[ édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 9 [ ] [correction] Montrer que si n est entier impair alors

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1 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 014 Eocés 1 Arithmétique das Z Divisibilité Exercice 1 [ ] [correctio] Résoudre das Z les équatios suivates : a) x 1 x + 3 b) x + x +. Exercice [ ] [correctio] Résoudre das Z les équatios suivates : Exercice 7 [ ] [correctio] Trouver les etiers Z tel que 10 + ( + 1) + ( + 3). Exercice 8 [ ] [correctio] Motrer 7 x et 7 y 7 x + y Exercice 9 [ ] [correctio] Motrer que si est etier imair alors 1 [8] a) xy = 3x + y b) 1 x + 1 y = 1 5 c) x y 4x y = 5 Exercice 10 [ ] [correctio] Soiet λ, a, b Z et m N. O suose λ et m remiers etre eux. Motrer Exercice 3 [ ] [correctio] Soiet a Z et b N, o ote q le quotiet de la divisio euclidiee de a 1 ar b. Détermier our tout N, le quotiet de la divisio euclidiee de (ab 1) ar b +1. Calcul e cogruece Exercice 4 [ ] [correctio] Motrer que Exercice 5 [ ] [correctio] Quel est le reste de la divisio euclidiee de ar 7? Exercice 6 [ 0119 ] [correctio] Motrer que our tout N : a) b) c) d) e) f) PGCD et PPCM a b [m] λa λb [m] Exercice 11 [ ] [correctio] Détermier le gcd et les coefficiets de l égalité de Bézout ( ) des etiers a et b suivats : a) a = 33 et b = 4 b) a = 37 et b = 7 c) a = 70 et b = 105. Exercice 1 [ ] [correctio] Soiet a, b, d Z. Motrer l équivalece : ( u, v Z, au + bv = d) gcd(a, b) d Exercice 13 [ ] [correctio] Motrer que le gcd de + 4 et e eut être que 1,, 3 ou 6. Exercice 14 [ ] [correctio] a) Motrer que si r est le reste de la divisio euclidiee de a N ar b N alors r 1 est le reste de la divisio euclidiee de a 1 ar b 1. b) Motrer que gcd( a 1, b 1) = gcd(a,b) 1.

2 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 014 Eocés Exercice 15 [ ] [correctio] Soiet d, m N. Doer ue coditio écessaire et suffisate our que le système { gcd(x, y) = d ossède u coule (x, y) N solutio. Exercice 16 [ 0100 ] [correctio] Résoudre das N l équatio : Exercice 17 [ 0101 ] [correctio] Résoudre das N les systèmes : { gcd(x, y) = 5 a) cm(x, y) = 60 cm(x, y) = m gcd(x, y) + cm(x, y) = x + y Nombres remiers etre eux b) { x + y = 100 gcd(x, y) = 10 Exercice 18 [ 010 ] [correctio] Soiet a et b remiers etre eux. Motrer que a (a + b) = b (a + b) = 1 uis (a + b) ab = 1. Exercice 1 [ 0105 ] [correctio] Motrer que our tout etier N, + 1 et + 1 sot remiers etre eux. E déduire + 1 Exercice [ 0106 ] [correctio] Soiet a et b remiers etre eux et c Z. Motrer que gcd(a, bc) = gcd(a, c). Exercice 3 [ 0107 ] [correctio] Soiet a et b deux etiers remiers etre eux o uls. Notre but est de détermier tous les coules (u, v) Z tels que au + bv = 1. a) Justifier l existece d au mois u coule solutio (u 0, v 0 ). b) Motrer que tout autre coule solutio est de la forme (u 0 + b, v 0 a) avec Z. c) Coclure. Exercice 4 [ 0108 ] [correctio] a) Pour N, motrer qu il existe u coule uique (a, b ) N tel que (1 + ) = a + b b) Calculer a b. c) E déduire que a et b sot remiers etre eux. Exercice 19 [ 0103 ] [correctio] Soiet a, b Z. a) O suose a b = 1. Motrer que (a + b) ab = 1. b) O reviet au cas gééral. Calculer gcd(a + b, cm(a, b)). Exercice 5 [ 0109 ] [correctio] Soiet a et b deux etiers relatifs remiers etre eux et d N u diviseur de ab. Motrer!(d 1, d ) N, d = d 1 d, d 1 a et d b Exercice 0 [ 0104 ] [correctio] Motrer que our tout N o a : a) ( + ) ( + 1) = 1 b) (3 + ) ( + 1) = 1 Exercice 6 [ 0110 ] [correctio] O ote div() l esemble des diviseurs ositifs d u etier Z. Soiet a, b Z remiers etre eux et ϕ : div(a) div(b) N défiie ar ϕ(, l) = l. Motrer que ϕ réalise ue bijectio de div(a) div(b) vers div(ab).

3 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 014 Eocés 3 Exercice 7 [ 0111 ] [correctio] Soiet a et b deux etiers relatifs tels que a b. Motrer que a b. Exercice 3 [ 0364 ] [correctio] Soit N. Motrer que les etiers a i = i.! + 1 Exercice 8 [ 011 ] [correctio] Soit x Q. O suose qu il existe N tel que x Z. Motrer que x Z. Exercice 9 [ 0113 ] [correctio] Soiet a, b N. O suose qu il existe m, remiers etre eux tels que a m = b. Motrer qu il existe c N tel que a = c et b = c m. Exercice 30 [ 0114 ] [correctio] O divise u cercle e arcs égaux et o joit les oits de divisio de e jusqu à ce qu o reviee au oit de déart. Quel est le ombre de côtés du olygoe costruit? Exercice 31 [ 0115 ] [correctio] O cosidère la suite (ϕ ) N défiie ar a) Motrer b) E déduire c) Motrer d) E déduire ϕ 0 = 0, ϕ 1 = 1 et N, ϕ + = ϕ +1 + ϕ N, ϕ +1 ϕ 1 ϕ = ( 1) N, ϕ ϕ +1 = 1 N, m N, ϕ +m = ϕ m ϕ +1 + ϕ m 1 ϕ m, N, gcd(ϕ, ϕ m+ ) = gcd(ϕ, ϕ m ) uis gcd(ϕ m, ϕ ) = gcd(ϕ, ϕ r ) où r est le reste de la divisio euclidiee de m ar. e) Coclure gcd(ϕ m, ϕ ) = ϕ gcd(m,) our i {1,..., + 1} sot deux à deux remiers etre eux. Exercice 33 [ ] [correctio] O étudie l équatio algébrique (E) : x + a 1 x a 1 x + a 0 = 0 d icoue x et où les coefficiets a 0, a 1,..., a 1 sot suosés etiers. Motrer que les solutios réelles de (E) sot etières ou irratioelles. Systèmes chiois Exercice 34 [ 0116 ] [correctio] Résoudre le système : { x [10] x 5 [13] Exercice 35 [ 0117 ] [correctio] Soiet a, b, a, b Z avec b et b remiers etre eux. Motrer que le système { x a [b] x a [b ] ossède des solutios et que celles-ci sot cogrues etres elles modulo bb. Exercice 36 [ 0118 ] [correctio] Ue bade de 17 irates disose d u buti comosé de N ièces d or d égale valeur. Ils décidet de se le artager égalemet et de doer le reste au cuisiier (o irate). Celui ci reçoit 3 ièces. Mais ue rixe éclate et 6 irates sot tués. Tout le buti est recostitué et artagé etre les survivats comme récédemmet ; le cuisiier reçoit alors 4 ièces. Das u aufrage ultérieur, seul le buti, 6 irates et le cuisiier sot sauvés. Le buti est à ouveau artagé de la même maière et le cuisiier reçoit 5 ièces. Quelle est alors la fortue miimale que eut esérer le cuisiier lorsqu il décide d emoisoer le reste des irates?

4 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 014 Eocés 4 Nombres remiers et décomositio rimaire Exercice 37 [ 0119 ] [correctio] Motrer que les ombres suivats sot comosés : a) avec N b) avec Z. Exercice 38 [ 010 ] [correctio] Soiet a et deux etiers suérieurs à. Motrer que si a 1 est remier alors a = et est remier. Exercice 39 [ 0363 ] [correctio] Soit u aturel o ul. Motrer qu il existe toujours u ombre remier strictemet comris etre et! +. Exercice 40 [ 01 ] [correctio] Soit u ombre remier. a) Motrer b) E déduire que {1,,..., 1}, Z, [] Exercice 41 [ 013 ] [correctio] Soit E = {4 1/ N }. a) Motrer que our tout E, il existe P E tel que. b) E déduire qu il y a ue ifiité de ombre remier tel que = 1 [4]. Exercice 4 [ 014 ] [correctio] Justifier l existece de 1000 etiers cosécutifs sas ombres remiers. Exercice 43 [ 015 ] [correctio] Soit N, motrer Q m N, = m E déduire que / Q et 3 / Q Exercice 44 [ 016 ] [correctio] Pour P et Z, o ote v () l exosat de la lus grade uissace de divisat. a) Motrer que v (1000!) = 994. b) Plus gééralemet, calculer v (!). O raelle que x x R, = x Exercice 45 [ 017 ] [correctio] Soit N\ {0, 1}. Motrer que est le roduit de ses diviseurs o triviaux si, et seulemet si, = 3 avec P ou = 1 avec 1, P disticts. Exercice 46 [ 018 ] [correctio] Soiet P et α N. Détermier les diviseurs ositifs de α. Exercice 47 [ 019 ] [correctio] Soit N\ {0, 1} et = N sa décomositio rimaire. =1 α Quel est le ombre de diviseurs ositifs de? Exercice 48 [ 0130 ] [correctio] Soit N\ {0, 1} dot la décomositio rimaire est = O ote d() le ombre de diviseurs suérieurs ou égaux à 1 de et σ() la somme de ceux-ci. Motrer N N αi+1 i 1 d() = (α i + 1) et σ() = i 1 Exercice 49 [ 0131 ] [correctio] Soit σ : Z N qui à Z associe la somme de diviseurs ositifs de. a) Soit P et α N. Calculer σ( α ). N αi i

5 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 014 Eocés 5 b) Soiet a, b Z remiers etre eux. Motrer que tout diviseur ositif d du roduit ab s écrit de maière uique d = d 1 d avec d 1 et d diviseurs ositifs de a et b. c) E déduire que si a et b sot remiers etre eux alors σ(ab) = σ(a)σ(b). d) Exrimer σ() e foctio de la décomositio rimaire de. Exercice 50 [ 0653 ] [correctio] Soit u ombre remier, 5. Motrer que 1 est divisible ar 4. Exercice 51 [ 0309 ] [correctio] Soiet et N la somme de etiers imairs cosécutifs. Motrer que N est as u ombre remier. Exercice 5 [ ] [correctio] Soiet a, b N\ {0, 1} et N. O suose que a + b est u ombre remier. Motrer que est ue uissace de.

6 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 014 Correctios 6 Correctios Exercice 1 : [éocé] a) x = 1 est as solutio. Pour x 1 : x 1 x + 3 x+3 x 1 = x 1 Z x 1 Div(4) = {1,, 4, 1,, 4} Aisi S = {, 3, 5, 0, 1, 3}. b) x = est as solutio. Pour x : x + x + x + x+ = x + 6 x+ Z x + Div(6) = {1,, 3, 6, 1,, 3, 6}. Aisi S = { 1, 0, 1, 4, 3, 4, 5, 8}. Exercice : [éocé] a) O a xy = 3x + y (x )(y 3) = 6 E détaillat les diviseurs de 6 ossibles, o obtiet b) Pour x, y Z, S = {(3, 9), (4, 6), (5, 5), (8, 4), (1, 3), (0, 0), ( 1, 1), ( 4, )} 1 x + 1 y = 1 5x + 5y = xy (x 5)(y 5) = 5 5 E détaillat les diviseurs de 5 ossibles, o obtiet c) O a et doc S = {(6, 30), (10, 10), (30, 6), (4, 0), ( 0, 4)} x y 4x y = 5 (x ) (y + 1) = 8 x y 4x y = 5 (x y 3)(x + y 1) = 8 E détaillat les diviseurs de 8 ossibles et sachat { x y 3 = a x = a + b x + y 1 = b y = b a o obtiet + 1 S = {(5, 0), (5, ), ( 1, 0), ( 1, )} Exercice 3 : [éocé] a 1 = bq + r avec 0 r < b. ab 1 = (bq + r + 1)b 1 = qb +1 + b (r + 1) 1. Or 0 b (r + 1) 1 < b +1 doc la relatio ci-dessus est la divisio euclidiee de ab 1 ar b +1. Le quotiet de celle-ci est doc q. Exercice 4 : [éocé] 5 = 1 [11] doc 10 = 1 [11] uis 13 = 10 3 = ( 10 ) 1 8 = 1 8 = 8 [11]. 3 5 = 1 [11] doc 3 11 = = (3 5 ) 4 3 = 1 3 = 3 [11]. Aisi = = 0 [11] et doc Exercice 5 : [éocé] 134 = [7] et 3 = 1 [7] doc = 431 = 430 = 1 = [7]. 431 = [7] doc = 134 = 133 = 1 = [7]. Par suite = + = 4 [7]. Le reste cherché est 4. Exercice 6 : [éocé] a) Pour = 0, 1,, 3, 4, 5 o a 3 = [6] doc = 6 = 0 [6]. b) = 3.(3 ) + 4. = = 7. = 0 [7]. c) =.( ) + 3.(3 ) = = 5.4 = 0 [5]. d) = = 11 5 = 0 [11]. e) = (4 1)( ) 3 = 3( ) or = = = 0 [3] doc f) = (16 1)( ) 15 = 15( ) or = = = 0 [15] doc Exercice 7 : [éocé] O a ( + 1) + ( + 3) doc 10 + ( + 1) + ( + 3) = 0 ou 4 [10].

7 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 014 Correctios 7 Exercice 8 : [éocé] ( ) o ( ) O observe que : x x modulo 7. La seule ossibilité our que x + y = 0 [7] est que x = y = 0 [7]. Exercice 9 : [éocé] O eut écrire = + 1 et alors = ( + 1) = 4( + 1) + 1 Puisque l u des facteurs de ( + 1) est air, le roduit 4( + 1) est multile de 8 et doc 4( + 1) [8] Exercice 13 : [éocé] 3 ( + 4) (3 + 3) = 6 doc gcd( + 4, 3 + 3) 6. Exercice 14 : [éocé] a) O aa = bq + r avec 0 r < b. a 1 = bq+r 1 = bq+r r + r 1 = ( b 1)(1 + b + + b(q 1) ) r + r 1 avec 0 r 1 < b 1. b) Posos a 0 = a, a 1 = b et défiissos a,..., a m comme ar l algorithme d Euclide avec a m = gcd(a m 1, a m ). O a gcd( a 1, b 1) = gcd( a0 1, a1 1) = gcd( a1 1, a 1) =... = gcd( am 1, 0 1 Exercice 10 : [éocé] ( ) Si a b [m] alors m divise b a et divise a fortiori λb λa = λ(b a). ( ) Si λa λb [m] alors m divise λ(b a). Or m et λ sot suosés remiers etre eux doc m divise b a. Exercice 11 : [éocé] a) gcd(a, b) = 3 et 3a 4b = 3. b) gcd(a, b) = 1 et 11b 8a = 1 c) gcd(a, b) = 15 et a 5b = 15 Exercice 1 : [éocé] ( ) Suosos d = au + bv avec u, v Z. gcd(a, b) a et gcd(a, b) b doc gcd(a, b) au + bv = d. ( ) Suosos gcd(a, b) d. O eut écrire d = gcd(a, b) avec Z. Par l égalité de Bézout, il existe u 0, v 0 Z tels que et o a alors avec u = u 0 et v = v 0 Z au 0 + bv 0 = gcd(a, b) d = au + bv Exercice 15 : [éocé] Si le système ossède ue solutio alors d m est ue coditio écessaire. Iversemet si d m alors x = d et y = m doe u coule (x, y) N solutio. Exercice 16 : [éocé] Soit (x, y) N u coule solutio. Posos δ = gcd(x, y). O eut écrire x = δx et y = δy avec x y = 1 L équatio deviet : 1 + x y = x + y (x 1)(y 1) = 0 x = 1 ou y = 1 Aisi (x, y) est de la forme (δ, δ) ou (δ, δ) avec N. Iversemet ces coules sot solutios. Exercice 17 : [éocé] a) Soit (x, y) solutio. gcd(x, y) = 5 doc x = 5x et y = 5y avec x, y N remiers etre eux. cm(x, y) = 5x y = 60 doc x y = 1 d où (x, y ) {(1, 1), (, 6), (3, 4), (4, 3), (6, ), (1, 1)}. Les coules (, 6) et (6, ) sot à élimier car et 6 e sot as remiers etre eux. Fialemet (x, y) {(5, 60), (15, 0), (0, 15), (60, 5)}. Iversemet : o. Fialemet S = {(5, 60), (15, 0), (0, 15), (60, 5)}.

8 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 014 Correctios 8 b) Soit (x, y) solutio. gcd(x, y) = 10 doc x = 10x et y = 10y avec x, y N remiers etre eux. x + y = 10(x + y ) = 100 doc x + y = 10. Sachat x y = 1, il reste (x, y ) {(1, 9), (3, 7), (7, 3), (9, 1)} uis (x, y) {(10, 90), (30, 70), (70, 30), (90, 10)}. Iversemet : o. Fialemet S = {(10, 90), (30, 70), (70, 30), (90, 10)}. Exercice 18 : [éocé] Posos d = gcd(a, a + b). O a d a et d (a + b) alors d b = (a + b) a doc d gcd(a, b) = 1 uis d = 1. De même gcd(b, a + b) = 1. Aisi a (a + b) = b (a + b) = 1 et ar suite ab (a + b) = 1. Exercice 19 : [éocé] a) gcd(a, a + b) = gcd(a, b) et gcd(b, a + b) = gcd(a, b) = 1. Aisi (a + b) a = 1 et (a + b) b = 1 doc (a + b) ab = 1. b) Posos δ = gcd(a, b). O eut écrire a = δa et b = δb avec a b = 1. gcd(a + b, cm(a, b)) = δgcd(a + b, cm(a, b )) = δ Exercice 0 : [éocé] a) + = ( + 1). 1 ( + 1) = 1 doc ( + 1) = 1. ( + 1) 1 ( + 1) = 1 doc ( + 1) ( + 1) = 1 Par roduit ( + 1) ( + ) = 1. b) 3 + = (3 + ). 1 ( + 1) 1 = 1 doc ( + 1) = 1. 3 ( + 1) 1 (3 + ) = 1 doc (3 + ) ( + 1) = 1. Par roduit (3 + ) ( + 1) = 1. Exercice 1 : [éocé] ( + 1) 1 ( + 1) = 1 doc ( + 1) ( + 1) = 1. O a + 1 = doc + 1 ( + 1) = ( + 1) Puisque Z, o a + 1 or ( + 1) ( + 1) = 1 doc ( + 1) ( + 1) ( + 1) Exercice : [éocé] Posos d = gcd(a, bc) et δ = gcd(a, c). O δ a et δ c doc δ bc uis δ d. Iversemet d a et d bc. Or d b = 1 car d a et a b = 1. Doc d c uis d δ. Par double divisibilité d = δ. Exercice 3 : [éocé] a) Théorème de Bézout. b) Soit (u, v) Z u coule solutio. O a au + bv = 1 = au 0 + bv 0 doc a(u u 0 ) = b(v 0 v) O a a b(v 0 v) or a b = 1 doc a v 0 v. Aisi Z tel que v = v 0 a et alors a(u u 0 ) = b(v 0 v) doe a(u u 0 ) = ab uis u = u 0 + b (sachat a 0). c) Iversemet les coules de la forme ci-dessus sot solutios. Exercice 4 : [éocé] a) Uicité : Si (a, b ) et (α, β ) sot solutios alors doc Si b β alors ce qui est absurde. a + b = α + β (b β ) = (α a ) = α a b β Q

9 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 014 Correctios 9 O e déduit b = β uis a = α Existece : Par la formule du biôme (1 + ) = E séarat les termes d idices airs de ceux d idices imairs, o a avec b) O a a = E(/) =0 =0 (1 + ) = a + b et b = Or e rereat les calculs qui récèdet E(( 1)/) =0 ( + 1 a b = (a + b ) ( a b ) ) Exercice 6 : [éocé] Si a et l b alors l ab. Aisi ϕ(div(a) div(b)) div(ab). Soit d div(ab). Posos = gcd(d, a) et l = gcd(d, b). O a div(a), l div(b) et l = 1 car a b = 1. Comme d, l d et l = 1 o a l d. De lus = du + av et l = du + bv doc l = du + abv d où d l et fialemet d = l. Aisi ϕ(div(a) div(b)) = div(ab). Soit (, l) div(a) div(b) et (, l ) div(a) div(b). Si ϕ(, l) = ϕ(, l ) alors l = l. Comme l et l = 1 o a. De même doc =. De même l = l. Aisi ϕ est ijective et fialemet ϕ réalise ue bijectio de div(a) div(b) vers div(ab). Exercice 7 : [éocé] Suosos a b. Posos d = gcd(a, b). O a d = gcd(a, b) = gcd(a, b ) = a doc d = a uis a b. (1 ) = a b doc a b = (1 + ) (1 ) = ( 1) c) La relatio qui récède ermet d écrire a u + b v = 1 avec u, v Z O e déduit que a et b sot remiers etre eux. Exercice 5 : [éocé] Uicité : Si (d 1, d ) est solutio alors gcd(d, a) = gcd(d 1 d, a) Or d a = 1 car d b et a b = 1, doc gcd(d 1 d, a) = gcd(d 1, a) = d 1 car d 1 a. De même d = gcd(d, b) d où l uicité. Existece : Posos d 1 = gcd(d, a) et d = gcd(d, b). O a d 1 a et d b. d 1 a et d b doc d 1 d = 1 car a b = 1. d 1 d, d d et d 1 d = 1 doc d 1 d d. Iversemet : Par l égalité de Bézout o eut écrire d 1 = u 1 d + v 1 a et d = u d + v b doc d d 1 d = Ud + v 1 v ab car d ab. Exercice 8 : [éocé] O eut écrire x = q avec Z, q N et q = 1. x = Z doe q =. q = 1 doc q = 1. Puisque q 1 o a q 1 (ar Gauss). Par suite q = 1 et doc q = 1 et x = Z. Exercice 9 : [éocé] Il existe u, v Z tel que mu + v = 1. Aalyse : Si c coviet alors c = c mu+v = b u a v. A riori c Q. Sythèse : Soit c = b u a v. O a c = b u a v = a mu a v = a et de même c m = b. Puisque le ombre ratioel c ossède ue uissace etière, c Z. Exercice 30 : [éocé] Le ombre de côté du olygoe costruit est le lus etit etier N tel que. Posos δ = gcd(, ). O eut écrire = δ et = δ avec = 1. i.e.. Aisi = = /δ.

10 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 014 Correctios 10 Exercice 31 : [éocé] a) Par récurrece sur N : Pour = 1 : ϕ ϕ 0 ϕ 1 = 0 1 = 1 : o. Suosos la roriété établie au rag 1. ϕ + ϕ ϕ +1 = (ϕ +ϕ +1 )ϕ ϕ +1 (ϕ +ϕ 1 ) = ϕ ϕ +1 ϕ 1 = HR ( 1) = ( 1) +1 Récurrece établie. b) Par l égalité de Bézout o obtiet que ϕ ϕ +1 = 1 uisque la relatio récédete ermet d écrire uϕ + vϕ +1 = 1 avec u, v Z. c) Par récurrece sur m N Pour m = 1 : ϕ +1 = ϕ 1 ϕ +1 + ϕ 0 ϕ car ϕ 1 = 1 et ϕ 0 = 0. Suosos la roriété établie au rag 1 ϕ +m+1 = ϕ (+1)+m = ϕ Exercice 34 : [éocé] mϕ + +ϕ m 1 ϕ +1 = ϕ m ϕ +1 +ϕ m ϕ +ϕ m 1 ϕ +1 = ϕ m+1 ϕ +1 +ϕ m ϕ HR = 1 avec la relatio de Bézout Récurrece établie. d) gcd(ϕ m+, ϕ ) = gcd(ϕ m ϕ 1 +ϕ m 1 ϕ, ϕ ) = gcd(ϕ m ϕ 1, ϕ ) = gcd(ϕ m, ϕ ) car ϕ ϕ 1 = 1. Par récurrece o obtiet que Exercice 33 : [éocé] Suosos x = /q ue racie ratioelle de l équatio (E) avec et q remiers etre eux. E réduisat au même déomiateur, o obtiet + a 1 q a 1 q 1 + a 0 q = 0 Puisque q divise a 1 q a 1 q 1 + a 0 q, o obtiet que q divise. Or et q sot remiers etre eux doc écessairemet q = 1 et doc x = Z. Aisi les racies ratioelles de (E) sot etières = 1 Les ombres x 1 = 7 13 = 91 et x = 9 10 = 90 sot solutios des systèmes { x 1 [10] x 0 [13] et { x 0 [10] x 1 [13] q N : ϕ m ϕ = ϕ m+q ϕ O e déduit alors gcd(ϕ m, ϕ ) = gcd(ϕ, ϕ r ) car o eut écrire m = q + r avec q N. e) Suivos l algorithme d Euclide calculat gcd(m, ) : a 0 = m, a 1 =, a 0 = a 1 q 1 + a, a 1 = a q + a 3,..., a 1 = a q + 0 avec a = gcd(m, ) Or gcd(ϕ, ϕ m ) = gcd(ϕ a0, ϕ a1 ) = gcd(ϕ a1, ϕ a ) =... = gcd(ϕ a, ϕ 0 ) = ϕ a car ϕ 0 = 0. Aisi gcd(ϕ m, ϕ ) = ϕ gcd(m,). Exercice 3 : [éocé] Par l absurde, suosos que a i et a j (avec i, j {1,..., + 1}) e soiet as remiers etre eux. Cosidéros d u diviseur remier commu à a i et a j. L etier d est diviseur de a i a j doc de (i j).!. Puisque d est remier et diviseur de i j ou de!, il est écessairemet iférieur à et doc assurémet diviseur de!. Or d divise aussi a i = i.! + 1 et doc d divise 1. C est absurde. O e déduit que x = = 68 est solutio du système dot la solutio géérale est alors x = = l avec l Z Exercice 35 : [éocé] Il existe u, v Z tels que bu + b v = 1. Soit x = a bu + ab v. O a x = a bu + a abu = a [b] et x = a a b v + ab v = a [b ] doc x est solutio. Soit x ue autre solutio. O a x = x [b] et x = x [b ] doc b (x x) et b (x x). Or b b = 1 doc bb (x x). Iversemet, soit x tel que bb x x, o a bie x = x = a [b] et x = x = a [b ].

11 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 014 Correctios 11 Exercice 36 : [éocé] Notos x N le motat du trésor. De art les hyothèses x 3 [17] x 4 [11] x 5 [6] O commece ar résoudre le système { x 3 [17] x 4 [11] = 1 avec la relatio de Bézout = 1. O a alors la solutio articulière x = 3 ( 33) = 37 et doc x 3 [17] x 4 [11] x 5 [6] { x 37 [187] x 5 [6] = 1 avec la relatio de Bézout = 1. O a alors la solutio articulière x = 37 ( 186) + 5 (187) = 5947 La solutio géérale du système est alors x = = l avec l Z Le cuisiier eut esérer emocher au mois 785 ièces d or. Exercice 37 : [éocé] a) = ( + 1) 4 4 = (( + 1) )(( + 1) + ) = ( + 1)( + + 1). Cet etier est comosé our N car + 1 et b) = ( + 4) 9 = ( 3 + 4)( ). De lus les équatios = 0, 1 ou 1 et = 0,1 ou 1 ot as de solutios car toutes de discrimiat égatif. Par coséquet est comosée. Exercice 38 : [éocé] Suosos que a 1 remier. Comme a 1 = (a 1)(1 + a + + a 1 ) o a a 1 = 1 ou 1 + a + + a 1 = 1. Or et a 0 doc 1 + a + + a 1 1. Par coséquet a =. Motros maiteat que est remier. Si d alors o eut écrire = cd uis a 1 = (a d ) c 1. Si d alors c uis ar le résultat récédet o obtiet a d = uis d = 1. Aisi les seuls diviseurs de sot 1 et lui-même. Fialemet est remier. Exercice 39 : [éocé] Cosidéros l etier! + 1. Celui-ci est divisible ar u ombre remier iférieur à! + 1. Si ce ombre remier est aussi iférieur à alors il divise! (car aaraît comme l u des facteurs de ce roduit) et doc il divise aussi 1 = (! + 1)!. Ceci est absurde et doc le ombre remier e questio est au mois égal à + 1. Fialemet, il est strictemet comris etre et! +. Exercice 40 : [éocé] a) O a = 1 1 doc 1 = 1 Par suite. Or est remier et < doc = 1 uis e vertu du théorème de Gauss. b) Par récurrece fiie sur {0, 1,..., 1} Pour = 0 : o Suosos la roriété établie au rag {0, 1,..., } Par la formule du biôme 1 ( + 1) = [] =1

12 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 014 Correctios 1 car our Récurrece établie. Pour tout Z, il existe r {0, 1,..., 1} tel que r r r [] [] [] et Exercice 41 : [éocé] a) est imair, il est doc as divisible ar. Si tous les ombres remiers divisat sot tels que = 1 [4] alors = 1 [4] et doc / E b) Suosos qu il y e ait qu u ombre fii de ombres remiers Cosidéros = E Il existe P E tel que mais 1... doc 1. Absurde. Exercice 4 : [éocé] Cosidéros les x = 1001! + avec Ce sot 1000 etiers cosécutifs. Pour tout 1001, o a (1001)! doc x avec < x doc x / P. Exercice 43 : [éocé] ( ) o ( ) Si Q alors o eut écrire = q avec q = 1. O a alors q = doc De lus q = et q = 1 doe. Par double divisibilité =. i, i 3 e sot des carrés d u etier, doc / Q et 3 / Q. Exercice 44 : [éocé] a) v (1000!) = v (500!) car 1000! = ! avec roduit de ombres imairs. v (1000!) = = 994. b) E isolat les multiles de das le roduit décrivat!, o obtiet v (!) = + v (! ) uis or avec x = / doe uis fialemet avec v (!) = v (!) = + / x = x / = ( ) / + v! = l l Exercice 45 : [éocé] ( ) clair ( ) est divisible ar u ombre remier et e eut lui être égal. O eut doc écrire = d avec 1 < d <. Si d est remier alors o obtiet la secode forme. Sio, il e eut qu être divisible ar (car q d imlique que est u multile de qd car est roduit de ses diviseurs o triviaux). Le ombre d est alors de la forme d =. = 1 et 3 sot à exclure uisque est le roduit de ses diviseurs o triviaux. Il reste d = et alors = 3 Exercice 46 : [éocé] Soit d Div( α ) N. Notos β la lus grade uissace de telle que β d. O eut écrire d = β avec. Puisque et P o a = 1. Or α 1 doc, ar Gauss : 1. Par suite d = β avec β N. De lus d α doc β α uis β α. Iversemet : o. Exercice 47 : [éocé] Les diviseurs ositifs sot les d = N =1 β avec 1 N, 0 β α. Le choix des β coduisat à des diviseurs disticts, il y a exactemet N (α + 1) diviseurs ositifs de. =1

13 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 014 Correctios 13 Exercice 48 : [éocé] Soit d N diviseur de. Tout diviseur remier de d est aussi diviseur de et c est doc l u des 1,..., N. Par suite, o eut écrire d = N βi i avec β i N. βi i d doc βi i d où β i α i. Aisi d est de la forme d = N βi i avec our tout i {1,..., N}, 0 β i α i. Iversemet de tels ombres sot bie diviseurs de. Il y a autat de ombres de cette forme disticts que de choix our les β 1,..., β N.Pour β i, il y a α i + 1 choix ossibles, au total d() = N (α i + 1). De lus σ() = α 1 α β 1=0 β =0... α N β N =0 Par sommatio géométrique β1 1 β... β N N = σ() = N α 1 β 1=0 β1 1 αi+1 i 1 i 1 α β =0 β... α N β N =0 β N N Exercice 50 : [éocé] O eut factoriser 1 = ( 1)( + 1) est imair doc les ombres 1 et + 1 sot deux etiers airs cosécutifs, l u est divisible ar, l autre ar 4. Aisi 8 1 Les etiers 1,, + 1 sot cosécutifs, l u est divisible ar 3, ce e eut être car 5 remier. Aisi 3 1 Efi, 3 et 8 état remiers etre eux 4 1 Exercice 51 : [éocé] Notos + 1 le remier ombre imair sommé. O a 1 N = ( + + 1) = ( + ) =0 avec et +. Aisi N est comosé. Exercice 49 : [éocé] a) Div( α ) N = { 1,,,..., α} doc σ( α ) = α b) Soit d Div(ab) N. Posos d 1 = gcd(d, a) et d = gcd(d, b). O a d 1 Div(a) N et d Div(b) N. Puisque a b = 1 o a d 1 d = 1. Or d 1 d et d d doc d 1 d d. d 1 = du 1 + av 1 et d = du + bv doc d 1 d = d + abv 1 v d où d d 1 d. Fialemet d = d 1 d. Suosos d = δ 1 δ avec δ 1 Div(a) N et δ Div(b) N. O a d 1 δ 1 δ et d 1 δ = 1 doc d 1 δ 1 et de même δ 1 d 1 uis d 1 = δ 1. De même d = δ. c) σ(ab) = d = ( d 1 d = d 1) d b = σ(a)σ(b). d ab d 1 a d b d 1 a d b d) Si = α α N N alors σ() = N α i+1 1 i i 1. Exercice 5 : [éocé] O eut écrire = ( + 1) avec, N et l ejeu est d établir = 0. Posos α = a et β = b. O a a + b = α +1 + β +1 = α +1 ( β +1 ) O eut alors factoriser ar α ( β) = α + β et uisque a + b est u ombre remier, o e déduit que α + β = 1 ou α + β = a + b. Puisque α, β 1, le cas α + β = 1 est à exclure et uisque α a et β b, le cas α + β = a + b etraîe α = a et β = b Puisque a, l égalité α = a = α +1 etraîe = 0 et fialemet est ue uissace de.