DS - 3 : correction. Partie 1. Exercice 1. Pour tout n 2, on pose : n 1. V n =
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- Yves Paul
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1 Lycée Thiers DS - 3 : correctio Partie Exercice Pour tout, o pose : V ( i i Calculer V p+ pour tout p, e regroupat les termes coveablemet. E déduire le calcul de V p. Quelle formule «uifiée» peut-o proposer pour V? 3 E effectuat le chagemet d idice i j, exprimer la somme ( j j à l aide de V. 4 O pose à préset : A ji+ ( j i j a Dessier (e plaçat i e abscisse et j e ordoée le domaie de sommatio correspodat à cette somme. b Calculer A plus simplemet. Pour tout p : E regroupat les termes deux par deux, il viet : puis : O viet de voir que, pour tout : O peut uifier pour obteir : 3 E posat i j, o voit que : V p+ p V p+ ( i i p ( ( + p V p V p+ p p V si est pair sio, V ( ( j j ( i+ i ( i i
2 Autremet dit :, ( j j V 4 a Domaie de sommatio : b O itervertit les sommes, puis o met ce qu o peut e facteur de la somme itere : j ( j i A j ( j j i j or, o sait que : doc : soit fialemet : A j i j ( j ( j ( j V A ( Exercice Pour tout N, calculer plus simplemet : A S 0 Idicatio : pour le calcul de T, trasformer ( + 0 T 0 ( (pour e appliquat la formule de Pascal. O sait que : Il e résulte ausitôt que : Par ailleurs, o a : A
3 3 Compte teu de la formule de symétrie pour les coefficiets biomiaux, ces deux derières sommes sot égales. E effet, e posat j : Par coséquet : + + j0 j S Efi, e suivat l idicatio doée par l éocé : [ T + ( + ( + j0 ] + j [ ( ce qui fait apparaître ue sommatio télescopique. Après simplificatio, il reste : T ( ( ] ( Exercice 3 Vérifier que, pour tout (, N tel que : E déduire, pour p, le calcul de : 3 Calculer, pour : ( ( S,p + p lim p + S,p ( + ( O calcule, avec la formule de Fermat : ( ( ( +! (!! d où, e multipliat umérateur et déomiateur par + : O a doc : Si, alors ( 0 doc : ( ( ( +! ( +! ( +! ( ( ( ( ce qui red télescopique la somme demadée : S,p p ( + ( + + ( + p ( + ( +! ( +!! + ( + p + ( p+
4 4 3 O observe que, pour p : p +! ( p +!! p! p j ( p+ Le déomiateur état de la forme f ( p, où f est u polyôme de degré, il ted vers + lorsque p +. Compte teu de la formule établie au, il s esuit que : lim S,p p j0 Partie Exercice Das ce qui suit, o cosidère ue applicatio f : X Y. Pour chacue des assertios suivates, o demade de préciser (sas doer de justificatios ce qu elle apporte (évetuellemet comme iformatio supplémetaire sur f. L assertio y Y; x X, f (x y sigifie que... f est costate L assertio (x, x X, f (x f (x sigifie que... f est costate 3 L assertio (x, x X ; f (x f (x sigifie que... rie 4 L assertio x X, a X, ( f (x f (a ou x a sigifie que... f est ijective 5 L assertio y Y, x X; f (x y sigifie que... f est surjective 6 L assertio x X; y Y, f (x y sigifie que... Y est u sigleto Exercice Soiet deux applicatios f, g : E F. O pose : ϕ : E F, x ( f (x, g (x Motrer que ( f ou g ijective ( ϕ ijective et que la réciproque est fausse (u cotre-exemple avec des «patates» suffira. Soiet x, x E tels que ϕ (x ϕ (x c est-à-dire : f (x f (x et g (x g (x Parmi f et g, l ue au mois est ijective par hypothèse. O e déduit que x x et ceci motre que ϕ est ijective. La réciproque est fausse comme le motre l exemple suivat :
5 5 ϕ est ijective car ϕ (a (x, x, ϕ (b ( x, y et ϕ (c ( y, y (il existe doc pas deux élémets disticts de l esemble de départ ayat la même image. Cepedat, f est pas ijective car f (a f (b et g o plus car g (b g (c. Exercice 3 O cosidère deux applicatios u : E F et v : F G. Motrer, de deux maières, que : ( v u surjective et v ijective ( u surjective ère méthode Comme v u est surjective, alors v est surjective. Mais v est aussi supposée ijective : c est doc ue bijectio. L égalité u v (v u motre alors que u est surjective (composée de deux surjectios. ème méthode Soit y F. Comme, v u est surjective, il existe x E tel que v ( y (v u (x. Puis, comme v est ijective : y u (x. La surjectivité de u est établie. Exercice 4 O cosidère ue applicatio u : E F. Motrer que (B, B P (F, u B B u B u B. Motrer que (A, A P (E, u A A u A u A. 3 Motrer que (A, A P (E, u A A u A u A et que l iclusio iverse est e gééral fausse. 4 Motrer que si u est ijective, alors (A, A P (E, u A A u A u A. 5 Motrer que la réciproque de l implicatio établie au 4 est vraie. Soiet B, B F. Etat doé x F : x u B B (u (x B ou u (x B ( x u B ou x u B x u B u B O a doc : u B B u B u B
6 6 Soiet A, A E. Comme A A A, il est clair que u A u A A. De même u A u A A. Il s esuit que u A u A u A A Par ailleurs, si y u A A, alors il existe x A A tel que y u (x. Si x A, alors y u A et si x A, alors y u A. O voit aisi que y u A u A. Ceci prouve que : u A A u A u A et fialemet : u A A u A u A 3 Soiet A, A E. Comme A A A, il est clair que u A A u A. De même u A A u A. Il s esuit que u A A u A u A L iclusio iverse est pas vraie e gééral, comme le motre l exemple suivat. Cosidéros l applicatio : u : {0, } {} défiie de la seule faço possible : u (0 u (. E choisissat A {0} et A {}, o voit que : u A A u tadis que : u A u A {} {} {} 4 Soiet A, A E. O sait déjà (cf questio 3 que u A A u A u A. Soit maiteat y u A u A. Il existe a A tel que y u (a et il existe a A tel que y u (a. Comme u est ijective, et vu que u (a u (a, il viet a a et e particulier a A A. Aisi y u A A. O a prouvé que : u ijective ( (A, A P (E, u A A u A u A 5 Soiet x, x E tels que x x. Posos A {x} et A {x }. Par hypothèse : u {a} u {a } u {a} {a } c est-à-dire : {u (a} {u (a } ou ecore : u (a u (a. L ijectivité de u est établie.
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