CH V) Surface - Volume :

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1 CH V) Surface - Volume : I) Surfaces et aires : Activité N 1 : Les deux figures ont des formes différentes mais leurs aires sont identiques. Prouvez le! J Les surfaces sont différentes, les mesures de ces surfaces que lon appelle aires sont identiques. Dans les deux cas, calculer les aires des figures (Lunité sera le carreau ). II) Unités daires - Conversions : Activité N : Dans un carré de 3 cm de côté que vous quadrillez tous les cm. Combien y a-t-il de carrés? Même question avec un carré de 5 cm de côté. Combien y aura-t-il de carrés de 1 cm de côté dans un carré qui fait 10 cm de côté? Cours Surfaces - Volumes Page 1 / 9

2 Les unités daire sont obtenues à partir des unités de longueur. Lunité principale est le m, cest laire dun carré de 1 m de côté. On obtient une aire en multipliant une longueur par une autre longueur. 1) Conversion : On utilise un tableau du même type que pour convertir des longueurs, la différence est que lon met chiffres par colonne. J On met autant de chiffres par colonne que le propose lexposant de lunité. km hm dam m dm cm mm Exemple 1 : Convertir 7, hm en dm. À On place la valeur 7, hm dans le tableau. Le chiffre juste avant la virgule se place dans la colonne correspondant à lunité (ici hm ), dans la partie droite de celle-ci puisque lon met chiffres par colonne. La virgule se situe toujours sur la droite de la colonne correspondant à lunité. km hm dam m dm cm mm 7, Á Pour convertir, on déplace la virgule jusquà lunité demandée (ici dm ). km hm dam m dm cm mm 7, Â On complète les cases vides avec des zéro. km hm dam m dm cm mm , Ã On peut supprimer la virgule car dans ce cas elle ne sert à rien. 7, hm = dm Exemple : Convertir 35 dm en hm À km hm dam m dm cm mm 3 5 Cours Surfaces - Volumes Page / 9

3 Á km hm dam m dm cm mm  km hm dam m dm cm mm 0, dm = 0, hm. Exercice : Convertir : m = km mm = m 84 m = cm m = km 0,39 km = dam 0,05 4 hm = m dm = hm 8,35 dm = mm Exercice : Convertir : 0,04 km = m 1 hm = km cm = m m = dam mm = m dm = dam 0,0 hm = dm 78 m = hm ) Les unités de mesures agraires : Les aires des terrains sont souvent exprimées en unités particulières appelées unités de mesure agraire. Lunité principale est lare ( a). 1 a = 1 dam 1 ha = 1 hm 1 ca = 1 m km hm ha dam a m ca dm cm mm Exercice : Convertir : 7 35 a = ha m = ha 45 m = a 438 ca = m 53, ha = hm m = ha 3) Aire des figures usuelles : Cours Surfaces - Volumes Page 3 / 9

4 a) Aire du carré : Aire = côté x côté A = c Exemple : Calculer laire dun carré de 5 cm de côté. c c b) Aire du rectangle : Aire = côté x côté A = L x l Exemple : Calculer laire du rectangle L = 6 dm l = 1,3 m l L c) Aire du parallélogramme : Un parallélogramme a ses côtés parallèles deux à deux. Aire = Base x Hauteur A = B x H Exemple : Calculer laire du parallélogramme B = 10 cm H = 10 dm A Hauteur Base D B H C E d) Aire du losange : Un losange a ses diagonales perpendiculaires qui se coupent en leur milieu. Aire = Grande Diagonale x petite diagonale A = D x d J Cest en fait la moitié de laire du rectangle dans lequel est inscrit le losange. F A E B D G H C Cours Surfaces - Volumes Page 4 / 9

5 e) Aire du triangle : Aire = Base x Hauteur A = B x H J Cest dans ce cas également la moitié de laire du rectangle dans lequel est inscrit le triangle. D A E Base Hauteur B H C f) Aire du trapèze : Aire = (Grande Base + petite base) x hauteur A = (B + b) x h Dans lexemple ci-contre : A = (AD + BC) x h J Cest la moitié de laire du parallélogramme dans lequel est inscrit le trapèze. A B hauteur H C D F E g) Aire du disque : Aire = Rayon x Rayon x pi A = π. R R On prendra souvent π = 3,14 4) Exercices : Exercice N 1: Une pièce rectangulaire mesure 5,45 m de longueur et 3,0 m de largeur. Quelle est son aire en m? Exercice N : Un champ ayant la forme dun parallélogramme a une base mesurant 105 m et une hauteur mesurant 64 m.quelle est son aire en ha? Cours Surfaces - Volumes Page 5 / 9

6 Exercice N 3 : Quelle est laire en m dun tapis ayant la forme dun losange dont les diagonales mesurent 1,40 m et 90 cm? Exercice N 4 : Un jardin de forme triangulaire a une base mesurant 37 m et une hauteur mesurant 5 m. Quelle est son aire en m? Convertir la réponse en ca. Exercice N 5 : Un champ ayant la forme dun trapèze a les mesures suivantes : grande base = 10 m ; petite base = 85 m et hauteur = 6 m. Quelle est son aire en ha? Exercice N 6 : Quelle est laire en cm dun disque de 40 cm de rayon? ( prendre π = 3,14) III) Volumes : 1) Activité : 1 dm 1 dm 1 dm Cours Surfaces - Volumes Page 6 / 9

7 A partir des deux dessins de la page précédente, quelle relation pouvez-vous faire entre le cm 3 et le dm 3? Que peut-on en déduire entre le m 3 et le dm 3? ) Unités de volume : Les unités de volume sont obtenues à partir des unités de longueur. Lunité principale est le m 3 ( Cest le volume dun cube dun mètre darête.) Il existe une unité particulière pour les mesures de volume du bois de chauffage : le stère (st). Le stère de bois peut avoir plusieurs équivalences sachant que le stère équivaut normalement à 1 m 3 de bois : (Source O.N.F.) 1 st = 1 m 3 si le bois est coupé en longueurs de 1 m. 1 st = 0,8 m 3 si le stère de bois est coupé en longueurs de 0,5 m. 1 st = 0,7 m 3 si le stère de bois est coupé en longueurs de 0,4 m. 3) Conversions : On utilise un tableau du même type que pour convertir des longueurs, la différence est que lon met 3 chiffres par colonne. J On met autant de chiffres par colonne que le propose lexposant de lunité. km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 Exemple : Convertir 70 m 3 en hm 3. À km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm Á km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3, 7 0 Â km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 0, Exercice : En utilisant un tableau du même style que ci-dessus, convertir : Cours Surfaces - Volumes Page 7 / 9

8 1, m 3 = dm dm 3 = m 3 9,4 dm 3 = cm 3 0,04 cm 3 = mm dm 3 = m 3 85 mm 3 = cm 3 4,10 dm 3 = mm cm 3 = m 3 4) Volumes et capacités : Il existe une relation entre les volumes et les capacités, ce qui permet de créer un seul tableau avec les deux types dunités. 1 dm 3 = 1 L 1 m 3 = L 1 cm 3 = 1 ml km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 hl dal L cm 3 dl cl ml mm 3 Exercice : Convertir : 7,5 dm 3 = L L = m 3,4 m 3 = L 0,4 m 3 = L 7 cm 3 = ml 9,5 dm 3 = ml 5) Volumes usuels : a) Le cube : Volume = arête x arête x arête V = a 3 ( a x a = a est la base du cube, a peut aussi être considéré comme la hauteur du cube.) Donc V = aire de la base x hauteur b) Le parallélépipède rectangle : Volume = Longueur x largeur x hauteur V = L x l x h V = aire de la base x hauteur puisque laire de la base = L x l. Cours Surfaces - Volumes Page 8 / 9

9 c) Le cylindre droit : Volume = aire de la base x hauteur V = π.r x h d) Le prisme droit à base triangulaire : Volume = aire de la base x hauteur 6) Exercices : Exercice N 1 : Un pilier dancrage en béton a la forme dun cube de 1,3 m darête. Quel est en m 3, le volume de béton nécessaire à sa réalisation? Exercice N : Chez un vigneron, une cuve à vin mesure 3, m de long sur,6 m de large et 3,5 m de haut. Quelle est sa capacité en hl? Exercice N 3 : Une boîte de conserve 4/4 a un rayon de 4,7 cm et 11 cm de hauteur. Quel est en cm 3 son volume (arrondir à lunité par excès)? Exercice N 4 : Un poteau cylindrique a nécessité un volume de béton de 0,314 m 3. Sa base a une aire de 0,15 6 m. Quelle est en m la hauteur de ce poteau? Vous pouvez vous entraîner également sur : : Les nombres (Des maths de niveau I sur logedu.com logiciel payant) Cours Surfaces - Volumes Page 9 / 9