Entrée à Sciences Po 2013

Transcription

1 Entré à Scincs Po 03 Ercic Vrai-Fau FAUX La suit u n st un suit géométriqu d raison 4 t d prmir trm u 0 = donc on sait qu n N,u n = 4 n < 0 S n st donc la somm d n+ trms négatifs Finalmnt, pour tout ntir naturl n, S n 0 t donc lim S n 0< Autr méthod : La suit u n st un suit géométriqu d raison 4 t d prmir trm u 0 = n donc on sait qu S n = u i = 4 n+ 4 n+ i=0 4 = 4 n+ Alors comm, < 4 <, lim = 0 t par conséqunt lim S n = VRAI Pour tout ntir naturl n, v n+ = u n+ + 3= u n + 6= u n + 3=v n donc v n st géométriqu d raison 3 VRAI Pour tout ntir naturl n, v n+ = u n+ = un = u n = v n Par suit, la suit v n st géométriqu d raison t d prmir trm v 0= = On sait donc qu n N, v n = n = n+ n+ Alors comm 0< <, lim v n = lim = 0 Rmarqu : on put aussi facilmnt justifir par récurrnc qu u n = n+ pour tout ntir naturl n t donc qu v n = n+ d où comm lim X = 0, lim v n = 0 4 VRAI lim n+ = t On put considérr dans l cadr d un sondag qu un prsonn accpt ou non d répondr st un événmnt indépndant ds réponss ds autrs prsonns sondés L périnc aléatoir qui consist à contactr un prsonn t qu cll-ci accpt ou pas d répondr st un périnc aléatoir à issus dont l paramètr d succès st 0, Alors l périnc aléatoir qui consist à intrrogr 0 prsonns st la répétition indépndant d 0 épruvs d Brnoulli indépndants On sait alors qu la variabl aléatoir qui compt l nombr d prsonns ayant accptés d répondr au sondag suit un loi binomial B0 ; 0, On n déduit qu la probabilité qu au moins 6 prsonns accptnt d répondr st donné par px 6 = px d où px 6 = 0,997 0,9 i=0 0 i 0, i 0,8 0 i

2 FAUX On considèr la suit n n Ctt suit st clairmnt non majoré : n fft pour tout rél M, il suffit d choisir l ntir pair N supériur à EM+, c st à dir EM+ ou EM+ t alors u N > M Pourtant ll n divrg pas n+ En fft, supposons qu ll soit divrgnt n+ Alors pour tout rél M, il ist un ntir N tl qu si n N, u n > M En particulir u N+ > M t u N+ > M Mais si N st pair, N+ st impair donc u N+ = N+ N+ = N+ t comm u N = N > M, on obtint donc N+ > M d où u N+ < M : contradiction si N st impair, N + st pair t comm N + N, u N+ > M c st à dir N+ > M Or N+ st impair t donc comm N+> N+, N+> M d où u N+ = N+< M : contradiction Dans tous ls cas, la suit u n n put êtr divrgnt n+ 6 VRAI L équation E : ln+ln+ =ln st défini pour > 0 Pour tout rél > 0, E équivaut à ln + = 0 d où à + = E équivaut donc + =0 t > 0 L discriminant d + st = 4 = 9>0 L équation admt donc du solutions = 3 = <0 t = +3 = > 0 La sul solution positiv d + = 0 st donc l équation E admt bin pour uniqu solution 7 FAUX Pour tout rél, f = = + + = + Par suit f 0= La tangnt à la courb rprésntativ d f au point d absciss 0 a pour cofficint dirctur f 0= t donc n st pas parallèl à la droit d équation y = 3 8 FAUX On définit la fonction f : f 4a Alors l équation = st équivalnt à l équation f =0 La fonction f st dérivabl sur R t pour tout rél, f = L polynôm du scond dgré f a pour discriminant = 6 donc admt racins = t = 3 Comm d plus son cofficint ds st 3 > 0, on n déduit qu f > 0 pour ] ; [ ] 3 + [ t f <0 pour ] ; 3[ La fonction f st donc strictmnt croissant sur ] ; ] [ 3 ;+ [ t strictmnt décroissant sur [ ; 3] Rmarquons d plus qu : comm f s comport à l infini comm son trm d plus haut dgré, Lim f = + Lim + 3 =+ t Lim f = Lim 3 = f = t f 3 = 7 Alors comm la fonction f st strictmnt décroissant sur [ ; 3], pour tout rél tl qu 3, f f 3 d où f >0 : l équation f =0 n a pas d solution sur [ ; 3] D mêm comm la fonction f st strictmnt croissant sur [ 3 ;+ [, pour tout rél 3, f f [ 3 > 0 : l équation f =0 n a pas d solution sur 3 ;+ [

3 Enfin la fonction f st continu t strictmnt croissant sur ] ; ] t comm Lim f = t f => 0, l équation f =0admt un uniqu solution sur ] ; ] En conclusion, l équation f = 0 admt un uniqu solution sur R 9 VRAI L algorithm proposé calcul ls trms d la suit défini par c = t c n+ = c n +n pour tout ntir n> 0 tl qu u n < 0 t affich alors l rang pour lqul l trm d rang n dépass a On a l tablau : Donc l algorithm s arrêt à la troisièm étap, t l algorithm affich 4, drnièr valur affcté à n 0 VRAI La variabl aléatoir X st à valurs dans {; ; 3; 4; ; 6} On obtint facilmnt avc un tablau par mpl qu la loi d X st donné par : Par suit EX = 6 i= i i 36 = 6 36 Problèm Parti A : Variations : La fonction f st dérivabl sur ]0 ; + [ comm composé d la fonction f 4a + dérivabl sur ]0;+ [ à valurs dans ]0;+ [ suivi d la fonction ln dérivabl sur ]0;+ [ Pour tout rél > 0, on a f = + = = + + = + + Alors comm > 0, + + > 0 t donc f st du sign d On n déduit qu f < 0 pour ]0;[ t f > 0 pour ];+ [ donc f st strictmnt décroissant sur ]0; ] t strictmnt croissant sur [ ; + [ Limit n 0 : On a par somm d limits usulls, Lim + Alors comm Lim + Limit n X + > 0, Lim = =+ d où comm lnx =+, par composition d limits, Lim f = Lim ln = Préliminairs : On a montré qu la fonction f st décroissant sur ]0;] donc f f pour tout rél ]0;] On a aussi montré qu la fonction f st croissant sur [;+ [ donc f f pour tout rél [;+ [ Donc f f pour tout rél ]0;+ [ Or f = donc f pour tout rél > 0 On raisonn par récurrnc sur n On définit la proposition P n : u n On sait qu u 0 donc P 0 st vrai Soit n un ntir naturl On fait l hypothès d récurrnc P n : u n st vrai Par suit u n ] 0;+ [ t donc d après l préliminair, f u n Or u n+ = f u n donc u n+ : la proposition P n+ st vrai La proposition P n st donc héréditair La proposition P n st vrai pour n = 0 t st héréditair pour n donc d après l aiom d récurrnc, la proposition P n st donc vrai pour tout ntir n On a donc u n pour tout ntir naturl n Pour tout ntir naturl n, u n+ u n = f u n u n 3

4 Or on a montré à la qustion 3b d la parti A qu pour tout rél, f 0 Par suit comm on sait d après la qustion précédnt qu pour tout ntir naturl n, u n, on n déduit qu f u n u n 0 d où u n+ u n 0 La suit u n st donc décroissant On a montré à la qustion qu la suit u n st minoré par t à la qustion qu la suit u n st décroissant On put donc affirmr qu la suit u n st convrgnt Rmarqu : Comm la suit u n st convrgnt t qu la fonction f st continu sur ]0;+ [, alors on sait qu la limit d la suit u n vérifi l équation f = Or on a montré à la parti A qu l équation f = admt pour uniqu solution Donc Lim u n = Parti C : Si u 0 =, alors comm f =, on obtint u = Un récurrnc immédiat montr donc qu la suit u n st alors constant égal à On suppos qu u 0 = 3 On obtint donc u =,080043, u =,0096 t u 3 =, a On définit pour tout rél t >, la fonction ψt = ln + t t La fonction ψ st clairmnt dérivabl sur ] ;+ [ t pour tout rél t >, ψ t= +t = t +t Comm t >, + t > 0 t donc ψ t st du sign d t sur ] ;+ [ Alors on n déduit qu ψ st décroissant sur [0;+ [ t croissant sur ] ;0] Par suit ψt ψ0 pour tout rél t ] ;+ [ Ainsi comm ψ0=ln+0 0=0, on obtint donc ψt 0 d où ln+ t t 0 c st à dir ln+ t t pour tout rél t > 3b Soit h un rél positif Alors f +h =ln +h+ +h ln=ln +h + +h = ln +h+h h+ = ln + h h+ 4 Pour tout ntir naturl n, v n = u n, alors v n+ = u n+ = f u n On a montré qu pour tout ntir naturl n, u n donc pour tout ntir naturl n, v n = u n 0 Rmarquons alors qu u n = + v n avc v n 0 Par suit d après la qustion précédnt, on obtint v n+ = f + v n =ln + v n Par suit, d après la qustion 3a, on obtint v n+ v n +v n n posant t = v n puisqu v n 0 Enfin comm v n 0, + v n d où v +v n t donc n +v n v n v n + +v n > Par conséqunt, on n déduit v n+ v n On sait déjà qu pour tout ntir naturl n, u n donc v n = u n 0 On définit pour n N, la proposition Qn : v n v n On raisonn par récurrnc sur n N On a v = v = v donc v v t la proposition Q st vrai Soit alors n un ntir naturl non nul On fait l hypothès d récurrnc Qn : v n v n st vrai On a montré à la qustion 4 qu v n+ v n Alors d après l hypothès d récurrnc, on obtint v n+ v n d où v n+ v n c st à dir v n+ v n+ : la proposition Qn+ st vrai La proposition Qn st donc héréditair La proposition Qn st vrai au rang n t st héréditair pour n donc d après l aiom d récurrnc, ll st vrai pour tout ntir naturl n 4

5 Par conséqunt pour tout ntir naturl non nul, on a 0 v n v n 6 On a u 0 = 3 donc u = ln = ln 3 D après la qustion précédnt, comm v n = u n, on sait donc qu 0 u n ln 3 p ln 3 p Il suffit donc d détrminr l rang p tl qu 0 0 pour qu u p 0 0 p ln3 ln ln3 ln On obtint donc ln puis p ln Finalmnt p ln ln 0 0 d où p ln 0ln+ln ln3 ln 0ln0 0ln+ln ln lnln3 ln puis p + ln ln On obtint donc p 4,86 d où p = Comm la suit u n st décroissant t qu u 0 0, on put assurr qu à partir d p =, u p 0 0 On a n fft : u 4, donc u 4 9, 0 u, donc u 4, ln+ln ln lnln3 ln