Annales de sujets d examen. Volume 5 : Licence 3 Semestre 1

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1 UFR 02 SCIENCES ECONOMIQUES Annales de sujets d examen Volume 5 : Licence 3 Semestre 1 Volumes élaborés par la commission pédagogique de l UFR d économie

2 Avertissements : - Suite au changement de contrat quadriennal, l intitulé, le contenu des cours, et par conséquent la nature des sujets d examen ont parfois connu des modifications sensibles à partir de l exercice universitaire C est pourquoi, dans certaines matières, vous ne trouverez dans les présents volumes que les sujets de l année dernière. - D autres matières ont également changé de semestre à l occasion de la mise en œuvre du contrat quadriennal. C est pourquoi pour une même matière, il est possible de trouver des sujets d examen correspondant à des semestres de L différents. Dans les présents volumes d annales, les matières sont réparties selon l architecture du quadriennal actuel. - La thématique des projets tutorés est susceptible de changer chaque année. Les éventuels documents compilés dans ces volumes d annales ne sont donc fournis qu à titre indicatif. - D autres documents pédagogiques du même ordre (sujets d examens antérieurs, sujets et corrigés d exercices de TD, d interrogations de rattrapage) sont susceptibles de se trouver sur les EPI (Espaces Pédagogiques Interactifs) de vos différentes matières. Il est donc fortement recommandé de consulter régulièrement ces derniers : pagelibre/&rh=n1sitesepi&rf=rub_u02 - Merci, enfin, de lire attentivement le règlement du contrôle des connaissances de l UFR d économie, situé en fin de volume. Page 1

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4 UFR 02 SCIENCES ECONOMIQUES Annales de sujets d examen Licence 3 S5 (premier semestre) Table des matières : Macroéconomie : Croissance (sujets et corrigés, p. 5) Statistique Appliquée (sujets et éléments de correction, p. 40) Microéconomie appliquée [option] (sujets, p. 52) Règlement du contrôle des connaissances (p. 64) Page 3

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6 Université Paris 1 Panthéon Sorbonne Macroéconomie L3 Cours de K. Schubert Partiel de janvier 2011 Question (8 points) En quoi le progrès technique est-il un facteur essentiel de la croissance? Peut-on penser qu il est exogène? S il ne l est pas, comment l analyse économique explique-t-elle l apparition des innovations? Exercice 1 (7 points) On considère une économie dans laquelle le stock de capital K et le stock de connaissances technologiques A évoluent de la manière suivante : _K t = Y t _ A t = my t où Y et C sont respectivement la production et la consommation agrégées, et le coe cient m une constante positive. La fonction de production est : C t Y t = bk t (A t L) 1 ; b > 0; 0 < < 1 L emploi L est constant. Le taux d épargne est constant et égal à s. 1) Interprétez le modèle. Pour cela, commentez chacune des équations et les hypothèses qu elles incorporent, puis indiquez s il s agit d un modèle de croissance à la Solow ou d un modèle de croissance endogène, en justi ant votre réponse. 2) On dé nit la variable z = K=A. Montrez que le taux de croissance g K du capital, d une part, et celui g A du stock de connaissances, de l autre, peuvent s exprimer en fonction de z et des paramètres et données du problème. 3) Représentez sur le même schéma les deux taux de croissance g K et g A en fonction de z. Pour cela, étudiez si chacun de ces taux est une fonction croissante ou décroissante, et convexe ou concave de z: 4) Montrez que l économie représentée par ce modèle admet un sentier de croissance équilibrée de long terme. Indiquez comment ce sentier est déterminé. Calculez les valeurs stationnaires de z et du taux de croissance de l économie (on notera ces valeurs z et g ). Commentez : quels sont les déterminants de la croissance à long terme? En utilisant le schéma de la question précédente, montrez par un raisonnement graphique que le point stationnaire est stable. Interprétez la trajectoire de croissance lorsque l économie part d un niveau bas de z. 5) Quel est le taux d intérêt réel dans cette économie? Donnez son expression en fonction de z:interprétez. Page 5

7 6) On suppose qu il existe deux pays, le Nord et le Sud, décrits par le modèle précédent. Le Nord et le Sud ont la même technologie, la même population et le même taux d épargne, mais des niveaux initiaux di érents de capital physique et de connaissances technologiques : le Nord a initialement à la fois plus de capital physique et plus de capital technologique (K N 0 > K S 0 et A N 0 > A S 0 ). Le capital physique est mobile d un pays à l autre. Partant de la situation initiale, comment est déterminée son allocation entre les deux pays? 7) Pourquoi est-il possible que le capital se déplace du Sud vers le Nord? Commentez. Exercice 2 (5 points) On considère une économie à la Solow sans progrès technique dans laquelle le taux de croissance démographique est donné par : _L t = n + L t k t où L t représente la population, k t le capital par tête, et n et sont des paramètres positifs Le taux d épargne de l économie, s > 0, est exogène et constant. Il n y a pas de dépréciation du capital. La fonction de production est Y t = F (K t ; L t ) où F est une fonction à rendements d échelle constants possédant les propriétés habituelles. 1) Représenter graphiquement le taux de croissance démographique en fonction du capital par tête et commenter la spéci cation adoptée. Quel phénomène démographique cette spéci cation cherche-t-elle à reproduire? 2) Ecrire l équation d accumulation du capital par tête. E ectuer la représentation graphique de cette équation, en adaptant la représentation habituelle du modèle de Solow. Existe-t-il un état stationnaire? Commenter. 3) Etudier graphiquement la stabilité du ou des états stationnaires et commenter. Que se passe-t-il quand il n existe pas d état stationnaire? 4) Que se passe-t-il si n = 0? 5) On considère maintenant le cas d une fonction de production AK : Y t = AK t avec A > n: Ecrire l équation d accumulation du capital par tête. Existe-t-il un état stationnaire? s Si oui, est-il stable? Si non, comment se comporte cette économie? Commenter. 2 Page 6

8 Macroéconomie L3 Partiel de janvier 2011 Corrigé des exercices Exercice 1 Le modèle : _K t = Y t C t _ A t = my t ; m > 0 Y t = bk t (A t L) 1 ; b > 0; 0 < < 1; L > 0 constant C t = (1 s)y t 1) Interprétation du modèle. Equation d accumulation du capital standard avec taux de dépréciation du capital nul. A chaque date, production de connaissances proportionnelle à la production de biens i.e. le stock de connaissances à une date t donnée est proportionnel à la production cumulée entre 0 et t : learning by doing; Fonction de production de biens Cobb-Douglas à rendements d échelle constants et progrès technique portant sur le travail, neutre au sens de Harrod. Modèle de croissance endogène : le rendement conjoint des 2 facteurs accumulables K et A dans la production est constant. 2) On dé nit la variable z = K=A. Taux de croissance du capital et du stock de connaissances : C t g K;t = K _ t = Y t K t K t g A;t = A _ t = my t = mbk t (A t L) 1 A t A t 3) dg K dz dg A dz = sy t = sbk t (A t L) 1 = sbkt 1 (A t L) 1 = sbl 1 zt 1 K t K t A t = mbk t A t L 1 = mbl 1 z t = ( 1)sbL 1 z 2 d 2 g K < 0; = ( 2)( 1)sbL 1 z 3 > 0 dz 2 = mbl 1 z 1 d 2 g A > 0; dz = ( 2 1)mbL1 z 2 < 0 g K est donc une fonction décroissante et convexe de z; tandis que g A est une fonction croissante et concave de z: Cf. schéma. Page 7

9 6 g A g - - z g K - z 4) La di érentiation logarithmique de la fonction de production par rapport au temps donne : _Y t K = _ t A + (1 ) _ t Y t K t A t S il existe un sentier de croissance équilibrée de long terme le long duquel production et stock de capital croissent au même taux g K constant, alors l expression précédente montre que le stock de connaissance croît aussi au même taux : g A = g K : On note ce taux g : Le point stationnaire est obtenu à l intersection des 2 courbes sur le schéma précédent. On a g K = g A () sbl 1 z 1 = mbl 1 z () z = s m Alors g = sbl 1 z 1 = sbl 1 s m 1 = s m 1 bl 1 Le taux de croissance de long terme est une fonction croissante du taux d épargne, du paramètre m représentant l e cacité du learning by doing, de la PGF b et de la taille de la population L (e et d échelle). Le point stationnaire est stable. On voit sur le schéma que si z < z alors g K > g A : le stock de capital croît plus vite que le stock de connaissances, ce qui fait augmenter z = K=A: On se rapproche alors de z : Raisonnement symétrique si z > z : Une économie partant d un niveau bas de z est une économie dans laquelle initialement le stock de connaissances est élevé mais qui manque de capital physique pour produire. Ce type d économie, dans la transition vers le sentier de croissance équilibrée où K et A croissent au même taux, doit accumuler relativement plus de capital physique que de connaissances. 5) Le taux d intérêt réel est la productivité marginale du capital : r t = bkt 1 (A t L) 1 = bl 1 zt 1 C est une fonction décroissante de z: En e et, plus z est faible plus le stock de capital physique est peu abondant relativement au stock de connaissances et plus l économie doit en accumuler, ce qui est rendu possible par un taux d intérêt élevé. 6) Il existe deux pays, le Nord et le Sud, ayant la même technologie, la même population et le même taux d épargne, mais des niveaux initiaux di érents de capital physique et de connaissances technologiques : le Nord a initialement à la fois plus de capital physique et plus de capital technologique (K N 0 > K S 0 et A N 0 > A S 0 ). Le capital physique est mobile 2 Page 8

10 d un pays à l autre. Son allocation entre les deux pays est déterminée par les valeurs respectives du taux d intérêt réel dans les deux pays : le capital se déplace vers le pays qui le rémunère le plus. Les mouvements de capital entraînent l égalisation à long terme des taux d intérêt au niveau 7) Initialement, on a r = bl 1 z 1 = bl 1 m s 1 r N 0 = bl 1 (z N 0 ) 1 et r S 0 = bl 1 (z S 0 ) 1 Le pays qui a le taux d intérêt le plus élevé est celui qui a le z le plus faible, et c est vers ce pays que va se diriger le capital physique. Ce qui compte ce n est donc pas le niveau absolu de K et A dans les deux pays, mais le niveau relatif z = K=A: On sait que le Nord a initialement à la fois plus de capital physique et un plus grand stock de connaissances technologiques que le Sud, mais ceci ne dit rien sur les niveaux relatifs z N 0 et z S 0 : Si z N 0 < z S 0 ; on aura r N 0 > r S 0 et le capital physique se déplacera du Sud vers le Nord. Exercice 2 (5 points) Economie à la Solow sans progrès technique dans laquelle le taux de croissance démographique est donné par : _L t L t = n + k t 1) Cette spéci cation du taux de croissance démographique modélise (grossièrement) un e et de type transition démographique : plus les agents sont riches (capital par tête k élevé) plus la croissance démographique est faible. Quand k devient très grand le taux de croissance démographique se stabilise à un niveau constant n: Quand k tend vers 0 il est in ni (pas plausible ; il faudrait borner cet e et). C est l inverse d un e et malthusien dans lequel le taux de croissance démographique serait une fonction croissante du revenu par tête. _L L 6 n - k 2) Equation d accumulation du capital, en l absence de dépréciation : _K t = sf (K t ; L t ) D où l équation d accumulation du capital par tête k t = K t =L t : _k t = _ K t L t L 2 t K t _ Lt = sf (K t; L t ) L t _ Lt L t K t L t = sf(k t ) nk t 3 Page 9

11 Représentation graphique de cette équation : 6 nk t +, n élevé bnk t + nk t +, n faible sf(k t ) k k2 - k t Pour donné, on voit graphiquement qu en fonction de la valeur de n il existe 2 (pour n faible), 1 (pour une valeur unique de n intermédiaire) ou 0 (pour n élevé) états stationnaires. 1 3) Dans le cas où il existe 2 états stationnaires, on voit graphiquement que celui correspondant au capital par tête le plus élevé k 2 est stable tandis que l autre est instable. Dans le cas où il n existe pas d état stationnaire, quelque soit le niveau initial du capital par tête la croissance démographique est trop élevée (l e et de dilution est trop fort par rapport à l épargne par tête), le capital par tête diminue et l économie s e ondre à long terme, avec k! 0 et L! 1 (de nouveau, très peu plausible). 4) Si n = 0, il existe un état stationnaire unique k déterminé par f(k ) = =s: On peut montrer graphiquement qu il est instable. Si k 0 < k (économie initialement pauvre, à la forte croissance démographique) l e et de dilution est toujours trop fort par rapport à l épargne et l économie s e ondre à long terme. Si k 0 > k c est l inverse : k croît de façon perpétuelle tandis que le taux de croissance démographique tend vers 0 (la population se renouvelle juste). 5) Dans le cas d une fonction de production AK Y t = AK t avec A > n s ; l équation d accumulation du capital par tête devient _k t = (sa n) k t 1 Remarque : on peut calculer en fonction de le taux n limite pour lequel l état stationnaire est unique. On obtient pour une fonction de production Cobb-Douglas f(k) = k : C est une fonction décroissante de : s (1 ) 1 bn() = Page 10

12 6 (sa n)k t k t Il existe un état stationnaire unique, instable (cf. graphique). Si le capital par tête initial est plus faible que le capital par tête stationnaire, l économie s e ondre à long terme. Dans le cas contraire, le capital par tête croît perpétuellement, son taux de croissance de long terme tendant vers sa n: 5 Page 11

13 Université Paris 1 Panthéon Sorbonne Macroéconomie L3 Cours de K. Schubert Partiel de janvier 2010 Question (8 points) Sous quelle forme les modèles de croissance récents incorporent-ils les idées ou encore la connaissance, et pourquoi le font-ils? Quelles sont les propriétés caractérisant les idées en tant que bien économique, et quelles sont les implications de ces propriétés pour la croissance? Exercice 1 : la stagnation malthusienne (7 points) On considère une économie agricole dont la fonction de production est Y t = A t T L 1 t ; 0 < < 1: Y t est la production agricole à l instant t; L t l emploi dans l agriculture, assimilé à la population, T le stock de terre, disponible en quantité xe et normalisé à 1 dans la suite de l exercice, et A t le stock de connaissances de l économie. 1) Le stock de connaissances est constant au cours du temps et la population évolue au taux n T 0; exogène et constant : _ Lt =L t = n. Donnez l expression du niveau du revenu par tête y t = Y t =L t et celle de son taux de croissance. Que se passe-t-il à long terme dans cette économie? Expliquez. 2) La population croît toujours au taux n mais le stock de connaissances évolue maintenant au cours du temps de la façon suivante : _A t = L t A t ; > 0; 0 < < 1; 1: a) Commentez cette spéci cation. Que représentent les paramètres ; et? Vous expliquerez plus particulièrement la signi cation des di érentes valeurs que peut prendre le paramètre ( = 1; 0 < < 1; < 0). b) Donnez l expression du taux de croissance du stock de connaissances en fonction de la population totale et du stock de connaissances, et l expression du taux de croissance du revenu par tête. c) A quelle(s) condition(s) existe-t-il un sentier de croissance équilibrée à taux constant? Quel est alors, le long de ce sentier, le taux de croissance du revenu par tête? Vous distinguerez dans la réponse les cas = 1 et 6= 1 et vous commenterez les di érences entre les sentiers de croissance de long terme obtenus dans les deux cas. 3) Le stock de connaissances est constant mais le taux de croissance démographique est fonction du revenu par tête : _L t L t = n(y t ); avec n 0 (y t ) > 0; n 00 (y t ) < 0; n(0) = n < 0; lim y t!1 n(y t) = n > 0: a) Représentez graphiquement le taux de croissance démographique en fonction du revenu par tête. Vous noterez y le revenu par tête pour lequel le taux de croissance démographique s annule. Commentez la pertinence de la spéci cation retenue. Page 12

14 b) Ecrivez l équation di érentielle représentant l évolution au cours du temps du revenu par tête. Donnez une représentation graphique de cette équation dans le plan (y t ; _y t =y t ): Existe-t-il un état stationnaire? Si oui, étudiez graphiquement sa stabilité. c) Expliquez quelle sera l évolution de l économie à partir d une situation initiale où la population L 0 est très faible, de sorte que y 0 > y. Que se passe-t-il à long terme? Pourquoi peut-on quali er la situation de long terme de cette économie de stagnation malthusienne? 4) Le taux de croissance démographique dépend du revenu par tête, et le stock de connaissances croît à taux constant : A_ t =A t = > 0: a) Ecrivez l équation di érentielle représentant l évolution au cours du temps du revenu par tête. Donnez-en une représentation graphique dans le plan (y t ; _y t =y t ): Existe-t-il un état stationnaire? b) Comparez le long terme de cette économie avec celui d une économie identique sans accumulation de connaissances (voir la question 3). Commentez. A quelle condition l accumulation de connaissances permet-elle de sortir de la stagnation malthusienne? Exercice 2 : learning by doing et croissance (5 points) 1) On considère une économie dans laquelle M entreprises identiques (indicées par i) ont chacune la fonction de production suivante : Y it = K 1 (A t L i ) it où Y it est la production de l entreprise i à l instant t; K it son stock de capital productif, L i l emploi supposé constant. A t représente le progrès technique, avec A t = MX K it = K t i=1 où K t est le stock de capital agrégé. a) Commentez les hypothèses sous-jacentes à cette formulation du progrès technique. b) Donnez l expression de la fonction de production macroéconomique. Commentez, en discutant en particulier des rendements d échelle aux niveaux microéconomique et macroéconomique. 2) On admet que le comportement des consommateurs conduit à la relation suivante donnant le taux de croissance de la consommation : _C t C t = (r t ) où r est le taux d intérêt réel, représente l élasticité de substitution intertemporelle de la consommation et le taux de préférence pour le présent des consommateurs. a) Calculez les productivités marginales sociale et privée du capital physique. Sont-elles décroissantes? constantes? Comparez-les et commentez. b) Que valent les taux de croissance à l optimum social (g opt ) et à l équilibre concurrentiel (g eq )? Comparez-les. c) Que valent les taux d épargne de l économie, à l optimum social (s opt ) et à l équilibre concurrentiel (s eq )? Comparez-les. 3) On choisit = 1 et = 5 %. On étalonne le modèle de sorte qu il fournisse, à l équilibre concurrentiel, g eq = 3 %, r eq = 5 % et s eq = 20 %. a) Déduisez-en successivement la valeur du taux de préférence pour le présent ; celle du facteur d échelle AL et celle de la part du capital dans la production 1 : b) Calculez en n les grandeurs correspondantes à l optimum social, r opt, g opt et s opt. Ces valeurs vous semblent-elles plausibles? Discutez de la pertinence du modèle à la lumière de ces résultats. 2 Page 13

15 Macroéconomie L3 Partiel de janvier 2010 Eléments de corrigé Question Modèles de croissance récents : endogénéisation du progrès technique. La connaissance est un bien produit intentionnellement à l aide de ressources (matérielles et humaines). Connaissance, idée : bien économique particulier, non rival mais potentiellement exclusif (modalités de l exclusion : secret, protection par le brevet, droit d auteur). Fonction de production des biens (privés) associés aux idées : coût xe très élevé coûts variables négligeables coût moyen toujours supérieur au coût marginal prix élevé même si coût marginal faible rendements croissants concurrence imparfaite Exercice 1 : la stagnation malthusienne On considère une économie agricole dont la fonction de production est Y t = A t T L 1 t ; 0 < < 1: Y t est la production agricole à l instant t; L t l emploi dans l agriculture, assimilé à la population, T le stock de terre, disponible en quantité xe et normalisé à 1 dans la suite de l exercice, et A t le stock de connaissances de l économie. 1) Le stock de connaissances est constant au cours du temps et la population évolue au taux n T 0; exogène et constant : _ Lt =L t = n. Le revenu par tête est et son taux de croissance vaut : y t = Y t = ALt L t _y t y t = Si le taux de croissance démographique est positif, le revenu par tête diminue à taux constant et tend à long terme vers 0. Ceci provient du fait que la terre est disponible en quantité xe tandis que la population croît. Si le taux de croissance démographique est négatif en revanche, le revenu par tête augmente à taux constant. Aucun des deux cas n est convaincant : il manque à ce modèle un lien entre la croissance de la population et le revenu par tête. n: Page 14

16 2) La population croît toujours au taux n mais le stock de connaissances évolue maintenant au cours du temps de la façon suivante : _A t = L t A t ; > 0; 0 < 1; 1: a) La production de connaissances _ A t est d autant plus importante que la population est grande. Si = 1; la productivité du travail dans la production de connaissances est constante, alors qu elle est décroissante si 6= 1; ce qui semble plus pertinent. représente l e cacité du processus de production de connaissances. mesure l impact du stock de connaissances existant sur la production de nouvelles connaissances. = 1 est le cas envisagé par Romer. La production de connaissances augmente avec le stock de connaissances car > 0 (e et standing on shoulders). En outre, le taux de croissance du stock de connaissances est indépendant du niveau de ce stock car = 1 ; autrement dit, la productivité du stock de connaissances dans la production de connaissances est constante. Dans le cas 0 < < 1 l e et standing on shoulders est présent, mais la productivité du stock de connaissances dans la production de connaissances est décroissante. Dans le cas < 0; la production de connaissances est une fonction décroissante du stock de connaissances. E et d épuisement des opportunités technologiques ( shing out). b) Taux de croissance du stock de connaissances et du revenu par tête : A_ t = L A t A 1 t t _y t y t = _ A t A t n: c) Dans le cas = 1; _A t =A t = L t et il existe un sentier de croissance équilibrée à taux constant si et seulement si L t est constant, c est-à-dire si et seulement si le taux de croissance démographique est nul. Dans ce cas, le taux de croissance du revenu par tête est _y t A = _ t = L : y t A t Il est toujours positif, fonction de la taille de la population (e et d échelle) et de l e cacité du processus de production de connaissances. Dans le cas 6= 1; il existe un SCE à taux constant si et seulement si L t A 1 t est constant, c est-à-dire si et seulement si le taux de croissance de cette grandeur est nul : i.e. dont on déduit _L t L t + ( _ A t A t = 1 _y t = y t 1 A 1) _ t = 0 A t n n: Pour que le taux de croissance du revenu par tête soit positif, il faut que et soient su samment élevés (productivité du travail et du stock de connaissances dans la production de connaissances pas trop décroissantes). 2 Page 15

17 3) Le stock de connaissances est constant mais le taux de croissance démographique est fonction du revenu par tête : _L t L t = n(y t ); avec n 0 (y t ) > 0; n 00 (y t ) < 0; n(0) = n < 0; lim y t!1 n(y t) = n > 0: a) Représentation graphique du taux de croissance démographique en fonction du revenu par tête : n(y) 6 n y - y n Cette formulation indique que le taux de croissance démographique est une fonction croissante du revenu par tête ; il est négatif quand celui-ci est très faible, inférieur au niveau y qui permet tout juste à la population de se renouveler, puis devient positif quand le revenu par tête excède y ; il ne peut cependant pas croître indé niment : il existe un maximum biologique n: A y correspond, par la fonction de production, une population L : 1 A L = : b) Le taux de croissance du revenu par tête est : y _y t y t 6 n _y t y t = n(y): y - y n L état stationnaire est y : On voit graphiquement qu il est stable : si y t < y ; _y t =y t > 0 et y t augmente ; c est l inverse si y t > y :. c) On part d une situation initiale dans laquelle la population L 0 est très faible. La fonction de production indique alors que le revenu par tête est élevé. S il est supérieur à y ; on a simultanément une croissance démographique positive et une baisse du revenu par tête, jusqu à ce que l économie converge vers l état stationnaire (y ; L ): C est la stagnation malthusienne : la croissance démographique associée à une technologie dépendant d un facteur xe maintient l économie dans une trappe. 3 Page 16

18 4) Le taux de croissance démographique dépend du revenu par tête, et le stock de connaissances croît à taux constant : A_ t =A t = > 0: Le taux de croissance du revenu par tête est alors : _y t y t = n(y): On distingue deux cas très di érents (voir gure) : n(y) > 0 8y, n > 0 et n < 0: Dans le premier cas, le taux de croissance du revenu par tête est toujours positif, et il tend à long terme vers n: L accroissement du stock de connaissances se fait à un rythme su sant pour que l économie sorte de la trappe malthusienne. Dans le second cas, l accroissement du stock de connaissances permet juste de déplacer l état stationnaire au niveau y > y : _y t y t = 0, n(y ) = : A l état stationnaire, la croissance démographique est maintenant positive. _y t y t 6 cas n < 0 n6 cas n 0 n n n y by n - y y - y n n n Exercice 2 : learning by doing et croissance 1) On considère une économie dans laquelle M entreprises identiques (indicées par i) ont chacune la fonction de production suivante : Y it = K 1 (A t L i ) it où Y it est la production de l entreprise i à l instant t; K it son stock de capital productif, L i l emploi supposé constant. A t représente le progrès technique, avec A t = a 1 MX K it = a 1 Kt i=1 où K t est le stock de capital agrégé et a un paramètre positif. a) Formulation du progrès technique : learning by doing à la Arrow. 4 Page 17

19 b) Fonction de production macroéconomique : Y t = MX Y it = i=1 MX i=1 K 1 it (A t L i ) = MX i=1 1 Kt M a 1 L Kt = al K t : M Les rendements d échelle sont constants au niveau microéconomique et croissants au niveau macroéconomique, en raison de l externalité. 2) On admet que le comportement des consommateurs conduit à la relation suivante donnant le taux de croissance de la consommation : _C t = (r t ) C t où r est le taux d intérêt réel, représente l élasticité de substitution intertemporelle de la consommation et le taux de préférence pour le présent des consommateurs. a) La productivité marginale sociale du capital physique est P t = al : Elle est constante. La productivité marginale privée vaut : P mp it = (1 )K it (A t L i ) Kt L = (1 ) A t = (1 M M Elle est décroissante. Ex post cependant, on a A t = a 1 Kt et P mp = (1 )al : )K t (A t L) : La productivité marginale privée est inférieure à la productivité marginale soiale, car l externalité n est pas prise en compte par le marché et les entreprises sous-estiment donc le rendement de leur investissement. b) Taux de croissance à l optimum social : g opt = (r opt ) = (P ms ) = (al ): Taux de croissance à l équilibre concurrentiel : g eq = (r eq ) = (P mp ) = ((1 )al ): L équilibre concurrentiel est sous-optimal. c) Taux d épargne de l économie : g eq < g opt : On a donc s = _ K + K Y = _ K + K K K Y = g + al : s opt = g opt + = (al ) + (1 ) al al s eq = g eq + al = ((1 )al ) + (1 ) al : s eq < s opt : 5 Page 18

20 3) On choisit = 1 et = 5 %. On étalonne le modèle de sorte qu il fournisse, à l équilibre concurrentiel, g eq = 3 %, r eq = 5 % et s eq = 20 %. a) On a alors g eq = r eq al = g eq + = s eq 1 = r eq + = 0; 1 AL 0; 4 b) Grandeurs correspondantes à l optimum social : = 0; 05 0; 03 = 0; 02 = 2 % 0; 08 0; 2 = 0; 4 = 0; 25: r opt = al = 0; 4 0; 05 = 0; 35 = 35 % g opt = (r opt ) = 0; 35 0; 02 = 0; 33 = 33 % s opt = g opt + 0; 38 = = 0; 95 = 95 % al 0; 4 soit des valeurs manifestement irréalistes. L externalité est beaucoup trop forte dans ce modèle ; elle induit un écart entre équilibre concurrentiel et optimum social beaucoup trop grand. 6 Page 19

21 Université Paris 1 Panthéon Sorbonne Macroéconomie L3 (Magistère, MOSEF, MASS) Partiel de janvier 2009 Question (8 points) Que sont les politiques de croissance et en quoi les théories de la croissance endogène leur donnent-elles des fondements? Exercice 1 : modèle de Solow avec migration (8 points) 0) Question préliminaire. Rappelez quel est l impact de long terme du taux de croissance de la population dans le modèle de Solow. Quel e et une augmentation de ce taux de croissance a-t-elle à long terme sur le niveau du revenu par tête, son taux de croissance, les niveaux du salaire réel et du taux d intérêt réel? On considère une économie à la Solow ouverte à l immigration en provenance du reste du monde. La population totale de cette économie à la date t est L t, et son taux de croissance est donné par _L t L t = n + m t où n exogène et constant est le taux de croissance démographique, et m t = M t =L t est le taux d immigration, M t désignant le ux instantané de migrants. On suppose ce ux positif : l économie considérée est riche par rapport au reste du monde, et est donc un pays d accueil. On suppose que chaque migrant arrive dans le pays considéré avec un capital k donné et constant. I t désigne l investissement brut, Y t = F (K t ; L t ) la fonction de production (à rendements d échelle constants), C t la consommation globale. L évolution du capital global est décrite par la relation _K t = F (K t ; L t ) K t C t + km t où est le taux de dépréciation du capital. Il n y a pas de progrès technique. 1) Le seul capital accumulé dans le pays provient ainsi de l épargne locale ou des apports des migrants. Cette hypothèse vous semble-t-elle réaliste? Discutez les hypothèses faites en matière de mobilité du travail et du capital. 2) On note f(k) la fonction de production par tête et on suppose que l épargne nationale est une proportion s du revenu. Déduisez-en l évolution du capital par tête. 3) On suppose que le taux de migration est constant. Comment la présence des migrations a ecte-t-elle k _? Discutez et interprétez selon la position du capital par tête courant k t par rapport à k: 4) Représentez le diagramme de Solow dans le plan k; k _. Vous représenterez à la fois la courbe correspondant au cas sans migration, c est-à-dire le diagramme de Solow habituel, et la courbe Page 20

22 correspondant au cas avec migration. Comment le nouveau point stationnaire se situe-t-il par rapport au point stationnaire sans migrations? Quel est l e et des migrations sur le capital par tête de long terme? Est-il identique à ce qui se passerait s il n y avait pas de migrations et si le taux de croissance de la population était n + m? Quelles en sont les conséquences en matière de revenu par tête? Interprétez. 5) La fonction d immigration est maintenant 0 si kt < k m(k t ) = (k t k); avec 0 < si kt < k Expliquez comment cette spéci cation décrit la décision de migrer, ou non, des travailleurs du reste du monde. Reprenez alors toute l analyse de la question 4. 6) Discutez en conclusion la manière dont ce modèle décrit l impact des migrations sur la situation des travailleurs nationaux. Quels mécanismes vous semblent absents du modèle? Exercice 2 : accumulation de connaissances et croissance (4 points) On considère une économie dont la fonction de production agrégée de bien nal est : Y t = F (K t ; A t L Y t ) = K t (A t L Y t ) 1 ; 0 < < 1 (1) où K t est le stock de capital, L Y t l emploi dans la production du bien nal et A t le stock de connaissances, à l instant t: La population totale est L t = L Y t + L At ; où L At désigne l emploi dans l activité de recherche, productrice de connaissances. Le taux de dépréciation du capital est > 0 et le taux de croissance de la population n 0: L évolution du stock de connaissances au cours du temps est donnée par : _ A t = L At A t ; > 0; 1 (2) 1) Commenter l équation (2) dans les cas (a) = 1; (b) 0 < < 1 et (c) < 0: 2) On note = L At L t la part des chercheurs dans la population totale, avec 0 1; et on suppose que est constant au cours du temps. Donner l expression du revenu par tête y t = Yt L t en fonction de ; du capital par tête et du stock de connaissances, puis l expression du taux de croissance du stock de connaissances, que l on notera g At ; en fonction de ; de la population totale et du stock de connaissances. 3) On se place dans le cas = 1: Que vaut le taux de croissance du stock de connaissances? A quelle condition existe-t-il un sentier de croissance équilibrée à taux constant? Quel est alors, le long de ce sentier, le taux de croissance du revenu par tête? 4) On se place maintenant dans le cas 6= 1: Mêmes questions. 5) Commenter les di érences entre les sentiers de croissance de long terme obtenus dans les deux cas. Quels sont les déterminants de la croissance? Quel rôle joue sur le taux de croissance et sur le niveau du produit par tête de long terme? 2 Page 21

23 Partiel de janvier 2009 Eléments de corrigé Question Les politiques de croissance sont des politiques structurelles. Cf agenda de Lisbonne... Les théories de la croissance endogène mettent l accent sur des mécanismes essentiels pour la croissance : éducation, innovation, apprentissage... et sur le fait qu ils peuvent in uencer le taux de croissance de long terme. Elles montrent aussi que le fonctionnement spontané de l économie n est pas satisfaisant (externalités, concurrence imparfaite...) Elles servent donc de base à la dé nition de politiques de croissance. Il faut ensuite donner des exemples. Exercice 1 : modèle de Solow avec migrations 0) Question préliminaire. Dans le modèle de Solow sans progrès technique, le capital par tête et le produit (le revenu) par tête sont constants à long terme. Avec progrès technique exogène (portant sur le travail), ils croissent au taux de progrès technique. Le taux de croissance de la population n a donc aucun e et sur le taux de croissance de long terme du produit par tête. En revanche, il a une in uence négative sur le capital par tête. La croissance de la population impose d équiper en capital les nouveaux entrants sur le marché du travail. A taux d épargne donnée, cela conduit à une baisse du capital par tête de long terme et donc à une baisse du salaire réel, mais à une hausse du taux d intérêt réel. On parle d e et de dilution. Formellement, le capital par tête de long terme ks est déterminé par f(k S ) k S = n + s Comme la productivité moyenne est décroissante, ks est d autant plus faible que le taux de croissance de la population est élevé. Une augmentation de ce taux de croissance diminue donc le revenu par tête de long terme. Le salaire réel et le taux d intérêt réel de long terme valent respectivement w S = f(k S) k Sf 0 (k S) r S = f 0 (k S) Le premier diminue quand n augmente =@n = que le second augmente quand n augmente. k S f 00 (ks )@k S =@n), tandis 1) Les hypothèses sont qu il n y a pas de mobilité internationale des capitaux, hormis le fait que les migrants arrivent dans le pays d accueil avec leur capital, mais qu il y a parfaite mobilité du travail. Peu réaliste. On considère souvent que le capital est plus mobile que le travail. Remarque : on devrait aussi distinguer la mobilité du capital nancier (c est-à-dire l existence d un marché nancier international) et la mobilité du capital physique. 2) Evolution du capital en niveau (en omettant l indice temporel) : _K = sf (K; L) K + km Page 22

24 Evolution du capital par tête : _k = _ K L _L L k = sf(k) (n + m + )k + m k 3) On suppose que le taux de migration m est constant. _k = sf(k) (n + )k + m k k Si k < k; la présence de migrations augmente _ k: C est intuitif : les migrants arrivent avec un capital par tête supérieur au capital par tête du pays d accueil. Peu réaliste : on voit mal alors pourquoi l immigration aurait lieu vers un pays d accueil moins riche que le pays d origine des migrants ( k étant une estimation du capital par tête dans ce dernier). Si k > k; la présence de migrations diminue _ k: 4) On suppose a priori que le niveau de capital k que les immigrés peuvent apporter est inférieur à celui qu atteindrait à long terme le pays d accueil en l absence de migrations. Plusieurs représentations graphiques sont possibles. On peut raisonner sur le diagramme de Solow synthétique, en traçant les trois courbes suggérées dans l énoncé : _k = sf(k) (n + )k Solow n _k = sf(k) (n + m + )k Solow n+m _k = sf(k) (n + )k + m k k = sf(k) (n + m + )k + mk migr = k _ + m k k = _ k + mk Solow n Solow n+m Ceci permet de situer les di érentes courbes, pour chaque niveau de k, sur la gure 1. _k 6 - ks k k ks k _k _k _k migr Solow n Solow n+m Figure 1 2 Page 23

25 La valeur stationnaire k du capital par tête dans le modèle avec migrations est inférieure à celle, ks, du modèle de Solow sans migrations, mais supérieure à celle, k S, du modèle de Solow sans migrations mais avec un taux de croissance démographique égal à m + n. Les migrations augmentent le taux de croissance démographique et accroissent donc le phénomène de dilution : il faut équiper en capital les migrants. Mais cet e et de dilution est amoindri par le fait que les migrants apportent du capital. Il ne disparaît pas parce que les migrants apportent un capital inférieur à celui que nit par atteindre le pays développé. On peut aussi mener l analyse sur la gure 2, plus détaillée, qui distingue l épargne sf(k) de l impact de la démographie et de la dépréciation, (n + )k dans le modèle de Solow habituel, (n + m + )k mk dans le modèle avec migrations, (n + m + )k dans le modèle de Solow avec un taux de croissance démographique de n + m: Dès lors que k < ks, comme on l a supposé, le point stationnaire k se situe à gauche du point stationnaire sans migrations ks (k < ks ) La migration diminue le capital par tête de long terme, par rapport au cas sans migration. En revanche, k > ks ; le capital par tête de long terme du cas où il n y a pas de migrations et où le taux de croissance de la population est n + m. La raison en est que les agents qui naissent dans le pays arrivent avec un capital nul, tandis que les migrants arrivent avec un capital positif k: L e et de dilution est donc moins important. Ces résultats se transposent directement en termes de revenu par tête de long terme. 6 (n + m + )k mk (n (n + m + )k + )k sf(k) m k k S k k k S - k Figure 2 En n, on peut mener l analyse sur la gure 3. Pour construire cette gure, on considère que l épargne par tête en cas de migrations est l épargne domestique sf(k) plus l épargne apportée par les immigrants m k: 3 Page 24

26 6 (n + m + )k (n + )k sf(k) + m k sf(k) Figure 3 k S k k S - Il est mons facile de voir sur cette dernière représentation que k < k S, k < k S : 5) La fonction d immigration est maintenant 0 si kt < k m(k t ) = (k t k); avec 0 < si kt > k Cette spéci cation permet de traduire le fait que l immigration n a lieu que si le capital par tête est plus élevé dans le pays d accueil que dans le pays d origine. L immigration est d autant plus importante que l écart est grand. Les niveaux de salaire peuvent justi er ce mécanisme. Si les deux pays ont la même fonction de production, un capital par tête plus élevé implique un salaire plus élevé. Les travailleurs migrent si le salaire est plus élevé dans le pays d accueil, c est-à-dire si le capital par tête y est plus élevé. On peut considérer que k représente a priori le capital par tête moyen dans le pays de départ, qui détermine le niveau des salaires, mais qu il représente aussi le niveau de capital apporté en moyenne par chaque migrant. L évolution du capital par tête est alors : _k = sf(k) (n + )k m(k)(k k) sf(k) (n + )k si k < k = sf(k) (n + )k (k k) 2 ; si k > k De nouveau, on peut donner plusieurs représentations de ce modèle. 4 Page 25

27 _k 6 - k Figure 4 6 (n + )k + (k k) 2 (n + )k sf(k) Figure 5 k k k S - k On a toujours k < k S : 6) Dans ce problème les migrations ont toujours un e et négatif sur les travailleurs du pays d accueil. Bien d autres e ets peuvent jouer dans un sens positif. Les migrations peuvent se traduire par l arrivée de catégories de travailleurs qui font défaut dans le pays d accueil. Elles peuvent compenser une tendance à la baisse de la population. Pour des motifs qui ne sont pas seulement économiques, une telle baisse n est sans doute pas souhaitable. L arrivée de migrants jeunes peut aussi faciliter le nancement des retraites, mais cet e et positif n est a priori que temporaire. Exercice 2 : accumulation de connaissances et croissance Fonction de production agrégée de bien nal : Y t = F (K t ; A t L Y t ) = K t (A t L Y t ) 1 ; 0 < < 1 Evolution du stock de connaissances : _ A t = L At A t ; > 0; 1 5 Page 26

28 La production de connaissances A_ t augmente avec le nombre de chercheurs. représente l e cacité de la recherche. mesure l impact du stock de connaissances existant sur la production de nouvelles connaissances. 1) (a) = 1 : cas envisagé par Romer. La production de connaissances augmente avec le stock de connaissances car > 0 (e et standing on shoulders). En outre, le taux de croissance du stock de connaissances est indépendant du niveau de ce stock car = 1 ; autrement dit, la productivité du stock de connaissances dans la production de connaissances est constante. (b) 0 < < 1 : e et standing on shoulders, mais la productivité du stock de connaissances dans la production de connaissances est décroissante. (c) < 0 : la production de connaissances est une fonction décroissante du stock de connaissances. E et d épuisement des opportunités technologiques ( shing out). 2) = L At L t part des chercheurs dans la population totale, supposée constante au cours du temps. Revenu par tête : Taux de croissance du revenu par tête : y t = Y t L t = K t (A t (1 )L t ) 1 L t = k t (A t (1 )) 1 g yt = g kt + (1 )g At Taux de croissance du stock de connaissances : 3) Cas = 1: g At = L At A 1 t = L t A 1 t g At = L t D après cette expression, il existe un sentier de croissance équilibrée à taux constant si la population est constante (L t = L; n = 0). Alors, le long de ce sentier, on a g A = L; g kt = g yt = g y et g y = g A = L 4) Cas 6= 1: Il existe un sentier de croissance équilibrée à taux constant si g At est constant, c est-à-dire si L t A 1 _L t est constant au cours du temps, c est-à-dire encore si t L t + ( 1)g A = 0: Alors, g y = g A = n 1 5) Cas = 1 : les déterminants de la croissance sont la productivité de la recherche ; la part du travail consacré à la recherche et la taille de la population L (e et de taille ou d échelle, empiriquement contestable). Cas 6= 1 : les déterminants de la croissance sont le taux de croissance de la population et non plus son niveau (plus d e et d échelle) et le paramètre mesurant l impact du stock de connaissances existant sur la production de nouvelles connaissances. Plus est élevé (c està-dire proche de 1), plus il est facile d innover et donc plus le taux de croissance est élevé. n a pas d in uence sur le taux de croissance de long terme. Une hausse de augmente bien à court terme la production de connaissances, mais comme < 1 la productivité de ces nouvelles connaissances est plus faible. A long terme, les deux e ets se compensent. En n, une augmentation de toutes choses égales par ailleurs provoque une baisse du niveau du produit par tête, car moins de travail est consacré à la production. 6 Page 27

29 Université de Paris I Macroéconomie L3 : la croissance IUP, Magistère, MASS Partiel de janvier 2006 Question (7 points) Portée et limites du modèle de Solow. Exercice 1 : progrès technique biaisé (4 points) On considère une économie dans laquelle la fonction de production est une CES : Y = F (K; L) = h i ak (1 a) (AL) ; où Y est la production, K le stock de capital L l emploi et A le progrès technique, exogène. 1) Commentez la forme de la fonction de production. Que représentent les paramètres a et? Que peut-on dire du progrès technique? 2) Calculez les productivités marginales du capital et du travail. Si l on suppose que la concurrence est parfaite, que vaut le prix relatif du travail par rapport au capital? Comment varie-t-il quand l abondance relative de travail L=K augmente? Interprétez. 3) On dira que le progrès technique est biaisé en faveur du travail s il augmente la productivité marginale du travail davantage que celle du capital (c est-à-dire le prix relatif du travail par rapport au capital), toutes choses égales par ailleurs. Discutez du biais du progrès technique dans ce modèle, en fonction de la substituabilité des facteurs de production. Commentez. Exercice 2 : croissance par innovation et par imitation (9 points) On considère une économie dans laquelle l emploi total L; constant, peut être consacré à la production (L Y ) ou à la recherche (L A ) : L = L Y + L A On note A = L A L la part de l emploi dans la recherche dans l emploi total. La fonction de production est très simple : Y = AL Y où A est le stock de connaissances technologiques. L équation d accumulation des connaissances s écrit : _ A = L A A; > 0 1) Réécrivez les deux équations précédentes en utilisant A et interprétez le modèle. Que représente? Page 28

30 2) On suppose tout d abord que A est constant. Quel est le taux de croissance du produit par tête y dans cette économie? 3) On suppose maintenant qu à une certaine date l économie décide de consacrer davantage de ressources à la recherche : A augmente. Que devient le taux de croissance du produit par tête? Que devient, à l instant ; le niveau du produit par tête? Représentez graphiquement ln A t en fonction du temps t et ln y t en fonction du temps t; en indiquant ce qui se produit à l instant : Commentez. 4) On s intéresse maintenant non plus à un seul pays mais à deux pays, 1 et 2. Ces deux pays sont supposés de même taille (même L). Les parts de l emploi dans la recherche dans les deux pays sont notées A;1 et A;2 = L A;2 ; et on fait l hypothèse L A;1 > A;2 : Les fonctions de production des deux pays sont identiques : Y 1 = A 1 L Y;1 ; Y 2 = A 2 L Y;2 Le pays 1 est le leader technologique : c est dans ce pays que l activité d innovation a lieu. Le pays 2 est suiveur ; il n innove pas mais imite les technologies mises au point dans le pays 1. On a donc A 1 > A 2 8t. Les équations d accumulation des connaissances des deux pays sont alors di érentes : _A 1 = L A;1 A 1 ; _ A 2 = A1 A 2 L A;2A 2 ; > 0; 0 < < 1 A Comment peut-on interpréter le terme 1 A 2 dans l équation d accumulation des connaissances du pays 2? Représentez graphiquement ce terme en fonction de A 1 =A 2 ; l écart technologique entre les deux pays. 5) Que valent les taux de croissance du produit par tête dans les deux pays? Représentez graphiquement ces taux de croissance en fonction de l écart ttechnologique. 6) Que vaut le taux de croissance de l écart technologique? On suppose qu initialement l écart technologique est très important. Comment va-t-il évoluer au cours du temps? Pourquoi va-t-il converger vers une valeur stationnaire, et quelle est-elle? 7) Donnez l expression du niveau du revenu par tête dans les deux pays, puis du rapport de ces revenus par tête en fonction de l écart technologique. Le leader technologique a-t-il forcément un revenu par tête plus élevé que le suiveur? Commentez. 2 Page 29

31 Partiel de janvier 2006 Corrigé des exercices Exercice 1 : progrès technique biaisé Fonction de production CES : Y = F (K; L) = h i ak (1 a) (AL) ) C est une fonction à facteurs substituables. a est un paramètre positif de part du capital, est l élasticité de substitution du capital au travail, constante comme l indique le nom de la fonction. Les rendements d échelle sont constants. Le progrès technique A porte sur le travail. 2) Productivités marginales du capital et du travail : = a = (1 a)a1 1 1 Y L Si la concurrence est parfaite le prix relatif du travail par rapport au capital est égal au rapport des productivités marginales : w = 1 a a A1 1 1 L K Le prix relatif du travail par rapport au capital est décroissant par rapport à l abondance relative du travail L : E et de substitution K 3) Le progrès technique est biaisé en faveur du travail s il augmente la productivité marginale du travail davantage que celle du capital, toutes choses égales par ailleurs. Dans ce modèle : si > 1 une augmentation de A : Donc si K et L sont très un PT portant sur le travail est aussi biaisé en faveur du travail ; si < 1 c est l inverse ; si = 1 (cas Cobb-Douglas), pas de biais. Exercice 2 : croissance par innovation et par imitation L emploi total L; constant, peut être consacré à la production ou à la recherche : L = L Y + L A. A = L A L est la part de l emploi dans la recherche dans l emploi total, et donc 1 A la part de l emploi dans la production. 1) Fonction de production : Y = AL Y = A(1 A )L Equation d accumulation des connaissances technologiques : _ A = L A A = A LA; > 0 Page 30

32 représente l e cacité de la recherche. A A donné, plus est élevé plus un nombre donné L A de chercheurs produit une quantité importante de connaissances technologiques. Dans ce modèle (sans capital physique), le moteur de la croissance est le progrès technique, endogène. Accumulation des connaissances à la Romer ) On suppose que A est constant. Produit par tête : Taux de croissance du produit par tête : y = Y L = A(1 A) _y y = A _ A = AL Ce taux est constant. Il est d autant plus élevé que la recherche est e cace, que la part du travail consacrée à la recherche est grande et que la taille du pays est grande (e et d échelle). 3) A la date l économie décide de consacrer davantage de ressources à la recherche : A augmente. Le taux de croissance du produit par tête, qui est une fonction linéaire de A ; augmente également. Le niveau du produit par tête est y = A(1 A ): A l instant il diminue donc (saut vers le bas), puis il croît à un taux plus élevé que précédemment. Donc l accroissement des ressources consacrées à la recherche provoque à la fois un e et de niveau négatif (dû à la baisse des ressources en travail consacrées à la production) et un e et de taux positif (dû à l accélération du progrès technique) sur le produit par tête. Formellement, on a : et A _ A = AL, A t = A 0 e A Lt, ln A t = ln A 0 + A Lt y t = A t (1 A ), ln y t = ln A t + ln(1 A ) = ln A 0 + ln(1 A ) + A Lt ln A t 6!!!!!! # ## ln A 0! # ## # ln y t ln A 0 + ln(1 A ) - 06 # t # ##!!!!!! # ##! 0 4) On considère deux pays, 1 et 2 de même taille (même L). Parts de l emploi dans la recherche dans les deux pays : A;1 et A;2 avec A;1 > A;2 : - t 2 Page 31