5 Pour tout entier naturel n, on pose : 6 Démontrer que, pour tout entier naturel n : n k k! = (n + 1)! 1

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1 Exercices 7 SUITES NUMÉRIQUES Récurrece O appelle factorielle et o écrit! le produit des etiers cosécutifs de à : Par covetio : 0! =.! = 3 ) Pour ue foctio f, o ote f ) sa dérivée - ième. Soit f défiie sur R + par f x) = 3x +. Démotrer que pour tout etier aturel : f ) x) = 3)! 3x + ) + 5 Pour tout etier aturel, o pose : S = k et S = k + ). Démotrer que S =.. Démotrer que S + ) + ) = 6 6 Démotrer que, pour tout etier aturel : k k! = + )! k= Démotrer que pour tout etier aturel et pour tout réel x 0 : + x) + x 3 O cosidère la suite u ) défiie par : u 0 = 3 u + = 5 u + 5 Motrer par récurrece que, pour tout N : u = O cosidère la suite u ) N défiie par : u0 = u + = u Démotrer que u ) N est borée par et. 8 O cosidère la suite u ) N défiie par : u0 = π 3 u + = π siu Démotrer que, pour tout etier, π u π 3. Démotrer que pour tout etier aturel o ul :! > 9 Démotrer que pour tout etier aturel : est divisible par est divisible par 7 N ). Gééralités sur les suites 0 O cosidère les suites suivates défiies sur N. Étudier le ses de variatio de chacue d elle.. u = + ) 3. u = l +. u =. u =! Soit u la suite défiie sur N par : u = 0!. Calculer les ciq premiers termes de u.. Comparer u 9 et u Étudier le ses de variatio de u. SUITES NUMÉRIQUES 5

2 Termiale 7 S - 00/0 Étudier les variatios des suites suivates :. u = sur N. u = sur N 3. u = + ) + sur N 3 3 Soit u la suite défiie sur N par : u = et soit v la suite défiie sur N par : v = u u Démotrer que la suite v est croissate. O cosidère la suite u ) N défiie par : u0 = u + = u + u Détermier les variatios de la suite u ) N. 5 O cosidère la suite u ) N défiie par : u0 = 3 u + = u + u. Démotrer que, pour tout N, u 0.. E déduire les variatios de la suite u ) N. 6 O cosidère la foctio f défiie sur R par : f x) = e x 3 et la suite u ) N défiie par : u0 = u + = f u ). Détermier le ses de variatio de f.. Démotrer que la suite u ) N est décroissate. 7 O cosidère la foctio f défiie sur R + par : f x) = x + et la suite u ) N défiie par : u0 = u + = f u ). Détermier le ses de variatio de f.. Démotrer que la suite u ) N est croissate. 8 La suite u ) est défiie sur N par : u =, u = u + = 3u + u, Soit v ) la suite défiie par v = u + u.. Motrer que v ) est ue suite géométrique. Exprimer v e foctio de.. E déduire l expressio de u e foctio de. 9 La suite u ) est défiie sur N par : u0 = u + = u,. Das u repère, costruire sur l axe des abscisses les premiers termes de la suite.. O pose v = u. Démotrer que v ) est géométrique. 3. Exprimer v puis u e foctio de.. Calculer v p puis u p. p=0 p=0 0 La suite u ) est défiie sur N par : u0 = 0, u = u + = 3u,. Calculer u, u 3, u et u 5.. O pose v p = u p et w p = u p+. Démotrer que v et w sot géométriques. 3. Doer l expressio de v p et de w p e foctio de p.. Doer l expressio de u e foctio de suivat les valeurs de. 3 Covergece des suites Détermier la limite de la suite u ) das les cas suivats :. u = ) u = 3 + ). u = u = si )e 5. u = + ) ) 6. u = e 7. u = 5 + ) Soit u ) N la suite défiie par : u =!. E remarquat que pour tout k, k, démotrer que 0 < u.. Détermier la limite de u ). 6 EXERCICES 7

3 Termiale 7 S - 00/0 3 O cosidère la suite u ) N défiie par : u = 3!. Vérifier que les termes de u sot strictemets positifs.. Soit v ) N la suite défiie par : v = u + u a) Exprimer v e foctio de. b) Justifier que, pour 3, v 3. c) E déduire le ses de variatio de u ). 3. a) Motrer par récurrece que, pour tout 3 : ) 3 3 u u 3 b) E déduire la limite de u ). Soit u ) N la suite défiie par : u = + k = k=. Calculer les trois premiers termes de la suite.. Démotrer que pour tout etier k tel que k : + + k + 3. Détermier la limite de la suite u ). 5 Soit u ) N la suite défiie par : ) u = l +. Calculer u, u et u 3.. Détermier la limite de cette suite. 3. O cosidère la suite S ) N défiie par : S = u k k= a) Exprimer S e foctio de. b) Détermier la limite de S ). 6 Soit u ) N la suite défiie par : u = k= k. Motrer que, pour tout etier k : k k k. Utiliser ce résultat pour établir que u 3. Motrer que la suite u ) est covergete. 7 Soit u ) N la suite défiie par : u0 = u + = + u. Démotrer par récurrece que, u <.. Démotrer par récurrece que u ) est croissate. 3. Démotrer que u ) coverge et détermier sa limite. 8 Soit u ) N la suite défiie par : u 0 = u + = u + 9 ) u. Démotrer par récurrece que,u > 3.. Détermier les variatios de u ). 3. Démotrer que u ) coverge et détermier sa limite. Aales 9 Atilles, jui 00 Partie A Soit g la foctio défiie pour tout ombre réel x de l itervalle ]0;+ [ par g x) = x x l x. Détermier les limites de la foctio g e 0 et +.. Motrer que g est dérivable sur l itervalle ]0;+ [ et que g x) = l x. 3. Dresser le tableau de variatios de la foctio g.. Soit v ) la suite défiie pour tout N par v = lu ). a) Motrer que v = l. b) E utilisat la partie A, détermier le ses de variatio de la suite v ). c) E déduire le ses de variatio de la suite u ). 3. Motrer que la suite u ) est borée.. Motrer que la suite u ) est covergete et détermier sa limite. Partie B Soit u ) la suite défiie pour tout N par u = e.. Cojecturer, à l aide de la calculatrice : a) le ses de variatio de la suite u ) ; b) la limite évetuelle de la suite u ). 30 Atilles, septembre 00 O cosidère la suite de ombres réels u ) défiie sur N par : u 0 = u = u + = u + u SUITES NUMÉRIQUES 7

4 Termiale 7 S - 00/0. Calculer u et e déduire que la suite u ) est i arithmétique i géométrique.. O défiit la suite v ) e posat, pour tout etier aturel : v = u + u a) Calculer v 0. b) Exprimer v + e foctio de v. c) E déduire que la suite v ) est géométrique de raiso. d) Exprimer v e foctio de. 3. O défiit la suite w ) e posat, pour tout etier aturel : w = u v a) Calculer w 0. b) E utilisat l égalité u + = v + u, exprimer w + e foctio de u et de v. c) E déduire que pour tout de N, w + = w +. d) Exprimer w e foctio de.. Motrer que pour tout etier aturel : u =. 5. Pour tout etier aturel, o pose : S = k= u k = u 0 + u + + u. Démotrer par récurrece que pour tout de N : S = Frace, jui 00. Restitutio orgaisée de coaissaces Démotrer à l aide de la défiitio et des deux propriétés ci-dessous que si u ) et v ) sot deux suites adjacetes, alors elles sot covergetes et elles ot la même limite. Défiitio : deux suites sot adjacetes lorsque l ue est croissate, l autre est décroissate et la différece des deux coverge vers 0. Propriété : si deux suites u ) et v ) sot adjacetes avec u ) croissate et v ) décroissate alors pour tout etier aturel, v u. Propriété : toute suite croissate et majorée coverge ; toute suite décroissate et miorée coverge.. Das les cas suivats, les suites u ) et v ) otelles la même limite? Sot-elles adjacetes? Justifier les réposes. a) u = 0 et v = + 0 ; b) u = l + ) et v = l + ) + ; c) u = et v = + ). 3. O cosidère u ombre réel a positif et les suites u ) et v ) défiies pour tout ombre etie aturel o ul par : u = et v = l a + ). Existe-t-il ue valeur de a telle que les suites soiet adjacetes? 3 Cetres étragers, jui 00 Soit f la foctio défiie sur l itervalle [0;+ [ par : f x) = 6 5 x + Le but de cet exercice est d étudier des suites u ) défiies par u premier terme positif ou ul u 0 et vérifiat pour tout etier aturel : u + = f u ). Étude de propriétés de la foctio f a) Étudier le ses de variatio de la foctio f sur l itervalle [0;+ [. b) Résoudre das l itervalle [0; + [ l équatio f x) = x. O ote α la solutio. c) Motrer que si x appartiet à l itervalle [0; α], alors f x) appartiet à l itervalle [0;α]. De même, motrer que si x appartiet à l itervalle [α;+ [ alors f x) appartiet à l itervalle [α;+ [.. Étude de la suite u ) pour u 0 = 0 Das cette questio, o cosidère la suite u ) défiie par u 0 = 0 et pour tout etier aturel : u + = f u ) = 6 5 u + a) Sur le graphique ci-dessous, sot représetées les courbes d équatios y = x et y = f x). Placer le poit A 0 de coordoées u 0 ;0), et, e utilisat ces courbes, costruire à partir de A 0 les poits A, A, A 3 et A d ordoée ulle et d abscisses respectives u, u, u 3 et u. Quelles cojectures peut-o émettre quat au ses de variatio et à la covergece de la suite u )? b) Démotrer, par récurrece, que, pour tout etier aturel, 0 u u + α. c) E déduire que la suite u ) est covergete et détermier sa limite EXERCICES 7

5 Termiale 7 S - 00/0 3. Étude des suites u ) selo les valeurs du réel positif ou ul u 0 Que peut-o dire du ses de variatio et de la covergece de la suite u ) suivat les valeurs du réel positif ou ul u 0? 3. a) Motrer que, pour tout ombre etier aturel, o a u α. b) Démotrer que la suite u ) coverge. c) Détermier sa limite. 33 Frace, septembre 009 Soit f la foctio défiie sur l itervalle [0;+ [ par f x) = l x + ) Partie A. Étudier le ses de variatio de la foctio f sur l itervalle [0;+ [.. Soit g la foctio défiie sur l itervalle [0; + [ par g x) = f x) x. a) Étudier le ses de variatio de la foctio g sur l itervalle [0;+ [. b) Motrer que sur l itervalle [; 3] l équatio g x) = 0 admet ue uique solutio que l o otera α. Doer la valeur arrodie de α à 0. c) Justifier que le ombre réel α est l uique solutio de l équatio f x) = x. Partie B O cosidère la suite u ) défiie par u 0 = et pour tout etier aturel par : u + = f u ). La courbe C représetative de la foctio f et la droite d équatio y = x sot tracées sur le graphique ci-dessous. # j O # ı u 0 u. À partir de u 0, e utilisat la courbe C et la droite, o a placé u sur l axe des abscisses. De la même maière, placer les termes u et u 3 sur l axe des abscisses e laissat apparets les traits de costructio.. Placer le poit I de la courbe C qui a pour abscisse α. C 3 Frace, septembre 00 Soit u ) la suite défiie par u 0 = 5 et pour tout ombre etier aturel, par u + = u u +. Si f est la foctio défiie sur l itervalle ] ;+ [ par f x) = x, alors o a, pour tout ombre etier aturel, u + = f u x + ). O doe ci-dessous ue partie de la courbe représetative C de la foctio f aisi que la droite d équatio y = x a) Sur l axe des abscisses, placer u 0 puis costruire u, u et u 3 e laissat apparets les traits de costructio. b) Quelles cojectures peut-o émettre sur le ses de variatio et sur la covergece de la suite u )?. a) Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, o a u > 0. b) Valider par ue démostratio les cojectures émises à la questio.b. 3. Das cette questio, o se propose d étudier la suite u ) par ue autre méthode, e détermiat ue expressio de u e foctio de. Pour tout ombre etier aturel, o pose v = u. a) Démotrer que la suite v ) est ue suite arithmétique de raiso 3. b) Pour tout ombre etier aturel, exprimer v puis u e foctio de. c) E déduire la limite de la suite u ). C SUITES NUMÉRIQUES 9

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