1 ère S Exercices sur le plan muni d un repère orthonormé

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1 ère S Exercces sur le plan un d un repère orthonoré ans tous les exercces, le plan est un d un repère orthonoré,,. n donne les ponts ( ; ), ( ; ) et ( ; ). n note H le proeté orthogonal de sur l axe des abscsses et K le proeté orthogonal de sur l axe des ordonnées. éontrer que () (HK). n note et ' les drotes d équatons rédutes respectves y x et y x 0. La drote coupe l axe des ordonnées en, ' coupe l axe des abscsses en et et ' se coupent en. Fare une fgure. éterner la valeur arronde au dxèe de la esure en degrés de l angle. n donne les ponts ; 0, ; et ( ; ). La drote passant par et perpendculare à () coupe l axe des abscsses en I. Fare une fgure. alculer l abscsse de I. 7 n donne les ponts les ponts ;, ;, ; et ;. Pour la fgure, prendre le centètre pour untés graphque. ) éontrer que est un trapèze rectangle. ) alculer son are. n consdère les vecteurs u ( ; ) et v ( ; ). alculer u, v, u v, u v. 6 n consdère les ponts les ponts ( ; ), ( ; 0), ; +. alculer, et. En dédure la nature du trangle. 7 n consdère la drote d équaton cartésenne x y 0 ans que les ponts (6 ; 8) et (0 ; ). éontrer que (). 8 Pour tout réel, on note n donne les ponts (6 ; 8) et (0 ; ). ) éterner tel que (). ) éterner tel que // (). x y 0. la drote d équaton cartésenne 9 n consdère les ponts ( ; ) et ( ; ). éterner une équaton cartésenne de la drote () en rédgeant. 0 n consdère les ponts ( ; ), ( ; ) et ( ; ). éterner une équaton cartésenne de la drote passant par et parallèle à (). n consdère les ponts ; et (0 ; ). n rappelle que est l orgne du repère. n note la hauteur ssue de et ' la hauteur ssue de dans le trangle. ) éterner l équaton rédute de et une équaton cartésenne de '. ) En dédure par le calcul les coordonnées de l orthocentre H du trangle. Vérfer le résultat sur la fgure. éterner une équaton cartésenne sous fore développée du cercle dans chacun des cas suvants. ) est le cercle de centre ( ; ) et de rayon. ) est le cercle de centre ( ; ) passant par. ) est le cercle de centre ( ; ) et passant par le pont ( ; ). ) est le cercle de centre ( ; ) et tangent à l axe des ordonnées. ) est le cercle de centre ( ; ) et tangent à l axe des abscsses. 6 ) est le cercle de daètre [] avec (0 ; ) et ( ; 0). éterner la nature des ensebles suvants défns par une équaton cartésenne. E : x y x y ; E : x y x y 7 0 ; E : x y x y. ) onstrure le cercle d équaton cartésenne x y x y 8 0. ) e cercle coupe l axe des abscsses en et et l axe des ordonnées en et. éterner les coordonnées des ces quatre ponts. n conclura ans : (x) = { ; } avec (. ;. ) et (. ;. ) ; (y) = { ; } avec (. ;. ) et (. ;. ). 6 ) onstrure le cercle d équaton cartésenne x y 6x y 7 0 et la drote d équaton cartésenne x y + = 0. ) éterner les coordonnées des ponts d ntersecton de et. = { ; } avec (. ;. ) et (. ;. ). 7 n consdère les ponts I( ; ) et ( ; ). ) éterner une équaton cartésenne du cercle de centre I passant par. ) n note la tangente à en (perpendculare au rayon [I] passant par ). éterner une équaton cartésenne de. 8 n note la courbe d équaton x y x y 0 où est un réel donné. éterner la nature de suvant les valeurs de. 9 Sot et ' les drotes d équatons respectves y = x + et y x où est un réel donné. éterner les valeurs de telles que '. * 0 Sot un carré de côté a (a ). n note I le leu de [] et J le leu de []. Fare une fgure codée en prenant () «horzontale», en bas à gauche, à drote, et «au-dessus» de (). ) éontrer que le repère,, a a est orthonoré. ) éontrer en utlsant ce repère que : (J) (I). n consdère les ponts ( ; ), (6 ; ) et ( ; ). éterner une équaton cartésenne de la drote perpendculare à () passant par.

2 orrgé n peut donner drecteent les coordonnées des ponts H( ; 0) et K(0 ; ) qu sont les proetés orthogonaux respectfs de et sur l axe des abscsses et des ordonnées. n calcule HK 0. n en dédut que () (HK). Soluton détallée : K ( ; ) ( ; ) ( ; ) H : proeté orthogonal de sur (x) K : proeté orthogonal de sur (y) H Fgure : K H

3 H? K ( ; 6) ; (0 ; ) ; ( ; 0) ; et ; 6 ; cos... 6 Soluton détallée : : y x ' : y x 0 ; 60, (valeur arronde au dxèe) (y) = { } ' (x) = { } ' = { } éontrons que () (HK). 6 H( ; 0) K(0 ; ) (on peut donner édateent sans explcaton les coordonnées de H et K) HK HK = + ( ) = 0 Le produt scalare des vecteurs et HK est nul. onc on en dédut que () (HK). n arque l angle avec un pont d nterrogaton.

4 ? cos 6 vec la calculatrce, on obtent : 60, 8. éternons la valeur arronde au dxèe de la esure en degrés de l angle. (sur la calculatrce TI-8 Plus on tape nde cos approchée de 6 ) 6 ) ) ; on ne calcule pas d abord une valeur n coence par calculer les cordonnées des ponts,,. alcul des coordonnées de : est le pont d ntersecton des drotes et ' donc on a : 0 x x. 7 n obtent 7 x donc x. n calcule ensute y x 0 d où y 6. utre rédacton possble pour le calcul des coordonnées de : y x «Les coordonnées de sont solutons du systèe y x 0 alcul des coordonnées de : n en dédut que : 60, (valeur arronde au dxèe). n effectue la vérfcaton au rapporteur sur la fgure. I x Soluton détallée : ; 0 ; ( ; ) : drote passant par et perpendculare à () (x) = { I } L ordonnée à l orgne de la drote est égale à donc (0 ; ). alcul des coordonnées de : (x) donc y 0 d où x 0 0 d où x. Par conséquent ( ; 0). ; et ; 6 = + ( ) ( 6) =

5 Fgure : I 7 n arque le codage de l angle drot. ) éontrons que est un trapèze rectangle. alculons l abscsse de I. I (x) donc yi 0 (I) () donc les vecteurs I et sont orthogonaux. 7 x x ; y y 7 x x ; y y 7 x x y y 7 Par conséquent, I = 0. xi x xi x x I yi y y y onc ( x I ) ( ) + ( ) = 0 9 x I + 6 = 0 x I = 9 xi Fare une fgure. Tracer des pontllés (à la règle) avec les coordonnées des ponts sur les axes. 7 ;, ;, ;, ; x x y y 0 donc d où () (). x x y y... 0 donc d où () ().. Lorsque l on dot déontrer que l on a un trapèze rectangle, l sufft de déontrer qu l y a deux angles drots (l est nutle de déontrer qu l y a deux côtés parallèles pusque cela découle des deux angles drots). n en dédut que est un trapèze rectangle en et. haptre sur les trapèzes : éfnton. Trapèze crosé ; non-crosé Trapèzes partculers : trapèze rectangle, trapèze socèle. aractérsaton d un trapèze rectangle. Proprété d un trapèze socèle (axe de syétre). re d un trapèze.

6 utre façon : éontrons que () // (). ; 7 ; Par sute, est un trapèze. donc et sont colnéares d où () // (). 7 u.a. (u.a. : unté d are c est-à-dre are du carré construt sur les vecteurs de base) opléent : forule de Pck (ferat une belle bulle de rêve) éontrons que () (). x x y y 0 donc () (). n en dédut que a un angle drot. n peut donc dre que est un trapèze rectangle en et. ) alculons l are de. n applque la forule de l are d un trapèze (convexe ou non crosé, c est la êe chose) : b h où b est la longueur de la pette base, est la longueur de la grande base et h la hauteur. Ic :. n calcule les longueurs, et (ce sont les nores des vecteurs,, dont on a calculé les coordonnées à la queston ) donc. donc donc. u, v, u v 8, u v Soluton détallée : u ; ; v ; alculons u, v, u v, u v. u x y 6 9 donc u. u u v x y 69 donc v u v v 9 v u v 9 8 donc u v 8 u v 9 u v donc u v 06

7 6 n peut fare une fgure as ce n est pas forcéent utle. ( ; ) ( ; 0) ; + 7 : x y + = 0 (6 ; 8) (0 ; ) + Fare une fgure avec les ponts et ans que la drote (on et l équaton cartésenne sous fore x d équaton rédute y ; la drote passe par les ponts de coordonnées ( ; ) et ( ; )). Tracer un représentant de u (peret de vsualser un vecteur noral à ). N.. : on peut auss utlser un vecteur drecteur de. n prend le centètre ou un gros «carreau» pour unté graphque. alculons, et. n calcule les coordonnées des vecteurs, et. ; 0 ; 0? 6 n calcule leurs nores au carré (évte d avor à passer par des racnes carrées) n en dédut que = = = 0 (). édusons-en la nature du trangle. 8 après (), est un trangle équlatéral. éontrons que (). ttenton : l n est pas du tout utle de chercher une équaton de la drote (). ère éthode : n calcule les coordonnées du vecteur.

8 6 ;0 n sat que le vecteur u ; n observe que u. onc les vecteurs et u sont colnéares. n en dédut que (). e éthode : n calcule les coordonnées du vecteur. 6 ;0 est un vecteur noral à. n sat que le vecteur v ( ; ) est un vecteur drecteur de. n calcule v = ( 6) + 0 = = 0 n en dédut que les vecteurs et v sont orthogonaux. Par conséquent, (). ) éternons tel que (). () u et sont orthogonaux u 0 x x y y 0 u u = 9 ( ; ) ( ; ) Fare une fgure. ) éternons tel que // (). // () v et sont orthogonaux v 0 x x y y 0 v v ) = ) Soluton détallée : : (6 ; 8) 9 x y 0 (0 ; ) Les drotes consttuent une falle de drotes dépendant d un paraètre ( est le paraètre). n sat que le vecteur u ; vecteur noral à. x x y y 8 0 est un vecteur drecteur de et que le vecteur v ; ttenton : une grosse perte de teps conssterat à chercher une équaton de (). est un éternons une équaton cartésenne de la drote (). Sot M(x ; y) un pont quelconque du plan. x M y M s et seuleent s M et sont colnéares s et seuleent s x y s et seuleent s x y 0 0 s et seuleent s x y 8 = 0

9 Une équaton cartésenne de () s écrt : x y 8 = 0. utre éthode : est un vecteur drecteur de () donc () adet une équaton cartésenne de la fore x y c 0 avec c. r () donc x y c 0 d où c = 6. () adet pour équaton cartésenne x y 6 0. En splfant par, on obtent x y 8 0. Une équaton cartésenne de s écrt x y 0. ( ; ) (6 ; ) ( ; ) éternons une équaton cartésenne de la drote perpendculare à () passant par. Fare une fgure en plaçant les tros ponts,,, la drote () et la drote. N.. : Il faut splfer l équaton cartésenne que l on obtent quand on peut. 0 ( ; ) ( ; ) ( ; ) éternons une équaton cartésenne de la drote passant par et parallèle à (). 6 n calcule les coordonnées du vecteur. 7 ; ère éthode : Sot M(x, y) un pont du plan. Sot M(x ; y) un pont quelconque du plan. «n nstaure un pont M» (Thoas elaarre le avrl 0) x 7 M y 7 M M et sont colnéares x y x 7 7y 0 7 x 7y 0 x y 0 (colnéarté) x M y M M M 0 x y 7 0 7x y 7 0

10 e éthode : oe (), on peut dre que le vecteur est un vecteur noral à. onc adet une équaton cartésenne de la fore 7x y c 0 avec c. r donc 7x y c 0 d où c 7. a pour équaton cartésenne 7x y 7 0. onsel : surtout ne pas chercher une équaton de la drote () (car c est nutle). éternons une équaton cartésenne de. Sot M(x, y) un pont du plan. x M y M M M 0 x + (y ) = 0 x + y = 0 : x y 0 ( ; ) (0 ; ) : hauteur ssue de : hauteur ssue de dans ) éternons les coordonnées du pont H, orthocentre du trangle. H ) éternons l équaton rédute de. est la hauteur la hauteur ssue de dans le trangle. onc est la drote passant par et perpendculare à la drote (). r (y) donc la drote () est confondue avec (y). Par sute, y r (y) (x) car le repère est orthonoré d où (x). oe, on en dédut que a pour équaton y. H est l orthocentre du trangle donc H est le pont de concours des tros hauteurs du trangle. Par conséquent H est le pont d ntersecton de et. y Les coordonnées de H sont solutons du systèe (I). x y 0 y (I) x H ;

11 Les nuéros à 9 sont proposés dans une verson très détallée à la fn. ) : x y x 6y 6 0 ) n coence par calculer la dstance. : x y x y 0 ) n coence par calculer la dstance. : x y x y 0 ) est tangent à l axe des ordonnées au pont H(0 ; ). Le pont H est le proeté orthogonal de sur l axe des ordonnées. Le rayon du cercle est égal à H = (on peut donner cette dstance drecteent sans fare aucun calcul). : x y 6x y 0 ) Le cercle a pour rayon. : x y x 6y 0 6 ) n utlse la forule donnant une équaton de cercle pour un daètre. : x y x y 0 L enseble E est le cercle de centre ; et de rayon ; E ; E avec ( ; ). ) Le cercle a pour centre ( ; ) et pour rayon 0. La constructon d un segent de longueur 0 se fat aséent grâce au théorèe de Pythagore car 0 ( 0 est la longueur de l hypoténuse d un trangle rectangle dont les côtés de l angle drot ont pour longueurs et ). ; 0 0 ; ; (0 ; ) ) ; ( ; 0) ; 6 ) ; avec ; et ( ; ) 7 ) x y 6x y 0 ; ) x y 0 Équatons cartésennes de cercles ) : cercle de centre ; et de rayon. : cercle de centre ; de rayon Solutons détallées 8 Étude d une falle de courbes dépendant d un paraètre. Mettre l équaton sous fore canonque. Le cercle a pour équaton x y sot ) : cercle de centre ; passant par. donc Le cercle a pour équaton x y n développe cette équaton.. x y x y Une équaton cartésenne de s écrt x y x y 0.

12 ) : cercle de centre ; et passant par le pont ( ; ). Le cercle a pour équaton x y sot x y x y 6 0. donc 7 ) : cercle de centre ; et tangent à l axe des abscsses. Le cercle a pour équaton x y n développe cette équaton. 7. Une équaton cartésenne de s écrt x y x y 0. Le rayon du cercle est égal à. Le cercle a pour équaton x y sot x y x y ) : cercle de daètre [] avec (0 ; ) et ( ; 0). ) : cercle de centre ; et tangent à l axe des ordonnées. n utlse la forule donnant une équaton de cercle pour un daètre. Le cercle a pour équaton x x y y sot x y x y 0. est tangent à l axe des ordonnées au pont H(0 ; ). Le pont H est le proeté orthogonal de sur l axe des ordonnées. Le rayon du cercle est égal à H = (on peut donner cette dstance drecteent sans fare aucun calcul).

13 utre rédacton possble : Sot M(x ; y) un pont du plan. M M M 0 x x y y x y x y 0 Reconnassance d ensebles défns par une équaton : x y x y 8 0 ) onstrusons le cercle. L équaton x y x y 8 0 est équvalente à x y 0. n en dédut que est le cercle de centre ( ; ) et de rayon 0. La constructon d un segent de longueur 0 se fat aséent grâce au théorèe de Pythagore car 0 ( 0 est la longueur de l hypoténuse d un trangle rectangle dont les côtés de l angle drot ont pour longueurs et ). E x y x y : L équaton x y x y est successveent équvalente à : 9 x y 9 x y onc l enseble E est le cercle de centre ; et de rayon. 0 E x y x y : 7 0 L équaton x y x y 7 0 est successveent équvalente à : x y x y 7 0 onc l enseble E est l enseble vde. E E x y x y : L équaton x y x y est successveent équvalente à : x y x y 0 onc l enseble E est le sngleton {} avec ( ; ). E

14 7 ( 7 est la longueur de l hypoténuse d un trangle rectangle dont les côtés de l angle drot ont pour longueur et ). : y = x + x 0 y 7 7 ) oordonnées des ponts d ntersecton de avec les axes de coordonnées. éternons les abscsses des ponts d ntersecton de et de l axe des abscsses. Les abscsses des ponts d ntersecton de et de l axe des abscsses sont solutons de l équaton x x 8 0. Les racnes de cette équaton sont (racne évdente) et (obtenu par produt). ; 0 et ( ; 0). n en dédut que (x) = { ; } avec éternons les ordonnées des ponts d ntersecton de et de l axe des ordonnées. Les ordonnées des ponts d ntersecton de et de l axe des ordonnées sont solutons de l équaton y y 8 0. n retrouve la êe équaton que lorsque l on a déterné les abscsses des ponts d ntersecton de avec l axe des abscsses. n en dédut que (y) = { ; } avec (0 ; ) et (0 ; ). 6 : x y 6x y 7 0 : x y + = 0 ) onstrusons le cercle. L équaton cartésenne de donnée dans l énoncé s écrt auss x y 7. n en dédut que est le cercle de centre ( ; ) et de rayon 7. La constructon d un segent de longueur 7 se fat aséent grâce au théorèe de Pythagore car ) éternons les coordonnées des ponts d ntersecton de et. Les abscsses des ponts d ntersecton de et sont solutons de l équaton x x L équaton () est successveent équvalente à x x 7 x x 7 x x 0 x x 0 7 (). Les solutons de cette équaton sont (racne évdente) et (obtenue par produt).

15 oncluson : = { ; } avec ( ; ) et ( ; ) n calcule les ordonnées des ponts et grâce à l équaton rédute de la drote. 8 Étude d une falle de cercles dépendant d un paraètre : x y x y 0 ( ) éternons la nature de suvant les valeurs de. est un paraètre. 7 I( ; ) ( ; ) Fgure : L équaton x y x y 0 est successveent équvalente aux équatons suvantes : x y 0 x y n effectue une dscusson suvant les valeurs de par rapport au sgne de. er cas : ans ce cas, > 0. est le cercle de centre ( ; ) et pour rayon. e cas : = a pour équaton x y 0. est le sngleton { } avec ( ; ). e cas : > ) éternons une équaton cartésenne du cercle de centre I passant par. I I donc Le cercle de centre I passant par a pour équaton x y n développe cette équaton. Une équaton cartésenne de s écrt x y 6x y 0.. ) éternons une équaton cartésenne de la drote tangente à en. n note la tangente à en (perpendculare au rayon [I] passant par ). La drote est la perpendculare à la drote (I) passant par. M x ; y s et seuleent s I M s et seuleent s x y 0 s et seuleent s x + y = 0 s et seuleent s x y + = 0 a pour équaton cartésenne x y + = 0. ans ce cas, < 0. est l enseble vde. 9 : y = x + ; ' : y = x + éternons tel que '. Le coeffcent drecteur de est égal à. Le coeffcent drecteur de ' est égal à. ' ou (proprété du cours : caractérsaton de l orthogonalté de deux drotes)

16 n obtent : ou. utre éthode : n peut auss rasonner avec un vecteur drecteur de chacune des deux drotes. 0 Utlsaton d un repère auxlare orthonoré : carré de côté a (a I : leu de [] J : leu de [] * ) ) éontrons que le repère,, est orthonoré. a a n pose et. a a n dot vérfer les deux condtons pour avor un repère orthonoré. La fgure a été fate pour a (du coup, et ). La valeur a est donnée unqueent à ttre d exeple ; cette valeur n est pas utlsée dans la sute. a = a a a a e êe, on a :. ns, oncluson : Le repère,, est orthonoré. ) éontrons que : (J) (I). n utlse le repère précédent. oe ce repère est orthonoré, on peut utlser l expresson analytque du produt scalare. ans le repère,,, 0 0 a 0 a a a a a d où les coordonnées de. a a d où les coordonnées de. a 0 a a I 0 J a a Pour les coordonnées de I et de J, on peut utlser la forule des coordonnées d un leu ou utlser l égalté vectorelle : I a. I Preère condton : n déontre que les vecteurs du repère sont orthogonaux est un carré donc () (). Par conséquent,.? J J a a I a a J I a a a a = 0 a a euxèe condton : n déontre que les vecteurs du repère sont untares (ou norés) Le produt scalare est nul donc J I.

17 n en dédut que (J) (I).

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