Modèle de régression linéaire multivarié

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1 U. Pars Oues, M - Cours de Modélsaon Applquée Modèle de régresson lnéare mulvaré Lauren Ferrara Févrer 07

2 Eemple: Consommaon mondale du pérole World Lqud Fuels Supply and Demand Balance mllon barrels per day World supply (lef as) World demand (lef as) Bren BMPE Dec. 0 OECD - EO Nov. 0 EIA - Feb. 03 IMF-WEO updae, Jan. 03 Forecas Q 00-Q 0-Q 0-Q 03-Q 04-Q 0 Source: Shor-Term Energy Oulook, February 03

3 Eemple: Consommaon mondale du pérole Eplquer la conso mondale de pérole C() (en logs) par : P(): Pr du pérole (en logs) PIB() : Demande de pérole (en logs) à l ade du modèle suvan : C( ) b0 b P( ) bpib ( ) ( ) b 0 b = élascé-pr b = élascé-revenu

4 Schéma de mse en œuvre d une modélsaon lnéare Analyse des données Dsrbuons, len lnéare,... Modèle de régresson lnéare Cho des varables Esmaon des paramères du modèle MCO, MLE Valdaon du modèle Tess d hypohèses, Analyse de la varance Ulsaon du modèle en prévson Pons e IC

5 Modèle lnéare mulvaré So p+ varables connues Y e X,, X p,. On observe les p unés epérmenales : pour =,, n. ( y,..., Le modèle lnéare s écr sous forme marcelle:, ) Y = X b + avec Y b ( y,..., y ) ( n) n ( b0, b,..., bp ) ( p ) (,..., ) ( n) n

6 e : )) ( ( p n X p n k n n p k p k

7 Hypohèses du modèle lnéare : H : E(Y) foncon lnéare des X,, X p. H : Les erreurs,, son ndépendanes enre elles H3 : E( ) = 0, les erreurs son d espérance nulle (en moyenne le modèle es ben spécfé)

8 H4 : E( ) =, les erreurs son de varance égale pour oue valeur de X (hypohèse d homoscédascé) H5 : E(X ) = 0, les erreurs,son ndépendanes des valeurs de X H6 : Hypohèse de Normalé Les erreurs,, son denquemen dsrbuées selon la lo Normale.

9 Hypohèses supplémenares srucurelles H7 : Absence de colnéaré enre les X,, X p. H8 : (X X) / n end vers une marce fne non sngulère lorsque n end vers l nfn H9 : n > p+

10 Esmaon des paramères Objecf : esmer le veceur b Par les MCO, on mnmse la forme quadraque : ) ( ) ( ) ( bx Y bx Y Q b n 0 ) ( Xb X Y X b b Q

11 E : bˆ ( X X ) X Y Soluon réalsable s la marce carrée X X es nversble!!! des hypohèses son nécessares En cas de colnéaré parfae enre varables eplcaves, cee marce es sngulère e la méhode des MCO es défallane.

12 Le modèle esmé s écr donc : yˆ bˆ ˆ 0 b... bˆ p p So : Yˆ Xbˆ X ( X X ) X Y e: Yˆ HY

13 L erreur de prévson (ou résdu) es donnée par : e y yˆ So : e ( I H ) Y Remarques : R : Il fau dsnguer l erreur nobservable du modèle () e le résdu (e) qu lu es esmé R: En ermes géomérques, le veceur (e) es la projecon orhogonale sur le sous-espace vecorel Vec(X)

14 Inerpréaon géomérque

15 Propréés des esmaeurs L esmaeur es le melleur esmaeur non-basé de b au sens où sa varance es la plus fable possble e On mq : bˆ V ( bˆ) ( X X ) Un ESB de la varance résduelle es donné par : ˆ n e n p

16 Propréés des esmaeurs Sous l hypohèse de Normalé, l EMV coïncde avec le l esmaeur MCO mas es un esmaeur effcace; e: sa marce des varances-covarances aen la borne de Cramer Rao L esmaeur de la varance résduelle su une lo : ˆ Ch ( n p ) n p

17 Valdaon: Somme des carrés SSE = Sum of squared errors SSE Y Yˆ SST = Toal sum of squares SST Y y Y Y ny SSR = Regresson sum of squares SSR Yˆ y Yˆ Yˆ ny b X Y ny SST = SSR+SSE

18 Valdaon: Coeffcen de déermnaon R SSR SST SSE SST Le coeffcen de déermnaon es la par de varaon de Y eplquée par le modèle, e : l do êre le plus proche de Aenon: on remarque que l ajou de varables eplcaves augmene auomaquemen ce coeffcen

19 Valdaon: Coeffcen de déermnaon ajusé R Adj SSE /( n SST /( n p ) ) On pondère par le nombre de paramères à esmer.

20 Valdaon: Tess sur les paramères On monre que la sasque T su une lo de Suden à (n-p-) ddl: bˆ j b j T On ulse T pour eser H0: b j b j 0 Racne du jème erme dagonal de la marce de varance-cov des paramères esmés Un nervalle de confance à (-α) es donné par: b j /,( n p) b j

21 Valdaon: Tess du modèle global On peu eser globalemen l hypohèse nulle: H 0 : b b... bp 0 On ulse la sasque: F SSR / SSE /( n p p ) qu su une lo de Fscher à (p, n-p-) ddl

22 Valdaon: Tess d un modèle rédu On peu eser l hypohèse nulle d un modèle rédu à q<p varables eplcaves: H 0 : b b... bq 0 Sous H0, on ulse la sasque: F ( SSE SSE q p SSE p ) / q /( n p ) qu su une lo de Fscher à (q, n-p-) ddl. L ajou des (p-q) varables eplcaves es jusfé s (SSE q - SSE p ) es «suffsammen grand».

23 Prévson So une nouvelle observaon: p X 0 ( 0,..., 0 ) Prédceur : ˆ ˆ ˆ y b b b p p 0 ˆ IC pour Y: yˆ / 0 /,( n p) ( v0( X X ) v0) IC pour E(Y): v0 (, 0,..., 0 p ) yˆ / 0 /,( n p) ( v0( X X ) v0)

24 Effe crosé: Effe non-lnéare: b b b y 0 z b z b b z b y Eensons

25 Eemple: IMF Workng Paper, «Walkng Hand n Hand: Fscal Polcy and Growh n Advanced Economes» by Coarell and Jaramllo (0) Problème de polque économque: La consoldaon fscale e budgéare dans les pays avancés après la récesson pèse sur la crossance de cour erme mas semble nécessare pour favorser la crossance à long erme va une basse de la dee publque e une basse des au longs souverans (spreads = écars de au). Equaon de relaon enre dee / au longs / crossance : d d r g d g p Bu du modèle lnéare: Rechercher les déermnans des spreads

26 Eemple: IMF Workng Paper, «Walkng Hand n Hand: Fscal Polcy and Growh n Advanced Economes» by Coarell and Jaramllo (0)

27 Eemple: IMF Workng Paper, «Walkng Hand n Hand: Fscal Polcy and Growh n Advanced Economes» by Coarell and Jaramllo (0)

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