce qui prouve A B. On peut donc conclure A B. 5/5

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