Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario

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1 Mathématiques Termiale S Corrigés des eercices Rédactio : Lauret Beroul Isabelle Teaud Sébastie Cario Coordiatio : Sébastie Cario Ce cours est la propriété du Ced Les images et tetes itégrés à ce cours sot la propriété de leurs auteurs et/ou ayats droit respectifs Tous ces élémets fot l objet d ue protectio par les dispositios du code fraçais de la propriété itellectuelle aisi que par les covetios iteratioales e vigueur Ces coteus e peuvet être utilisés qu à des fis strictemet persoelles Toute reproductio, utilisatio collective à quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise à dispositio de tiers d u cours ou d ue œuvre itégrée à ceu-ci sot strictemet iterdits Ced-

2 Corrigé de la séquece Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice O a : e, e +, e + + 6, e et c, c + 9, c Il semble doc que c + + 6, c e 4 O a c et ( + ) doc la propositio «c 4 ( + ) 4 pour» est vraie Supposos qu elle le soit pour u rag k et motros qu elle l est alors k k au rag suivat k + Autremet dit, supposos que ck ( + ) et 4 k k motros sous cette hypothèse queck + ( + ) ( + ) O a : 4 k k ck+ ck + k + ( + ) ( ) 4 k ( k + ) + 4( k + ) + ( k + ) 4 ( k + ) ( k + 4( k + )) ( k + ) ( k + 4k + 4) ( k + ) ( k + ) ( + ) 4 ( + ) doc o a bie, pour e d où l hérédité de la propositio Fialemet, pour tout, o a c O sait par ailleurs que, pour tout, o a e tout, c Eercice O cojecture l epressio de u e calculat les premiers termes de la suite u O a :u + u, u u u aisi il semble que + + u + u Le calcul de u ous coforte das cette idée E effetu u Corrigé séquece MA

3 La propositio «u» est doc vraie pour les premiers rags ( à + 4 ) Supposos qu elle le soit pour u rag k autremet dit, supposos queuk k + u Sous cette hypothèse, o a u k k k k et la + uk k + k + propositio est héréditaire + k + k + Fialemet, pour tout etier, u + Eercice Vérifios que la propositio est vraie pour les premières valeurs de : N k k O suppose que pour u etier k quelcoque est u multiple de 7 k k autremet dit 7A où A est u etier ( k+ ) k+ Motros sous cette hypothèse que est lui aussi u multiple k k k k de 7 Comme 7A, o obtiet + 7A ce qui doe ( k + ) k + ( k + 7A) 9 k k ( 9 ) + 7A 9 7( k + 9A) k et l hérédité est bie démotrée puisque 7 ( + 9A) est bie u multiple de 7 Fialemet, pour tout etier aturel, l etier est u multiple de 7 Eercice 4 Tout d abord, u doc u et la propositio «u» est vraie au rag Soit k N tel que u k alors + u k 4 puis + u k car est croissate sur [ ; 4], et, a fortiori, O peut doc coclure : pour tout etier aturel, u u k + Eercice 5 À l aide du tableur de GeoGebra par eemple, o obtiet ue représetatio graphique et u tableau de valeurs e même temps Pour cela, o fait apparaître le tableur (das le meu Affichage), o travaille comme à l aide du tableur d OpeOffice pour faire apparaître les calculs puis, après avoir sélectioé la plage A :B (par eemple), o clique droit et o choisit «Créer ue liste de poits» 4 Corrigé séquece MA

4 Il semble que la suite soit décroissate O peut par ailleurs remarquer que la suite semble avoir ue limite (la otio de limite sera étudiée au chapitre suivat) a) La foctio f est ue foctio ratioelle défiie sur [ ; ], elle est doc dérivable sur cet itervalle et, ( + ) ( + ) pour tout ;, f' ( ) ( + ) ( + ) Par suite, pour tout ;, f' ( ) et f est croissate sur [ ; ] b) O traduit la questio posée O est doc ameé à démotrer que pour tout, u etu+ u O peut démotrer par récurrece chacue de ces deu propriétés ou bie e faire qu u seul raisoemet par récurrece e motrat que pour tout, u+ u Preos ce deuième poit de vue u O a u et u + u + + doc o a u + u Supposos que pour k N o ait uk+ uk alors f ( ) f ( uk+ ) f ( uk ) f ( ) car f est croissate sur [ ; ] d où u k+ uk + ce qui implique u k+ uk + car ; ; Aisi, pour tout etier, u+ u La suite u décroissate à valeurs das l itervalle [ ; ] ( ) est doc suite Corrigé séquece MA 5

5 Eercice 6 a) O a! et doc la propositio «!» est vraie pour k Supposos que pour k, o ait k! - Il faut alors démotrer, sous cette k ( ) ( + ) + hypothèse, que k +! O sait que k!( k ) k! aisi, e multipliat chaque membre de l hypothèse de récurrece par k + qui est positif, o obtiet k ( k + ) k! ( k + ) k c est-à-dire ( k + )! ( k + ) () or, pour tout k, k k k + doc ( k + ) () ( ) et les iégalités () et () coduiset à k +! Fialemet, pour tout etier aturel, o a :! k b) 4! À l aide de ce tableau, o costate que la propositio «!» est pas vraie pour les rags, et mais qu elle l est pour le rag 4 E k supposat alors que pour k 4, o ait k!, o est ameé à démotrer que k + ( k + )! ce qui se fait e suivat eactemet la même démarche qu au a) Aisi, pour tout etier aturel 4, o a! Corrigé des activités du chapitre Activité a) À l aide de la calculatrice (par eemple), o défiit la suite et l o obtiet les deu types de représetatios graphiques TI8 Statsfr (ou TI8, TI84) 6 Corrigé séquece MA

6 Casio Graph 5+ Au vu de ces graphiques, il semble que les valeurs de u tedet à se stabiliser autour d u certai ombre O dira que la suite ( u ) semble coverger vers ce ombre b) À l aide du tableau de valeurs ci-dessous, il semble que la suite ( u ) admette pour limite lorsque deviet grad c) Pour répodre à cette questio, o travaille à l aide du tableau de valeurs obteu précédemmet Il semble alors que u < pour puis u < 5 pour et efi u < 8 pour Pour plus de clarté, o peut utiliser u tableur et compléter le travail e créat ue suite ( v ) défiie parv u Les foctios utilisées sur tableur sot les foctios RACINE pour la racie carrée et ABS pour la valeur absolue Corrigé séquece MA 7

7 Activité a) 6, b) Il semble que toutes ces suites admettet pour limite, seule diffère la vitesse à laquelle ces suites tedet vers c) Comme précédemmet, o costate que l o peut redre u aussi proche de sa limite pourvu que soit suffisammet grad 8 Corrigé séquece MA

8 4 E effet, o a : et pour tout supérieur au rag N 4 De faço aalogue, o a 8 pour tout supérieur au rag N 6 et pour tout supérieur au rag N 6 d) O a : or la suite de terme gééral est croissate et o observe que 4 < alors que 5 > doc pour tout supérieur au rag N 5 Pour les autres résultats, la démarche est la même que pour la questio c) O résume les résultats das u tableau Valeurs de r 8 r pour N N N 8 N r pour N N N 9 N 5 r pour N N 5 N 6 N Remarque O pourrait écrire u algorithme assez simple comportat ue boucle «tat que» permettat d obteir le résultat des questios c) et d) O trouve ci-cotre u tel algorithme implémeté sous Algobo Il suffit alors de choisir la valeur de r à savoir puis 8 et efi das l eemple choisi pour obteir le rag cherché Cepedat, l algorithme est très let et écessite u grad ombre de boucles O est dès lors très vite limité d autat plus que sous Algobo, le ombre de boucles e peut dépasser Corrigé séquece MA 9

9 Activité a) 6, b) Il semble que toutes ces suites admettet pour limite +, seule diffère la vitesse à laquelle ces suites tedet vers + c) O a : 6 doc pour tout supérieur au rag N ; doc pour tout supérieur au rag N ; 6 doc pour tout supérieur au rag N 6 d) Comme, or 6 doc pour tout supérieur au rag N, et N La suite de terme gééral est croissate or 54 < et 55 > doc pour tout supérieur au ragn 55 Les autres iéquatios peuvet être aisémet résolues et les résultats sot résumés das le tableau ci-dessous Valeurs de A A pour N A pour N N N 5 N 5 N N 55 N Activité 4 a) Compte teu de la costructio du floco, il semble clair que les suites ( C ), ( P ) et ( A ) soiet croissates et la suite ( L ) décroissate Par ailleurs, il semble ituitif de cojecturer que pour des grades valeurs de, la suite ( C ) tede vers +, la suite ( L ) tede vers E revache, il semble Corrigé séquece MA

10 difficile de cojecturer ituitivemet le comportemet des suites ( P ) et ( A ) lorsque ted vers + b) O peut alors cofirmer les cojectures précédetes et préciser que ( P ) semble tedre vers + alors que ( A ) semble tedre vers u ombre limite proche de 69,8 c) Puisque la suite ( P ) semble tedre vers +, il est possible que le périmètre dépasse u kilomètre L uité est le cetimètre or km cm, o cherche doc tel que P et à l aide du tableur, il semble que ce soit le cas à partir du rag 9 L aire du floco vaut alors eviro 69, 8 cm Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice 7 ( ) O a : lim lim + + lim + doc, par somme, + a + lim + + car lim + et O a : lim ( ) et lim + + et lim ) aisi, par produit, lim + ( ) + ( + ) + (par somme car lim + b + + Corrigé séquece MA

11 ( ) Pour >, c ( + )( ) ( ) or lim + et lim doc lim + + lim + d où par quotiet lim c + + Pour N, d or lim car < < 7 doc lim d et O a : lim O a : + car < < d où lim e + lim + et + lim ( + ) + + lim 5 + (car 5> ) doc par somme + 5 puis par iversio lim f + Pour N, + + g + ( + ) or lim + (car > ) doc par produit lim + g + Pour N, h 7 7 ( ) or lim 7 + (car < < ) 7 7 doc lim + puis lim 7 + (car 7> ) doc par produit 7 + lim h + O peut remarquer que la trasformatio d écriture h 7 7 ( ) permet d obteir le résultat tout aussi rapidemet Eercice 8 O a :u or lim doc par somme lim + u + a) O a lim u et lim + + doc, par défiitio de la limite, A état u réel quelcoque, o peut trouver u rag au-delà duquel u A Corrigé séquece MA

12 b) Soit O a u+ u puis u+ u ( + )( + ) ( + ) + + ( + ) or + + positifs et > car l iverse d ue somme de deu ombres strictemet > car > et + > aisi, par somme, u u ( + ) + > et la suite ( u ) est croissate c) La suite ( u ) état croissate, pour obteir le plus petit rag N à partir duquel tous les termes de la suite ( u ) appartieet à l itervalle A ;+ où A est u réel quelcoque, il suffit de calculer les termes successifs de la suite tat que u A L implémetatio sous Algobo est alors la suivate : Pour tout O peut remarquer que ( u ) ted letemet vers + et sous Algobo, o est très vite limité par le grad ombre de boucles écessaires pour obteir le résultat N, ( ) doc ( ) puis a + or lim ( ) + doc, par comparaiso lim a Pour tout N, ( ) ( ) lim + si doc b or doc, par comparaiso lim b + Corrigé séquece MA

13 Pour tout N, si doc c 4 (car 4 ) or lim + (car < < ) d où par le théorème des gedarmes 4 4 lim + c puis lim c + Pour tout N, cos doc + cos + De plus, pour tout, < + doc < aisi par produit, pour tout, + cos Pour, or lim doc lim et lim puis par quotiet lim De faço aalogue, + + o obtiet lim (o remarquera à cet edroit qu il est pas + écessaire de réécrire le détail de la démostratio das la mesure où o utilise eactemet la même démarche) Fialemet, par le théorème des gedarmes, lim d + Eercice Pour tout, ( ) doc + ( ) + puis par iversio + et, par produit par qui est positif, o a + ( ) u + Puis pour, et lim or lim + + doc lim puis par iversio lim, c est-àdire lim De faço aalogue, o motre que lim + Aisi, par le théorème des gedarmes lim ( u ) ce qui coduit à + lim u + 4 Corrigé séquece MA

14 Eercice O a u ( + ) doc u aisi pour tout N, + u + u ( + ) (+ ) ( + )(+ ) ( + )(+ ) Comme, o a ( + )( + ) > et pour tout, u+ u doc ( u ) est croissate Pour tout k, + + k doc k + + aisi u est la somme de termes tous iférieurs à + doc u + d où u Fialemet, ( u ) est croissate et majorée par doc ( u ) est covergete (théorème de la covergece mootoe) O remarquera que l o obtiet pas la valeur de la limite La seule iformatio dot o dispose parce que l o a prouvé, c est que la limite est iférieure à Corrigé des eercices de sythèse du chapitre 4 Eercice I La foctio f est ue foctio ratioelle défiie sur ( ) ; 6 doc f est dérivable sur sur 9 ; 6 Pour < 6, o a f' ( ) 9 doc f' ( )> ( 6 ) ( 6 ) ;6 et f est strictemet croissate sur ; 6 a) O souhaite démotrer que, pour tout N, u < et u u+ O peut doc motrer e ue seule étape que, pour tout N, u u+ < O raisoe par récurrece 9 O a u et u f( u) doc u u 6 u < Corrigé séquece MA 5

15 Soit k N tel que u strictemet croissate sur ; 6 O obtiet u u < k+ k+ Fialemet, pour tout, o a u u < k uk+ < alors f ( uk ) fu ( k+ )< f ( ) car f est + b) La suite ( u ) est croissate et majorée par doc, par le théorème de la covergece mootoe, o peut e déduire que ( u ) est covergete Par ailleurs, pour tout, u < doc la limite l de ( u ) vérifie l comme coséquece de la compatibilité avec l ordre a) Soit N O a : u v v + u+ u u 6 u 9 9 u 6 u 6 u u ( u ) ( u ) Aisi, pour tout N, v+ v et la suite ( ) v est arithmétique de raiso et de terme iitial v u 6 b) Pour N, o a v u doc u ou ecore u v + v La suite ( v ) état arithmétique de raiso et de terme iitial v, o 6 obtiet que pour tout N, v 6 et o e déduit que lim v + Par iversio, o a lim puis par somme lim Fialemet, lim u + v v Eercice II La suite ( u ) est costate si et seulemet si, pour tout N, u+ u soit u + 6 u u +, u + 6 u( u + ) ou ecore u + u 6 or l équatio + 6 a pour discrimiat 5 5 et pour solutios a et b Doc, e choisissat u ou u, ( u ) est costate 6 Corrigé séquece MA

16 a) La foctio f est ue foctio ratioelle défiie sur E ; ; + doc f est dérivable sur tout itervalle iclus ( + ) ( + 6) 4 das E et, pour, o af' ( ) ( + ) ( + ) Par suite, f' ( ) < sur E et f est décroissate sur ; et sur ; +,5,5 u u u,5 u b) Au vu du graphique, il semble que ( u ) e soit pas mootoe et qu elle soit covergete vers c) À l aide du logiciel Geogebra, après avoir créé la foctio f, o crée u curseur représetat u que l o peut ommer u_ et qui pred des valeurs etre et par eemple O crée u deuième curseur preat des valeurs etières etre et par eemple Efi, o sait que l o peut obteir u par la foctio Itératio[f,u_,] Pour cela, o etre das la barre de saisie u_ Itératio[f,u_,] O peut alors visualiser le problème e représetat e abscisse le poit de coordoées (u_,) Il reste alors à choisir différetes valeurs pour u et, das chaque cas, à faire varier pour observer le comportemet de u O obtiet par eemple : 5 u u Corrigé séquece MA 7

17 5 u, u 5 u 4,5 4 4 u À l aide d u tableur, o etre les valeurs de das la coloe A et e B, o etre la formule (B+6)/(B+) Il suffit alors de choisir différetes valeurs de u e B pour obteir des cojectures O obtiet par eemple : Ces résultats permettet de retrouver le fait que das les cas où u ou u, la suite est costate Das le cas où u, elle est doc covergete vers alors que das tous les autres cas, elle semble covergete vers O rappelle que b Pour qu il eiste u rag tel que u + alors u + 6 u + d où u + 6 ( u + ) ce qui coduit à u Autremet dit, pour qu u terme de la suite soit égale à, il faut que le précédet soit E supposat u, o e peut doc pas trouver de valeur de pour laquelle u 8 Corrigé séquece MA

18 E choisissat u, la suite ( v ) est doc bie défiie Soit N O a u + 6 u a u v + u + u+ b + + ( u ) u a u + 6 u u v ( u ) u b 4 La suite ( v ) est doc géométrique de raiso et de terme iitiale 4 u a v docv v u b 4 u a O remarque que a b doc pour tout N, v puis dev, o u b e déduit successivemet que v ( u b) u a, u ( v ) bv a bv a et efi u v O rappelle que a et b doc, pour tout N, u u u + 4 u u + 4 Comme < < 4, lim + v ce qui implique que lim u + O peut remarquer que ce raisoemet coviet pour toute valeur de u différete de et de Das le cas où u, la suite ( u ) est pas défiie et, das le cas où u, la suite ( u ) est costate et doc, covergete vers Les résultats démotrés cofirmet doc les cojectures émises précédemmet Eercice III La foctio f est u polyôme doc f est dérivable sur R et pour tout R, o a f'( ) 6, 6, 6, ( ) Par suite, f' ( ) est du sige de d où f' ( ) sur ; croissate sur ; et f' ( ) sur et décroissate sur ; + ; + La foctio f est doc Corrigé séquece MA 9

19 ,4,,, u u u u u 4,4,5,6,7,8,9 Il semble alors que la suite ( u ) soit croissate et covergete vers l abscisse o ulle du poit d itersectio de la courbe représetat f et de la droite d équatio y O peut préciser la cojecture e résolvat l équatio f () O a : f( ) 6, 6,, 6 6,, ( 8) ou 8 Aisi, il semble que ( u ) soit covergete vers 8 a) O a u, puis u, 6u( u) f( u), 44 doc u u 8 Soit k N tel que uk uk + alors f f u f u f 8 ( ) ( k ) ( k ) ( + 8 ) car f est croissate sur ; doc sur ; 8 Comme f (), fu ( k ) u k +, fu ( k+ ) uk+ et f 8 8, o a doc u + u + 8 k k Aisi, par récurrece, pour tout N, o a u u + 8 b) La suite ( u ) est croissate et majorée par 8 doc elle est covergete par le théorème de la covergece mootoe Par ailleurs, pour tout N, o a u doc la limite l de ( u ) 8 vérifie l 8 Corrigé séquece MA

20 a) Soit N O a : u+, u( u) u u u ( ) 8 5 u 5 or , u u u u 8 8 u 5 u u u 5 doc 6 5 u 8 +, u 8 u 8 La suite ( u ) est croissate de terme iitial u, doc pour tout N, u, puis 6, , 8, u, c est-à-dire 6 5, 84, 8 u De plus, u 8 doc 6, , 8 u u u aisi pour tout N, 84 u 8 +, u 8 b) O raisoe par récurrece O a u 8 8,, 75 et 84, doc la propositio est vraie au rag Supposos qu elle le soit pour u certai rag k ; c est-à-dire supposos que pour k N, o ait u 84 k 8 k, Sous cette hypothèse, o a alors 84, 84, 8 k+ u k 8 84 uk+, u 8 k d où u 84 8 k +, k+ et la propositio est héréditaire Fialemet, pour tout N, o a u 84 8, or c) Des questios a et 4b, o déduit que pour tout N, u 84 8, or lim 84, car <, 84< d où lim + des gedarmes Aisi lim u u par le théorème Corrigé séquece MA

21 Eercice IV Vrai E effet, toute suite décroissate est majorée par so premier terme Fau Toute suite décroissate et miorée est bie covergete par le théorème de la covergece mootoe Si elle est miorée par, o peut e déduire que sa limite l vérifie l mais rie e permet d affirmer que la limite est ulle Preos la suite de terme gééralu + Cette suite est décroissate, elle est miorée par mais elle admet pour limite Vrai Toute suite croissate est miorée par so premier terme Si la suite est de plus majorée, elle est doc borée Vrai Fau E effet, dire qu ue suite qui admet pour limite + sigifie que, quel que soit le réel M, o peut trouver u certai rag au delà duquel tous les termes de la suite dépasse M Aisi, aucu réel e peut être u majorat d ue telle suite Preos u + et v alors pour tout N, u < v E revache, + lim u et lim v doc, das ce cas, o a lim u lim v O peut remarquer que par la compatibité avec l ordre, lorsque ( u ) et ( v ) sot des suites covergetes telles que pour tout N, u < v alors, la seule affirmatio que l o puisse e déduire est que lim u lim v + + Eercice V La foctio f est ue foctio homographique doc ( u ) est défiie par a b u f + ( ) c + d b a+ b a b a puis u + c + d + or lim d d d où lim a + b + a + c+ c + et lim c + d a c Par quotiet, o obtiet doc lim u + aisi il suffit de + c choisir f telle que a Par eemple, e preat a et c, la suite c ( u ) défiie par u + coviet Corrigé séquece MA

22 Si ( u ) est ue suite géométrique covergete alors sa raiso q est telle que < q Mais si q la suite est cotate et si < q <, celle-ci coverge vers O e peut doc pas trouver de suite géométrique o costate covergete vers q La suite ( u ) est défiie par ue epressio de la forme u α q où α est u réel et q u réel différet de Pour que ( u ) coverge, o choisit < q < de sorte que lim + q q puis lim + q et lim u q + α q O obtiet le résultat e choisissat par eemple α6 et q 4 La suite ( u ) est défiie par ue epressio de la forme u α + β Elle est doc covergete si et seulemet si α autremet dit, si et seulemet si ( u ) est costate Par suite, o e peut pas trouver de suite arithmétique o costate covergete vers Eercice VI À l aide de Geogebra, o obtiet l illustratio ci-cotre,8 Il semble que les suites ( u ) et ( v ) soiet covergetes vers ue même limite comprise etre, et,4 L aire A semble doc être égale à cette limite,6 a) E s appuyat sur le graphique, o remarque que les rectagles cosidérés pour,4, 6 calculer u ot tous u côté de logueur et la hauteur vaut k pour k allat de à Aisi,,4,6,8 v,65 u,7 u ( ) k k De faço aalogue, o remarque que les rectagles cosidérés pour calculer v ot tous u côté de logueur et la hauteur vaut k pour k allat de à Corrigé séquece MA

23 Aisi v k b) Pour, o a k k et ( + )( + ) doc 6 6 k k ( + )( + ) la propositio «k» est vérifiée au rag 6 k p O suppose que pour p N pp ( + )( p+ ), o ait k et, sous cette 6 k p+ ( p+ )( p+ )( p+ ) hypothèse, o motre que k 6 k O a p+ p pp ( + )( p+ ) p( p+ )( p+ ) + 6( p+ ) k k + ( p+ ) + ( p + ) 6 6 k k ( p+ )( p + 7p+ 6) 6 or ( p+ )( p+ ) p + 7p+ 6 propositio est bie héréditaire d où k p+ ( p+ )( p+ )( p+ ) k 6 k et la Fialemet pour tout N, ( + )( + ) k 6 k O e déduit que ( ) ( ) k d où 6 k u ( ) ( ) 6 alors quev ( + )( + ) 6 c) Démotros que la suite ( u ) est covergete O a ( ) ( ) + doc, pour, + u + ( ) ( ) or lim + et lim doc lim puis par produit lim u E procédat de faço aalogue, o obtiet lim v Corrigé séquece MA

24 Comme o sait que pour tout, o au A v, o obtiet par passage à la limite (coséquece de la compatibilité avec l ordre) que A Fialemet, l aire cherchée vaut e uité d aire (l uité d aire état l aire du rectagle formé par les vecteurs de base) Eercice VII k O a :u k + +, u k k k k k 7 et u k k a) Soit N * k et k tels que k O a k + or, de k + k o déduit que puis d où + + k k k car > Alors par iversio +, c est-à-dire k + k + + k b) Pour N, o a k + pour tout k + k Doc k + k + or k k k + + et k car k das chaque cas o cosidère la somme de termes idetiques d où u + c) O a iversio + + or lim + + doc lim + + et par lim + d où lim + + Par le théorème des gedarmes, + o e déduit que lim u + Corrigé séquece MA 5

25 a) O a lim + u doc, par défiitio, o peut trouver u u etier p strictemet positif tel que, pour tout etier p, o a u < De u +, o déduit que + u d où u + Aisi, pour que u <, il suffit que + <, + > puis > 99 c està-dire E choisissat p, o est assuré que pour tout etier p, o a u < b) À l aide de l algorithme ci-dessous implémeté sous Algobo, o obtiet u, c) Compte teu de la questio précédete, l etier p cherché das cette questio est écessairemet iférieur ou égal à Pour répodre à la questio, o peut procéder de l ue des deu faços suivates Calculer toutes les valeurs de u pour allat de à et garder la plus petite valeur de pour laquelle u < O remarquera qu e travaillat das ces ses, o e peut pas s arrêter dès que la coditio u < est vérifiée pour u certai etier p car o a aucue iformatio sur le comportemet de la suite ( u ) pour p O obtiet par eemple l algorithme de gauche Raisoer das l autre ses e calculat les termes de la suite à partir de et s arrêter dès que la coditio u est vérifiée O obtiet par eemple l algorithme de droite 6 Corrigé séquece MA

26 À l aide de l u ou l autre de ces algorithmes implémetés sous Algobo, o obtiet p 9 et u 9,9996 d) Ue coditio suffisate sur p pour que u < soit vérifiée pour tout etier p coduit à p alors que la coditio est vérifiée dès que p 9 Ceci s eplique par le fait que l ecadremet obteu à la questio b est très large Il est suffisat pour obteir la covergece de ( u ), e revache il est trop large pour obteir des iformatios itéressates quat à la vitesse de covergece de la suite Corrigé séquece MA 7

27 Eercice VIII O a!!! u, u, u u,,, 7 9! 4 et u 9, Il semble que ( u ) soit covergete vers doc que tede vers + beaucoup plus vite que! O remarque que, u e s aulat pas, o peut cosidérer le quotiet Alors, pour, + u o a! ( + )! ( + ) ( + ) u + ( + )!! + ( ) u u + ( + ) + or, e appliquat l iégalité de Beroulli avec, o a + + d où u pour, u+ Démotros par récurrece que pour tout, u O a u et doc la propositio «u» est vraie pour u Supposos que pour k N, o ait u k De k, o déduit k uk+ par iversio que u k uk + puis par produit (caru k > ) que u k+ u k L hypothèse de récurrece permet alors d écrire u k + k u k + et la propositio est héréditaire k Fialemet, pour tout, u ou ecore O sait que pour tout, u or ( u ) est ue suite à termes positifs doc, pour tout, u De plus lim + doc par le théorème des gedarmes lim u + La cojecture est bie vérifiée et ted vers + beaucoup plus vite que! 8 Corrigé séquece MA

28 Eercice IX a) b) E testat l algorithme pour de grades valeurs de, il semble que ( u ) tede vers + ( k + k)( k + + k) a) Soit k O a k + k k + + k k + + k or k k k + et k k + k + doc par somme k k + k + k + et par iversio aisi pour tout k, k k k + + k k + k + + k k b) E sommat les iégalités k + k pour k allat de à, o obtiet k k + k k k or k k + k k + et u d où + u k k k k ce qui doe Corrigé séquece MA 9

29 + u Comme +, o e déduit fialemet que u () E sommat les iégalités k + k pour k allat de à, k + o obtiet k k k + + k k or k k + k k ( ) (u ) u et k + k + + d où u k ce qui doe u puis u ( ) Des iégalités () et (), o déduit que pour tout, u + a) O a lim + + doc lim + + or pour, u doc par comparaiso, lim u + + b) O sait que pour, o a u or > u doc + u, c est-à-dire or lim doc lim + + et lim + puis, par le u théorème des gedarmes lim Fialemet est u équivalet + de u O a aisi démotré que ( u ) est divergete et qu elle ted vers + à la même vitesse que ted vers + Eercice X a) La foctio f est ue foctio ratioelle défiie sur ; + doc f est dérivable sur ; + et pour tout >, o a Corrigé séquece MA

30 ( )( + ) A A A A f'( ) or + A > sur ; + doc f' ( ) est du sige de A à savoir égatif sur ; A et posi- tif sur A ; + Par suite, f est décroissate sur ; A et croissate sur A ; + b) f, 4,6,8,,,4,6,8 u u u u a) E s appuyat sur la représetatio des premiers termes de ( u ), il semble que la suite soit décroissate et très rapidemet covergete vers l abscisse du poit d itersectio de la courbe f et de la droite d équatio y Das le cas où A, il semblerait doc que ( u ) soit covergete vers b) Motros que u u Pour cela, o remarque que : A u u u + u u A u A u u + or u E( A) + doc u A d où u A de sorte que l o a bie u u De plus, comme u A et f est croissate sur A; +, o a A u f ( u ) f ( A ) A+ A A O suppose que pour k N, A uk+ uk u alors f ( A ) fu ( k+ ) fu ( k ) fu ( ) car f est croissate sur A ; f ( a ) uk+ uk+ f ( u ) + d où Corrigé séquece MA

31 d où A uk+ uk+ u tout N, A u u u + et la propositio est héréditaire Fialemet pour c) De ce qui précède, o déduit que pour N, u+ u doc ( u ) est décroissate et pour N, A u doc ( u ) est miorée par A aisi, par le théorème de la covergece mootoe, la suite ( u ) est covergete De plus, pour tout N, A u u doc la limite l de ( u ) vérifie A l u a) Soit N ( ) O a : A u A f u A u A u A Au u + ( ) + u + A u u or u A A car A > et u u u > par suite pour tout N, u+ A u A ( ) b) Pour, o a ( u A) u A doc la propositio «u A ( u A )» est bie vérifiée au rag O suppose que pour k N, uk A u A k ( ) D après la relatio obteue au a, o sait que uk+ A uk A ( ) d où uk + A ( u A k ) soit uk + A ( u A k + ) et la propositio est bie héréditaire Fialemet pour tout N, u A ( u A ) c) Pour tout N, u A ( u A) d après le b et le b or lim lim + + car < < d où, par le théorème des gedarmes lim ( u A) puis lim u A + + Corrigé séquece MA

32 O sait que pour N, u A ( u A ) or das le cas où A, o a u d où u ( ) or doc pour que u, il suffit que ou ecore que La suite de terme gééral 4 état croissate, < et >, la coditio est vérifiée dès que 4 Par balayage à l aide de la calculatrice, o trouve que le plus petit au-delà duquel u est 4 La différece avec le résultat précédet s eplique par le fait que les majoratios cosidérées das les questios a et b sot très fortes O ote que la covergece de la suite vers sa limite est très rapide puisque u 4 fourit déjà ue approimatio de à près Lire A Lire P N U + E( A) Tat que U A P faire N N+ U U + A U Fi Tat que Afficher U O peut compléter cet algorithme e demadat d afficher N e sortie obteat alors le plus petit rag au-delà duquel u A < P Afi de le tester, o peut implémeter cet algorithme sous Algobo ou sur la calculatrice Corrigé séquece MA

33 Eercice XI O remarque que u 57, u , etc u 57 Aisi, par costructio u d où u 99 et O a < < doc lim + puis lim + lim u et 4 Corrigé séquece MA

34 C Corrigé de la séquece Corrigé de l activité du chapitre Activité Pour les questios à, il suffit de suivre les istructios doées au cours de l éocé Les courbes obteues par cette costructio sot les suivates :, M v M s S M c u 4π π/ π π/ π π/ π π/ π/ π π/ π π/ π π/ 4π C C Cojectures attedues à la questio 4 π Il semble que la foctio sius soit croissate sur ;, décroissate π π sur ; et croissate sur π ; π π π π Variatios de la foctio sius Il semble que la foctio cosius soit décroissate sur ;π et croissate sur π ; π π π Variatios de la foctio cosius Corrigé séquece MA 5

35 Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice a) E s appuyat sur le cercle trigoométrique, si a pour solutios π π et sur π ; π alors que les solutios sur ; π sot 4 π 5π et b) E s appuyat sur le cercle trigoométrique, sur R o a π π cos + kπ où k Zou + k' π où k' Z, c est-à-dire π π cos + kπ où k Zou + k' π où k' Z 6 6 Aisi, cos a quatre solutios sur π ; π qui sot 5 π π, 6 6, π 6 et 5 π que l o obtiet respectivemet pour k ', k, k ' et k 6 Sur ; π cos a quatre solutios qui sot π 6, 5 π 7π π, et que l o obtiet respectivemet pour k ', k, k ' et k a) Sur R, si si( + π ) + π + k π où k Z π ou π ( + ) + k' π où k' Z π π π Pour k Z, + + kπ + kπ kπ (o peut remarquer que pour cette derière équatio, o peut tout autat écrire π + kπ puisque k peut predre toutes les valeurs de Z de sorte que k π et k π décrivet le même esemble de ombres) π π π k ' π Pour k ' Z, π ( + ) + k' π + k' π + 6 π Fialemet, l équatio si si( + ) admet comme solutios sur R les π ombres de la forme k π avec k Z ou bie π + k ' π avec k ' Z 6 6 Corrigé séquece MA

36 π b) O rappelle que pour tout réel a, sia cos( a) π Sur R, si cos cos( ) cos π π + kπ où k Z ou + k' π où k' Pour k Z, π π π k π + kπ 5 kπ (e précisat 5 π k π que cette derière équatio peut tout autat s écrire + 5 ) Z π Pour k ', π + k' π +k' π Fialemet, l équatio si cos admet comme solutios sur R les ombres de la forme π π k 5 avec k Z et ceu de la forme π + k ' π avec k ' Z O remarquera que selo la démarche utilisée, o peut recotrer les solutios écrites sous ue autre forme c) O rappelle que pour tout réel a, cos a si a Sur R, si cos si si si + si X si X + X Le triôme X + X a pour discrimiat 5 5 doc Z X + X X ou X O e déduit que si cos si ou si L équatio si a pas de solutio réelle car pour tout R, si π 5π Puis sur R, si + kπ où k Zou + k' π où k' Z 6 6 Fialemet, si cos admet comme solutios sur R les ombres de la forme π + k π avec k Z et ceu de la forme 5 π + k ' π avec k ' Z 6 6 Corrigé séquece MA 7

37 a) O s appuie sur le cercle trigoométrique pour coclure directemet L iéquatio cos π réuio π π ; ; π 6 6 admet comme esemble de solutios sur π ; π la b) E s appuyat sur le cercle trigoométrique, l iéquatio si admet comme esemble de solutios sur π ; π l itervalle π 4 π ; 4 π π c) O a π π + π + π aisi e posat π π X +, résoudre cos( + ) > cosx > avec π X π + π sur ;π se ramèe à résoudre E s appuyat sur le cercle trigoométrique, o a sur π π π ; +, 7π 9π cos X > < X < 4 4 Puis 7 π π 9π π 7π π 7π π < < < < < < π Fialemet l iéquatio cos( + ) > sur ;π l itervalle 7π 4 π ; 4 admet comme esemble de solutios d) O a 4cos ( cos )( cos + ) aisi, pour résoudre l iéquatio, il suffit de détermier le sige de chacu des facteurs cos et cos + sur ; π et de résumer le tout das u tableau de siges pour obteir le sige du produit E s appuyat sur le cercle trigoométrique, o a sur ; π, π 5π cos cos ou et cos cos π 5π < < < < 8 Corrigé séquece MA

38 π 4π De faço aalogue o a cos + cos ou π 4π et cos + < cos < < < π π 4π 5π π Sige de cos + + Sige de cos Sige de 4 cos Fialemet, l iéquatio 4cos admet comme esemble de solutios π π 4π 5π sur ; π la réuio ; ; ; π e) Pour suivre ue démarche aalogue à celle adoptée à la questio précédete, o commece par factoriser si si + O remarque X si que si si + Le triôme a pour X X + discrimiat doc X X + X ou X et o a X X + ( X )( X ) Comme X si, o a doc si si + (si )(si ) Il reste à détermier le sige de chacu des facteurs π π Sur π ; π, si si et, pour tout, si < c est-à-dire si < Sur π 5π π ; π, si si ou et 6 6 π 5π si > si > < < 6 6 Corrigé séquece MA 9

39 π π 6 π 5π 6 π Sige de si Sige de si Sige de si si Fialemet, l iéquatio si si + < admet comme esemble de solutios sur π ; π la réuio π π π 5π ; ; 6 6 Eercice a) Pour R, f( + π) cos ( + π) + si( + π) or pour a R, o a cos( a+ π ) cosa et si( a+ π ) sia d où f( + π) ( cos ) + si( ) f( ) O peut doc restreidre l étude de f à u itervalle de logueur π, l étude sur R s e déduisat à l aide de la périodicité de f Graphiquemet, f est doc ivariate par traslatio de vecteur πi Aisi, la courbe f se déduit de sa restrictio à u itervalle de logueur π par traslatio de vecteurs kπ i où k Z b) Dire que la courbe f admet la droite d équatio π comme ae de 8 symétrie sigifie que deu poits dot les abscisses sot situées symétriquemet de part et d autre de π 8 ot la même ordoée O est doc ameé à comparer π f( ) 8 + et f( π 8 ) où est u réel quelcoque Pour R, f( π ) cos ( π ) si( π ) or pour a R, cos a + cos( a) π π d où cos ( + ) + cos( + ) puis 8 4 π π π f( + ) + cos( + ) + si( +) cos( ) si( ) + si( ) + cos( ) 4 Corrigé séquece MA

40 π aisi, pour tout R, f( + ) + cos( ) 8 π E remplaçat par o obtiet que f( ) + cos( ) or la foctio 8 π cosius est paire et f( ) + cos( ) de sorte que, pour tout R, 8 π π f( + ) f( ) 8 8 La droite d équatio π 8 est doc bie u ae de symétrie pour la courbe f a) Pour R, f( ) cos + si( ) cos + cos si cos (cos + si ) b) La foctio f est le produit de cos par la somme des foctios cosius et sius Toutes ces foctios état dérivables sur R, f est dérivable sur R Formules utilisées : ( u+ v) u + v et ( uv ) u' v + uv Pour R, f ( ) ( si )(cos + si ) + cos ( si + cos ) 4si cos + (cos si ) Aisi f ( ) si( ) + cos( ) Par ailleurs, pour R, π si cos si cos 4 si π Fialemet, pour tout R, f ( ) si( ) 4 π c) Comme >, f ( ) est du sige de si( ) O a 4 π 5π 5π π π π π aisi, résoudre si( ) sur I 4 π 5π ; 8 8, se ramèe à résoudre π six sur π ; e posat X 4 Sur π ;, six X π ou X doc sur I π 5π ; 8 8, π π π 5π π si( ) π ou ou Corrigé séquece MA 4

41 De plus, sur π ;, six < π < X < doc sur I π 5π ; 8 8, π si( ) π π π 5 < < < < < π π 5π La foctio f est doc décroissate sur ; 8 8 a) O remarque que la courbe J admet des tagetes horizotales au poits d abscisse π 8 et 5 π 8 b) E s appuyat sur le résultat obteu à la questio b, o costruit la courbe J restrictio de la courbe f à l itervalle π π ; comme symétrique 8 8 de la courbe J par rapport à la droite d équatio π La réuio des 8 courbes est doc la restrictio de la courbe f à l itervalle π 8 5π ; 8 E s appuyat sur le résultat démotré à la questio a et e remarquat que l itervalle π 5π ; a pour logueur π, o obtiet la courbe 8 8 f par traslatio de cette derière de vecteurs kπ i où k Z Corrigé séquece MA

42 Eercice La foctio u est dérivable sur ; π comme somme de foctios dérivables sur cet itervalle et pour tout ; π, uʹ( ) cos Pour tout ; π, cos doc uʹ( ) Par suite, la foctio u est décroissate sur ; π or u() doc, pour tout ; π, u( ), c est-à-dire si O a doc bie démotré que pour tout ; π, si a) La foctio f est ue somme de foctios dérivables sur ; π doc f est dérivable sur ; π Pour ; π, f ʹ( ) + + cos La foctio f ʹ est elle-même dérivable sur ; π comme somme de foctios dérivables sur cet itervalle et pour ; π, f ( ) si u( ) De la questio, o déduit que f ( ) pour tout ; π doc f est croissate sur ; π b) O remarque que f ʹ() or f ʹest croissate sur ; π doc f ʹ sur ; π Par suite, o e déduit que f est croissate sur ; π Efi, e remarquat que f (), o obtiet que f est positive sur ; π Pour tout ; π, f ( ) c est-à-dire + + si doc pour 6 tout ; π, si 6 Corrigé des activités du chapitre Activité a) À l aide de la représetatio graphique de f, il semble que f( ) tede vers e et e + Corrigé séquece MA 4

43 b) E établissat u tableau de valeurs (à l aide d u tableur par eemple), o peut cofirmer les cojectures proposées à la questio précédete E utilisat le raisoemet recotré lors du calcul de limites de suites, o peut détermier la limite de f( ) e + O a lim + + et lim + et les propriétés recotrées sur les limites de quotiet de suites e permettet pas de coclure ; o est e présece d ue idétermiatio Pour lever cette idétermiatio, o trasforme l écriture de f( ) ( + ) + + O écrit f( ) Puis lim + doc, d ue part ( ) par somme, lim + + et d autre part par produit par puis par somme lim + Fialemet par quotiet, lim f + ( ) Ce raisoemet est eactemet celui utilisé pour les limites de suites Ue suite état ue foctio défiie sur N ou ue partie de N, il eiste pas de limites de suites e Ce qui suit e peut doc pas être calqué sur ce qui a été fait sur les suites e revache, o peut adapter la démarche E + effet, e repreat l epressio f( ), il suffit de détermier la limite du umérateur et du déomiateur or, lorsque ted vers, so iverse ted ituitivemet vers autremet dit il semble que lim et, e 44 Corrigé séquece MA

44 admettat ce derier résultat, o obtiet de la même faço que précédemmet lim + et lim d où lim f ( ) Activité a) 6 6 impossible impossible b) A la lecture du tableau précédet : il semble que tede vers + lorsque ted vers mais o remarquera qu il est écessaire que les valeurs de soiet strictemet positives pour que la foctio soit défiie ; il semble que tede vers ou vers + selo que ted vers e état strictemet iférieur à ou strictemet supérieur à ; il semble que tede vers + lorsque ted vers ; il semble que tede vers ou vers + selo que ted vers e état strictemet iférieur à ou strictemet supérieur à c) Sur ; +, 6 6 > < < < aisi, pour que dépasse 6, il faut et il suffit de choisir das ; Sur ; +, > < < < 4 aisi, pour que dépasse, il faut et il suffit de choisir das ; 4 E suivat ce raisoemet, o pourrait démotrer que peut deveir aussi Corrigé séquece MA 45

45 grad que l o veut pourvu que l o choisisse des valeurs de suffisammet proche de O dira que ted vers + lorsque ted vers et o otera lim + d) Sur ; +, 6 > < < 6 et pour que dépasse 6, il faut et il suffit de choisir das ; 6 Sur ; +, > < < et il suffit de choisir das ; et pour que dépasse, il faut E suivat ce raisoemet, o pourrait démotrer que peut deveir aussi grad que l o veut pourvu que l o choisisse des valeurs de strictemet positive et suffisammet proche de O dira que ted vers + lorsque ted vers par valeurs strictemet supérieures à et o otera lim + Sur ;, 6 6 < < < suffit de choisir das 6 ; Sur ;, < < < il suffit de choisir das ; et pour que 6 < >, il faut et il et pour que <, il faut et E suivat ce raisoemet, o pourrait démotrer que peut deveir iférieur à importe quel ombre (égatif et grad e valeur absolue) pourvu que l o choisisse des valeurs de strictemet égative et suffisammet proche de O dira que ted vers lorsque ted vers par valeurs strictemet iférieures à et o otera lim < e) Sur R *, 6 6 > < < < < < ou < < Sur R *, > < < < < < ou < < 46 Corrigé séquece MA

46 E suivat ce raisoemet, o pourrait démotrer que peut deveir aussi grad que l o veut pourvu que l o choisisse des valeurs de das u voisiage suffisammet proche de (par valeurs strictemet iférieures à ou par valeurs strictemet supérieures à ) O dira que ted vers + lorsque ted vers par valeurs strictemet supérieures à ou par valeurs strictemet supérieures à O otera lim +, lim + et, les limites < > à gauche de et à droite de état les mêmes, o otera plus simplemet lim + Activité 4 À l aide de la représetatio de f obteue das l activité, f ( ) semble tedre vers lorsque ted vers avec < et vers + lorsque ted vers avec > Pour plus de précisio, o établit u tableau de valeurs de f ( ) au voisiage de e preat soi de choisir u pas petit Il faut peser à choisir des valeurs de iférieures et des valeurs de supérieures à Il apparaît à la lecture du tableau de valeurs que les cojectures émises précédemmet peuvet être cofirmées, c est-àdire qu il semble que f () tede vers à gauche de et vers + à droite de a) Soiet A u réel aussi grad que l o veut (pour la démostratio, o pourra choisir A > ) et u réel tel que > Corrigé séquece MA 47

47 f ( )> A + A A > + > ( ) car > puis A f ( )> A A> A < ( ) car A > d où A < A A Fialemet, pour A aussi grad que l o veut, o sait trouver u réel A tel que pour < < o ait f () > A Cela sigifie que f( ) pourra être plus grad que importe quel réel A pourvu que soit suffisammet proche de O peut doc cofirmer que f( ) ted vers + lorsque ted vers e état supérieur à b) Selo les cojectures émises précédemmet, il semble que f( ) ted vers lorsque ted vers par valeurs iférieures à O choisit doc u réel A, égatif, aussi grad que l o veut e valeur absolue et o cherche les valeurs de telles que < pour lesquelles f( )< A O adapte alors le travail précédet f ( )< A + A A < + > ( ) car < puis A f ( )< A A> A > ( ) car o peut choisir A A d où A > Il apparaît doc que, pour A égatif, aussi grad que l o veut e valeur absolue, A o sait trouver u réel tel que pour A < < o ait f( )< A c est-à-dire que f( ) pourra être plus iférieur à importe quel réel A égatif pourvu que soit suffisammet proche de e état iférieur à et o peut doc cofirmer que f( ) ted vers lorsque ted vers par valeurs iférieures à Activité 5 a) O établit par eemple u tableau de valeurs de f( ) au voisiage de, à gauche et à droite, e preat soi de choisir u pas petit Il apparaît à la lecture du tableau de valeurs que f( ) semble tedre vers à gauche de comme à droite de Cette cojecture peut être cofirmée e traçat la courbe représetative de f O O b) La courbe représetative de f semble être la droite d équatio y autremet dit, il semble que pour tout, f( ) 48 Corrigé séquece MA

48 O O Pour, o a ( )( ) 4 doc, pour, f ( ) 4 + ( )( ) ( ) Puis, ituitivemet, lim d où lim f( ) La foctio f est doc pas défiie e mais elle admet ue limite fiie e Graphiquemet, o remarquera que le poit de coordoées ( ; ) appartiet pas à la courbe représetat f bie que l o puisse peser le cotraire Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice 4 a) L epressio + est u quotiet doc o est ameé à détermier la limite du umérateur et du déomiateur O a lim + > 4 et lim 4 car pour >, o a > 4 doc 4 < > + Par quotiet, o obtiet lim 4 > + b) La foctio cos + foctio ratioelle O a lim lim lim est la composée de la par la foctio cos doc, par compositio + + avec X, o obtiet lim cos lim X cos X c) L epressio + est u quotiet dot le umérateur et le déomiateur tedet vers lorsque ted vers O est doc ameé à trasformer Corrigé séquece MA 49

49 l epressio du quotiet pour lever l idétermiatio Les triômes de degré, + et admettet tous les deu pour racie, ils sot factorisables par D ue part + a pour discrimiat 9 et pour racies et d où + ( )( + ) D autre part ( )( + ) ( )( + ) Fialemet + ( )( + ) + or lim + et ( )( + ) + lim doc par quotiet lim + c est-à-dire lim d) O cherche la limite e du quotiet + si L idée est d ecadrer + si et de travailler par comparaiso après s être rameé à détermier des limites de foctios ratioelles Pour R, si puis + si + De plus, pour tout R, + > doc + si O a lim lim et, de faço aalogue, lim si doc par le théorème des gedarmes, lim + e) Pour et >, + ( + )( + + ) + 4 ( )( + + ) ( )( + + ) ( ) ( )( + + ) + + O a lim d où par quotiet lim c est-à-dire lim Corrigé séquece MA

50 f) L epressio cos ( ) est u quotiet dot o cherche la limite e Le umérateur et le déomiateur tedat vers e, o est ameé à trasformer l epressio O sait que, pour tout a R, cos a si a doc cos ( ) si ( ) et cos ( ) si ( ) Le calcul des limites du umérateur et du déomiateur de cette ouvelle forme coduit à ouveau à si X ue idétermiatio mais o sait que lim et l idée est d utiliser ce X X derier résultat O remarque que si ( ) si( ) si( ) 9 O a lim doc, par compositio avec X, si( ) X lim lim si X X puis, par compositio avec Y si( ), si( ) o a lim lim Y Y si( ) Fialemet, par produit par 9, o obtiet lim 9 9 c est-à-dire si ( ) lim 9 ou ecore cos ( ) lim 9 Eercice 5 4 La foctio f est ue foctio polyomiale doc lim f( ) lim + et lim f( ) lim La recherche d ue feêtre peut être facilitée das u premier temps par l utilisatio de GeoGebra Ue fois cette recherche effectuée, o peut proposer par eemple la feêtre ci-dessous avec le graphique correspodat Corrigé séquece MA 5

51 Eercice 6 Répose C E effet, + ( + )( + + ) ( ) ( ) + + or lim + + doc par iversio, lim + O remarquera qu il s agit ici d ue preuve mais, s il y a pas de démostratio du résultat demadée, o peut s appuyer sur ue cojecture du résultat obteue par eemple à la calculatrice ce qui peut permettre aussi de coclure Répose B E effet, pour tout R, si doc si et f( ) + or lim + doc par comparaiso e +, lim f( ) + O + + remarquera ici qu ue cojecture du résultat à l aide de la calculatrice écessite de predre des valeurs de suffisammet grade pour e pas proposer ue coclusio erroée Répose C + O a lim lim et, de la même faço, lim doc la droite d équatio y est asymptote à la courbe + d équatio y e et e + Le déomiateur s aule e et e alors qu e ces deu valeurs, le umérateur e s aule pas Il eiste doc deu asymptotes verticales d équatio et Répose D S il y a pas de démostratio du résultat demadé, o peut cojecturer le résultat à l aide de la calculatrice Pour ue preuve, o remarque que si si f( ) + + or lim si 5 Corrigé séquece MA

52 d où lim f( ) et e choisissat f ( ) o prologe la défiitio de f à R e costruisat ue foctio cotiue e aisi qu'o le verra das le chapitre suivat Répose C La foctio g est la composée de par f or lim + + doc, par compositio avec X, lim g ( ) lim f( ) lim f( X) X X > Répose B La foctio g est la composée de par f or lim + > compositio avec X, lim g ( ) lim f( ) lim f( X) X + > > doc, par Eercice 7 a) E s appuyat sur la représetatio graphique de f, il semble que : f soit défiie sur R \{ } ; 5 lim f( ), lim f( ) ; < lim f( ) + et lim f( ) + ; + > f admette ue asymptote verticale d équatio O peut évetuellemet cojecturer la présece d ue autre asymptote, ue asymptote oblique 5 O 6 4 O b) E complétat la graphique par le tracé de la droite la droite d équatio y +, il apparaît que f semble e effet avoir ue autre asymptote, à savoir la droite E effet, la courbe f semble se rapprocher de la droite au voisiage de et de + Corrigé séquece MA 5

53 5 5 O 6 4 O La foctio f est ue foctio ratioelle défiie par ( 5)( + ) f( ) 9 + Le déomiateur 9 + a pour discrimiat et pour racies et 5 doc f est défiie sur R privé de ces deu valeurs La foctio f est doc défiie sur D ; ; 5 5 ; + O ote que la cojecture émise à la questio était fausse Pour détermier les limites e et de +, o remarque que pour tout D, 9 + f( ) O a alors lim f( ) lim lim 9 + et, de faço aalogue o obtiet lim f( ) lim Pour détermier les limites e les zéros du déomiateur, o travaille par quotiet e détermiat les limites du umérateur et du déomiateur O a lim 9 + 4< et lim 9 + aisi, pour coclure par quotiet, il est écessaire de préciser le sige du déomiateur au voisiage de 5 + Sige de Corrigé séquece MA

54 O peut doc préciser la limite du déomiateur e, à savoir lim et lim 9 + < > puis o obtiet par quotiet lim f( ) et lim f( ) + < ( 5)( + ) O a f( ) 9 + > doc le umérateur et le déomiateur s aulet e 5 Le calcul des limites par quotiet coduit doc à ue idétermiatio que l o va lever e trasformat l epressio de f 5 E remarquat que 9 + ( )( ) ( )( 5), o a pour ( 5)( + ) + D, f( ) Comme lim + ( )( 5) 5 7 et lim, o obtiet par quotiet lim f( ) 5 5 a) Pour tout D, + + ( + )( ) 4 f( ) ( + ) ( + ) b) O a lim doc par iversio lim puis par produit par 4, o a lim f( ) ( + ) De la même faço, o obtiet lim f( ) ( + ) + Le ombre f( ) ( + ) représete l écart algébrique mesuré sur ue verticale etre les poits de coordoées ; f( ) 7 4 ( ) et ( ; +) autremet dit l écart etre la courbe f et la droite Du calcul des limites e et e +, o déduit que cet écart algébrique ted vers e et e ce qui est cohéret avec les costatios effectuées précédemmet C est même ue preuve du résultat O peut doc affirmer que la droite est asymptote à f e et e + Corrigé séquece MA 55

55 c) Les positios relatives de la courbe f et de la droite sot doées par le sige de f( ) ( + ) E effet, f et serot sécates lorsque f( ) ( + ) c est-à-dire f( ) ( + ), f sera strictemet au-dessus de lorsque f( ) > ( + ) c est-à-dire f( ) ( + ) > et f sera strictemet au-dessous de lorsque f( ) < ( + ) c est-à-dire f( ) ( + ) < O sait que < sur ; et > sur ; + doc par iversio et produit par 4, o e déduit que f( ) ( + ) < sur ; et f( ) ( + ) > sur ; + Par suite, f est strictemet au-dessous de sur ; et f est strictemet au-dessus de sur ; +, les deu courbes e se coupat pas Eercice 8 ( ) O a lim > et lim + doc par quotiet, lim f( ) + et, graphiquemet, o peut e déduire la présece d ue asymptote verticale d équatio Pour détermier les limites e et e +, o remarque que f est ue foctio ratioelle que l o peut écrire sous la forme f( ) ( 4 + 4) O a alors lim f( ) lim lim et lim f( ) lim lim + De ces deu deriers résultats, o e peut pas e déduire l eistece d asymptote sas raisoemet supplémetaire a) Pour, d ( ) f ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + )( 8 + 8) ( ) ( ) 56 Corrigé séquece MA

56 Comme lim, o obtiet par compositio avec X, ( ) + lim lim X X puis par iversio lim d ( ) O remarque que l o aurait pu raisoer e écrivat lim d ( ) lim lim lim ( ) De faço aalogue, o a lim d ( ) + L écart algébrique etre la courbe f et la droite ted vers e doc la courbe f ted à se rapprocher de la droite au voisiage de O e déduit que la droite est asymptote à f au voisiage de De la même faço, la droite est asymptote à f au voisiage de + b) Sur R \{ }, d ( ) ( ) car ( ) > ( ) sur R \ {} ( ) + Puis, sur R \{ }, d ( ) 8 7 Le triôme a pour discrimiat 8 ( ) et pour racies 4 et 4 + puis, état positif à l etérieur des racies o obtiet comme esemble de solutio de : 4 4 S + ; ; + Fialemet, d ( ) a pour esemble de solutio sur R \{ }, 4 S S 4 + R \{ } ; ; + Graphiquemet, d ( ) représetat l écart géométrique etre la courbe f et la droite, il apparaît que la distace mesurée verticalemet etre les deu courbes est iférieure à ue uité de logueur sur l esemble S O peut remarquer que, comme la droite est asymptote à f au voisiage de et de +, il est logique de retrouver ue distace etre les deu courbes iférieure à au voisiage de et de + c) Pour, d ( ) or ( ) > sur R \ sur R \{} ( ) {} doc d ( )> Corrigé séquece MA 57

57 Graphiquemet, le sige de d( ) ous doe les positios relatives de la courbe f et de la droite doc f et e se coupet pas et f est strictemet au-dessus de sur ; et sur ; + La foctio f est ue foctio ratioelle doc f est dérivable sur so esemble de défiitio, u vu uv Formule utilisée : v ' ' v Pour, ( ) ( ) 6 ( 6 ) + 9 ( 4) f'( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 4 ( ) ( )( 6 + 9) d où f ( ) 4 ( ) ( + ) Comme ( )( + ) 6 + 9, o e déduit que ( )( + ) f ( ) ( ) Le triôme + a u discrimiat strictemet égatif doc il e s aule pas sur R et, pour tout R, + > sur R O a doc le tableau de sige suivat : + est du sige de Par suite, + Sige de Sige de Sige de f () + + La foctio f est doc strictemet croissate sur ;, strictemet décroissate sur ] ; ] et strictemet croissate sur ; + 58 Corrigé séquece MA

58 E résumé, o a : Variatios de f f 4 O Corrigé séquece MA 59

59 Corrigé des activités du chapitre 4 Activité 6 O a (AB + BC) doc BC 6 AB aisi, pour obteir le rectagle ABCD sous GeoGebra, o peut créer u curseur a doat la logueur AB et preat des valeurs de à 6 puis défiir les poits A, B, C et D par leurs coordoées O peut choisir A( ; ) pour obteir B(a ; ), C a ;6 a a ( ) et D;6 ( ) Logueur AB,5,5,5,5 4 4,5 5 5,5 6 f () Nombre de carrés das ABCD E s appuyat sur la figure obteue sous GeoGebra, o observe aisémet que f (,9) 6, f ( 99, ) 6 et il apparaît que f( a) 6 pour tout réel a aussi proche que l o veut de 4 pourvu que a < 4 Algébriquemet, comme BC 6 AB, o observe que lorsque AB < 4 o a BC > et il apparaît que si AB est proche de 4 e restat strictemet iférieur à 4, o peut placer trois petits carrés portés par [AB], multiplié par deu petits carrés portés par [BC] O place doc si petits carrés à l itérieur de ABCD Fialemet lim f ( ) 6 < E adaptat la démarche ci-dessus, o obtiet que f ( 4, ) 4, f ( 4, ) 4 puis lim f ( ) 4 4 > 4 8 a) E s appuyat sur la figure obteue sous GeoGebra et lorsque AB parcourt l itervalle [ ; 6], o ote que : pour ;, o a f () ; f () 5 ; pour ;, o a f () 4 ; f () 8 ; pour ;, o a f () 6 ; f () 9 ; 6 4 pour ; 4, o a f () 6 ; f (4) 8 pour 4; 5, o a f () 4 ; f (5) 5 ; et pour 5 ; 6, o a f( ) O peut alors costruire la représetatio graphique de f O remarquera que bie que cela e se voit pas sur le graphique ci-dessus, le trait est pas cotiu sur l itervalle ; 4 puisque l image de par f est Corrigé séquece MA

60 b) O remarque que la courbe f présete des discotiuités Elle e peut pas être obteue sas lever le crayo E terme de foctios, o dira que la foctio f est pas cotiue sur l itervalle [ ; 6] O dira que la foctio f est cotiue i e, i e, i e, i e 4, i e 5 Pour poursuivre avec l activité 7, o retiedra que graphiquemet, ue foctio est dite cotiue sur u itervalle I lorsque sa représetatio graphique s obtiet sas lever le crayo Das le cas cotraire, la foctio est pas cotiue sur I Complémet Créatio de la courbe sous GeoGebra O repred et o poursuit la figure obteue das le O crée u curseur a doat la logueur AB et preat des valeurs de à 6 puis o défiit les poits A, B, C et D où A( ; ), B(a ; ), C( a ;6 a) et D ( ; 6 a ) O crée alors le rectagle ABCD avec l outil polygoe a) O remarque que le plus grad ombre de petits carrés portés par le segmet [AB] est le plus grad etier iférieur ou égal à la logueur AB Ce ombre est doc la partie etière du réel a O crée aisi la variable b qui doera le ombre de petits carrés portés par le segmet [AB] e etrat b floor(a) das la barre de saisie de GeoGebra De même, le plus grad ombre de petits carrés portés par le segmet [BC] est la partie etière de la logueur BC aisi, o crée la variable c floor(6 a) qui doera le ombre de petits carrés portés par le segmet [BC] O défiit alors les poits M, N et P par M(b ; ), N(b ; c) et D( ; c) puis, à l aide de l outil polygoe, o crée le rectagle AMNP qui est le plus grad rectagle possible costitué de petits carrés coteu das ABCD E mettat de la couleur, o peut alors visualiser u peu plus précisémet le problème b) Pour obteir la courbe représetat f, il suffit de se placer sur ue deuième feêtre graphique et d y placer le poit de coordoées ( a, poly) e supposat que poly est le om doé au rectagle AMNP c) E activat la trace de ce derier poit costruit et e faisat varier le curseur a, o obtiet la courbe représetat f Corrigé séquece MA 6

61 Activité 7 impossible impossible impossible impossible impossible impossible impossible impossible impossible impossible 6 Corrigé séquece MA

62 Outre l hypothèse émise e début d activité, il apparaît au regard du tableau précédet que pour que l équatio f( ) admette des solutios sur I (autremet dit pour qu il soit impossible d avoir S vide), il suffit que f soit cotiue sur l itervalle I Das ce cas, l équatio f( ) peut admettre ue, deu, trois, etc ou ue ifiité de solutios Outre l hypothèse émise e début d activité, il apparaît que pour que l équatio f( ) admet ue uique solutio sur I, il suffit que f soit cotiue sur l itervalle I et que f soit strictemet croissate sur I Corrigé des eercices d appretissage du chapitre 4 Eercice 9 Dire que la foctio f est cotiue e sigifie par défiitio que lim f( ) f( ) Aisi, pour trouver m, il suffit d étudier la limite de f( ) lorsque ted vers O se cotete de travailler à gauche de, f état pas défiie à droite de Pour <, f( ) 4 ( )( + ) or, pour <, > et + > doc ( )( + ) + puis f( ) ( ) O a lim + doc, par compositio avec X, < lim lim X < > De faço aalogue, lim + 4 doc par quotiet, lim f( ) Pour < que f soit cotiue e, o choisit doc m Eercice Vrai car les flèches obliques traduiset la cotiuité sur chaque itervalle Par ailleurs, f état supposée dérivable sur ; 7, o obtiet ue autre faço de justifier sa cotiuité sur cet itervalle Corrigé séquece MA 6

63 Vrai car f est strictemet croissate sur ; 5 ( ) > ( ) Fau car 4< f ( 5) < et f ( 7) 5 aisi o a f 5 f 7 Vrai car f est strictemet décroissate sur ; Fau car l équatio f ( ) admet eactemet deu solutios das l itervalle ] ;7 ] E effet, comme applicatio du corollaire du théorème des valeurs itermédiaires sur chacu des itervalles ; 5 et [5 ; 7], o obtiet que l équatio f ( ) admet ue uique solutio sur chacu de ces deu itervalles Puis, par lecture du tableau, il apparaît que l itervalle image de ] ; ] par f est l itervalle 4 ; auquel appartiet pas le réel L équatio f ( ) a doc pas de solutio sur ; O e peut pas le dire Les flèches obliques traduisat la stricte mootoie sur chaque itervalle, o peut affirmer que f est strictemet croissate sur ; 5 ou sur ; 5 E revache, ue foctio est strictemet croissate sur u itervalle lorsque sa dérivée est strictemet positive sauf évetuellemet e des réels isolés où elle s aule Aisi, f peut s auler sur ; 5 Vrai La justificatio est doée à l assertio 6 ] ] Fau car f ( 5) E effet, la foctio f est supposée dérivable sur ;7 doc elle est dérivable e 5 or il y a u chagemet des variatios e 5, ce qui sigifie que la dérivée chage de sige e s aulat e 5 Vrai La justificatio a été abordée das l assertio 6 La foctio f est strictemet croissate sur ; 5 doc f est strictemet positive sur cet itervalle sauf évetuellemet e des réels isolés où elle s aule La foctio f peut doc s auler e Vrai La courbe f admet des tagetes horizotales lorsque la dérivée s aule ce qui est le cas au mois e et e 5 Eercice Soit f la foctio défiie par f( ) cos + Cette foctio est la somme de la foctio cosius et de la foctio affie + Ces deu foctios état défiies et dérivables sur R, f est défiie et dérivable sur R 64 Corrigé séquece MA

64 Pour R, f'( ) si π O a f ( ) si si + kπ où k Z et, pour π + kπ oùk Z, o a si > doc f ( ) < Aisi, f est strictemet π égative sur R sauf e les réels isolés de la forme + kπ avec k Z où elle s aule O e déduit que f est strictemet décroissate sur R Pour tout R, cos doc cos + + or lim + doc par comparaiso e, lim f( ) + De plus, lim + doc par comparaiso e +, lim f( ) + + La foctio f est doc défiie sur R, cotiue sur R (car o a motré qu elle était dérivable sur R ), strictemet décroissate sur R et f chage de sige sur R doc, par le corollaire du théorème des valeurs itermédiaires, l équatio f( ) admet ue uique solutio réelle α, autremet dit l équatio cos admet ue uique solutio réelle α 4 Par balayage, o a f (, 8) 8 > et f (, 84), < doc f(, 84) < < f(, 8) or f ( α ) et f strictemet décroissate sur R d où, 8 < α <, 84 Eercice La foctio f est le produit de par la foctio cos 99, La foctio affie est défiie, cotiue et dérivable sur π π ; 4 4 La foctio cos est le produit de cos, défiie, cotiue et dérivable sur et dérivable sur π π ; 4 4, par elle-même doc cos est défiie, cotiue π π ; 4 4 La foctio cos 99, état la somme de cette derière et de la foctio costate, 99, o e déduit qu elle est défiie, cotiue et dérivable sur π π ; 4 4 Corrigé séquece MA 65

65 Fialemet, f est défiie, cotiue et dérivable sur π π ; 4 4 Formules utilisées : ( u+ v) u + v, ( uv ) u v + uv et le cas particulier où u v : u ' u' u ( ) Pour π π ;, 4 4 f ( ) (cos, 99) + ( si ) cos cos, 99 si cos O dérive à ouveau e remarquat que f est la somme de cos 99, et du produit de par le produit sicos Pour e pas alourdir la rédactio, o admettra la cotiuité et la dérivabilité des foctios sur l esemble sur lequel o travaille Pour R, f ( ) sicos sicos ( si + cos ) 4si cos cos( ) si( ) cos( ) Soit π ; O a π 4 ; doc, d ue part si( ) < ce qui implique si( ) > et d autre part cos( ) > or < doc cos ( ) > Par somme, o obtiet f ( ) > sur π ; 4 π E adaptat ce raisoemet sur ;, 4 o motre que < f ( ) sur π ; 4 Du sige de f '', o déduit les variatios de f à savoir, f est strictemet croissate sur π 4 π ; et strictemet décroissate sur ; 4 π 4 π 4, Variatios de f π 4 49, π 4 49, 66 Corrigé séquece MA

66 π O a 49, ;, 4 et f état cotiue sur π π ;, o déduit 4 4 du corollaire du théorème des valeurs itermédiaires que l équatio f ( ) admet deu solutios sur π das ; 4 π π 4 ; 4, l ue α das π 4 ; et l autre β O pourra remarquer que, la foctio f état impaire puisque pour tout R, f( ) f( ), o obtiet que β α 4 Par balayage, o a f ( 6, ) 8 < α 6, Par la remarque ci-dessus, o a doc β α 6, et f ( 5, ) > doc Par suite, e s appuyat sur le tableau ci-dessus, o obtiet le sige de f à savoir, strictemet égatif sur π ; α, strictemet positif sur α β 4 ; et strictemet égatif sur β ; π 4 La foctio f est doc strictemet décroissate sur π α 4 ;, strictemet croissate sur α ; β et strictemet décroissate sur β ; π 4 π 4 α β π 4, 5π f ( β ) Variatios de f f ( α ), 5π 4 a α 6, puis f ( α) 4 < 4 et β 6, puis f ( β ) 4 > Comme coséquece du théorème des valeurs itermédiaires, o e déduit que l équatio f( ) admet ue uique solutio das chacu des trois itervalles π α 4 ;, α ; β et β ; π 4 solutios sur π π ; 4 4 Aisi, l équatio f( ) admet trois Corrigé séquece MA 67

67 O peut visualiser la situatio e choisissat, par eemple, ces feêtres graphiques, la première doat la situatio sur tout l itervalle π π ; et la 4 4 deuième permettat de voir u peu mieu ce qui se passe Remarque La foctio f est impaire car pour tout π π ;, f( ) f( ) 4 4 aisi l étude faite précédemmet π aurait pu être faite sur ; 4 avat de coclure par symétrie O ote que f ( ) doc est la solutio de f( ) apparteat à l itervalle α ; β Eercice O remarque que, pour tout D, si doc sur l esemble D, o a si si ta + 8si 8si ta cos si cos a) La foctio f est dérivable sur D comme somme de foctios dérivables sur 8cos D et o a, pour tout D, f ( ) 8cos cos cos or cos > sur D doc f ( ) est bie du sige de 8cos sur cet esemble b) E s appuyat sur le cercle trigoométrique, o obtiet que sur l esemble D, cos > ; π π Aisi, la foctio cube état strictemet croissate sur R, o a sur ;, cos > cos > 8cos > f ( ) > 8 π E remarquat que sur l esemble D, f ( ), o e déduit que f est π strictemet croissate sur ; et strictemet décroissate sur π π ; et π sur π ; 68 Corrigé séquece MA

68 c) O rappelle les limites de ta à gauche et à droite de π si O a ta or lim si et lim cos doc, par quotiet, il cos π π apparaît écessaire de détermier le sige de cos e se plaçat à gauche et à droite de π Au voisiage de π, cos > à gauche de π et cos < à droite de π doc lim cos + et lim cos d où fialemet par π π π < π > quotiet lim ta + et lim ta π π π < π > De ces résultats et de et lim f( ) + π π < lim si, o déduit que lim f( ) π π π < De lim si et lim ta, o déduit que lim f( ) et de lim si et lim ta, o déduit que lim f ( ) π π π E résumé, o a : π π Variatios de f Résoudre sur D l équatio (E) reviet à résoudre sur D l équatio f( ) Aisi, la répose à cette questio s obtiet par applicatio du corollaire du théorème des valeurs itermédiaires sur chacu des trois itervalles ; π, π ; π et π ; π e remarquat que la foctio f y est cotiue Corrigé séquece MA 69

69 Par lecture du tableau, il apparaît que l équatio f( ) admet trois solutios, l ue das chacu des trois itervalles précédets Par suite, l équatio (E) admet trois solutios sur D situées das chacu des trois itervalles précédets Eercice 4 Raisoos par récurrece O a u ; doc la propositio «u ;» est vraie au rag Soit k N tel que < u k < O a uk+ uk( uk ) or < u k et u k > doc par produit u k + > Par ailleurs, uk+ uk uk uk < aisi o a < u k + < Fialemet par récurrece, o obtiet que pour tout N, u ; La suite ( u ) est borée doc, pour qu elle coverge, il suffit qu elle soit mootoe (par le théorème de la covergece mootoe) or pour tout N, u+ u u u doc ( u ) est décroissate Comme elle est miorée, elle coverge vers u réel l Comme pour tout N, < u <, o e déduit par passage à la limite que l Par compositio avec u, o a lim u lim ( + u ) ( + ) l( + l ) + l car la foctio polyomiale ( + ) est cotiue sur R (doc e l ) Par ailleurs, lim u + + l De l uicité de la limite, o déduit que l( + l) l Comme ( + ) ( + ), o obtiet l Eercice 5 La foctio f est la somme des foctios et si toutes deu dérivables sur R doc f est dérivable sur R et, pour tout R, f'( ) + cos O a f ( ) > cos + > cos > π+ kπ où k Z et, pour tout k Z, f ( π+ kπ) cos( π+ kπ) + doc f est strictemet positive sur R sauf e les réels isolés π+ kπ où k Z O e déduit que f est strictemet croissate sur R Pour tout R, si doc f( ) + Puis lim + doc par comparaiso e o a lim f( ) 7 Corrigé séquece MA

70 De plus, lim + doc par comparaiso e +, o a lim f( ) Pour tracer la courbe f, o peut remarquer que, comme pour tout R, f( ) +, f, se situe etre les deu droites d équatios y 8 et y + Par ailleurs, o peut tracer la tagete à l origie du repère, cette 6 tagete ayat pour coefficiet directeur 4 le ombre f ( ) a) La foctio f état cotiue sur R (comme somme des foctios et π O O π π π si toutes deu cotiues sur R) et strictemet croissate sur R, elle est par le corollaire du théorème des valeurs 4 itermédiaires bijective de R das R R f ( ) Pour tout etier aturel, o a f( R ) doc l équatio f( ) admet ue uique solutio réelle otée O peut visualiser la situatio sous GeoGebra e traçat la courbe, e créat u curseur preat des valeurs etières et e ajoutat la droite d équatio y b) O sait que, pour tout R, f( ) + doc o a 6 4 O O π 5 y 5 5 π π 4π f( ) + or f( ) doc + De +, o déduit que pour tout N, or lim + doc lim E poursuivat sur les ecadremets, de, o déduit que + pour fialemet obteir que pour tout N, + puis, pour tout >, + ou ecore + Corrigé séquece MA 7

71 Comme lim, o a lim et lim + doc par le théorème des gedarmes, lim + E résumé, la suite ( ) des solutios de l équatio E est divergete, elle ted vers + à la même vitesse que ted vers + Eercice 6 O remarque que les logueurs état e mètres, o eprime les vitesses e ms pour obteir les temps t et t e secode La vitesse du lapi est de kmh soit ou ecore 6 ms 6, ms et celle du camio est du double à savoir, 6 kmh 6, Das le triagle ABD rectagle e B, o a AB AD cosθ doc AD AB 4 cosθ cos θ AD 4 4, 6 Par suite, o a t vitesse lapi vitesse lapi cosθ cos θ Das le triagle ABD rectagle e B, o a BD AB taθ doc BD ABta θ 4ta θ Comme B [ CD], o e déduit que CDCB+BD7+4ta θ Par suite, o a t CD 7+ 4 ta θ, 6 ( 7+ 4ta θ) vitesse camio vitesse camio 6 Pour que le lapi puisse traverser la route avat le passage du camio, il faut et il suffit que t > t ce qui équivaut à 6, ( 7 + 4ta θ) 4, 6 > 6 cos θ O obtiet t > t + 4taθ > + taθ > f( θ ) > où cosθ cosθ f ( θ 7 ) + ta θ 4 cos θ Pour détermier le sige de f ( θ ), o étudie les variatios de f sur l itervalle π ; 7 Corrigé séquece MA

72 La foctio f est la somme des foctios θ 7, θ ta θ et θ 4 cos θ π toutes les trois dérivables sur ; E effet, la foctio costate θ 7 π est dérivable sur ;, la foctio θ ta θ est dérivable sur π ; et la foctio θ 4 est le produit par 4 de l iverse de θ cos θ, dérivable cosθ π et e s aule pas sur ; La foctio f est doc dérivable sur π ; ' v Formule utilisée : ( u+ v) u + v et v ' v π Pour ;, siθ siθ f ( θ) 4 ( ) cos θ cos θ cos θ π Pour θ ;, cos θ> et > doc f ( θ ) est du sige de si θ E s appuyat sur le cercle trigoométrique, o π observe que sur ;, π siθ siθ θ 6 π et sur ;, π siθ> si θ< θ< 6 Fialemet, f ( θ) > sur π est doc strictemet croissate sur ; 6 π ; 6 et f ( θ) < sur π π ; 6 La foctio f et strictemet décroissate sur π π ; 6 Elle admet u maimum e π 6 égale f ( π ) , O a f ( ), 5< et, pour compléter l étude de f, o détermie la limite de f à gauche de π,5 O,5 O 7 siθ O a f ( θ) + taθ cosθ cosθ or lim si θ et π θ Corrigé séquece MA 7

73 lim cos θ π + doc par quotiet θ θ< π siθ lim π cosθ θ θ< π et, par produit par puis par somme, o obtiet lim f ( θ) π θ E résumé : θ< π π 6 π Variatios de f 7 π Après avoir précisé la cotiuité de f sur ; et e appliquat le corollaire π du théorème des valeurs itermédiaires sur chacu des itervalles ; 6 et π π ;, 6 o observe que f s aule eactemet ue fois sur chacu de ces itervalles et, e s appuyat sur les variatios de f, o obtiet que f ( θ> ) etre ces deu zéros α et β de f Pour plus de précisios, o peut détermier les zéros de f par balayage O a f (, ) 7, < et f (, 4), > d où, < α < 4, et o peut reteir α, 4puis f ( 6, ), > et f ( 7, ) 4, < d où 6, < β < 7, et o peut reteir β 6, Pour réussir à échapper à la collisio avec le camio, le lapi devra doc traverser avec u agle compris etre,4 et,6 radias 74 Corrigé séquece MA

74 Corrigé de l activité du chapitre 5 Activité 8 a) O cherche la dérivée de la foctio g défiie sur + ; par g ( ) + g ( + h) g ( ) O cherche la limite du tau d accroissemet lorsque h ted h vers Soit et h tel que + h O a g ( + h) g ( ) ( + h) h+ + h h h La démarche pour détermier la limite de cette epressio est alors de multiplier umérateur et déomiateur par l epressio cojuguée du umérateur, à savoir + h+ + + Pour ce faire, o s assure que cette epressio e puisse pas être ulle pour tout h et pour cela, il faut supposer + > c est-àdire > O a alors D où g ( + h) g ( ) ( + h+ + )( + h+ + + ) h h( + h+ + + ) g ( + h) g ( ) + h+ ( + ) h h( + h+ + + ) h( h + h+ + + ) + h+ + + or lim + h+ + doc, par compositio lim + h+ + h h puis lim h + h g Fialemet lim ( + h ) g ( ) h h + Aisi, la foctio f est dérivable sur + ; et, pour tout >, g' ( ) + Corrigé séquece MA 75

75 O peut remarquer que la démostratio ci-dessus permet de justifier la dérivabilité de g sur + ; mais e fourit aucue iformatio quat à la dérivabilité de g e Pour étudier la dérivabilité de g e, o reviet à la défiitio de la dérivabilité et o étudie la limite du tau d accroissemet g( + h) g( ) lorsque h ted vers h Pour h >, g( + h) g( ) ( + h) + h h h h h lim h + doc par iversio lim + puis par produit par o h h h h> h> g( + h) g( ) obtiet lim + La foctio g est doc pas dérivable h e h h> b) O adapte tout simplemet ce qui précède au cas où g ( ) a+ b b avec a + b, c est à dire a ( a > ) g ( + h) g ( ) O cherche la limite du tau d accroissemet lorsque h ted h vers b b Soit et h tel que + h O a a a g ( + h) g ( ) a ( + h) + b a+ b a + ah + b a + b h h h La démarche pour détermier la limite de cette epressio est alors de multiplier umérateur et déomiateur par l epressio cojuguée du umérateur, à savoir a + ah + b + a + b Pour ce faire, o s assure que cette epressio e puisse pas être ulle pour tout h et pour cela, il faut supposer a + b > b c est à dire > a g ( + h) g ( ) ( a + ah + b a + b )( a + ah + b + a + b ) O a alors h h a + ah+ b + a + b ( ) or 76 Corrigé séquece MA

76 D où g ( + h) g ( ) a + ah + b ( a + b) h h( a + ah+ b + a + b) h( ah a + ah + b + a + b ) a a + ah+ b + a + b or lim a + ah + b a + b doc, par compositio lim h h a + ah + b a + b puis lim h a + ah + b + a + b a + b g Fialemet lim ( + h ) g ( ) h h a a + b b Aisi, la foctio f est dérivable sur + a ; et, pour tout b >, a a g' ( ) a + b Comme o l a fait précédemmet, o peut compléter l étude e s iterrogeat sur la dérivabilité de g e b Pour ce faire, o étudie la limite du tau a b b g( + h) g( ) d accroissemet a a lorsque h ted vers O a pour h >, h b b b g( + h) g( ) a( + h) + b a a a ah a h h h h or lim h + doc par iversio lim + puis par produit par a o h h h h> h> b b g( + h) g( ) obtiet lim a a + h h h> La foctio g est doc pas dérivable e b a a) L objectif état de détermier la dérivée de la foctio g défiie sur R par g( ) ( a+ b) g ( + h) g ( ), o cherche la limite du tau d accroissemet h lorsque h ted vers Corrigé séquece MA 77

77 Après avoir défii la foctio g e affectat à g ( ) la valeur ( a + b) (étape de la copie d écra), o calcule le tau d accroissemet de g etre et + h (étape de la copie d écra) puis o développe le umérateur et o simplifie (étape de la copie d écra) Le détail des calculs est fastidieu d où l itérêt d utiliser u logiciel de calcul formel même s il reste possible de faire «à la mai» les calculs afi de se covaicre de la validité des résultats Il reste à détermier la limite de g ( + h) g ( ) lorsque h ted vers (étape 4 h de la copie d écra) puis à l eprimer sous ue forme u peu plus simple (étape 5 de la copie d écra) g O a obteu lim ( + h ) g ( ) aa ( + b) h h b) De la démarche précédete, o e déduit que g est dérivable sur R et que pour tout R, g ( ) a( a + b) or f est défiie par f( ) doc f ( ) et o obtiet g ( ) a f ( a + b) Das le cas gééral où g est la composée de la foctio affie u défiie par u ( ) a+ b et d ue foctio f dérivable, o peut suivre les étapes qui coduiset à détermier le ombre dérivé de g e autremet dit g ( ) A l étape, o défiie g ( ) fa ( + b) A l étape puis à l étape, o détermie g ( + h) g ( ) comme précédemmet le ombre puis sa limite lorsque h ted h vers Le ombre détermié à l étape est alors g ( ) Il semble doc que g ( ) a f ( a + b) ce qui est cohéret avec la relatio obteue au Corrigé des eercices d appretissage du chapitre 5 Eercice 7 a) La foctio f est la composée de 4 par La foctio est dérivable sur ; + et la foctio 4 est dérivable sur R à valeurs strictemet positives sur ; 4 doc f est 78 Corrigé séquece MA

78 dérivable sur I ; 4 u Formule utilisée : ( u ) u Pour ; 4, f ( ) 4 b) La foctio f est le produit de et de la composée de par cos La foctio est dérivable sur R puis, la foctio cos est dérivable sur R et la foctio doc, f est dérivable sur I R est dérivable sur R et à valeurs das R Formules utilisées : ( uv ) u v + uv et (cos u) asiu où u est la foctio affie défiie par u( ) a+ b Pour R, f ( ) cos( ) + ( si( )) cos( ) si( ) que l o peut aussi écrire par eemple sous la forme f ( ) ( cos( ) si( )) 4 si o pred l habitude de factoriser autat que possible les dérivées das le but d ue évetuelle étude de sige permettat d obteir les variatios de la foctio O peut oter que das le cas préset, l étude du sige de écessiterait l étude de la foctio auiliaire 4cos( ) si( ) c) La foctio f est le quotiet de + si par La foctio + si est la composée de + si par La foctio état dérivable sur ; +, la composée + si est dérivable lorsque la foctio + si est dérivable et strictemet π positive or + si > si > si + kπ où k Z doc + si est à valeurs strictemet positive sur tout itervalle e π coteat pas de réel de la forme + kπ où k Z Fialemet, la composée + si est dérivable sur tout itervalle e coteat pas de réel de la π forme + kπ où k Z Corrigé séquece MA 79

79 Par ailleurs, la foctio est dérivable sur R et e s aule qu e de sorte que la foctio f soit dérivable sur tout itervalle e coteat i, i π les réels de la forme + kπ où k Z La foctio f est doc dérivable sur I [ ; [ u vu uv u Formules utilisées : ( ) et ( u ) v v u Pour ;, cos ( ) + si + f ( ) si ( )cos ( + si ) ( ) + si ( ) Eercice 8 D ue part, lim f( ) lim D autre part, lim + < < > doc, par compositio avec X o a lim lim X puis X lim f( ) > X> > Fialemet, lim f( ) lim f( ) f( ) doc la foctio f est cotiue e < > O étudie la dérivabilité à gauche et à droite de Pour h <, f( + h) f( ) ( h) ( ) h h h h h h f( + h) f( ) or lim h + d où lim La foctio f est doc dérivable à h h h h< h< gauche de et admet pour ombre dérivé à gauche Pour h >, f ( + h ) f ( ) h ( ) h or lim h h h h h par iversio lim h h> h> f( + h) f( ) +, c est-à-dire lim + h h h h> dérivable à droite de Fialemet, f est pas dérivable e h doc + et f est pas 8 Corrigé séquece MA

80 O peut déduire de la cotiuité de f e que la courbe f e présete pas de discotiuité au voisiage du poit d abscisse, c est-à-dire que la courbe peut être tracée sas lever le crayo De l étude de la dérivabilité e, o déduit que f admet ue demitagete de coefficiet O O directeur à gauche de alors qu elle admet ue demi-tagete verticale à droite de Aisi, o peut observer u poit aguleu au poit d abscisse Eercice 9 a) Par lecture graphique, f admet ue demi-tagete verticale au poit d abscisse doc f e semble pas dérivable e puis f admet, à l origie, deu demi-tagetes de coefficiets directeurs différets ( à gauche et à droite) doc f e semble pas dérivable e bie qu elle semble l être à gauche et à droite de b) Pour h >, f( + h) f( ) ( + h) h ( + h) h ( + h) + h h h h h h or lim + h h h> par compositio lim h et lim + h doc par somme lim + h + puis h h h h> + h lim X + h X + f( + h) f( ) O a fialemet lim + h h h> h> doc f est pas dérivable e mais o retrouve bie le fait que f admette ue demi-tagete verticale au poit d abscisse Pour h, f h f ( + ) ( ) h ( h+ ) h h+ h h+ doc, pour h h h h h >, f ( + h ) f ( ) h + et pour h <, f ( + h ) f ( ) h + h h Corrigé séquece MA 8

81 Comme lim h +, o a par compositio lim h+ lim X h h X f( + h) f( ) f puis lim alors que lim ( + h ) f ( ) La foctio f est h h h h h> h< doc dérivable à droite de et à gauche de mais les ombres dérivées à droite et à gauche état différets, f est pas dérivable e a) La foctio f est la composée de la foctio polyomiale ( + ) + dérivable sur R et à valeurs strictemet positive lorsque ; ; + par la foctio dérivable sur ; + aisi f est dérivable sur ; ; + O peut remarquer que le démostratio que l o viet de suivre permet de prouver la dérivabilité de f sur ; ; + mais elle e permet pas d affirmer que f est pas dérivable ailleurs Pour l affirmer, il était écessaire de procéder comme o l a vu au u Formule utilisée : ( u ) u + Pour ; ; +, f ( ) or + > sur + ; ; + doc sur cette réuio f () est bie du sige de + O a + ( + ) ou or le coefficiet de est positif d où le sige de + puis de f ( ) + Sige de Sige de f ( ) + + La foctio f est doc strictemet croissate sur ;, strictemet décroissate sur ; et strictemet croissate sur ; + 8 Corrigé séquece MA

82 b) O a lim ( + ) lim + lim + (o peut aussi tout simplemet raisoer par produit à partir de l epressio ( + ) ) doc, par compositio avec X ( + ), lim f( ) lim X + + X + E remarquat que f ( ), o dispose de tous les élémets pour dresser 9 le tableau des variatios de f X + Variatios de f 9 + a) Détermier le ombre de solutio de l équatio f( ) k où k est réel découle du corollaire du théorème des valeurs itermédiaires que l o applique sur chacu des itervalles où f est strictemet mootoe ;, ; et ; + La foctio f état cotiue sur so esemble de défiitio, il suffit de cosidérer les cas où le réel k appartiet au itervalles images par f de ces trois itervalles Par lecture du tableau, o obtiet : si k < alors l équatio f( ) k a pas de solutio sur ; + ; si k alors l équatio f( ) k admet deu solutios sur ; + qui sot et ; si < k < alors l équatio f( ) k admet trois solutios 9 sur ; + situées das chacu des trois itervalles ci-dessus ; si k alors l équatio f( ) k admet deu solutios sur ; +, 9 l ue égale à et l autre das ; + ; si k > alors l équatio f( ) k admet ue solutio sur ; + 9 située das ; + Corrigé séquece MA 8

83 b) Détermier le ombre de solutios sur ; de l équatio f( ) m reviet à détermier le ombre de poits d itersectio de la courbe f et de la droite d équatio y m selo les valeurs de so coefficiet directeur m O remarque que les droites d équatio y m passet toutes par l origie doc l équatio O O f( ) m admet au mois comme solutio, quelle que soit la valeur du réel m Si m alors f( ) m admet comme uique solutio sur ; Si < m alors f( ) m admet deu solutios sur ;, l ue égale à et l autre apparteat à ; lorsque m < et égale à si m Si < m alors f( ) m admet comme uique solutio sur ; O remarque que, parmi les droites d équatio y m coupat deu fois la courbe f, celle dot le coefficiet directeur est le plus grad la coupe au poit de coordoées ; f ( ), ( ) ( ) c est-à-dire au poit de coordoées Par suite, cette droite à doc pour coefficiet directeur ; ce qui permet d e déduire le cas suivat Si < m alors f( ) m admet deu solutios sur ;, l ue égale à et l autre apparteat à ; lorsque m > et égale à si m Si m > alors f( ) m admet comme uique solutio sur ; Eercice Domaie de défiitio, domaie de dérivabilité La foctio f est la composée de la foctio cos par la foctio or cette derière est défiie sur ; + et dérivable sur ; + doc, par compositio, f est défiie lorsque cos et elle est dérivable sur tout itervalle sur lequel cos > D après l éocé, f est défiie sur u itervalle iclus das π ; π E s appuyat sur le cercle trigoométrique, o a sur π ; π : π π 84 Corrigé séquece MA

84 π π cos cos ou π π et cos > cos > < < Par suite, la foctio f est défiie sur π π ; et dérivable sur π π ; O peut oter que f état défiie sur u itervalle cetré e et la foctio cosius état paire, la foctio f est elle même paire Cette remarque permet π de restreidre l étude sur l itervalle ; par eemple et d e déduire le comportemet de f sur π ; grâce à la parité De plus, o peut oter que, jusqu à préset, o a aucue iformatio cocerat l évetuelle dérivabilité e π et e π Dérivée et variatios u Formule utilisée : ( u ) u Pour Pour tout π π si ;, si f ( ) cos cos π π ;, cos > doc f ( ) est du sige opposé à celui de si d où f ( ) > sur f ( ) π π ;, f ( ) < sur ; et La foctio f est doc strictemet croissate sur π strictemet décroissate sur ; Courbe π ; et Comme la dérivée f de f s aule à l origie, la représetatio graphique de f admet ue tagete horizotale au poit de coordoées ( ; f ( ) ), c est-à-dire au poit de coordoées ( ; ) Corrigé séquece MA 85

85 Complémet Pour plus de précisio, e complémet, o peut démotrer l eistece d ue tagete verticale au poit d abscisse π e étudiat la dérivabilité de f à gauche de π O remarquera alors que la symétrie de la courbe que l o déduit de la parité de f permet d affirmer l eistece d ue demi-tagete verticale au poit d abscisse π Soit h u réel o ul tel que π π π + h ; (o a doc h < ) O a π π f( + h) f( ) π cos( + h) h h π π π cosh or cos( + h) cos cosh si sih sih et π cos( + h) cosh sih De plus, comme h <, o a h h h h h d où π cosh sih sih co cos( + h) sh h h h h h h sih cosh O sait que lim et lim h h h h doc lim h sih h cosh h sih cosh lim lim X h h h X puis, par compositio o obtiet π π f( + h) f( ) Par ailleurs, lim h doc par quotiet lim h h h h< h< La foctio f est doc pas dérivable à gauche de π mais graphiquemet, o peut tout de même e déduire l eistece d ue demi-tagete verticale Eercice ( ) O commece par vérifier que la propositio «f ( ) π cos( + )» est vraie pour 86 Corrigé séquece MA

86 La foctio f est la composée de si dérivable sur R et à valeurs réelles par la foctio Formule utilisée : u ' dérivable sur R doc f est dérivable sur R ( ) uu' Pour R, f ( ) cossi or o sait que pour tout réel, π sicos si( ) et pour tout réel a, cos( a+ ) sia doc, o π obtiet que pour R, f ( ) cos( + ) Par ailleurs, pour, π π cos( + ) cos( + ) ( ) La propositio f ( ) π cos( + ) est doc vraie pour ( k) k k ( ) π cos( + ) Soit k N * tel que f La foctio f ( k ) est dérivable sur R car elle est le produit d ue costate réelle par la composée k de la foctio affie + π dérivable sur R et à valeurs réelles par la foctio cosius dérivable sur R Formule utilisée : g ( ) asi( a + b) lorsque g ( ) cos( a+ b) Pour R, ( k+ ) ( k) k kπ k k f ( ) ( f ) ( ) ( ) si( + ) si( + π ) π or pour tout réel a, cos( a+ ) sia kπ kπ π ( k + ) π doc si( + ) cos( + + ) cos( + ) ( k+ ) k ( k + ) π d où f ( ) cos( + ) et la propriété est héréditaire Fialemet, par récurrece, pour tout N *, la foctio f est fois dérivable ( ) sur R et o a f ( ) π cos( + ) Corrigé séquece MA 87

87 Corrigé des eercices du chapitre 6 Eercice I Vrai D après le cours, o sait que : «si ue foctio est dérivable sur u itervalle I alors elle est cotiue sur I» L assertio proposée est la cotraposée de cette propriété or, si ue propositio est vraie, sa cotraposée l est aussi Fau Pour démotrer que cette propositio est fausse, il suffit d ehiber u cotreeemple L assertio proposée faisat référece au théorème des valeurs itermédiaires, il suffit de doer u eemple de foctio vérifiat les hypothèses de la propositio mais e vérifiat pas celles du théorème des valeurs itermédiaires autremet dit, il suffit de choisir ue foctio qui e soit pas cotiue e u réel compris etre a et b U dessi peut suffire pour illustrer le problème ou bie o peut epliciter l epressio de la foctio 5, + si Par eemple, la foctio f défiie par f( ) est défiie 5, + 5, si > sur R, o a f( ) f( 4) pourtat, f e s aule pas etre et Fau E s appuyat sur le dessi ci-cotre, o a pour tout ;, f( ) or la tagete à f au poit A a pour y coefficiet directeur, c est à dire f ( ) doc f ( ) > Cet eemple prouve que la propositio est faussse A Vrai Pour h, f( + h) f( ) h E( h) E( ) he ( h) h h f 88 Corrigé séquece MA

88 Puis pour h <, E( h ) et lim h doc par produit h f( + h) f( ) lim et pour < h <, E(h) et lim h doc par h h h h< f( + h) f( ) f( + h) f( ) produit lim doc lim et f est dérivable h h h h h> e (et f ( ) ) Fau Le coefficiet directeur de la tagete à la courbe représetat ue foctio f au poit d abscisse a est égal au ombre dérivé de cette foctio e a O est doc ameé à chercher le ombre dérivé de ( + ) e O ote f la foctio polyomiale défiie et dérivable sur R par f( ) + ( ) La foctio f est la somme de la composée de + par la foctio et de la foctio Formules utilisées : ( u+ v) u + v et ( u ) u u Pour R, f ( ) ( + ) fausse d où f ( ) 5 et la propositio est O peut remarquer que, pour calculer le ombre dérivée de f e, o pouvait aussi détermier la limite e du tau d accroissemet f ( + h ) f ( ) E h effet, pour h, f ( + h ) f ( ) 8h + h+ 5 or lim 8h + h d où h h f( + h) f( ) lim 5 doc f est dérivable e et f () 5 h h Fau O peut cojecturer la répose à l aide d ue représetatio graphique pour costater que la courbe d équatio y ( ) semble admettre ue demitagete horizotale au poit de coordoées ( ; ) O ote f la foctio défiie par f( ) ( ) Pour h, f( + h) f( ) fh ( ) h( h) or lim h( h) puis, par compositio avec h h h Corrigé séquece MA 89

89 f( + h) f( ) X h( h), lim lim h( h) lim X La foctio h h h X f est doc dérivable e, f ( ) et la courbe d équatio y ( ) admet ue demi-tagete horizotale au poit de coordoées ( ; ) Fau Comme la foctio est cotiue sur ; +, o sait d après le cours que si la suite ( u ) coverge vers u réel l alors l est écessairemet solutio de l équatio or et et ( ) et ou doc ( u ) e peut pas être covergete vers Eercice II + O cosidère la foctio f défiie sur R par f( ) + courbe représetative das u repère orthoormé ( O; i, j) et f sa a) La foctio g est ue foctio polyomiale doc g est dérivable sur R et pour R, g ( ) + Pour tout R, doc g ( ) > et g est strictemet croissate sur R O a lim g ( ) lim et lim g ( ) lim Efi, g état cotiue sur R (car c est ue foctio polyomiale), g est bijective de R das R doc l équatio g ( ) admet ue uique solutio α réelle (par le corollaire du théorème des valeurs itermédiaires) Par balayage, o a g( 5, ), 7< et g( 5, ), > doc 5, < α < 5, b) La foctio g est strictemet croissate sur R et g( α ) doc pour tout <α, g ( ) < g( α ) c est-à-dire g ( )< et pour tout >α, g ( ) > g( α ) c est-à-dire g( ) > 9 Corrigé séquece MA

90 a) La foctio f est ue foctio ratioelle doc f est dérivable sur so esemble de défiitio, u vu uv Formule utilisée : v ' ' v Pour tout R, 4 ( + ) ( + ) ( + ) f ( ) ( + ) ( + ) ( + + 8) g ( ) ( + ) ( + ) Pour tout R, ( + ) > doc f ( ) est du sige de g ( ) α + Sige de + Sige de g ( ) + + Sige de f ( ) + + La foctio f est doc croissate sur ; α, décroissate sur α ; et croissate sur ; + b) O a lim f( ) lim lim et lim f( ) lim lim α + f ( α ) + Variatios de f Corrigé séquece MA 9

91 c) O a α + α α α α α f ( α) ( + α) α α α + ( α + ) α α 8 g( α) ( α + ) ( α + ) d où f ( α) + α De 5, < α < 5,, o déduit 5, < α < 5, puis 5, < f ( α ) < 5, ce qui coduit à, 8 < f ( α ) <, 65 a) Pour tout R, + ( + )( + ) ϕ( ) f( ) ( + ) + + ( ) O a lim ϕ( ) lim lim et, de faço aalogue, lim ϕ( ) + Pour tout R, ( + ) > doc ϕ( ) est du sige de 4, à savoir ϕ( ) > sur ; 4, ϕ( 4) et ϕ( ) < sur 4; + Le réel ϕ( ) représete graphiquemet l écart algébrique etre la courbe f et la droite d équatio doc, des résultats sur les limites, o déduit que cet écart ted vers au voisiage de et de +, autremet dit la droite est asymptote à la courbe f au voisiage de et de + Le sige de ϕ( ) permet de déduire les positios relatives de la courbe et de so asymptote E effet, sur ; 4, ϕ( ) > c est-à-dire f( )> + et f est strictemet au-dessus de De la même faço, o observe que les deu courbes se coupet au poit d abscisse 4 et que, sur 4; +, f est strictemet au-dessous de 9 Corrigé séquece MA

92 b) O est ameé à détermier les réels tels que f () ( + + 8) 4 4 f ( ) ( + ) Le triôme + 8 a pour discrimiat 68 ( 7) et pour racies 4 7 et 4+ 7 Par suite, f admet des tagetes parallèles à e les poits d abscisses 4 7 et 4+ 7 c) La droite T a pour équatio y f'( )( + ) + f( ) or f '( ) et f ( ) doc T a pour équatio y 5 O ote que le produit des coefficiets directeurs de T et de vaut doc ces deu droites sot perpediculaires Corrigé séquece MA 9

93 Eercice III a) Pour, si( ) si( ) si( ) f( ) D ue part, lim + et, d autre part, lim doc, par compositio si( ) X avec X, lim lim si X X Aisi, o obtiet lim f( ) 9 b) Dire que f est cotiue e sigifie que lim f( ) f( ) doc la foctio f prologée e sera cotiue e si o pose λ f ( ) 9 si( ) a) Pour, f( ) ( + ) or, pour tout réel, si( ) si( ) doc si( ) puis, pour tout, O a lim + doc lim (par iversio et produit par ) d où + + lim f( ) ( + ) par le théorème des gedarmes De la même faço, + e remplaçat + par, o obtiet lim f( ) ( + ) O peut remarquer que le raisoemet pouvait être fait sas utiliser la valeur absolue si( ) pour obteir les ecadremets au voisiage de + et si( ) au voisiage de si( ) b) Pour, f( ) ( + ) doc, pour que f( ) ( + ) <,, il suffit que <, soit > c est-à-dire, > ou ecore > ou < c) Le ombre ϕ( ) f( ) ( + ) représete l écart algébrique mesuré sur la verticale d abscisse etre la courbe f et la droite d équatio y + Du calcul des limites, o e déduit que cet écart ted vers e + et e doc la courbe f se rapproche de la droite e + et e La droite est doc asymptote à la courbe f 94 Corrigé séquece MA

94 Le ombre ϕ( ) f( ) ( + ) représete l écart géométrique mesuré sur la verticale d abscisse etre la courbe f et la droite De la questio b o peut déduire que pour que l écart etre les deu courbes soit strictemet iférieur à u cetième d uité de logueur, il suffit que > ou < Le poit A est l uique poit d itersectio des courbes f et Γ sur ;π or, pour tout, si( ) f( ) g ( ) π π k π si( ) + kπ où k Z + où k Z doc, l équatio f( ) g ( ) a ue uique solutio sur ;π qui est π Le poit A a doc pour abscisse π Les poits B et C sot les deuième et troisième poits d itersectio des courbes f et Γ sur ;π or, pour tout, si( ) f( ) g ( ) si( ) π 5π + kπ où k Z ou + k' π où k' Z 6 6 k k ' f( ) g ( ) π + π 5 où k Zou π + π où k ' 8 8 Sur ;π l équatio f( ) g ( ) admet comme solutio π 8, 5 π π et 8 8 que l o obtiet respectivemet e choisissat k, k ' et k Les autres réels solutios de f( ) g ( ) appartieet pas à ; π Fialemet, les poits B et C ot respectivemet pour abscisse 5 π π et 8 8 Z Eercice IV Das u tel eercice pour lequel la démarche est pas idiquée, il faut laisser toutes les traces de recherche ou de prises d iitiative même si celles-ci aboutisset pas Corrigé séquece MA 95

95 Il y a plusieurs méthodes qui coduiset au résultat Nous allos e voir deu Première méthode ( ) Le poit M apparteat au quart Notos θ ue mesure de l agle ON, OM π de cercle de cetre O et de rayo, o a θ ; L aire du rectagle ONMP vaut A( θ) OP ON siθ cos θ si( θ) O est doc ameé à étudier la π foctio A sur ; La foctio θ si( θ) est la composée de θ θ défiie et dérivable π sur ; et à valeurs das ;π par la foctio sius défiie et dérivable π sur ce derier itervalle doc θ si( θ) est dérivable sur ; Formule utilisée : (si u) acosu où u est la foctio affie défiie par u ( ) a+ b π Pour θ ;, A ( θ) cos( θ) cos( θ) π π k π O a cos( θ) θ + kπ où k Z θ + où k 4 π aisi, sur ;, cos( ) π θ θ 4 Puis θ π θ π cos( π ) cos( θ) cos( ) cos( θ) car 4 π la foctio cosius est décroissate sur ; π O obtiet A sur ; 4 et A sur π π ; 4 doc A est croissate π π π sur ; 4 et décroissate sur ; 4 La foctio A admet doc u maimum égal à atteit e π doc le rectagle ONMP de plus grade aire 4 est obteu lorsque ON, OM O peut remarquer que le rectagle ONMP est alors u carré ( ) π 4 Z Deuième méthode Posos l abscisse du pot M autremet dit, ON e remarquat que ; O calcule OP par le théorème de Pythagore das le triagle rectagle OPM et, e remarquat que OM, o a OP L aire de ONMP s écrit doc das ce cas A ( ) où ; O est doc ameé à étudier la foctio A sur [ ; ] 96 Corrigé séquece MA

96 La foctio est la composée de dérivable sur [ ; ] et strictemet positive sur [ ; [ par la foctio dérivable sur ; + doc est dérivable sur [ ; [ Par produit par, A est alors dérivable sur [ ; [ u Formules utilisées : ( uv ) u v + uv et ( u ) u Pour ;, + A ( ) ( )( + ) Sur ;, > et + > doc A ( ) est du sige de, à savoir positif sur ; et égatif sur croissate sur ;, décroissate sur ; La foctio A est doc ; et admet u maimum égal à atteit e Le rectagle ONMP de plus grade aire est obteu l abscisse de M est égale à Eercice V ( ) puis P Le poit M appartiet à f doc M a pour coordoées ; f( ) ( ) Par suite, appartiet à T doc P a pour coordoées ; f'( a)( a) + f( a) PM ( ) i + f( ) f'( a)( a) f( a) j soit PM dj ( ) ( ) a) La foctio d est deu fois dérivable sur I (car f l est) et, pour tout I, d ( ) f ( ) f ( a) puis d ( ) f ( ) Das cette questio, o suppose f sur I d où d sur I et d est croissate sur I Comme d ( a), o obtiet d ( ) pour a et d ( ) pour a aisi, d est décroissate avat a et d est croissate après a b) O a d( a), d décroissate avat a et d croissate après a doc d admet u miimum égal à e a aisi d sur I Les vecteurs PM et j sot doc de même ses ce qui prouve que la courbe f est bie située au-dessus de ses tagetes Corrigé séquece MA 97

97 E suivat la même démarche qu au, o obtiet d sur I Les vecteurs PM et j sot doc de ses cotraire ce qui prouve que la courbe f est bie située au-dessous de ses tagetes O suit ue démarche aalogue à celle utilisée das les questios et O obtiet alors que d( ) si I et a et que d( ) si I et a Les vecteurs PM et j sot doc de ses cotraire à gauche de a et de même ses à droite de a ce qui prouve que la courbe f est située au-dessous de ses tagetes à gauche de a et qu elle au-dessus de ses tagetes à droite de a autremet dit, la courbe f traverse sa tagete au poit d abscisse a f( ) f( ) + a) Pour >, or lim et ( ) + + f( ) f( ) lim + + doc par quotiet lim + et f est pas ( ) dérivable e Graphiquemet, o peut déduire de ce résultat que f admet ue tagete verticale au poit d abscisse b) La foctio f est le produit de dérivable sur R par la composée de la foctio affie + dérivable sur R à valeurs strictemet positives sur ; + par dérivable sur ; + doc f est dérivable sur ; + u Formules utilisées : ( uv ) u v + uv et ( u ) u Pour >, f ( + ) ( ) + + ( 5 + 4) + Pour >, + > doc f ( ) est du sige de ( 5 + 4) à savoir positif 4 sur ; ; + 5 et égatif sur 4 ; doc f est croissate sur 5 4 ; et sur ; + et décroissate sur 4 5 ; 5 O a lim + + doc, par compositio avec X +, + lim + lim X + or lim + doc par produit, + X + + lim f( ) Corrigé séquece MA

98 4 5 + Variatios de f O c) La foctio f est dérivable sur ; + comme quotiet de dérivable sur ; + par + dérivable sur ; + et e s aulat pas sur cet itervalle, u vu uv Formules utilisées : v ' ' u et ( u ) v u Pour >, f''( ) + ( + ) ( + ) ( ) ( + ) + Pour >, 4( + ) + > doc f ( ) est du sige de d) Le triôme a pour discrimiat 96 et pour racies 6 5 et O a alors + 6 Par suite, f ( ) < sur ; doc f est cocave sur cet itervalle, 5 f ( ) > sur de f d abscisse poit, la courbe traverse la tagete) ; + et f est covee sur cet itervalle et le poit est u poit d ifleio (c est-à-dire qu e ce Corrigé séquece MA 99

99 e),5 B C A Eercice VI a) Pour tout R, cos doc cos puis g( ) + or lim + doc par comparaiso e, lim g ( ) + et lim + doc par comparaiso + e +, lim g ( ) + b) La foctio g est dérivable sur R comme somme des foctios et cos toutes deu dérivables sur R Pour R, g ( ) si or pour tout R, si doc si puis 5 g ( ) Comme g < sur R, g est strictemet décroissate sur R c) La foctio g est cotiue sur R (car dérivable sur R ), elle est strictemet croissate sur R et elle chage de sige sur R doc par le corollaire du théorème des valeurs itermédiaires, l équatio g( ) admet ue uique solutio α sur R Par balayage, o a g( 56, ), > et g( 57, ), < doc 56, < α < 57, a) La foctio f est dérivable sur R et pour R, f ( ) ( si ) 5 or pour tout R, si doc si et f sur R La foctio f est doc croissate sur R Corrigé séquece MA

100 b) La tagete au poit d abscisse a pour équatio y f ( )( ) + f( ) ce qui coduit à y et la tagete au poit d abscisse π a pour équatio π π π y f ( )( ) + f( ) soit y π (cette tagete est horizotale) 5 y u u u c) O travaille par récurrece O a u doc u Soit k N tel que u k alors f( ) f( uk ) f( ) car f est croissate sur [ ; ] Puis f ( ), fu u 5 ( k ) k + et f () ( cos), doc u k et la propositio est héréditaire + Aisi par récurrece, pour tout N, u d) Il faut ici peser à laisser toute trace de recherche E effet, pour ue telle questio, o peut cojecturer le résultat à l aide du graphique, o peut motrer la covergece de la suite ou ecore o peut e détermier la limite si o suppose la covergece Certes, e e répodat pas à toutes ces questios, o e répod pas au problème posé mais il faut garder à l esprit que toute prise d iitiative est prise e compte das l évaluatio À l aide du graphique, il semble que la suite ( u ) soit croissate et covergete vers l abscisse du poit d itersectio de la courbe f et de la droite d équatio y Motros par récurrece que la suite ( u ) est croissate Corrigé séquece MA

101 O a u et u f( u) f( ) doc u u 5 Soit k N tel que uk uk+ alors f ( uk ) fu ( k + ) car uk ;, u k + ; et f est croissate sur [ ; ] aisi uk+ uk+ et par récurrece, o obtiet que pour tout N, u u+ La suite ( u ) est doc croissate La suite ( u ) est croissate et majorée par doc, par le théorème de la covergece mootoe elle coverge vers u réel l O peut de plus ajouter que l iégalité u valable pour tout N coduit par passage à la limite à l Efi, l est solutio de l équatio f( ) E effet, o a lim u l doc, par compositio avec u, + lim fu ( ) lim f ( ) f ( l ) car f est cotiue e l or lim u + l + + l d où, par uicité de la limite, f ( l) l O a f( ) ( + cos ) + cos 5 g( ) α 5 Fialemet, la suite ( u ) est covergete vers α Eercice VII a) Par lecture graphique o lit f ( ), f ( 4) et f '( ) (f '( ) état le coefficiet directeur de la droite ) b) Pour R, f( ) a + b+ c + 9 doc f ( ) et f ( 4) coduiset respectivemet à b+ c et 4a+ b+ 5c Par ailleurs, la foctio f est la somme de la foctio affie a + b défiie et dérivable sur R et de la composée de + 9 défiie, dérivable et à valeurs strictemet positives sur R par la foctio c défiie sur ; + et dérivable sur ; + Aisi, f est dérivable sur R Formules utilisées : (u+v ) u +v, ( cu ) cu avec c ue costate réel et u ( u ) u c Pour R, f ( ) a+ c a Aisi f ( ) doe a b+ c O est doc ameé à trouver les triplets (a ; b ; c ) tels que 4a+ b+ 5c a Corrigé séquece MA

102 or b+ c 4a+ b+ 5c a b+ c () b+ c b+ 5c 7 () c 4 ( ) ( ) a a b c a doc pour R, f( ) a) La tagete à au poit d abscisse 4 a pour équatio ( 4) y f ( 4)( + 4) + f( 4 ) or f ( 4) et f ( 4) + 5 ( 4) + 9 l équatio cherchée s écrit y ( + 4) + ou ecore y b) Pour R, doc f( ) ( ) O a lim doc, par compositio avec X + 9, lim or + 9 lim X + puis par produit lim + 9 X + lim doc par somme lim + 9 Le umérateur de f( ) ( ) état costat égal à 8, o obtiet par quotiet lim f( ) ( ) L écart algébrique etre la courbe et la droite d équatio y mesuré verticalemet ted vers e, la droite est doc bie asymptote à la courbe e c) O résout f ( ) O a f ( ) ou Aisi, il eiste u uique poit de e lequel la tagete à est horizotale C est le poit de coordoées ; f ( ) ou ecore ( ; ) ( ) Corrigé séquece MA

103 Eercice VIII O travaille à l aide de deu feêtres M Sur la deuième feêtre, o place u poit D ayat même abscisse que M et d ordoée la logueur AM Pour ce faire, o peut par eemple etrer das la barre de saisie D((M), Distace[A, M]) Sur la première, o costruit la courbe représetative de la foctio sius, o place u poit M sur, le poit A de coordoées ( ; ), la tagete à e M aisi que le segmet [AM] E activat la trace de D et e déplaçat M sur, o peut obteir les cojectures Il semble que la logueur AM soit miimale lorsque le poit M a ue abscisse proche de Il semble qu il eiste trois poits M e lesquels la tagete à est perpediculaire à la droite (AM) Ces poits ot des abscisses proches de, de et de a) La foctio f est la somme des foctios, cos et du produit sicos toutes les trois cotiues et dérivables sur R doc f est cotiue et dérivable sur R Formules utilisées : ( u+ v) u + v et (uv ) u v + uv Pour R, 4 A f ( ) ( si ) + cos cos + si ( si ) + si + cos si or cos si d où f ( ) + si si D Le triôme X + X + a pour discrimiat 5 et pour racie et doc X + X + ( X + )( X ) et f ( ) (si + )(si ) Corrigé séquece MA

104 5π 6 (π) π (π) 6 Pour tout R, si doc si < et, par suite, f ( ) est du sige de si + E s appuyat sur le cercle trigoométrique, o obtiet que sur l itervalle π π ;, f ( ) s aule e 5 π π, 6 6 et 7π puis f ( ) < sur 6 5π π 7π π π 5π ; ; et f ( ) > sur π 7π ; ; de 5π π sorte que f soit strictemet décroissate sur ; et sur 6 6 π alors qu elle est strictemet croissate sur O peut dresser le tableau des variatios de f 5π ; 6 et sur π 6 7π π ; 6 7π ; 6 π 5 π 6 π 6 7π π 6 Variatios π π 6 de f π 7 π 4 6 π π 5π La foctio f est cotiue sur ;, strictemet croissate sur 6 π 5π π 7 5π ; et, doc, par le corollaire du théorème des valeurs itermédiaires, l équatio f( ) admet ue uique solutio α π sur 5π ; 6 Corrigé séquece MA 5

105 5π π Des raisoemets aalogues (qu il est iutile de détailler) sur ; et 6 6 sur π 7π ; permettet de déduire deu autres solutios β et γ à l équatio 6 6 5π π f (), la première das ; et la secode das π 7π 6 6 ; Efi, f 6 6 admettat u miimum égal à π 7π π sur ; 6, l équatio f ( ) admet pas de solutio sur ce derier itervalle E résumé, l équatio f( ) admet solutios sur l itervalle π π ; Les ecadremets s obtieet par balayage O a f ( 7, ) 6, < et f ( 6, ), > doc 7, < α < 6, puis f ( 8, ) 6, > et f ( 7, ), < doc 8, < β < 7, et efi f (, 5), < et f (, 6), > doc 5, < γ < 6, b) Pour tout R, sicos si( ) doc sicos puis 7 7 π cos doc, par somme, f( ) + Pour ;+, 7 π 7 π o a > doc f( )> et pour ;, o a 7 + π + 7 < doc f( ) < L équatio f( ) a doc pas de solutio ailleurs que sur l itervalle π π ; et α, β et γ sot les trois seules solutios réelles de l équatio f () c) E s appuyat sur le tableau des variatios de f aisi que sur les résultats de la questio b), o obtiet : α β γ + Sige de f( ) + + a) O a A( ; ) et M( ; si ) doc d ( ) AM ( ) + (si ) + (si ) b) D ue part, la foctio est défiie, dérivable et positive sur R D autre part, la foctio (si ) est défiie sur R, dérivable sur R (comme composée des foctios si et ) et, comme pour 6 Corrigé séquece MA

106 tout R, si puis 4 si, o a (si ) 4 sorte que (si ) soit strictemet positive sur R Fialemet, par somme, + (si ) est défiie, dérivable et à valeurs strictemet positive sur R doc, par compositio avec, d est dérivable sur R u Formules utilisées : ( u+ v) u + v, ( u ) u u et ( u ) u + cos (si ) f( ) Pour tout R, d ( ) + (si ) + (si ) Pour tout R, + (si ) > doc d ( ) est du sige de f( ) c) De la questio, o déduit le sige de d ( ) puis les variatios de d, le tout état résumé das le tableau suivat (sas limite) La foctio d admet doc u miimum sur R égal au plus petit des deu ombres d( α ) et d( γ ) O a d( α) α + (si α ) or f ( α ), c est à dire α+ (si α )cosα Sige de d α β γ + ( ) + + de Variatios de d d( β ) d( α ) d( γ ) α α d où siα puis d( α) α + cosα cos α Pour 7, < α < 6,, o a <, 6 < α <, 7 car est strictemet décroissate sur 7, ; 6, et cos( 7, ) < cosα < cos( 6, ) < car cos est strictemet croissate sur 7, ; 6, doc cos ( 6, ) < cos α < cos ( 7, ) car est strictemet décroissate sur cos( 6, ) ; cos(, 7 ) et par iversio < < < cos ( 7, ) cos α cos ( 6, ) Corrigé séquece MA 7

107 Par produit o a doc 6, α 7, < < cos ( 7, ) cos α cos ( 6, ) puis par somme 6, α 7, 6, + < α + < 7, + et efi, comme cos ( 7, ) cos α cos(, 6) est strictemet croissate sur R +, 6, 7, 6, + < d( α) < 7, + cos ( 7, ) cos (, 6) O e déduit que 4, < d( α ) < 44, E adaptat le raisoemet ci-dessus, o obtiet 5, 6, 5, + < d( γ ) < 6, + cos ( 5, ) cos ( 6, ) d où, < d( γ ) < 5, Il apparaît doc que d admet u miimum e γ égal à d( γ) 4, a) Lorsque AM est miimale, o a M ( γ ; si γ ) or A( ; ) doc le coefficiet directeur de la droite (AM) vaut y M y A siγ puis le coefficiet directeur M A γ de la tagete à e M vaut (si) ( γ) cos γ O sait que deu droites sot perpediculaires lorsque le produit de leur coefficiet directeur vaut, o est doc ameé à calculer le produit si γ (si γ )cosγ cos γ γ γ or γ+ (si γ )cosγ d où si γ γ cos γ d où le résultat γ γ b) Plus gééralemet, pour, le coefficiet directeur de la droite vaut, ym ya si et celui de la tagete à e M vaut (si) ( ) cos M A Les deu droites serot perpediculaires si et seulemet si si cos (si )cos + (si )cos f( ) or l équatio f( ) admet trois solutios réelles α, β et γ Par ailleurs, o remarque que lorsqu à l origie, la tagete à est clairemet pas perpediculaire à la droite (AO) doc il eiste trois poits M de et trois poits seulemet e lesquels la tagete à est perpediculaire à la droite (AM), ce sot les poits de d abscisse α, β et γ 8 Corrigé séquece MA

108 Eercice IX Notos p la foctio polyomiale défiie, cotiue et dérivable sur R par p ( ) + Pour tout R, p ( ) ( )( + ) + Sige de + + Sige de Sige de p ( ) + - La foctio p est doc strictemet décroissate sur ;, strictemet croissate sur ; et strictemet décroissate sur ; + De plus, lim p ( ) lim + et lim p ( ) lim + + E résumé, o peut dresser le tableau des variatios de p + + Variatios de p Sur l itervalle ;, la foctio p est cotiue, strictemet décroissate [ [ et à valeurs das ; + or, + doc par le corollaire du théorème des valeurs itermédiaires, l équatio p( ) admet ue uique solutio α sur ; - E raisoat de faço aalogue sur chacu des itervalles ; et ; +, l équatio p ( ) admet fialemet trois solutios réelles : α das ;, β das ; et γ das ; + Corrigé séquece MA 9

109 Par balayage, o a p(, 5), 4 > et p(, 5), 4 < doc, 5 < α <, 5 et o peut reteir α, 5 Par ue démarche aalogue, o obtiet β, 47 et γ, 879 a) La foctio f est dérivable sur f'( u) cos( u) π π ; et, pour tout u π π ;, Pour tout u π π ;, cosu > doc f > sur π π ; et f est strictemet croissate sur π π ; π π Comme f ( ) et f ( ), o a bie le résultat attedu b) Pour tout réel u, si( u) si( u+ u) siucos( u) + cosusi( u) or cos( u) cos u si u si u et si( u) siucosu doc si( u) si u( si u) + siucos u si u( si u) + si u( si u) siu 4si u c) O remarque tout d abord que les solutios de ( E ) appartieet à ; Aisi, e posat si u, o a : ( E ) u π π ; ; + + ( ) ( ) siu siu π π u ; ( ) + siu 4si u π π u ; + si( u ) O a + si( u) si( u) u π + kπ oùk ouu 6 5 π + k' π où k' Z 6 π k π 5π k ' π ce qui équivaut à u + où k Zou u + où k ' Z 8 8 Z Corrigé séquece MA

110 Sur π π ;, + si( u ) a trois solutios qui sot 5 π π, 8 8 et 7 π 8 obteues respectivemet pour k ', k et k ' Par l équivalece établie à la questio c, o obtiet les solutios de ( E ) sur 5 ; (et doc sur R ) qui sot si( π ), si( π 7π ) et si( ) π π 7π α si( ), β si( ) et γ si( ) d où E calculat des valeurs approchées de ces trois réels, o obtiet des résultats cohérets avec ceu obteus à la questio Eercice X La foctio f est le produit de défiie et dérivable sur R par la composée + défiie sur ; + et dérivable sur ; + doc f est dérivable sur ; + u Formules utilisées : ( uv ) u v + uv et ( u ) u Pour tout >, ( + ) f ( ) + + Pour tout >, + > doc f ( ) est du sige de l epressio affie + 6 d où f ( ) < sur ; et f ( ) > sur ; + de sorte que f soit strictemet décroissate sur ; et strictemet croissate sur ; + Pour dresser le tableau des variatios de f, o remarque que f ( ) et f ( ) puis il reste à détermier la limite e + O a lim + lim + + doc, par compositio avec X + o a + + lim X + or lim + doc par produit X + + lim f ( ) + + Corrigé séquece MA

111 + Variatios de d O + a) Par simple lecture du tableau de variatios de f, o obtiet que l équatio f( ) k admet ue uique solutio réelle lorsque k ou lorsque k > b) Sur l itervalle ;, f admet u maimum égal à doc l équatio f( ) a pas de solutio sur cet itervalle Sur l itervalle ; +, f est cotiue (car dérivable) et strictemet croissate de ; + das luimême Comme ;+, l équatio f( ) admet ue uique solutio α das cet itervalle comme applicatio du corollaire du théorème des valeurs itermédiaires Fialemet, l équatio f( ) admet ue uique solutio α sur ; + U raisoemet aalogue coduit à l eistece et l uicité d ue uique solutio β sur ; + à l équatio f( ) Par balayage, o a f ( 5, ) 99, < et f ( 54, ), > doc 5, < α < 54, puis f (, 4) 99, < et f (, 4), 98 > doc 4, < β < 4, L équatio a de ses que si λ ; + Pour λ, l équatio + + λ λ + s écrit f( ) λ λ + Du a) o déduit que cette équatio admet ue uique solutio réelle si et seulemet si λ λ + ou λ λ + > ce qui équivaut à λ λ+ ou λ λ+ < ou ecore f ( λ ) ou f ( λ ) < Ce qui suit peut être déduit du b) D ue part, f ( λ ) équivaut à λ β D autre part, f ( λ ) < équivaut à λ< α E effet, ce derier résultat (qui peut se lire sur le tableau) découle du fait que f admet u maimum égal à sur l itervalle ;, f est strictemet croissate sur ; + et f ( α ) Fialemet, l équatio + + λ λ + admet ue uique solutio réelle si et seulemet si λ< α ou λ β Corrigé séquece MA

112 Eercice XI Soit u réel fié Soit N O a u f( ) f ( ) f ( ) u aisi, pour tout N, u+ u et la suite ( u ) est costate égale à u f ( ) Soit u réel fié O a lim + doc par quotiet lim puis, par compositio + + avec X, o obtiet lim u lim lim f( ) f( X) f( ) car f est + + X cotiue e Par ailleurs, la suite ( u ) état costate égale à u f( ), o obtiet lim u u f( ) + Doc, par uicité de la limite, o a f( ) f( ) Le raisoemet état valable pour tout réel, o a obteu que, pour tout R, f( ) f( ) La foctio f est doc costate sur R Corrigé séquece MA

113 C Corrigé de la séquece Corrigé des activités du chapitre Activité Tri sélectif Ue equête portat sur le tri sélectif a été réalisée et persoes ot été iterrogées O leur a posé la questio : «Triez-vous le verre et le papier?» Voici les résultats pour les effectifs : Âge Tri Oui No Total par lige Mois de 4 as : J 7 4 Plus de 4 as : J Total par coloe 8 : Total gééral O choisit au hasard ue persoe parmi les persoes iterrogées, o utilise doc la loi équirépartie, l uivers Ω état formé par l esemble des persoes iterrogées card( T ) PT ( ), ; ( Ω ) card card( J ) 6 P( J), ; ( Ω ) card 55 7 PT ( J) 5, O choisit maiteat au hasard ue persoe parmi celles faisat du tri sélectif O utilise toujours ue loi équirépartie, mais il faut teir compte que l uivers a chagé, c est maiteat l évéemet T pour lequel card( T ) Corrigé séquece MA 5

114 La probabilité qu ue persoe ait mois de 4 as sachat qu elle fait du tri sélectif est doc égale à card ( J T) 7 7 O remarque que cette card( T ) probabilité est différete de la valeur de P( J) détermiée à la questio précédete E observat les valeurs des probabilités de la questio, o obtiet que 7 card( J T) 7 PJ ( T) card( T ) PT ( ) De la même faço, si o choisit ue persoe au hasard parmi les persoes ayat mois de 4 as, l uivers est J pour lequel card( J ) La probabilité qu ue persoe fasse du tri sélectif sachat qu elle a mois de 4 as est doc égale à card ( J T) 7 7 et o a aussi card( J ) card( J T) PJ ( T) card( J ) PJ ( ) Plus gééralemet, et même s il y a pas équiprobabilité, o utilisera des quotiets aalogues pour étudier ce type de probabilité liée à ue coditio Activité Das l iitialisatio, dates d aiversaire sot fiées aléatoiremet etre et 65 (o suppose qu il y a pas d aée bissetile) Lors du traitemet, chaque date (umérotée k) parmi les 9 premières dates d aiversaire (le compteur k va de à 9) est comparée avec les dates qui la suivet (ce sot les dates umérotées de k + à ) Si deu dates coïcidet, la boolée «trouvé», qui a été iitialisé avec la valeur «fau» pred la valeur «vrai» A la sortie, la valeur du boolée «trouvé» est affichée : si aucue coïcidece a été trouvée, «fau» est affichée, et, si ue coïcidece a été trouvée, c est «vrai» qui est affiché Pour obteir u algorithme qui doe la fréquece des groupes où il eiste des coïcideces d aiversaires das groupes de persoes, o isère l algorithme précédet, das ue boucle 6 Corrigé séquece MA

115 Variables dates : tableau des trete jours d aiversaire ; trouvé : u boolée qui idique si deu dates coïcidet ; i, k, p : trois compteurs de boucles ; N : u etier aturel f : u ombre réel compris etre et Iitialisatio i N Traitemet Pour i de à Pour k de à dates[k] pred ue valeur etière aléatoire comprise etre et 65 iclus trouvé pred la valeur fau Pour k de à 9 Pour p de k+ à Si dates[k] dates[p] alors trouvé pred la valeur vrai Si trouvé vrai N+ N N / f Sortie Affiche f Corrigé séquece MA 7

116 E faisat foctioer cet algorithme, o trouve, par eemple, f,89 Cette fréquece peut paraître surpreate car o s atted gééralemet à ue fréquece plus faible Les probabilités coditioelles, qui serot défiies das cette séquece, permettrot de calculer la probabilité que deu aiversaires coïcidet das u groupe de persoes et de compredre les fréqueces observées lors des simulatios Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice Par lecture de l arbre, P (B ),8,+,,6 (probabilités des deu chemis e gras) soit P (B ),6 La boe répose est la b),8 A (Il faut teir compte de P (A) et P ( A ) doc,,7 B B cela e peut être la a)),6 B, A PA ( B),,6, doc la boe répose,4 B est la c) (e pas cofodre avecp B A ( )) P A (B ), doc la boe répose est la a) C est la podératio de la brache : A B Eercice P( A) PB ( ) PA ( B), 4 et Calculer P A ( B) et P B ( A) PA B O utilise la formule : P A ( B ) ( ) PA ( ) 5 PA B De même, P B ( A ) ( ) PB ( ) Eercice Les doées de l éocé permettet de détermier le ombre de persoes qui ot les yeu et qui e fumet pas, le ombre de celles qui fumet et qui ot pas les yeu bleus et efi le ombre de celles qui ot pas les yeu bleus et qui e fumet pas F F Total B 4 6 B Total Corrigé séquece MA

117 O utilise esuite la loi équirépartie sur Ω ou des lois équiréparties sur les uivers utilisés pour les probabilités coditioelles P(B),5,75 P(B) P(F),5,5 P(F) B B P B (F) 6,6 6 P B (F) 4,,8 P B (F),4 P B (F) F F F F F F P F (B) 6,4 4 P F (B) 4, 4,9 P F (B),6 P B (F) B B B B Eercice 4 «Lorsque M est e pae, la probabilité que M tombe e pae est,5» traduit ue probabilité coditioelle : la probabilité que M tombe e pae sachat que M est e pae est de,5 soit : PM ( M ),5 Comme o ous doe PM ( M ), o costruit l arbre avec M, M d abord : ère machie e machie,4 M M M P(M ) P(M ),4,996,996 M M M O utilise la formule : PM M P M ( M ) ( ) avec P( M ), 6 (doé das PM ( ) l éocé) et d après l arbre, PM ( M) PM ( ) PM ( M ), 4, 5, d où, PM ( M ), 6 Remarque O a par eemple : O pourrait à l aide de PM ( ) calculer les autres probabilités de l arbre du PM ( ), 4, 5 +, 996 P ( M ), 6 d'où P M M, 6, 4, 5 4 ( M), 4 à près, 996 Eercice 5 O itroduit les évéemets A : «la pièce est acceptée» et D : «la pièce est défectueuse» O sait que % des pièces sot défectueuses doc P( D), Corrigé séquece MA 9

118 98 % des pièces boes sot acceptées doc la probabilité que la pièce soit acceptée sachat qu elle est boe (c est-à-dire o défectueuse) est de 98 soit de,98 Doc PD ( A ) 98, De même 97 % des pièces défectueuses sot refusées (doc o acceptées) se traduit par : PD ( A ) 97, O commece doc l arbre par D, D car o a PD ( A ) et PD ( A ) soit :, A, D,97 A D après la loi des œuds, P(D),,97 P D (A),97,,97 D,98, A A P D (A),98, La probabilité qu ue pièce soit boe mais refusée est P( D A ) D après l arbre ci-dessus : P( D A ) 97,,,94 Ue erreur de cotrôle se produit si : doc la probabilité qu il y ait ue erreur de cotrôle est P (D A )+P( D A ) Or d après l arbre, P (D A ),,,9 et P( D A ),94 La probabilité qu il y ait ue erreur de cotrôle est doc de,9 +,94 soit de, La probabilité qu ue pièce acceptée soit mauvaise est la probabilité que la pièce soit mauvaise (c est-à-dire défectueuse) sachat qu elle est acceptée à savoir PA ( D ) PD A Or PA ( D ) ( ) avec PA ( ) PD ( A) + PD ( A) PA ( ), 9 +, 97, 98, 955 Doc, 9 P A ( D ), 946 La probabilité qu ue pièce acceptée soit, 955 mauvaise est d eviro,946 Corrigé séquece MA

119 Eercice 6 Résumos la situatio par u arbre de probabilité D après l éocé : P P( A PA A PB B 4 ) ; ( ) ; ( ) 5 Les évéemets A et B formet ue partitio de D après la formule des probabilités totales : A B 5 A B A B A A A B B A B B 4 5 PA ( ) P( A A)+ PA ( B) PA ( ) PA ( ) PA ( A) + PB ( ) PB ( A) 8 4 PA ( ) soit P 5 Les évéemets A et B formet ue partitio de Doc PA ( ) PA ( A ) + PA ( B ) P P( A ) P( A ) P ( A ) + P( B ) P ( A ) A B P P( A) P + ( P ) P P P 5 P P A 5 B A B A B A A B A Pour motrer que la suite u ( ) est ue suite géométrique o peut eprimer ( ) et la relatio u + e foctio de u e utilisat la défiitio de la suite u prouvée à la questio précédete Pour tout etier o a : u+ P+ P + P P u, Corrigé séquece MA

120 Aisi, pour tout etier o ul, u géométrique de raiso 5 O e déduit u + u 5 : la suite ( u ) est la suite et de premier terme u p 7 6 u doc P u + + et lim P + Eercice 7 Soit A (resp B, C, D) l évéemet : «l élève choisit l itiéraire A (resp B, C, D)» Soit R l évéemet : «l élève arrive e retard» P (D ) P (A ) P (B ) P (C ) car A, B, C et D formet ue partitio de l uivers Doc P( D) 4 O cherche P C R ( ) P ( PR C C ) ( ) R PR ( ) Pour détermier P( R), o peut utiliser la formule des probabilités totales : PR ( ) PR ( A)+ PR ( B)+ PR ( C)+ PR ( A) PR ( ) P( A) P ( R) + PB ( ) P( R)+ P( C) P ( R)+ P( D) P ( R) A PR ( ) + 7 PR ( ) 4 B C D P R C P ( C) ( ) R P( R ) Remarque o peut s aider d u arbre podéré pour calculer P( R) Corrigé séquece MA

121 4 A 9 B 9 5 C 4 5 D R R R R R R R R A R B R C R D R Eercice 8 Désigos par E l évéemet «la persoe est e état d ébriété» ; T l évéemet «l alcootest se révèle positif» L éocé ous doe les résultats suivats : P (E ), ; P E (T ),96 ; P T E ( ), O veut calculer P E T ( ), 9 8 O sait que P ( E) T, 9 Calcul de PE ( T) O a PE ( T) P( T) PE ( ) PE ( T),,98 PE ( T),98 Calcul de P (T ) O a T ( T E) ( T E) E Les évéemets T E et T E sot icompatibles et o a P( T) P( T E)+ P( T E) Soit PT ( ) P ( T ) PE ( )+ P ( T ) PE ( ) PT ( ), 96, +, 9 8 PT ( ), 9, 9 8 O a doc P ( E) 79, T, 9 E E La probabilité qu ue persoe dot l alcootest est positif e soit pas e état d ébriété est eviro égale à,8 Corrigé séquece MA

122 La probabilité trouvée peut paraître surpreate car il y a eviro ue chace sur trois qu ue persoe cotrôlée positive e soit pas e état d ébriété! Ce résultat est du au faible tau ( %) de coducteurs e état d ébriété U raisoemet idetique ous doe : PE T PE T PT ( E ) ( ) ( ) P( T ) P( T E)+ P( T E) 95,, PT ( E) 96, 5, +, 95, P ( E),65 T La probabilité des fau positifs est P T ( E ),65 O fait de même pour les fau égatifs PE T PE T P ( ) ( ) ( ) E T P( T) P( T E)+ P( T E) 5, 4, P ( E ) T 5, 4, + 95, 99, P ( E ), T La probabilité des fau égatifs est P ( E ), T La probabilité pour ue persoe dot l alcootest est positif de e pas être e état d ébriété reste ecore assez forte, bie qu elle ait dimiué de moitié eviro (de % à 6,5 %) Par cotre la probabilité pour ue persoe dot l alcootest est égatif d être e état d ébriété est assez faible O observe que le test est plus fiable das celui des deu cas où la probabilité p est la plus grade 4 Corrigé séquece MA

123 Eercice 9 Lorsque le logiciel de programmatio utilisé ou la calculatrice le permet, o peut utiliser ue seule boucle e faisat trier la liste des dates d aiversaire Il suffit alors de comparer chaque date à la suivate Variables dates : tableau des trete jours d aiversaire trouvé : u boolée qui idique si deu dates coïcidet k : u compteur de boucles Iitialisatio Pour k de à dates[k] pred ue valeur etière aléatoire comprise etre et 65 iclus Trier la liste dates du plus petit au plus grad trouvé pred la valeur fau Traitemet Pour k de à 9 Si dates[k] dates[k+] alors trouvé pred la valeur vrai Sortie Affiche trouvé Le logiciel Algobo e permet pas de trier de listes Ci-dessous les programmes correspodat à l algorithme précédet Casio Teas Istrumet Corrigé séquece MA 5

124 Corrigé de l activité du chapitre Activité O est e situatio d équiprobabilité D après les doées du tableau, o a : card( A) PA ( ), ( Ω ) 5 card 75 (où Ω désige l uivers c est-à-dire l esemble des salariés de l etreprise), PF ( A ) , et P A F ( ) 9 75, O observe que ces trois ombres sot égau La probabilité de gager mois de 75 est la même si o sait o o que l employé est ue femme Das cette etreprise, la répartitio des salaires est idépedate du see 8 6 De même P( F) 4,, PA ( F) 4, et P F 5 A ( ) 4 5, O observe aussi que ces trois probabilités sot égales, das cette etreprise la répartitio des sees est idépedate de la catégorie de salaire Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice Das tout cet eercice, o utilise l égalité P( A B) PA ( ) + PB ( ) PA ( B) D après la relatio précédete PA ( B) PA ( ) + PB ( ) PA ( B) doc P( A B), + 5, 65, 5, Comme PA ( ) PB ( ), 5, 5, PA ( B) les évéemets A et B sot idépedats, et, d après ue propriété du cours, ils e sot doc pas icompatibles De même, pour les évéemets A et C, o a P( A C), + 4, 7, Comme P( A) PC ( ), o a P( A) PC ( ) PA ( C) et les évéemets A et C e sot doc pas idépedats O a P( A C), il est possible que les évéemets A et C soiet icompatibles, il se peut aussi qu ils e le soiet pas si leur itersectio cotieet ue évetualité de probabilité ulle ce qui e semble pas très itéressat, mais peut avoir lieu (voir la séquece 8) Efi, pour les évéemets B et C, o a P( B C) 5, + 4, 8,, 6 Corrigé séquece MA

125 Comme P( B) PC ( ) 5, 4,, PB ( C), les évéemets B et C e sot pas idépedats Ils e sot pas o plus icompatibles car P( B C) doc B C Eercice Comme P( A), et P( B) 5, et les évéemets A et B état idépedats, o a P( A B) PA ( ) PB ( ), 5,, et doc P( A B) PA ( ) + PB ( ) PA ( B), + 5,, 6, Comme les évéemets C et D sot icompatibles et que P( C), et PD ( ) 5,, o a P( C D) et P( C D) PC ( ) + PD ( ), + 5, 45, Eercice L epériece aléatoire est formée à partir de trois epérieces aléatoires idépedates O utilise doc la loi de probabilité telle que la probabilité d ue liste de résultats soit le produit des probabilités des résultats partiels qui la costitue O ote U C l évéemet «o obtiet avec le dé cubique», U O l évéemet «o obtiet avec le dé octaédrique», U D l évéemet «o obtiet avec le dé dodécaédrique» O a P( U) PU ( C ) PU ( O) PU ( D ), soit eviro deu chaces sur mille Avec des otatios aalogues o a : PQ ( ) PQ ( C ) PQ ( O) PQ ( D ), soit eviro ue chace sur euf Soit X la variable aléatoire égale au gai algébrique d u jeu La loi de probabilité de X est : i, PX ( i ) ,, E( X) Le jeu est favorable au joueur lorsque E( X ) > ce qui équivaut à 5, 6> c est-à-dire > 6 6 Comme, 97 la plus petite valeur de est égale à 5, 5, Corrigé séquece MA 7

126 Eercice Le cadidat répète fois la même épreuve à issues possibles : S «le cadidat répod correctemet à la questio posée», PS ( ) p puisque le cadidat répod au hasard S «le cadidat répod mal» ; P( S) PS ( ) p Les réposes à chaque questio sot idépedates O est doc e présece d ue suite de épreuves de Beroulli Soit X le ombre de réposes eactes X suit la loi biomiale de paramètres et Pour être reçu, il faut répodre au mois à 8 questios La probabilité d être reçu est doc : p P( X 8) + P( X 9) + P( X ) , Eercice 4 O lace ue pièce o truquée fois de suite, est u etier tel que Il s agit de la répétitio d épreuves idetiques, o choisit doc la probabilité habituelle (voir les pré-requis) a) Il y a deu évetualités pour lesquelles tous les résultats sot idetiques : o obtiet toujours Pile ou o obtiet toujours Face Ces deu évetualités ot la même probabilité doc P( A) b) Soit X le ombre de fois où o obtiet Pile La variable aléatoire X suit la loi biomiale de paramètres et p PB ( ) PX ( ) + PX ( ) + car et + Remarque il e faut surtout pas cofodre l écriture d ue fractio das des parethèses, comme 5,, et l écriture d u coefficiet biomial, comme ) 8 Corrigé séquece MA

127 Si, o a P( A) et P( B) + 4 Comme 4 4 l évéemet A B e cotiet que l évetualité où o obtiet toujours Face, o a P(A B ) 4 car P A P B 4 8 Les évéemets A et B e sot pas idépedats ce qui est différet de P( A B) Si, o a PA ( ) 4 et PB ( ) Comme l évéemet A B e cotiet que l évetualité où o obtiet toujours Pile, o a P( A B) 8 Les évéemets A et B sot idépedats car PA ( ) PB ( ) PA ( B) 4 8 L idépedace des évéemets A et B déped doc du ombre de répétitios Eercice 5 Les résultats des trois lacers sot idépedats a) La probabilité que la case soit atteite est égale à 7 b) La probabilité que les cases,, soiet atteites das cet ordre est égale à c) Soit X le ombre de fois où o atteit la case O cherche PX ( ) La variable X suit la loi biomiale B ;, doc PX ( ) 6 78, soit eviro ue chace sur ciq O ote A l évéemet «Alice est choisie», B l évéemet «Bob est choisi» et T l évéemet «la case est atteite» O sait que P( A) PB ( ) et que P( B) P( A) car l évéemet B est le cotraire de l évéemet A D où P( A) et P( B) Comme pour Bob les trois évetualités sot équiprobables, o a PB ( T ) et P T B ( ) Corrigé séquece MA 9

128 O obtiet l arbre podéré : 7 A 5 T T B T T a) Les évéemets A et B sot des évéemets cotraires doc PT ( ) PT ( A) + PT ( B) PA ( ) PA( T) + PB ( ) PB( T) 7 + b) U seul lacer a été effectué et la case a été atteite, la probabilité pour que ce soit Alice qui ait lacé la fléchette est la probabilité coditioelle P ( A ) T 7 PT ( A) PA ( ) PT A( ) P ( A) 7 PT ( ) PT ( ) 9 T O peut remarquer que, das cet eercice d eame, o doit savoir utiliser et bie distiguer les otios d idépedace et de probabilité coditioelle Eercice 6 Il s agit de la répétitio d épreuves idetiques, o choisit la loi qui cosiste à faire le produit des probabilités de chacu des résultats partiels qui costituet ue liste de résultats Notos p la probabilité d u succès et p la probabilité d u échec O obtiet : PX ( ) ( p) et, pour tout etier k tel que k, o a PX ( k) ( p) k p E utilisat la somme des termes successifs d ue suit géométrique, o obtiet : k k k k PX ( k) ( p) + p ( p) ( p) + p ( p) ( p) k Corrigé séquece MA

129 Corrigé des eercices de sythèse du chapitre 5 Eercice I Ue fabrique artisaale de jouets e bois vérifie la qualité de sa productio avat sa commercialisatio Chaque jouet produit par l etreprise est soumis à deu cotrôles : d ue part l aspect du jouet est eamié afi de vérifier qu il e présete pas de défaut de fiitio, d autre part sa solidité est testée Il s avère, à la suite d u grad ombre de vérificatios, que : 9% des jouets sot sas défaut de fiitio ; parmi les jouets qui sot sas défaut de fiitio, 95 % réussisset le test de solidité ; % des jouets e satisfot à aucu des deu cotrôles O pred au hasard u jouet parmi les jouets produits O ote : F l évéemet : «le jouet est sas défaut de fiitio» ; S l évéemet : «le jouet réussit le test de solidité» Costructio d u arbre podéré associé à cette situatio F ( ) ( ) ( ) ( ), soit, 8, P ( S), a) Les doées sot P( F) 9,, P( S) 95, et P F S b) O sait P F S P F P S F F, doc P S F ( ) 4 c) O a aussi P S P S, 75 et o peut costruire l arbre podéré : F ( ) ( ) F P F (S),95 S P(F),9 F P F ( S ),5 S P( F ),8 F P F (S),75 S P F ( S ),5 S ( ) a) O a S ( F S) F S et, comme F et F formet ue partitio de l uivers, o a ( ) F + ( ) F PS ( ) PF ( S ) + P F S PF ( ) P ( S ) P F P ( S ), 9, 95 +, 8, 75, 94, PS ( ), 94 Corrigé séquece MA

130 b) O cherche P F S ( ) PF ( S) PF ( ) P( S) F 9, 95, O a PS ( F) PS ( ) PS ( ) 94, La variable aléatoire B pred les valeurs, 5 et, 96 PB ( ) PF ( S) PF ( ) P( S), 9, 95, 874 ; PB ( ) P( S) PS ( ), 66 ; PB ( 5) PB ( ) PB ( ), 66 F b i 5 PB ( ),874,6,66 b i Comme la quatité fabriquée est suffisammet importate pour que la costitutio du lot de jouets puisse être assimilée à u tirage avec remise, la variable aléatoire X suit la loi biomiale B( ;,94) O cherche P( X 8 ) et o a : PX ( 8) PX ( 8) + PX ( 9) + PX ( ) , 94, 66, 94, , 94 PX ( 8), 98 Eercice II Les doées ous permettet de costruire l arbre podéré,96 T : p(t M),96 p p M,4 T : p(t M),96 p p M, T : p(t M), ( p),99 T : p(t M),99 ( p) Détermios P M PT M T ( ) ( ) PT ( ) O a P( T) PT ( M) + PT ( M) PT ( ) 96, p+, ( p) PT ( ) 95p, +, p p D où PT ( M ) 96, 96 95, p +, 95p + Corrigé séquece MA

131 96p p Posos f( p) 95p p + Détermios la dérivée p p f'( p) ( 95 + ) ( 95p+ ) ( 95p+ ) La foctio f est croissate sur [ ; ] car f'( p) > p f (p ) Tableau de valeurs p,,5,,,5,, f (p ),87 7,5 4,49,66,84 8,94,96 Détermios P M PT ( ( ) M ) T PT ( ) O a P( T) pt ( ) (, 95p+, ) PT ( ) 95, p+ 99,,99( p) 99( p) D où P ( M) T,95p +, p 99( p) Posos gp ( ) 99 95p Détermios la dérivée 99( p p) g'( p) 4 99 ( 99 95p) ( 99 95p) La foctio g est décroissate sur [ ; ] car g (p)< p g(p ) Corrigé séquece MA

132 Tableau de valeurs p,,5,,,5,, g(p),999 9,999 8,999 6,999,997 9,995 5,99 O sait que P ( M) + P ( M), d'où P ( M) P ( M) Posos h( p) P( E) T D où hp ( ) f( p) T T T T Comme la foctio f est croissate sur [ ; ], h est décroissate sur [ ; ] p h(p ) Tableau de valeurs p,,5,,,5,, h(p),9,674 6,57 7,7 9,65,85 7,4 O sait que P ( E) + P ( E), d'où P ( E) p ( E) Posos k( p) P( E) T D où kp ( ) gp ( ) T T T T Comme la foctio g est décroissate sur [ ; ], k est croissate sur [ ; ] p k(p ) Tableau de valeurs p,,5,,,5,, k(p ), 4,, 4, 8,,4 5, 4 Corrigé séquece MA

133 Quelques commetaires Probabilité coditioelle P M T ( ) P M T ( ) P M T ( ) (fau positifs) P M T ( ) (fau égatifs) Foctio f g h f k g Variatios de la foctio croissate sur I ; décroissate sur I décroissate sur I croissate sur I Valeurs prises sur [ ;,] de à,96 toujours proches de de à,4 Toujours proches de O remarque tout d abord que la valeur diagostique du test est pas ue otio itrisèque au test lui-même : elle varie fortemet suivat la probabilité p qui déped de la populatio ciblée Si la populatio est ue populatio à risque, p est pas faible et il y a pas trop de «fau positifs» ; la positivité du test sera doc u élémet importat du diagostic Par cotre, pour ue maladie rare, u test de dépistage systématique de toute ue populatio aura l icovéiet majeur de fourir beaucoup de fau positifs Le ombre des persoes o malades dot le test est positif et, pour la société, le pri des tests de dépistage systématique, sot des problèmes éthiques et écoomiques liés à la mise e place de tels tests Les probabilités coditioelles PT ( M ) et P M variet e ses cotraires P T ( Autres remarques M ) est toujours proche de, ce qui est rassurat T ( ) La probabilité qu ue persoe soit malade alors que le test est égatif, P M T ( ), est doc toujours proche de Eercice III Le mathou ayat aucue mémoire, les essais successifs sot modélisés par la successio d épreuves répétées et idépedates, et pour chacue d elles o utilise la loi équirépartie O a doc : 5 5 a) P( X ), b) P( X ), c) P( X ) 5, d) PX ( ) PX ( > ) , 665 car P( X> 6 ) est la probabilité 6 que le mathou pousse ue mauvaise porte à chacu des si essais Corrigé séquece MA 5

134 O ote T l évéemet «le mathou trouve le fromage au ième essai» Comme le mathou a ue mémoire parfaite, s il e trouve pas le fromage le ombre de portes etre lesquelles il va choisir dimiue de à chaque essai O obtiet l arbre suivat : er essai e essai e essai 6 e essai /6 T 5/6 T /5 5/6 T T /4 /4 T T Les valeurs prises par la variable aléatoire Y sot doc,,, 4, 5 et 6 Avat même de trouver la loi de Y, o peut doc savoir que P( Y 6), e effet le mathou fait si essais au maimum O trouve P( Y ), PY ( ), PY ( ), , 5 4 PY ( 6) La loi de la variable aléatoire Y est doc la loi équirépartie Pour tester l hypothèse selo laquelle les mathou ot ue mémoire, o peut faire faire u très grad ombre d essais à plusieurs mathou et calculer la fréquece de découverte du fromage e au plus si essais Si cette fréquece est très proche de,67, o e déduira que les mathou ot aucue mémoire, si cette fréquece est proche de, o e déduira que ces aimau ot ue ecellete mémoire Eercice IV a) Chaque tirage se faisat au hasard, o utilise das chaque cas la loi équirépartie D après l éocé, PE ( ), PE ( E) et 5 5 P ( E E ) D après la loi des probabilités totales, o a 5 PE ( ) PE ( ) PE ( E ) P E P E E ( ) + ( ) b) L arbre podéré (ou la formule des probabilités totales) doe : PE ( ) PE ( ) P ( E ) + P( E ) P ( E ) + E + E + 6 Corrigé séquece MA

135 D après les coditios des tirages PE ( E ) + 5 et P E ( E + ), 5 PE ( + ) PE ( ) + ( PE ( )) 5 5, soit PE ( + ) + PE ( ) 5 5 P(E) P(E) doc E E /5 /5 /5 /5 E+ E+ E+ E+ E+ E E+ E a) Démotros par récurrece que, pour tout etier, o a u Iitialisatio : au rag o a bie u Hérédité O suppose que, pour u etier k supérieur à, u k O a doc 5 u + 5 k 5 + 5, d où u La propositio est bie héréditaire k+ La propositio est vraie pour et elle est héréditaire, doc pour tout etier, o a u La suite ( ) u est majorée par b) Pour tout etier, o a u + u u + u 4 u 4 u D après la questio précédete, la parethèse est toujours positive doc la différece u u est toujours positive, doc la suite ( u ) est croissate + c) La suite ( u ) est croissate et majorée, elle est doc covergete, otos l sa limite Comme o a u+ u 5 + pour tout, o déduit 5 lim u ( lim ) u l Or lim ( lim 5 u u + + ) ( + ) l, doc l est solutio de l équatio l l+ 5 5, d où l Corrigé séquece MA 7

136 Évolutio des probabilités P( E ) a) Comme u P( E ) et que la suite ( u ) est défiie par la même relatio de récurrece que la suite PE ( ), ( ) il s agit de la même suite Les probabilités P E formet doc ue suite croissate et covergete vers b) Pour détermier quelles valeurs de l etier o a, PE ( ), 5, o ( ) peut calculer les premiers termes de la suite à l aide d u tableur ou d ue calculatrice La première valeur qui coviet est 8 et, comme la suite est croissate et majorée par,5, o a, PE ( ), 5 pour tout 8 Remarque O aurait pu motrer que, pour tout etier, o a u < ce qui prouve que, cotrairemet à l impressio doée par les valeurs approchées doées par le tableur, la limite l est jamais atteite La suite ( u ) est ue suite arithmético-géométrique (voir Séquece ) Le jour de l eame o peut vous poser ue questio aalogue Il est doc vivemet coseillé d avoir u programme qui vous permet de calculer les termes successifs d ue suite Eercice V Poit historique O recotre ue persoe par hasard, o utilise doc la loi équirépartie sur l uivers formé par l esemble des dates d ue aée L évéemet A «avoir la même date d aiversaire que vous» cotiet ue seule évetualité et doc PA ( ) 7, 65 Si les persoes sot plus ombreuses que les jours de l aée, il y a écessairemet plusieurs persoes dot les dates d aiversaire coïcidet Cette propriété que l o utilise ici et que l o peut éocer aisi «si + chaussettes sot répartis etre tiroirs, alors il y a u tiroir qui cotiet au mois deu chaussettes» est le pricuipe des tiroirs ou pricipe de Dirichlet Joha Peter Gustav Lejeue Dirichlet est u mathématicie allemad é e 85 et mort e 859 E teat compte du 9 février, o trouve qu à partir de 67 persoes o est sûr qu il y a plusieurs aiversaires à la même date, la probabilité qu au mois deu persoes aiet leur aiversaire le même jour est doc égale à Nommos ces efats e, e,, e Soit D et l évéemet «les efats e et e ot des dates d aiversaire 64 différetes» O a P( D ) P( A), 997 car est pas ue et 65 aée bissetile 8 Corrigé séquece MA

137 Soit D etet l évéemet «les efats e, e et e ot des dates d aiversaire différetes» 6 D où P( D P D etet ) ( et) car la probabilité que la date d aiversaire 65 du troisième efat soit différetes des deu premières sachat que les deu premières sot différetes est égale à 6 car les deu dates d aiversaire des 65 deu premiers efats sot eclues 64 6 O a doc P( D et et ) O obtiet de même que P( D et et et 4 ) E appelat D l évéemet «les aiversaires des efats sot tous à des dates différetes» o obtiet P D 9 fractios ( ) PC ( ) L évéemet C «deu aiversaires au mois coïcidet» est l évéemet cotraire de l évéemet D doc P( C) P( D) Pour calculer cette probabilité et détermier l etier N, o peut utiliser les algorithmes suivats : Variables Calcul de P( C) Détermiatio de N k : compteur de boucles ; : u etier aturel ; p : u ombre réel compris etre et Iitialisatio p ombre de persoes du groupe Traitemet Pour k de à Sortie mettre p Afficher p k das p Variables k : compteur de boucles ; N : u etier aturel ; p : u ombre réel compris etre et Iitialisatio p Traitemet Pour k de à 67 Tat que p < 5, mettre p N k Sortie Afficher N k das p Corrigé séquece MA 9

138 O peut utiliser u tableur de la faço suivate O a rempli les coloes A, B et C ; das la cellule D, o a recopié C, c està-dire la fractio 64, 997, das la cellule D o a retré la formule 65 D*C c est-à-dire 64 6, et o l a recopiée ce qui permet d obteir das la cellule D La coloe E doe doc les probabilités de recotrer au mois ue coïcidece de date d aiversaire e foctio du ombre de persoes du groupe C est doc à partir de N que la probabilité que deu aiversaires coïcidet das u groupe de N persoes est supérieure à,5 Eercice VI L éocé doe les égalités a, b c, et les probabilités coditioelles : P ( B ), A + P C ( ), A + P A ( ), B + P C ( ), B + P ( C ) C + Ces probabilités peuvet être idiquées sur ue partie d u arbre podéré : À l istat, la puce est e A, doc à l istat, elle est soit e B avec ue probabilité égale à, soit e C avec ue probabilité égale à Doc a, b et c O peut utiliser l arbre pour 4 Corrigé séquece MA

139 / B+ A / C+ a P(A) b P(B) B / A+ / C+ c P(C) C C+ O a P( A) PA ( B) PBP ( ) ( A), soit P( A) b, a B 6 6 O a P( B) b car, à l istat, la puce est pas e A puisque P( A) a O a P( C ) PC ( B) + PC ( C), d où PC ( ) PB ( ) P ( C ) PC ( ) P ( C ) b c , soit c B C 6 De même pour l istat, o utilise l arbre podéré avec a P( A ) P( B ) P ( A ) b ; B b P( B ) P( A ) P ( B ) a ; A 8 c P( C ) P( A ) P ( C ) + P( B ) P ( C ) + P( C ) P ( C ) a + b + c A B C a) Les évéemets A, B et C formet ue partitio de l uivers car ils sot disjoits et leur réuio est égale à l uivers, doc P( Ω ) P( A ) + P( B ) + P( C ) soit a + b + c a b + Pour motrer que, pour tout etier aturel, o raisoe comme pour l istat : b a + a P( A ) P( B ) P ( A ) b et b P( B ) P( A ) P ( B ) a + + B A + Corrigé séquece MA 4

140 b) D après le résultat précédet, pour tout etier, a b a a c) Démotros par récurrece la propositio «pour tout etier aturel p, p a p 6 et a» p+ Iitialisatio : pour p, o a bie a a 6 et Hérédité : o suppose que, pour u etier aturel k quelcoque, o a a k 6 et a k D après le résultat de la questio b) o a a a + k+ k 6 6 et a a k k 6 6 La propositio est bie héréditaire + + p Coclusio : pour tout etier aturel p, a p 6 et a p+ O peut dire brièvemet que les termes de rag pair sot égau au termes d ue suite géométrique qui coverge vers et, les termes de rag impair état tous uls, o coclut que la suite ( a ) coverge vers Si o souhaite approfodir les eplicatios o utilise la défiitio Tout itervalle ] r ; r[ où r est u réel strictemet positif cotiet tous les p termes 6 à partir d u certai rag p car il s agit des termes d ue suite géométrique de raiso q telle que < q < Comme ] r ; r[ cotiet tous les termes a p+ qui sot uls, o peut dire que ] r ; r[ cotiet tous les termes a à partir de p : la suite ( a ) coverge doc vers O motrerait de même que lim b + O sait que a + b + c, doc c a b et, d après les opératios sur les limites, lim O pouvait cojecturer ce résultat car, dès que la puce est c + e C, elle y reste k + k 4 Corrigé séquece MA

141 C Corrigé de la séquece 4 Corrigé des activités du chapitre Activité La désitégratio radioactive O suppose qu il eiste ue foctio f défiie et dérivable sur R telle que f ( ) et f' f (c est-à-dire f'( t) f( t) pour tout réel t) La dérivée d ue foctio composée permet d avoir l idée d ue répose E utilisat la foctio f, o défiit la foctio g sur R e posat pour tout ombre réel t : g() t f( t) O a bie g'( t) f( t) g( t) et g( ) f( ) f( ) Il suffit de chager la valeur pour t, et, pour cela, il suffit de multiplier par, O défiit la foctio h sur R e posat pour tout ombre réel t : h() t, gt (), soit ht (), f( t) O a bie h'( t), f( t) h( t) et h( ), f( ),, E supposat que le ombre iitial de oyau est égal à 6 et que λ, o chercher ue foctio N, défiie et dérivable sur R telle que N', N et N( ) 6 Il suffit de faire eactemet l aalogue de ce qui a été fait pour la foctio h et o pose : 6 pour tout ombre réel t, N() t f(, t ) Corrigé séquece 4 MA 4

142 Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice Eercice O utilise les règles de calcul sur les eposats des epoetielles :, 5, e e e e e e Pour tout réel, o a : +, 5 +,, a) e e e e e b) e e 5, e e 5, e e e e e c) e 5 e e ( ) e e e e e e Eercice Pour motrer chacue de ces égalités, o trasforme ue epressio pour obteir l autre Pour tout ombre réel, o a : e e e e e ( ) e e e + e e ( e + e ) e e + e e + ( e + e ) ( e e ) ( e ) + e e +( e ) ( e ) ee + ( e ) 4e 4e 4 Eercice 4 Vrai E effet, pour tous ombres réels a et b, ( a+ b) a b ( a+ b) e e e e e a+ b a+ b Fau E effet, le cas a b est u cotre-eemple : e e et a b e e e e Fau E effet, le cas a b est ecore u cotre-eemple : e + e et e + e Vrai Il suffit de trouver deu ombres réels a et b pour lesquels l iégalité est vraie : pour a b o a e + e e 5,4 et e + e 78, doc e + e < e + 44 Corrigé séquece 4 MA

143 Corrigé de l activité du chapitre Étude de la foctio epoetielle Activité Variatio et comparaiso La courbe de la foctio epoetielle doée par ue calculatrice permet de cojecturer que la foctio epoetielle est strictemet croissate sur R et que ses limites e + et e sot respectivemet + et Comparaiso avec les foctios puissaces Les courbes et les tables de valeurs permettet de cojecturer que : pour tout réel positif, o a ep( ) >, pour tout 5, o a ep( ) >, pour, et pour tout 6, o a ep( ) > Il semble doc que la foctio epoetielle permet de dépasser toutes les puissaces C est effectivemet le cas et c est pourquoi o parle souvet de «croissace epoetielle» pour désiger ue croissace etrême Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice 5 e e + e e + + (la foctio epoetielle 4 état strictemet croissate sur R) L esemble des solutios de cette équatio est doc S { 4 } O rappelle qu il est coseillé de doer au mois ue fois das ue copie la justificatio «la foctio epoetielle état strictemet croissate sur R» Nous e répèteros pas cette justificatio das ce qui suit O a : e ou X X X X + e + e oue X e X e Corrigé séquece 4 MA 45

144 L équatio e a pas de solutio car la foctio epoetielle est à valeurs strictemet positives D où : e e e + e e L esemble des solutios de cette équatio est doc S {} O a : ( ) ( + ) e + e e + e e (+ e )e + e X (+ e ) X + X e Résolvos l équatio du secod degré (E) : e X ( + e ) X + O a : ( + e ) 4 e + e + e 4 4e e + e 4 ( e ) Alors (E) admet solutios réelles : + e ( e ) + e + ( e ) et e e e e ( + ) O a doc : e ( + e ) e + e ou e e ou L esemble des solutios de cette équatio est doc : { ; } O a : e ( e ) e e Le discrimiat de cette derière équatio est ( ) 4 8 8, cette équatio admet doc aucue solutio das R et doc il e est de même pour l équatio iitiale, S O a : e e > > (la foctio epoetielle est strictemet croissate sur R) ( ) > L esemble des solutios de cette iéquatio est doc ; ; + X X O a : e + e > + > Le triôme du secod degré X e X + X a été étudié précédemmet, il est positif à l etérieur des racies et (le coefficiet de X vaut : il est positif) O e déduit : e + e > e ; ; + e > (la foctio epoetielle est à valeurs strictemet positives) O a doc : e + e > e > e > L esemble des solutios de cette iéquatio est doc : ; + 46 Corrigé séquece 4 MA

145 e e O a : e e e e e + < < e + < + + > e + (car e + est toujours strictemet positif) Doc, d après l eercice précédet, o a e e e e + < + > > L esemble des solutios de cette iéquatio est doc : ; + Eercice 6 Das cet eercice, o utilise l équivalece : pour tout réel k strictemet positif et pour tout réel, e k l k O a : e l l l 5 L esemble des solutios de cette iéquatio est doc : X X X oux e e X e X e e oue La foctio epoetielle est à valeurs strictemet positives doc e e e l L esemble des solutios de cette iéquatio est doc : { l } O a : e l > e > e car, pour tout k strictemet positif e l k D où e l > e > e > l > + l L esemble des solutios de cette iéquatio est doc : + l ; + la foctio epoetielle état à valeurs strictemet positives, l iéquatio e > est vérifiée pour tout réel, l esemble des solutios de cette iéquatio est doc : R k Eercice 7 La foctio f est le produit de deu foctios dérivables sur R, doc f est dérivable sur R et o a f '( ) e + e La foctio f est ue foctio composée de la forme e u où la foctio u est dérivable sur R, doc f est dérivables sur R et o a 4 ( ) + u f'( ) + 4 e e ' ' u e (( ) u ) La foctio epoetielle est dérivable sur R et à valeurs strictemet positives, doc la foctio f est défiie et dérivable sur R et o a : f ( ) + e d où f ( ) e ( u) ' u' + e u Corrigé séquece 4 MA 47

146 La foctio f 4 est le quotiet de deu foctios dérivables sur R le déomiateur e s aulat pas, doc f 4 est dérivable sur R et o a e e e ( + ) ( ) e e u uv ' uv' f '( ) 4 e + e + v v ( ) ( ) La foctio f 5 est ue foctio composée de la forme e u où la foctio u est la foctio iverse, dérivable sur R, doc f 5 est dérivables sur R et o a f 5 '( ) e u u (( e ) ' u ' e ) Eercice 8 Il s agit d ue forme idétermiée O peut factoriser par le terme prépodérat e O a : e e e Comme o sait que lim +, o e déduit que + lim et que la limite de la parethèse est égale à O a aussi lim e +, + + e et, d après les règles sur les opératios, o obtiet : lim e + ( ) + O trasforme l epressio : e e e e e O sait que lim e doc lim ( ) e e et lim + e foctio epoetielle est à valeurs strictemet positives) (car la D après les règles sur les opératios, o peut coclure que lim e e ( ) E, le umérateur ted vers et le déomiateur ted vers, il e s agit pas d ue forme idétermiée La foctio epoetielle est à valeurs strictemet positives doc lim e O peut aussi utiliser u produit e écrivat e e Comme lim et lim + (voir l eercice précédet), la limite du e produit est lim lim e e 48 Corrigé séquece 4 MA

147 Il s agit d ue forme idétermiée, o met e facteur le terme prépodérat au umérateur et au déomiateur e e e + + Comme lim e + et lim +, o a lim e e O sait que lim +, doc lim lim e e e + + Il s agit d u produit dot les deu facteurs tedet vers +, doc lim ( + e ) + + Il s agit d ue forme idétermiée E développat, o peut utiliser les limites du cours : ( ) + e e + e Comme lim e lim e o coclut : lim ( + ) e Eercice 9 La foctio f est défiie sur R par f( ) e lim f( ) + car il s agit d u produit dot les deu facteurs tedet vers + + lim f( ), c est u résultat du cours La foctio f est le produit de deu foctios dérivables sur R, doc f est dérivable sur R et f'( ) e + e ( + ) e la foctio dérivée f est doc du sige de + + f'( ) + + f( ) Corrigé séquece 4 MA 49

148 Eercice Partie A Partie B, t Soit la foctio f défiie sur l itervalle I ; par : f() t 5 5 e La foctio f est ue foctio composée de la forme e u et a les mêmes variatios que la foctio u Ici u est ue foctio affie où le coefficiet de la variable est égatif, doc la foctio f est décroissate sur I ; Voir ci-après, 5 f ( ) 5 e 5 Bq, 5 8 9, 4 f ( 8) 5 e 5 e,4 Bq La demi-vie, otée T, d u radioucléide est le temps écessaire au bout duquel so activité a dimiué de moitié, doc ici o cherche le temps T pour lequel l activité du radio ucléide est égale à 5 Bq a) Bq 5 5 O T temps D après le graphique, o trouve T, h f ( ) b) Par le calcul la période T vérifie l équatio ft ( ) soit, 5T 5 e 5 qui équivaut à e, 5T 5, ou ecore e, 5T l Et efi, 5T l soit T, 5h h mi, 5 5 Corrigé séquece 4 MA

149 Corrigé des eercices de sythèse du chapitre 4 Eercice I e Soit f la foctio défiie sur R par f( ) e + lim f( ) car lim e E +, il s agit d ue forme idétermiée O peut trasformer l epressio de ( ) ( ) + f( ) : f( ) + e e e e e e + e e Comme lim lim e e, o coclut que : lim f( ) lim + + e e Ces limites motret que les droites d équatio y et y sot asymptotes à la courbe représetative de f la foctio f est égale au quotiet de deu foctios dérivable sur R doc f est dérivable sur R et, pour tout réel, o a : e ( e + ) e e e f'( ) e + e + ( ) ( ) ( ) La foctio epoetielle état à valeurs strictemet positives, il e est de même pour la foctio dérivée f ' et doc la foctio f est strictemet croissate sur R + f'( ) + f( ) j f O i Corrigé séquece 4 MA 5

150 Eercice II Partie A t La foctio f est défiie sur ; + par f() t 85, te t t e Comme f() t 85, et que lim +, o obtiet lim ft ( ) ce qui e t t + t t + motre que l ae des abscisses est asymptote e + à la courbe La foctio f est le produit de deu foctios dérivables sur ; + doc f est dérivable sur ; + et, pour tout réel positif t, o a : t t t ( ) f'( t) 85, e 85, te 85, e t Comme la foctio epoetielle est à valeurs strictemet positives, f'( t) est du sige de t d où le tableau de variatio : t + f'( t) + ft () 8,5e La tagete au poit d abscisse a pour équatio y f'( )( t ) + f( ) soit y 85, t Comme f '( ) la tagete au poit d abscisse est parallèle à l ae des abscisses cocetratio e cg j O i t e heures 5 Corrigé séquece 4 MA

151 Partie B, Comme h mi correspod à t 5, o obtiet :f ( 5, ) 85, 5, e 5 d où f (, 5), 69 cg Ue résolutio graphique état trop imprécise, o utilise le théorème des valeurs itermédiaires pour justifier l eistece de deu solutios de l équatio ft () et e déduire des ecadremets de ces solutios Sur l itervalle I ; la foctio f est le quotiet de deu foctios dérivables, doc la foctio f est dérivable sur I, doc cotiue sur I Comme f ( ) et f () 8, 5e, 5, le ombre appartiet à l itervalle f( ); f( ) et l équatio f() t admet au mois ue solutio das l itervalle I Comme f est strictemet croissate sur I, cette solutio est uique, o la ote t O a f (, ), 94 et f (, 4), 4 doc f(, ) < f( t ) < f( 4, ) et doc, < t < 4, puisque f est strictemet croissate sur I De même, sur l itervalle J ; + la foctio f est le quotiet de deu foctios dérivables, doc la foctio f est dérivable sur J, doc cotiue sur J Comme f () 8, 5e, 5 et lim ft ( ) le ombre appartiet à t + l itervalle des images ; f ( ) et l équatio f() t admet au mois ue solutio das l itervalle J Comme f est strictemet décroissate sur J, cette solutio est uique, o la ote t O a f (, ), 4 et f (, ), 997 doc f(, ) < f( t ) < f(, ) et doc, < t <, puisque f est strictemet décroissate sur I La durée pedat laquelle le médicamet est efficace est égale à l amplitude de l itervalle t ; t Comme, < t <, 4 <, < t <, o obtiet, 4, < t t <,, d où 6, < t t < 8, 6, hh9mi6s et 8, hhmi48s o peut dire que le médicamet est actif pedat h mi à mi près Corrigé séquece 4 MA 5

152 Eercice III L étude de la foctio f défiie sur R par f( ) e a été faite das l eercice 9 + f'( ) + f( ) + e O déduit du tableau de variatios de f que : Si a < alors l'équatio f ( ) 'admet aucue solutio ; e Si a alors l équatio f ( ) a admet ue uique solutio : ; e Si < a < alors l équatio f ( ) a admet deu solutios : e ( ; ; ) ; et + Si a alors l équatio f ( ) a admet ue uique solutio : ; Si a > alors l équatio f ( ) a admet ue solutio ; + et même ; + Le réel est u ombre strictmet positif alors, d après ce qui précède, l équatio f( ) admet ue uique solutio u et u + ; Le réel u est solutio de l équatio : f( ) ; u est positif et de plus f () e est strictemet supérieur à O e déduit u ; et o trouve par dichotomie ou balayage : u, 567 à près Le réel u est solutio de l équatio : f( ) ; u est positif et de plus f () e est strictemet supérieur à O e déduit u ; et o trouve par dichotomie ou balayage : u, 5 à près 54 Corrigé séquece 4 MA

153 Le réel u est solutio de l équatio : f( ) ; u est positif et de plus f () e est strictemet supérieur à O e déduit u ; et o trouve par dichotomie ou balayage : u, 57 à près Tous les termes u sot das l itervalle ; + où la foctio f est strictemet croissate Pour comparer u et u + o compare leurs images par la foctio f Comme u est l uique solutio sur ; + de l équatio f( ), o a f( u) et de même f( u ) + + Pour tout de N, l iégalité < sigifie que f( u ) < fu ( ) et doc + + u < u puisque la foctio f a coservé l ordre + La suite ( u ) est doc décroissate Tous les termes u sot strictemet positifs doc la suite est décroissate et miorée par, elle est doc covergete O raisoe de même pour prouver que pour tout de N : u < E effet, f e et < e, doc < e, soit f u f, ( ) < d où u < Comme < u < et lim, d après le théorème des gedarmes, o + coclut : lim u + Eercice IV k M ici k,5 T j O i H Corrigé séquece 4 MA 55

154 Soit M u poit de la courbe k de coordoées a ;e réel quelcoque Le poit H a pour coordoées ( a ; ) ka ( ) a état u ombre Comme la foctio f k est dérivable sur R et que pour tout réel o a k ka ka f '( ) ke, la droite a pour équatio y ke ( a) + e Le poit T est k le poit de cette droite d ordoée et dot l abscisse vérifie doc l équatio ka k ka ka e ( a) + e, d où a e et T a ke ka ; k Comme les deu poits H et T sot sur l ae des abscisses, o a a a k k : cette distace est bie idépedate k TH H T de a, l abscisse du poit M Remarque o peut aussi utiliser ( ) ( ) TH + y y H T H T Eercice V O sait que lim (remarque : il est pas utile ici de distiguer X > et < ) et que lim e, doc e composat avec X X o obtiet lim ( ) lim X f e lim e X Doc lim f( ) f( ) ce qui prouve que la foctio f est cotiue e Pour étudier la dérivabilité e, o étudie la limite du tau d accroissemet e Pour tout h o ul, f h f h ( + ) ( ) e Quad h ted vers c est ue forme h h idétermiée et, comme l eposat ted vers o cherche à faire apparaître h X e pour utiliser la limite lim Xe h X 56 Corrigé séquece 4 MA

155 O écrit : f h f h ( + ) ( ) e ( h) e h h h Comme lim, h h e composat avec X o obtiet h lim h X e lim X h X ( e ) et, e multipliat par h qui ted aussi h h f( + h) f( ) vers : lim h h La foctio f est doc dérivable e et f () O étudie les limites et les variatios de f X E +, lim et lim e e (car la foctio epoetielle est + X cotiue e ), doc e composat avec X X, o a lim e lim e + X X E, o trouve de même lim e lim e X Sur R u( ), f( ) e où u est la foctio défiie par u ( ) qui est défiie et dérivable sur R avec u'( ) Aisi, par compositio, f est dérivable sur R u( ) et f'( ) u'( ) e e qui a le même sige que, c est-à-dire que + f'( ) + f( ) Les limites motret que la droite d équatio y est asymptote à la courbe e + et e j O i Corrigé séquece 4 MA 57

156 Remarque les valeurs de f( ) semblet ulles sur l itervalle 4, ; 4,, il e est rie, la courbe est seulemet très écrasée au aletours de l origie et f( ) est ul seulemet pour Eercice VI Soit a u ombre réel fié, la foctio f a défiie sur R par f ( ) e a est la différece de deu foctios dérivables sur R, doc f a est aussi dérivable a sur R et f '( ) e a a Pour tout a, la dérivée e s aule jamais sur R doc la foctio f a e peut pas avoir d etremum Pour tout a >, la foctio dérivée f a ' est strictemet croissate comme la foctio epoetielle O sait que f '( ) e a l a, doc f a a '( ) est égatif quad l a et positif quad l a la foctio f a est doc décroissate puis croissate, elle admet doc u miimum la + f '( ) e a a Sige de f '( ) + a f a ( ) f a a (l ) 58 Corrigé séquece 4 MA

157 , Soit a > et M a ( ; y ) le poit de a d ordoée maimale O a M M doc f '( ), a M soit e M a M, j O i M y (l )e Comme y f ( ), o a y M M a M M e a M M ou ecore y e e M M M soit y ( )e M M M Les poits M a sot bie sur la courbe d équatio y ( ) e qui est représetée sur le graphique Eercice VII La foctio C est dérivable sur ; + et, pour tout réel t positif, o a ( ) u t t t t u u C'( t) 8( e ( ) e ) 8( e + ) e (car e ' ' e ) Comme ue epoetielle est toujours strictemet positive, C'( t) est du sige de e t t La foctio défiie sur ; + par t e est décroissate car la foctio epoetielle est croissate e t est ul lorsque e t c est-à-dire quad t l Aisi, e t est positif si t < l, ul pour t l et égatif si t > l Il e est de même pour C'( t) Pour détermier lim Ct ( ), o peut trasformer l écriture : t + t t Ct () ( ) 8 8 e e t t e e t Comme lim e +, o trouve lim Ct ( ) t + t + Comme e l, la valeur du maimum est égale à C(l ) 8 l l e e 8 4 t l + C'( t) + Ct () Corrigé séquece 4 MA 59

158 La limite e + motre que l ae des abscisses est asymptote à la courbe représetative de la foctio j O i l O cherche au bout de combie de temps la cocetratio retombe à la moitié de sa valeur maimale, o cherche doc à résoudre l équatio C() t das l itervalle l ; + Ct () 8 8 T t t T 8 T 8T + 8 t e e t T e T e L équatio du secod degré a deu racies, 4 et 4+ La résolutio des deu équatios e t ( ) 4 et e t 4+ doe deu ( ) solutios t l 4, 58 et t l 4 +, 9 Seule la solutio t coviet et t h+, mi t h+ 6mi Pour détermier le plus petit etier tel que la cocetratio soit deveue iférieure à au bout de heures, il suffit d afficher sur la calculatrice des valeurs de la foctio C, et o trouve 9 car C( 8), et C( 9), 99 Eercice VIII La foctio f défiie sur R par f( ) e est le produit de deu foctios dérivables sur R, doc f est dérivable sur R et, pour tout réel, f'( ) e + e De même, d après les propriétés des opératios, la foctio dérivée f ' est dérivable sur R et, pour tout réel, f"( ) e + ( e + e ), soit f"( ) e + e De même, d après les propriétés des opératios, la foctio dérivée secode f " est dérivable sur R et, pour tout réel, f ( ) ( ) e + ( e + e ), soit f ( ) ( ) e + e 6 Corrigé séquece 4 MA

159 O va doc démotrer par récurrece que, pour tout etier strictemet positif, ( «f est dérivable fois sur R et, pour tout réel, f ) ( ) e + e» Iitialisatio : la propositio est vraie pour Hérédité : soit k u etier strictemet positif pour lequel o suppose que la propriété est vraie Aisi la foctio f ( k ) ( est défiie sur R par f k) ( ) ke + e, elle est doc dérivable et, f ( k+ ) ( ) ke + e + e ( k + ) e + e La propositio est doc héréditaire Coclusio : pour tout etier strictemet positif, f est dérivable fois sur R et, pour tout réel, f ( ) ( ) e + e Eercice IX Partie A Partie A O cosidère la foctio g défiie sur ; + par g ( ) e La foctio g est égale à la différece de deu foctios dérivables sur ; + doc la foctio g est dérivable sur ; + et g'( ) e La foctio epoetielle est strictemet croissate sur ; +, il e est doc de même de la foctio g Comme g '( ) e, o e déduit que g'( ) sur ; + Doc la foctio g est croissate sur ; + O e déduit que, pour tout réel positif, o a g ( ) g( ), soit g ( ) Doc g ( ) est toujours positif sur ; + Pour tout réel positif, o a doc e, soit e Doc, pour tout réel positif, o a aussi e > Partie B O a : f ( ) e e e et f () e Comme o admet que f est strictemet croissate sur ;, pour tout de ;, o a f( ) f( ) f( ), c est-à-dire f( ) Doc, pour tout de ;, f( ) ; Corrigé séquece 4 MA 6

160 Complémet : les plus courageu pourrot démotrer que f est strictemet croissate N ( ) sur ; e calculat f'( ) qui a la forme d u quotiet et e ( e ) étudiat les variatios de N( ) pour détermier so sige) a) Pour tout de ;, o a : ( ) e e e f( ) e e ( )e ( )( ) ( g ) ( ) + e e ( )e + e b) Pour étudier la positio relative de la droite, d équatio y, et de la ( g ) ( ) courbe sur ;, o étudie le sige de la différece f( ) e Pour tout de ;, et, d après la partie A, g( ) et e > Aisi, pour tout de ;, f( ) Partie C La courbe est doc toujours au-dessus de la droite sur ;, j O u u u u i O cosidère la suite ( u ) défiie par : u u f u + ( ), pour tout etier aturel 6 Corrigé séquece 4 MA

161 Motros par récurrece que, pour tout etier aturel, «u u» + Iitialisatio : u doc u est das ; Doc, d après la Partie B, fu ( ) ; et f( u) u, soit f( u) u Comme f( u) u, o obtiet u u, doc la propriété est vraie pour Hérédité : soit k u etier aturel, k, pour lequel o suppose que u u Comme la foctio f est croissate sur ;, k k + o a f f u f u f k k ( ) ( ) (), soit u u u Comme o a vu que + k+ k+ u u, o e déduit u u La propriété est doc héréditaire k+ k + Coclusio : pour tout etier aturel, u u + Ce qui précède prouve que la suite ( u ) est croissate et majorée par La suite ( u ) est doc covergete et sa limite l est telle que l La foctio f est le quotiet de deu foctios cotiues sur ; (avec le déomiateur o ul), doc f est cotiue sur ; d où lim ( f( u f lim u f( ) + )) ( + ) l Mais u f u + ( ) ( ( )), doc lim f u lim u l Doc le ombre l est das l itervalle ; et tel que f ( l ) l L équatio f( ) équivaut à f( ), soit, d après la Partie B, à ( g ) ( ) O a vu das la Partie A que la foctio g est croissate sur ; +, et comme g 5, o obtiet que doc g ( )> sur ; L équatio f( ) a doc que la solutio sur La suite u ; et c est le ombre l ( ) coverge doc vers (comme o peut le cojecturer d après le graphique) Corrigé séquece 4 MA 6

162 C Corrigé de la séquece 5 Corrigé de l activité du chapitre Activité Avec a et b 5, o a f(, 5) f( ), 57 et f( ) + f(, 5) 7, 7 + 4, 54, 57 Avec a 4, et b o a f(, 4 ) f( 4, ) 5, 57 et f(, 4) + f( ), 5 +, 57 5, 57 Das ces deu eemples, o retrouve bie f( a b) fa ( ) + fb ( ) Avec a 8, et b, o f (,8)+f (,) 6,67+,9 8,8 et f(, 8, ) f( 6, ) Le ombre f ( 6, ) est pas idiqué das la table, mais comme la foctio f est strictemet croissate sur R + o sait que f(, ) f( 6, ) f(, ) soit 7, 784 f (, 6) 8, 7 ce qui est vérifié par 8,8 O a f(, 9, ) f(, 9) + f(, ) 6, , 7 5, 7 ; la deuième lige de la table permet de lire que 9,, est compris etre 4,775 et 4, (la valeur eacte est 4,8) O a f(, 6, 7, ) f(, ) + f(, 6) + f(, 7) 9, + 4, 9+ 5, 567, 4 ; la deuième lige de la table permet de lire que, 6, 7, est compris etre, et, (la valeur eacte est,64) ( ) ( ) + 4, 468 ; la deuième lige de la table permet de lire que 9, est u peu plus grad que,6 O a f 9, f 9, 9, f( 9, ) f( 9, ) f( 9, ) 6, 7 (la valeur eacte est,6) ( ) 5 De même f, 5 f(, ) 5, 9 9, 565 ; la deuième lige de la table permet de lire que, 5 est compris etre,4 et,5 (la valeur eacte est,488) f(, 5, ) f(, ) f( 5, ) + f(, ) + f( 5, ), 9 + 4, 54 4, 47 ; Corrigé séquece 5 MA 65

163 la deuième lige de la table permet de lire que, 5, est compris etre,8 et,9 (la valeur eacte est,888) Ces calculs, le derier e particulier, motre bie commet la foctio f permet de faire des calculs techiquemet plus simples Les résultats obteus e sot que des valeurs approchées Les tables qui ot été réellemet utilisées jusque das les aées 97 comportaiet doc beaucoup de décimales Pour calculer u produit o utilise ue additio, o peut doc cojecturer que a pour calculer u quotiet o peut utiliser ue différece : f fa fb b ( ) ( ) 4, O a f f( 4, ) f(, ) 4, 84, 4, 6, ; la deuième lige de la table permet de lire que 4, est compris etre, et, (ue valeur approchée, à 5 près est,85) O a observé qu élever u ombre a au carré correspod à multiplier par valeur de f( a) ; o cojecture que predre la racie carrée d u ombre correspod à predre la moitié de la valeur de f( a) ( ) 5 f a, f( a) O a, 5 f (, 7), 5 5, 567, 785 ; la deuième lige de la table permet de lire que 7 est u peu plus grad que, (ue valeur approchée à 5 est,84) Ces cojectures serot démotrées das le cours près Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice Les calculs de cet eercice utiliset toutes les propriétés algébriques de la foctio l l 6 l( ) l + l, 4 l6 l( ) 4l, l 4 l( ) l + l( ) l + l, ( ) ( ) l ( ) l l, 66 Corrigé séquece 5 MA

164 l 54 l( ) l + l( ) l + l, 4 l l 4 l 7 l l l l, 7 ( ) ( ) ( ) + l 6 l( 6) l( ) l l, 9 l l 9 l 8 l l l l 8 ( ) ( ) Eercice ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + l 6 l 7 l 7 l 7 l l 7 l 7 l, l l l l l l, ( ) ( ) + l l49 l 7 l 7 l l7 l7 l Eercice Eercice 4 Eercice 5 C 5 4 l 4l 5( l ) l 7l ; D l 4 + l 5 + l l l ou D + + l 4 5 l l l 4 l 5 + l l + l l 4 6 l l6 l l E e e e ; l4 l( ) l F e e e l e l e l8 l8 l4 e 8 G e 7 ; l4 e 4 ( ) l + ( ) H e e + l( l l ) l 9 8 e I e l e ( ) l Vrai / Fau a) Vrai O sait qu ue valeur approchée de e est,7, doc o sait aussi que < e < Comme la foctio l est strictemet croissate sur ; +, o e déduit que l < l e < l, c est-à-dire l < < l b) Fau L iéquatio l 5, l est équivalete à l, l 5, puisqu e divisat par l 5, qui est strictemet égatif, l iégalité chage de ses Comme Corrigé séquece 5 MA 67

165 l l l, fialemet l iégalité est équivalete à l 5, l l Coclusio + ; c) Fau D après la relatio foctioelle de la foctio epoetielle, + e 5 e 7 e 5 7 e, doc l l ( ) e d) Vrai a< b ( l l 4, 9) < l 5, l < l 5, < 5, car la 49, 49, foctio l est strictemet croissate sur ] ; + [ doc elle coserve l ordre D où a< b < 5, < 49, 5, et le calcul metal de 4 5 motre que 49, la derière iégalité est vraie, doc, par équivalece, la première est vraie aussi Eercice 6 Commetaire : o utilise ici des équivaleces justifiées par les propriétés 5 et 6, guidé par la remarque : l applicatio de la foctio l fait disparaître l epoetielle et l applicatio de la foctio epoetielle fait disparaître le logarithme O a les équivaleces : l( 5 + ) l 5 + et o coclut 5 S 5 O a les équivaleces : l( + ) l( + ) e e +, et o coclut S { } O a les équivaleces : l( + 5, ) e 5, l( + 5, ) e e + 5, e et o coclut e 5, S O a les équivaleces : e ( e ) + l l l l + l S et o coclut Eercice 7 l( + ) + l( + ) l( + ) Détermios le domaie d étude D (esemble des réels tels que l( + ) + l( + ) et l( + ) soiet défiis) 68 Corrigé séquece 5 MA

166 + > > O a : D + > > > D'où D ] ; + [ + > > L accolade sigifie ici : + > et + > et + > De plus, pour tout de D : [ ] l( + ) + l( + ) l( + ) l ( + )( + ) l( + ) l( ) l( + ) ( l état bijec Résolvos cette équatio du secod degré : O a : 4 4 ( 5) 6 6 Cette équatio admet doc deu solutios 4 6 réelles : et + Seul appartiet à D, aisi l esemble des solutios réelles de l équatio l( + ) + l( + ) l( + ) est : {} l( ) l( + ) Détermios le domaie d étude D de l équatio O a : D > + > Les solutios de l équatio du secod degré sot et Aisi > ; ; + O a doc : D ; ; + Les calculs effectués pour la re questio de l eercice ous motret alors que : { } 5; (l ) + l La foctio l état défiie sur ; +, o a D ; + Effectuos le chagemet de variables X l : X l (l ) + l X + X Les solutios de l équatio du secod degré X + X sot et Corrigé séquece 5 MA 69

167 Aisi : X l (l ) + l X ou X l l ( e ) ou l l e e ou e L esemble des solutios réelles de l équatio (l ) + l est doc : { } e ; e Eercice 8 La foctio l état strictemet croissate sur ; +, l > l équivaut à > Doc S ; + La foctio l état strictemet croissate sur ; +, l( + ) l + Doc S ; + La foctio l état strictemet croissate sur ; +, l l l e e Doc S ; e Comme e e, o a : e + < 6 e < 6 e < 6; puis, e comme la foctio l est strictemet croissate sur R : e l 6 < 6 < l 6 < Doc S ; l 6 ( ) ( ) O a l e, puisque la foctio ep est strictemet croissate sur R Efi, Doc S { } Commetaire : le rappel du ses de variatio de la foctio utilisée (qui justifie ue équivalece) est souhaitable au mois ue fois das ue copie Eercice 9 La foctio epoetielle est défiie sur R, pour les résolutios suivates, le domaie d étude sera doc R X e O a : e 5e + 4 X 5X + 4 Les solutios de l équatio X 5X + 4 sot 4 et 7 Corrigé séquece 5 MA

168 Aisi : e 5e + 4 e 4 ou e l4 ou l L esemble des solutios réelles de l équatio e 5e + 4 est doc : { ; l 4} 4+ e e e Multiplios les membres de l égalité par e, o a alors : e e e e (e ) e e + X e O résout : X X Les solutios réelles de l équatio X X sot et Aisi : 4+ + e e e ou e + l + l (la foctio epoetielle état à valeurs strictemet positives, l équatio e + a pas de solutio réelle) 4+ L esemble des solutios réelles de l équatio e e est doc : l e e e Par le chagemet de variable X e, o a : e e e X X X Factorisos cette derière epressio X X X X( X X ) Détermios, alors, les solutios de l équatio : X X O a : ( ) 4 ( ) 8 ( ) X Les solutios réelles de l équatio X sot doc : X et X + O e déduit : X X X X( X ( ))( X ( + )) et doc : e e e e ( e + )( e ) Corrigé séquece 5 MA 7

169 La foctio epoetielle est strictemet positive sur R doc pour tout réel : e et e + ( ) sot positifs e e e et e ot doc le même sige Aisi : e e e e e + l( + ) (la foctio I état strictemet croissate sur ; + ) L esemble des solutios réelles de l iéquatio e e e est doc : ; l( + ) Eercice Comme lim +, il eiste des etiers tels que 5 + Pour résoudre cette équatio où l icoue est das ue puissace o utilise la foctio l et l équivalece de la propriété Aisi ( ) ( ) l l l 5 l l (o a divisé l par l qui est positif) Comme la calculatrice ous idique que < 5 l l <4, le plus petit etier pour lequel 5 est 4 Comme lim 9,, il eiste des etiers tels que, 9, + Comme au, o a les équivaleces : l, 9,, l 9, l, l 9, (o a divisé par l 9, qui est égatif) Comme la calculatrice ous idique que 65 < l l 9, < 66, le plus petit etier pour lequel 5 est 66 7 Corrigé séquece 5 MA

170 Corrigé des activités du chapitre Activité - Les deu courbes semblet symétriques par rapport à la droite d équatio y Ceci sera epliqué das la cours O peut cojecturer deu limites : ep D j e O i l e lim l + et lim l + > La symétrie et les propriétés de la foctio epoetielle permettet de cojecturer deu valeurs : l et l e O peut cojecturer aussi que, comme celle de la foctio ep, la courbe de la foctio l admet ue tagete e chaque poit et doc que la foctio l est dérivable sur so esemble de défiitio O peut même cojecturer deu ombres dérivés e utilisat les coefficiets directeurs des tagetes au poits d abscisse et e : l'( ) et l'( e) e Activité Comme la foctio f est défiie sur ; + l( ) par f( ) e, o a aussi l epressio plus simple f( ) et doc f'( ) pour tout réel strictemet positif Sous la forme iitiale, o utilise la dérivée d ue foctio composée e u qui est u' e u, la foctio u état ici la foctio l dot o a supposé qu elle est dérivable sur ; + O trouve doc f'( ) l'( ) e l( ) l'( ) Pour tout réel strictemet positif, o a doc l'( ) soit l'( ) Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice C est ue forme idétermiée Comme o l a fait avec les polyômes et avec la foctio epoetielle, o met e facteur le terme prépodérat Das ce cas c est car «l emporte sur le logarithme» Corrigé séquece 5 MA 7

171 l O écrit l Or o sait que lim l doc + l lim + et lim ( l ) lim l Il e s agit pas d ue forme idétermiée, lim ( l ) + lim l > > car Il s agit d ue forme idétermiée O trasforme e faisat apparaître ue limite du cours e + : l l + + Comme lim l et lim lim, o obtiet lim l + + C est u quotiet où le umérateur et le déomiateur ot des limites différetes, il e s agit doc pas d ue forme idétermiée (que l o trouve si les deu tedet vers l ifii ou si les deu tedet vers ) E effet, + l + l et, comme lim l, o a lim, + l > et doc lim lim + l + l > > > ( ) ( + ) e + Il s agit de la limite d ue foctio composée La foctio l e + est la composée de e + et de la foctio l Or lim + et lim l X +, doc, e composat par X e +, o obtiet : X + ( ) + lim l + lim l X + X + ( ) + Il s agit de la même foctio composée Comme lim e + et que lim lx l car la foctio l est cotiue e, o obtiet X ( ) lim l + lim l X X 74 Corrigé séquece 5 MA

172 Il s agit d ue forme idétermiée O trasforme comme das le cas de l l l eemple 8 Pour tout réel strictemet positif, o a : ( ) l La foctio l X est la composée de et de X l Or X lim + et lim l X, doc, e composat par X, + X + X o obtiet : lim l lx lim + X + X Il s agit d ue forme idétermiée O se souviet que, à l ifii, l epoetielle l emporte sur et que l emporte sur le logarithme, o peut doc cojecturer que l ifii du déomiateur va l emporter et que la limite est ulle Motros cela e faisat bie apparaître les limites du cours e + Comme l l e e et que lim l e et lim (car lim + ), o obtiet + + e + lim l + e Eercice Das les quatre premiers cas, il s agit d ue foctio composée l u, la foctio u état dérivable et à valeurs strictemet positives sur I L epressio de la dérivée u est doc f'( ) '( ) u ( ) a) Soit u( ) 4 d où u'( ) f'( ) 4 b) Soit u( ) d où u'( ) f '( ) c) Soit u( ) + d où u'( ) f '( ) + Corrigé séquece 5 MA 75

173 + d) Soit u( ) d où u'( ) + ( + ) ( + ) ( + ) f'( ) + Aisi f'( ) ( + ) + ( + ) ( + ) Das les deu deriers cas, o applique les propriétés des opératios e) u( ) l d'où u'( ) v ( ) d'où v' ( ) l u uv ' uv' Comme f alors f ' soit f l '( ) v v Aisi f'( ) l f) f( ) l d où f'( ) l + l + l Eercice O ote la courbe représetative de la foctio l das u repère orthoormé y l( ) Pour tout de ; +, l ( ) l Aisi o peut costruire «poit par poit» la courbe d équatio y l ( ) de la faço suivate M j O i N H 76 Corrigé séquece 5 MA

174 Soit ; + O ote M le poit d abscisse de, alors le milieu de MH où H est le projeté orthogoal de M sur l ae des abscisses est le poit d abscisse de la courbe d équatios y l( ) y l( ) Pour tout de ; +, l ( ) l + l Aisi la courbe d équatio y l ( ) est l image de par la traslatio de vecteur (l j ) N M j O i Eercice 4 La foctio f est dérivable sur ; + et, pour tout de ; +, l f l '( ) Aisi f'( ) et l ot le même sige O a : f'( ) > l > l < le < e (la foctio l est strictemet croissate sur ; + ) Et, de même, f'( ) < > e Limites : lim l (résultat du cours) et lim f( ) + lim f( ) lim l > > > avec lim l et lim + ) > > (car Corrigé séquece 5 MA 77

175 e f'( ) + f( ) e j /e O i e Ue epoetielle état toujours à valeurs strictemet positives, l équatio (E) : e k e peut pas avoir de solutios égatives O raisoe doc das ; + où o peut utiliser la foctio l et obteir les équivaleces : e k l k l k k f( ) si k (E) admet ue uique solutio réelle (celle-ci appartiet à ] ; ] ; si < k <, (E) admet deu solutios réelles (l ue appartiet à ] ; e] et l autre e à ]e ; + ] ; si k, (E) admet ue uique solutio réelle e ; e si k >, (E) admet aucue solutio réelle e Cela correspod aussi au ombres de poits d itersectio de la courbe représetat f avec la droite d équatio y k (parallèle à l ae des abscisses) Eercice 5 Cette foctio est l occasio de remarquer qu ue foctio composée de la forme lu peut-être défiie sur R si la foctio u est à valeurs strictemet positives sur R 78 Corrigé séquece 5 MA

176 La foctio f est la foctio composée f l u avec u: + + Or lim et lim lx l (car la foctio l est cotiue X e ) Doc, e composat par X +, o obtiet aisi la limite de f + e + : lim f( ) lim l X + X Et de même, o trouve lim f( ) lim l X X La foctio f a les mêmes variatios que la foctio u La foctio ratioelle u est dérivable sur R et, pour tout réel, o a u'( ) + Le sige de ( ) u'( ) est le sige cotraire de O obtiet le tableau de variatio suivat : Sige de u'( ) Variatios de f( ) l( u( )) + l l j O i Eercice 6 O cosidère la foctio f défiie sur ; + par f ( ) et, pour tout réel strictemet positif, f( ) l O a lim f( ) lim l f( ) doc la foctio f est cotiue e > > Pour étudier la dérivabilité e, o étudie la limite du tau d accroissemet : f lim ( + h ) f ( ) h lim l h lim l h h h h h h h> h> h> Corrigé séquece 5 MA 79

177 Comme la limite est pas fiie, o coclut que f est pas dérivable e Comme la limite est ifiie, o coclut que la courbe représetative de f admet ue tagete parallèle à l ae des ordoées au poit d abscisse, c est-à-dire au poit O La foctio f est le produit de deu foctios dérivables sur ; + doc f est dérivable sur ; + et, pour tout strictemet positif, o a : f'( ) l + l + O a : f'( ) > l + > l > > e (la foctio l est strictemet croissate sur ; + ) Et, de même, f'( ) < < e La foctio f est doc décroissate sur ;e et croissate sur e ; + Comme lim l lim +, + + o a aussi lim f( ) lim ( l ) Et aisi : e f'( ) + + f( ) e j e O e i 8 Corrigé séquece 5 MA

178 Eercice 7 La foctio f est dérivable sur ; + et, pour tout de ; +, f'( ) Le sige de f'( ) est doc celui de celui de 4 car la foctio racie est croissate sur ; + qui est Pour tout de ; 4 o a f'( ), doc f est décroissate sur ; 4 De même, pour tout de 4; + o a f'( ), doc f est croissate sur 4; + la foctio f admet doc u miimum pour 4 Ce miimum vaut f ( 4) 4 l 4 l, 6 à près Doc la foctio f est à valeurs strictemet positive et l < f( ) implique < l doc l < et doc < (o a divisé par qui est strictemet positif) Si, de plus, o suppose que >, alors le l logarithme est strictemet positif et o a : < < Eercice 8 Comme lim lim, o peut appliquer le théorème des + + gedarmes à l ecadremet précédet et o trouve lim l + Quad ted vers +, l + est ue forme idétermiée car il s agit du produit de qui ted vers l ifii par l + qui ted vers : e effet, lim + et, par cotiuité e, le logarithme ted vers l, c est-à-dire Comme le logarithme porte sur ue quatité qui ted vers, o cherche à faire iterveir la limite du cours où il e est de même : lim l( + h ) Or o h h l costate que l + + Aisi, par compositio, puisque lim + et lim l( + h ), o obtiet h h lim l + + Pour détermier la secode limite, o remarque que, pour tout etier aturel, Corrigé séquece 5 MA 8

179 l l +, + doc lim l + + Or, + + ep l, doc, e composat par la foctio epoetielle qui est cotiue e, o obtiet : lim + ep( ) + e Remarque ( ) la calculatrice doe +,, et e,78888 Corrigé de l activité du chapitre 4 Activité 4 O pose log, log, et o suppose que cette foctio possède les 5 mêmes propriétés algébriques que la foctio l Doc o a log 5log 5, log log, et, pour tout etier relatif, o a log log, soit log O a log log + log + log, ; log log + log + log, ; log log + log + log, O cherche u réel strictemet positif tel que log 5, Les calculs précédets amèet à proposer Et, e effet, 5 log log + log( ) 5 + log 5, Commetaire l usage des tables de logarithme décimal qui ot été utilisées jusqu au aées 97 était basé sur ces propriétés Corrigé des eercices d appretissage du chapitre 4 Eercice Le ombre A est u ombre premier (divisible seulemet par lui-même et par ) so écriture décimale s écrit avec autat de chiffres que celle 8 Corrigé séquece 5 MA

180 de A (A + aurait u chiffre de plus que A si A + se termiait par ; mais A + serait alors divisible par 5 ce qui est pas possible pour ue puissace de ) ( ) 469 Comme log 469 log , 6, o peut e déduire que A +, doc A, s écrit sous forme décimale avec Elog ( ( ) 469 ) chiffres, plus de 76 millios! Corrigé des eercices de sythèse du chapitre 5 Eercice I Soit f la foctio carrée Pour tous a, b de R : a+ b f( a) + f( b) a+ b a + b a + b + ab a + b f 4 a + b + ab a b a b ab ( a b) a+ b f( a) f( b) Aisi pour tous a, b de R : f + covee La foctio carrée est doc Pour tous a, b de ; + : a+ b a+ b ab ( a b) ab * a b Aisi pour tous a, b de R + + : ab La foctio I état croissate sur ; +, pour tous a+ b a, b de ; +, l l ( ab ) l ( ) l a+ l b ab La foctio I est doc cocave Eercice II Partie A O a : lim l + et lim aisi : lim g ( ) Corrigé séquece 5 MA 8

181 De plus, pour tout de ; + : g ( ) ( l + ) O a lim + > et lim l > Aisi lim ( l + ) et lim g ( ) + > > La foctio g est dérivable sur ; + et pour tout de ; + : g'( ) Aisi : g'( ) > > > et g'( ) < < O e déduit le tableau de variatios de g : g'( ) + g ( ) l+ g l + l+ D après le précédet tableau de variatios ( l + < ) l équatio admet deu solutios α et β ( α< β) ; α ;, 5 et β, 5; + O a g( ) l + Aisi (>,5) est solutio de l équatio g ( ) et doc : β g(, ) 45, > doc d après le tableau de variatios de g : α, ; 5, Ue dichotomie ous doe alors :, 84 < α <, 85 D après le tableau de variatios de g : si ; α ; + alors : g ( ) > ; si α ; alors : g ( ) < g( ) g() 84 Corrigé séquece 5 MA

182 Partie B O a : lim lim l lim + aisi : lim f( ) Pour tout réel strictemet positif, o f( ) l + Alors comme lim l lim ( l ), O a lim f( ) > > > O a f ( α) α l α + α De plus : g( α ) doc : l α α α O a doc : α f ( α) α α α α α α α α ( α α ) α ( α) O a successivemet les iégalités : α, 84 < α <, 85 ;, 4 < <, 4 5 ;, 75 < α <, 7 et doc e multipliat terme à terme ces iégalités qui portet sur des ombres positifs, o obtiet, 4, 75 < f ( α ) <, 4 5, 76 soit Aisi f ( α ), à, 5 < f ( α) <, 96 près La foctio f est dérivable sur ; + et pour tout de ; + : f'( ) l + + l + + l + l + g( ) Comme est strictemet positif, f'( ) et g ( ) ot le même sige, que l o coaît grâce au derier résultat de la partie A O e déduit le tableau de variatio : α + Sige de g ( ) + + f( ) f ( α ) + Corrigé séquece 5 MA 85

183 Eercice III 4 O a lim lim alors lim l l + et ( ) lim f( ) lim De plus : lim ( 4) et lim ( ) Aisi : lim > 4 > 4 > 4 4 La foctio l est la composée de 4 et de la foctio 4 + l Comme lim et lim l, 4 > 4 4 lim l 4 > 4 > ( ) Comme lim +, o coclut lim f( ) 4 4 > 4 > 4 par compositio o obtiet : Pour tout de l : f( ) + + l( 4) l( ) Alors f est dérivable sur l et pour tout de l : f '( ) + α 4 ( 4)( ) ( ) + ( 4) ( 4)( ) ( 4)( ) ( )( 4) ( 4)( ) ( 4)( ) ( 4)( ) Pour tout de l, 4 et sot positifs, f'( ) et ot doc des siges opposés Étudios le sige du triôme du secod degré : O a : ( ) ( > ) Aisi l équatio admet 6 deu solutios : (, 586) et + ( 4, 44) O e déduit : si ; + ; + alors : 6 + 7> ; si ; + alors : 6 + 7< 86 Corrigé séquece 5 MA

184 O peut doc costruire le tableau de variatios de f : f'( ) + f( ) f ( + ) f ( + ), 96 Étudier les positios relatives de la courbe et de la droite reviet à étudier 4 le sige de la différece f( ) ( + ) c est-à-dire le sige de l Pour cela o compare 4 et O a : 4 Or est strictemet positif sur I, doc 4 < et 4 < 4 sur I Ceci prouve que l, < doc la courbe est toujours située sous la droite y j i O 4 Corrigé séquece 5 MA 87

185 Eercice IV La droite a pour équatio : y f'( a)( a) + f( a) De plus, f( a) l aet f'( a) O e déduit : a : y ( ) l a a + a soit y + l a a La droite ' a pour équatio : y g'( b)( b) + g( b) De plus, gb ( ) b l bet g'( b) O e déduit : b ': y ( b) b l b b + soit y b + l b Les deu droites et ' sot cofodues si et seulemet si elles ot même coefficiet directeur et même ordoée à l origie c est-à-dire : O a : a+ b + a b ab l( ab) ab e a b a + b + a b la lb la+ lb l( ab) a b e + ab e b e a a e a+ e a b ab + ab e b e a ae ( a) e Résolvos l équatio du secod degré : X e X + e 4 O a : e 4e ( > ) Cette équatio admet doc deu solutios : 4 e e 4e + b e a Aisi : a b ab a a l( ) ou 4 e e 4e et ( 9, 4 ; 6, 96 6) O remarque que : e et e, d où + a b ( a ; b) ( ; ) ou ( a ; b) ( ; ) l( ab) 88 Corrigé séquece 5 MA

186 ( ) ( ) ( ) et O cosidère les poits A ; f( ), A' ; f( ), B ; g( ) ( ) B' ; g( ) D après ce qui précède les tagetes e A et ' e B sot cofodues aisi que les tagetes e A et à ' e B y g B A f B A O Remarque Le résultat suivat (hors programme) pouvait simplifier les calculs : si a et b sot deu réels tels que : a+ b S et ab P alors a et b sot les solutios de l équatio : S + P Eercice V Soit u etier aturel o ul O a : l l et lim l Aisi : lim l et > lim f( ) f( ), la foctio f est doc cotiue e > lim + et lim l + d où : lim f + ( ) > La foctio f est dérivable sur ; + et pour tout de ; + : f '( ) l + l + l + O a doc : f '( ) > l + > l > > e (e composat par la foctio epoetielle qui est strictemet croissate sur R) De même : f ' ( ) < < e Corrigé séquece 5 MA 89

187 O e déduit le tableau de variatios de f : e sige de f ' + + f e f e e e e l e y,5,5 A,5,5,5 ( ) O observe que les trois courbes ot deu poits commus, l origie O; et le poit A de coordoées ( ; ) Motros qtue ces deu poits appartieet à toutes les courbes Comme f ( ) pour tout etier aturel o ul, l origie O se trouve sur toutes les courbes Comme f () l, le poit A ; ( ) se trouve sur toutes les courbes 9 Corrigé séquece 5 MA

188 Soit u etier aturel o ul O a f '( ) ( l + ) La tagete ( ) à e A est doc la droite de coefficiet directeur passat par A ;, c est-à-dire la droite d équatio : y Cette équatio e déped pas de l etier Cela sigifie que toutes les courbes admettet e A la même tagete : la droite d équatio : y Eercice VI a) Pour motrer que la suite ( v ) est ue suite géométrique, o cherche ue relatio etre v et v + O utilise les égalités doées par l éocé aisi que u v 6 Pour tout etier aturel, o a : v+ u+ + u + ( v 6 6 6)+ v La suite v ue suite géométrique de raiso ( ) est doc et de premier terme v u + 6 5, elle est doc à termes strictemet positifs b) O a : q S vk v q 5 k S ' uk ( vk 6 ) vk ( ) S ( ) k k k Comme o a < <, o e déduit que lim S + Comme lim 6, o e déduit que lim S ' La suite ( v ) est ue suite géométrique de raiso et de premier terme v 5, doc, pour tout etier aturel, v 5 O e déduit que w lv l 5 l5 l Cette epressio prouve que la suite ( w ) est la suite arithmétique de raiso l et de premier terme 5 O a " w w S w l (l ( + ) + ( ) k l ) l ( + ) l5 Corrigé séquece 5 MA 9

189 l Comme lim ( + ) + et lim l " lim S + o e déduit que Comme P v v v, o a l P l v w S " ( ) k k et doc k k P ( S) ep " " Comme lim S, o peut e déduire que lim P + + Eercice VII Partie A La foctio f est dérivable sur ; et pour tout de ; f '( ) + + Pour tout de ; : > doc f'( ) et ot le même sige O e déduit le tableau de variatios de f : f'( ) + f( ) l O a f ( ) l ; f ( ) ; lim ( ) et, e composat par la foctio l, < lim l( ) d où lim f( ) < + < D après le précédet tableau de variatios de f, pour tout de ; ; : f( ) < a) Pour tout etier aturel o ul : + ; doc f + < soit l < 9 Corrigé séquece 5 MA

190 b) Pour tout etier aturel o ul : + ; doc f + < soit l < Partie B Pour tout etier aturel o ul : u+ u l( ) + l l( + ) + l + l l l + < La suite ( u ) est doc décroissate Pour tout etier aturel o ul : v+ v l( ) + l( + ) + l( + ) + l( + ) l l l > La suite (v ) est doc croissate De plus pour tout de N*: u v l + l( + ) l( + ) l l + Comme la foctio l est strictemet croissate sur ; +, u v est strictemet positif E utilisat le ses de variatio de ces deu suites o obtiet v < v < u < u La suite u est doc décroissate et miorée par v, elle est doc covergete De faço aalogue, la suite v est croissate et majorée par u, la suite v coverge O a lim + + et, e composat par la foctio l qui est cotiue e, o obtiet lim l + l + Corrigé séquece 5 MA 9

191 Doc lim u v + ( ) et doc lim lim u v : les deu suites coverget + + bie vers la même limite otée γ lim l + γ Pour orgaiser les calculs au tableur, o peut utiliser la suite a défiie sur N* par a , celle-ci état aussi défiie par la relatio de récurrece : a, a+ a + + O peut alors costruire les suites de la faço suivate : A B C D a u v B l( A) B l( A+ ) A+ B+ / A) Et o éted O obtiet alors les résultats suivats : A B C D 79 5,76797,5866, ,779477, , , , , Alors comme : v γ u, 57, est ue valeur approchée par défaut à près de γ 94 Corrigé séquece 5 MA

192 Corrigé séquece 6 Corrigé de l activité du chapi tre Activité L équatio p + q équivaut à p q Soit f la foctio défiie sur R par f( ) p q, o s itéresse doc à l équatio f( ) La foctio f est ue foctio polyôme, elle est doc cotiue sur lim f( ) lim + et lim f( ) lim doc appartiet + + à l itervalle lim ; lim + D après le théorème des valeurs itermédiaires, l équatio f( ) possède au mois ue solutio das R Pour l équatio + 4, o a p et q 4 Ue solutio de l équatio + 4 est doc La calculatrice idique que ceci vaut, et, si o e l avait pas devié avat, il est facile de vérifier que est bie solutio de l équatio Pour l équatio 5+ 4, o trouve 7 q 4 p , o e peut doc pas utiliser cette formule E utilisat l égalité i 7q 4p, o obtiet i ( i) 8 E remplaçat le radical par i, o obtiet q q 7 4 p + + i et 8 q 7q 4p i 7 E appliquat les règles de calcul habituelles au ouveau ombre i, o utilise l idetité remarquable ( + y) + y+ y + y avec et y i, et o obtiet : ( + i) + i+ () i + () i 8+ i 6+ i Or i i i i, doc ( + i) + i i + i O motrerait de même que ( i) i O écrit ( + i) + ( i) ( + i) + ( i ) 4 (ici, ces écritures sot epérimetales, comme l utilisatio de i ; il y a e réalité plusieurs ombres dot le cube vaut ( +i) ) R Corrigé séquece 6 MA 95

193 O peut vérifier qu effectivemet le ombre 4 est solutio de l équatio : Pour trouver deu réels a et b tels que l équatio 5+ 4, ou ecore 5 4, soit équivalete à ( 4)( + a+ b), o développe le produit et o idetifie les coefficiets ( 4)( + a+ b) + ( a 4) + ( b 4a) 4b doc les équatios sot équivaletes si a 4 b 4a 5 4b 4 Il suffit doc de choisir a 4 et b et 5 4 ( 4)( 4+ ) 4 ou 4+ Le discrimiat du polyôme 4+ est ( 4) 4, o trouve 4 doc les deu racies ( ) et ( ) L esemble des solutios de l équatio 5+ 4 est doc { } S 4 ; + ; Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice a) z ( + i)( i) + i i i + i i b) z ( i)( i) 6i 9i 9+ 6i c) z (i+ )(+ i) (i 4) (i+ )( + i )(i 4) (i + )(i)(i 4) ( 4 + i)(i 4) i i i d) z ( 5+ 4i)( + 7i)( i) ( 5+ i+ 5i 8)( i) ( + 47i)( i) i+ 9i i e) z i i ( i)( i) i i i i f) z 4i + ( 4i)( 7 5i) 8i 5i 4 4 i i 7 5i ( 7+ 5i)( 7 5i) Corrigé séquece 6 MA

194 ( i)( 5+ i) ( i)( 5+ i) ( i)( 5+ i ) g) z 5 i ( 5 i)( 5+ i) 5+ ( i)( 4 + i) ( i)( + 5i) 6 4i+ 5i+ ) i 46 9 i Eercice a) ( i) z + i i + i z ( i)( i) + i z 4i (+ i)(+ 4i) z ( 4i)(+ 4i) z + 6i + 4 z + i z i Coclusio : S i b) O pose z +i y, avec et y réels O a alors les équivaleces : ( ) ( ) 4z + 8zz 4 y + iy y + 4y + 8 iy O utilise l uicité de l écriture algébrique d u ombre complee, appliquée ici au ombre complee ul : + 4y 4z + 8zz 8y + 4y y y ou y 4 4 y Coclusio : S i ; i ; ; ou y 4 ou y ou y Corrigé séquece 6 MA 97

195 Deu poits images sot sur l ae des imagiaires purs et symétriques par rapport à l origie du repère car leurs affies sot opposés Les deu autres poits images sot sur l ae des réels et sot de même symétrique par rapport à l origie du repère Le quadrilatère formé par les quatre poits images est doc u parallélogramme (les diagoales se coupet e leur milieu) dot les diagoales sot perpediculaires, il s agit doc d u losage v O u c) O pose z +i y, avec et y réels O a alors les équivaleces : 4 z zz 4 + y 4 z O recoaît, das u repère orthoormé ( O; u, v), ue équatio du cercle de cetre O et de rayo L esemble des solutios est doc l esemble des affies des poits de ce cercle d) O pose z +i y, avec et y réels O a alors les équivaleces : z iz y + iy i( iy) ( ) y y + i( y ) y y y ( ) y y y ou y y( y+ ) ou ( )( + ) y ou y y ou y O a doc S {, i, + i, + i } soit O( ); A( i); B( + i); C( + i) 98 Corrigé séquece 6 MA

196 y C B A ( ) Le repère est orthoormé, o utilise les coordoées des poits : A;, ( ) et C ( ) B ; ; Les poits B et C ot des abscisses opposées et la même ordoée, ils sot doc symétriques par rapport à l ae des ordoées O sait doc que le triagle ABC est isocèle de sommet A, il suffit doc de prouver que AB BC O a : AB ( ) et BC ( ) + ( ) Le triagle ABC est bie u triagle équilatéral Remarque ( ) + ( ) Das le chapitre, ue ouvelle otio, le module d u ombre complee, permettra de calculer les logueurs directemet Eercice Écrivos Z ( z )( z + i); Z X + iy ; z + i y,, y, X, Y réels a) O a doc : X + i Y ( + i y)( + i( y)) ( ) y( y) + i( y + ( )( y)) + y y + i( + y ) Par idetificatio des parties réelles et des parties imagiaires, o obtiet le système : X + y y Y + y M( Z) E Z réel Y + y Msur(D) où (D) est la droite d équatio + y Il est importat de procéder par équivaleces pour coclure à l égalité des deu esembles Corrigé séquece 6 MA 99

197 Coclusio : E (D) M( Z) E Z imagiaire pur X + y y ( ) + y + 4 O recoaît l équatio réduite du cercle de cetre Ω, et de rayo Coclusio : E est le cercle de cetre et de rayo b) C est ue autre méthode 5 O utilise les propriétés du cojugué d u produit, d ue somme, d u réel 5 Z réel Z Z ( z )( z + i) ( z )( z + i) ( z )( z + i) ( z )( z + i) ( z )( z + i) ( z )( z i) zz z + iz i zz z iz + i (lige ) ( z z ) + i( z+ z ) 4i iy+ i 4i (o a utilisé z z ilm( z) et z+ z Re( z)) + y O retrouve la même équatio qu e a) Z imagiaire Z Z + ( ) y 5 E utilisat les calculs précédets, il suffit de predre l opposé du secod membre de (lige ), d où : Z imagiaire zz z + iz i zz + z + iz i zz ( z + z ) + i( z z ) + y 4 + i y + y y Là ecore, o est rameé à la même situatio qu e a) (mise sous forme caoique) Eercice 4 ( ) et les deu solutios sot b 6 z + i ( ) + i + i et a b 6 z i ( ) i i a Corrigé séquece 6 MA

198 Le poit A a pour affie z et B a pour affie z O a : OCAB est u parallélogramme OC BA z z OC BA c z z c 4i C A v O u B Eercice 5 Pour résoudre das C 4 l équatio ( E ) z + 7z +, o pose Z z et o résout d abord l équatio du secod degré ( E ) Z + 7Z+ Pour ( E ) o 7 trouve 49 4 et o e déduit les deu solutios Z + et 7 Z 4 Les solutios de l équatio ( E ) sot les ombres complees z tels que z Z ou z Z 4 O obtiet aisi les quatre solutios (imagiaires pures) : i, i, i et i Corrigé séquece 6 MA

199 Corrigé de l activité du chapitre Activité Tous les poits qui itervieet das cette activité ot des coordoées polaires simples car il est facile de trouver ue mesure de l agle e utilisat des valeurs remarquables des cosius et sius A,, ( ) B, π, π C,, D,5, π, E, π 6, F, 5π 6 et G, π 4 (pour la première coordoée de G, c est-à-dire la logueur OG o a utilisé la logueur de la diagoale du carré OAGB) F B v L D O C u E G A z H D après sa première coordoée polaire, le poit K est sur le cercle trigoométrique Comme la deuième coordoée est π les coordoées cartésiees 4 de K sot ; et so affie est z K i O a ( u ; OE ) ( u ; OL), doc, e teat compte des logueurs, o obtiet OK OE soit zl ze Le poit E est sur le cercle trigoométrique, o détermie so affie comme o l a fait pour le poit K et fialemet : zl ze + i + i v L H P K O N E u A M E utilisat le triagle rectagle isocèle OAM, o trouve que les coordoées π polaires de M sot, 4 Pour le poit N, o recoaît que ses coordoées cartésiees sot le cosius et le sius de π, doc ses coordoées polaires sot π, L affie de P est le ombre réel égatif, doc les coordoées polaires de P sot (,π ) Corrigé séquece 6 MA

200 Corrigé des eercices du chapitre Eercice 6 a) O a : z ( ) + ( ) d où z + i, o recoaît le cosius et le sius de π qui est doc u argumet de z 4 z π π + cos isi 4 4 i π e 4 v O u - /4 M b) O a : z + ( ) d où z + i le sius de π qui est doc u argumet de z z + cos π isi π i π e, o recoaît le cosius et v / O / / M u c) O a : z 7 7 iπ z 7cosπ+ isiπ 7e ( ) doc ( ) d) O a : z 4 5i 5( + ( ) i), o recoaît le cosius et le sius de π qui i π est doc u argumet de z Doc z4 5e Corrigé séquece 6 MA

201 M v O u / M 4 Les représetatios graphiques doet u cotrôle des résultats, mais aussi, das les cas très simples comme les deu deriers, leurs visualisatios permettet de doer directemet la forme trigoométrique Eercice 7 a) Comme o l a fait das l eercice 6, o trouve i e iπ i 5π i π z ( i) e 4 soit z 4 e 4 O e déduit que z 4 cos π isi π + 4 i ( ) 5 z ( i) 4+ 4i et doc et doc b) O a : + i e iπ et i e i π + 4 doc i π i π π π i + z e e 4 6 e 4 soit z 6 e i π i π c) O a : z e, i i π o retrouve aisi que i i e d) O a : i e iπ 4 et + i e iπ 6 doc i π i e 4 z4 + i i π e 6 π π i e 4 6 i 5π soit z4 e 4 Corrigé séquece 6 MA

202 ( i) e) O a : z5 + i ( ) i π e 4 i π e 6 i π e 4 ( ) π 6 soit : i π i π z5 4 e 4 e Eercice 8 O a : i e iπ 6 et + i e iπ 4 doc i i π i π π π i i e 6 e 4 e La forme trigoométrique de i + i est doc : i π e cos π + isi π E développat le produit o trouve la forme algébrique : i i + i i i E idetifiat les parties réelles et les parties imagiaires o trouve le cosius et le sius de π : cos π 6+ et si π Eercice 9 E appliquat l idetité remarquable ( + y) + y+ y + y à cosθ et y isi θ, o obtiet : + ( ) + ( ) ( )+ ( )( ) + ( ) (cosθ isi θ) cosθ cosθ isiθ cosθ isiθ isiθ i( ) ( ) ( ) cos θ cosθsi θ+ cos θsiθ si θ O sait que, pour u ombre complee z o ul, o a arg z arg( z) Comme arg(cosθ+ isi θ) θ ( π ), o obtiet arg (cosθ+ isi θ ) θ (π) Les modules sot égau à, doc : (cosθ+ isi θ) cos( θ) + isi( θ) O idetifie esuite les parties réelles et les parties imagiaires : cos( θ) cos θ cosθsi θ ; si( θ) cos θsiθ si θ Corrigé séquece 6 MA 5

203 Eercice O a : z C z A zb za z z C B z z A A AC d après la propriété 4 AB D après la propriété, le ombre complee zb za a pour image le vecteur AB, z B z A z AB Les poits A, B et C sot disticts, doc les complees zb za et zc za e sot pas uls et o peut étudier leurs argumets : arg zb za arg z ( ) AB ( u, AB) et de même arg zc za arg z ( ) AC ( u, AC) O sait qu u argumet d u quotiet est égal à la différece d u argumet du umérateur et d u argumet du déomiateur D où : z arg C z A arg( zc za) arg ( zb za) ( u, AC) ( u, AB), zb za et comme u, AC u, AB u, AC + AB, u AB, AC, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z o a efi arg C A ( AB, AC ) z z B A Applicatio : z A i, z B + 5 i et z C + i O a : z z C B z z A i) i i i ( + + ( + )( i) i i A (+ 5i) i + i + O e déduit z C z i π A e, le quotiet z C z A a pour module et pour argumet π AC π zb za zb za, doc et AB, AC ( ) AB, doc le triagle ABC est rectagle et isocèle de sommet A B C A v O u 6 Corrigé séquece 6 MA

204 Correctio des eercices de sythèse du chapitre 4 Eercice I Eercice II O cosidère, das C, l équatio (E) : z + ( 4i) z + ( i) z i O cherche u ombre z i t (avec t réel) solutio de l équatio (E) O remplace : ( i) t + ( 4i)i) ( t + ( i)i) ( t i O utilise les puissaces de i et o trouve : t + t + t + t i 4 + t ( ) U ombre complee est ul si et seulemet si sa partie réelle et sa partie imagiaire sot ulles + O cherche doc u réel t vérifiat le système t t t + 4t + t La première équatio a pour solutios et La deuième équatio est pas vérifiée pour t et elle est vérifiée pour t O coclut doc que le ombre z i est solutio de l équatio (E) Pour détermier trois ombres réels a, b et c tels que ( ) z + ( 4i) z + ( i) z i ( z i) az + bz+ c, o développe le produit du membre de droite et o idetifie les coefficiets O a : ( z ) az + bz+ c az ( b i ia) z ( c ib) z ic ( ) + + doc il suffit de trouver trois ombres a, b et c tels que a b ia 4i, soit c ib i ic i a b c c ( ) L équatio (E) équivaut doc à ( z ) i z + z+ O a : (E) z i ou z + z+ Le discrimiat de l équatio du secod degré est 7, o obtiet doc les deu solutios z +i 7 et z i i 7 i 7 L équatio (E) a doc trois solutios : S i; ; 4 4 Soit Z u ombre complee de module et θ u de ses argumets O a Z e iθ et iθ iθ θ i Z + e + e + e cosθ : o trouve bie u Z iθ e ombre réel Corrigé séquece 6 MA 7

205 Soit z et z deu ombres complees o uls et de même module O a z z ( + ' ) z + zz' + z' z z ' z + + E posat Z o obtiet zz ' zz ' z ' z z ' ( z+ z' ) Z + + O utilise le résultat du z puisque Z zz ' Z z z ' z ' (car z et z ot le même module) et o trouve bie u ombre réel Eercice III O utilise plusieurs fois l égalité zz z : z + z' + z z' ( z + z')( z + z') + ( z z')( z z') ( z + z') ( z + z' ) + ( z z') ( z z' ) ( zz + zz' + z' z + z' z' ) + ( zz zz' z' z + z' z' ) zz + z' z' ( z + z' ) Le pla est mui d u repère orthoormé direct ( O;uv, ), soit M le poit d affie z, M le poit d affie z O appelle S le poit d affie z+ z' et OMSM est u parallélogramme car z+ z' est l affie de OM+ OM' O iterprète géométriquemet les modules, o obtiet des logueurs : z OM, z ' OM', z+ z' OS et z z' z M'M M'M O a doc obteu au que das le parallélogramme OMSM «la somme des carrés des logueurs des diagoales est égale à la somme des carrés des logueurs des côtés» Cette propriété est vraie pour tous les parallélogrammes puisque l o peut toujours choisir u sommet d u parallélogramme comme origie d u repère orthoormé direct S z M z+z z z-z z M v O u z Eercice IV Répose c) Répose c) E utilisat la forme algébrique z a+i b, o costate que les réposes a) et b) e covieet pas, doc la répose correcte est la répose c) 8 Corrigé séquece 6 MA

206 Remarque ( ) + + E observat que iz+ iz i i z i i z i z i o trouve la répose c) Répose b) + i + i doc arg π ( + i ) ( ) arg + i z arg i argz π arg z π + + +θ Répose b) O a i i e i π doc arg i π ( + ) 6 Le complee ( + i) est u imagiaire pur si et seulemet si π π π arg( + i) + k π (avec k etier relatif), soit + kπ c est-à-dire 6 6k+ Remarque La répose a) correspod à ue seule valeur de alors qu il faut les doer toutes, la répose c) correspod au valeurs de pour lesquelles + i est réel ( ) Répose a) Il s agit de la médiatrice du segmet [AB] car z i z+ MA MB Répose b) Comme z ( i) z ( + i ) o a les équivaleces : ( z (+ i))( z ( i)) 5 z (+ i) 5 Il s agit du cercle de cetre Ω et de rayo 5 Ω M 5 Répose c) E multipliat par le déomiateur (avec z ), l équatio doée est équivalete à l équatio du secod degré z z+ qui a pour esemble solutio das C : + i ; i { } Eercice V Trois méthodes Soit z u ombre complee différet de i et soit M so image das le pla mui z d u repère orthoormé direct O pose Z + O appelle (E) l esemble des z i poits M du pla tels que Z soit imagiaire pur O va utiliser l équivalece : M (E) Re( Z ) O pose z +i y et Z X +i Y, les ombres, y, X et Y état réels Corrigé séquece 6 MA 9

207 Pour + iy i o a : iy ( ) iy (( ) i y)( i( y )) X + iy iy i i( y ) ( y ) + + y y y + + i + ( y ) + ( y ) M (E) + iy iet + + y y 5 M Aet ( + ) + y 4 L esemble (E) est doc le cercle de cetre Ω d affie + i et de rayo 5, privé du poit A B M v A O u π O va utiliser l équivalece : M (E) Z ou arg( Z) + kπ, k Z O appelle A le poit d affie i et B le poit d affie Pour z i et z, o a : argz arg( z ) arg( z i) arg z BM arg z AM arg Z ( u, BM) ( u, AM) ( AM, BM) MA (, MB) π M (E) M B ou arg( Z) + kπ, k Z π M (E) M Bou ( MA,MB) + kπ + ( ) ( ) D après la cofiguratio du triagle rectagle et de so cercle circoscrit, l esemble des poits M tels que ( MA,MB) π + kπ, k Z est le cercle de dia- mètre [AB] privé de A et de B O coclut doc que l esemble (E) est le cercle de diamètre [AB] privé de A Corrigé séquece 6 MA

208 Pour z i o a : Z est imagiaire pur Z Z z + z + z i z i z + + z + z i z i + i i ( z )( z ) ( z )( z ) zz ( z z) i( z z) z + 4Re( z) + i Im( z) O pose z +i y, les ombres et y état réels et o trouve : z + 4Re( z) + i Im( z) ( + y ) + 4 y L équatio obteue est équivalete à celle du, o coclut de même : l esemble (E) est le cercle de cetre Ω d affie + i et de rayo 5, privé du poit A Corrigé séquece 6 MA

209 Corrigé séquece 7 Corrigé des activités du chapitre Activité La distace parcourue est m m Pour obteir ue valeur approchée de la distace parcourue das ce deuième cas, o peut cosidérer que la vitesse est costate etre deu valeurs Par eemple, etre t s et t 5, s, o cosidère que la vitesse reste égale à 9ms -, ue valeur approchée de la distace parcourue etre ces deu istats est alors 9, 5m 4, 5m Aisi la distace d parcourue pedat les s peut être estimée : d ( 9, 5+ 7, 6, 5+ 6,, 5+ 4, 6, 5+, 7, , +, +, +, )m d, 65 m Le produit de la questio peut être iterprété comme le calcul de l aire d u rectagle ayat u côté de mesure (la durée) et u côté de mesure (la vitesse) La distace parcourue est alors la mesure de l aire du rectagle La mesure de l aire est faite avec l uité doée par le repère (qui est pas écessairemet orthoormé), cette uité est coloriée sur le graphique et elle représete m de distace parcourue puisque ms s m - vitesse (e ms - ) uité d air distace parcourue : m,5 4 temps (e secodes) 9 La somme de la questio peut être iterprétée comme la somme d aires de rectagles dot les côtés parallèles à l ae des abscisses sot les itervalles de temps et dot les côtés parallèles à l ae des ordoées sot les vitesses Corrigé séquece 7 MA

210 9 vitesse (e ms - ) 7,6 6, 4,6,5 4 temps (e secodes) 9 O évalue de faço aalogue l aire sous la courbe qui a été eregistrée v (t) j O i 5 t 4 Corrigé séquece 7 MA

211 L aire d u carreau correspod toujours au produit ms s m La distace parcourue D peut être évaluée à au mois m e comptat les carreau etiers qui sot coloriés O peut estimer à eviro ciq carreau l aire sous la courbe qui a pas été prise e compte das les carreau etiers Fialemet, la distace D peut être estimée à 7 m Activité a) Les rectagles situés sous la courbe ot tous pour largeur a Le premier a a ue hauteur ulle, le deuième a pour hauteur, le troisième a pour hauteur a ( ) a et le derier a pour hauteur : chacu de ces triagles a pour hauteur l image par la foctio carré de la bore gauche de l itervalle sur lequel il est costruit Le ombre u est la mesure de la somme des aires de tous ces rectagles, doc : a a a a u ( ) a + ( ) a ( ) a k k De même les rectagles coteat E a ot tous pour largeur a Le premier a a a pour hauteur, le deuième a pour hauteur, le troisième a pour a hauteur a et le derier a pour hauteur : chacu de ces triagles a pour hauteur l image par la foctio carré de la bore droite de l itervalle sur lequel il est costruit Le ombre v est la mesure de la somme des aires de tous ces rectagles, doc : a a a a a v ( ) a a k k ( + )( + ) b) O admet que, pour tout, k, o e déduit que : 6 k a a ( ) ( ( ) + ) a ( )( ) a + u k k Corrigé séquece 7 MA 5

212 et que : a a ( + )( + ) a ( + )( + ) a + + v k k c) O sait que la limite d ue fractio ratioelle quad ted vers + est égale à + la limite des termes de plus haut degré, doc lim lim et, de même, lim lim + + a a Aisi lim u lim v Les deu suites ( u ) et ( v ) ecadret la mesure I a de l aire de E a, u Ia v, et ces deu suites coverget vers le même ombre, doc, d après le théorème des gedarmes : Ia lim u lim v, d où + + a Ia b O motrerait de même que Ib Comme Eb Ea Ea, b et que les poits commus au esembles Eaet E a, b formet u segmet d aire ulle, o a Aire( Eb) Aire( Ea) + Aire ( Ea, b) Pour les mesures des aires o obtiet : Ib Ia + Ia, b, soit b a + I ab, et b a doc Iab, Par eemple, l aire du domaie limité par l ae des abscisses, la courbe de la foctio carré et les deu droites d équatio et mesure I, 7 e uités d aire Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice O a t dt O sait que la courbe de la foctio racie est la courbe symétrique de la courbe de la foctio carré par rapport à la droite d équatio y Aisi, das le carré OIAJ, la mesure de l aire au-dessus de la courbe de la foctio racie est égale à, l itégrale précédete L aire du carré mesure, o obtiet la mesure de l aire sous la courbe de la foctio racie par différece et doc t d t 6 Corrigé séquece 7 MA

213 Das le carré OIAJ, comme l aire sous la courbe de la foctio carré est égale à l aire au-dessus de la courbe de la foctio racie, l aire etre les deu courbes est égale à l aire du carré mois deu fois l aire sous la courbe de la foctio carré Cette aire mesure doc : t d t Remarque y Les deu courbes partaget doc le carré OIAJ e trois domaies de même aire J y A y O I Eercice Pedat la première heure, l accélératio, c est-à-dire la dérivée de la vitesse, est costate, doc la vitesse est représetée par u segmet de droite de l origie jusqu au poit de coordoées ( ; 8) La vitesse est esuite costate pedat deu heures Pedat la derière demi-heure, l accélératio (égative) est costate, la vitesse est représetée par u segmet de droite jusqu au poit de coordoées 5, ; ( ) vitesse (e kmh - ) temps (e heures) Comme o l a vu das l activité, la distace parcourue D peut être évaluée e détermiat «l aire sous la courbe» D + + km , Le trajet a duré h mi, o divise doc par,5 pour obteir la vitesse moyee : v m 6, 86 kmh - 5, O peut remarquer que la vitesse moyee est la valeur moyee de la foctio vitesse sur l itervalle de temps du parcours Eercice a) O a : u v ( h f( a+ kh) ) ( h f( a+ kh) ) k k ( h f( a)+ h f( a+ h)+ h f( a+ h)+ + h f( a+ ( )h )) h f( a+ h)+ h f( a+ h)+ + h f( a+ ( ) h)+ h f( a+ h) ( ) ( ) h f( a) h f a+ h b a h f a h f b (car h ) ( ) ( ) Corrigé séquece 7 MA 7

214 O a doc : u v h f( a) h f( b) hf( a) f( b) b) L ecadremet de l itégrale est d amplitude iférieure à d si et seulemet si u v d fa ( ) fb fa fb O a : u v d ( ) ( ) ( ) d d fa fb Aisi si est l etier E ( ) ( ) d +, l ecadremet v f()d t t u ou u f() t dt v (selo le ses de variatio de f ) est d amplitude iférieure ou égale à d O peut doc utiliser l algorithme suivat u a) O a f e où u est la foctio défiie sur [ ; ] par u( ) O e déduit que f est dérivable sur [ ; ] et que, pour tout de [ ; ], u ( ) f ( ) u ( ) e e, doc f est décroissate (doc mootoe) sur [ ; ] b) E appliquat l algorithme à : a, b, f( ) e, précisio,, o obtiet :, et, L écart etre ces deu ombres est égal à 9, , ces deu ombres doet bie u ecadremet de l itégrale d amplitude iférieure à 4 Si o souhaite ecadrer par des ombres décimau ayat quatre chiffres après la virgule, o utilise ue valeur par défaut du plus petit ombre et ue valeur approchée par ecès du plus grad et o obtiet :, 7467, 7469 e t d t O remarque que l amplitude vaut 4 Eercice 4 D après le théorème, F ( ) et G ( ) O remarque que les + + foctios F et G ot la même foctio dérivée sur ; [ ] o a : Or o sait que, pour tout de ;, [ ] 8 Corrigé séquece 7 MA

215 dt dt + t d d après la relatio de Chasles, et t + t + t + doc F( ) d t + G( ) t + L itégrale d t est ue costate, doc, e dérivat, o retrouve bie t + F ( ) G ( ) Eercice 5 Répose c) : c est la relatio de Chasles [ ] Répose b) : l aire du rectagle costruit sur 4; et ayat pour hauteur la valeur moyee doit avoir ue aire égale à l aire sous la courbe de la foctio f sur [ 4; ] L aire de couleur claire qui dépasse du rectagle doit être compesée par l aire de couleur focée Cela est pas possible pour et,5, doc la boe répose est O peut estimer, à l aide des carreau, que l itégrale I f( ) d appartiet à l itervalle b) 9; [ ] 4 v O u [ ] sot La propositio «si deu foctios f et g cotiues et positives sur a; b b b telles que f( ) d g( ) d, a alors f( ) g( ) pour tout de [ a; b]» a est fausse E effet, o peut seulemet coclure que l aire sous la courbe de f est égale à l aire sous la courbe de g sur l itervalle [ a; b] E particulier, o obtiet ue telle égalité si o pred pour foctio g la foctio costate égale à la valeur moyee (voir la figure de la défiitio ) Corrigé séquece 7 MA 9

216 Corrigé des activités du chapitre Activité Activité 4 Activité 5 Pour tout réel, o obtiet F ( ) G ( ) H ( ) Les foctios dérivées sot égales, mais les foctios e sot pas égales puisqu elles sot chacue la somme de la foctio cube et d ue costate, les trois costates utilisées état différetes Pour tout de ] ; + [, o a F ( ) G ( ) H ( ) ( ) Là ecore, les trois foctios F, G et H ot les mêmes foctios dérivées Si o trasforme G ( ), o obtiet G( ) F ( ) Les foctios F et G sot égales, mais la foctio H est différete (par eemple H( ) 5 et G( ) ) O cosidère les deu foctios f et F défiies sur ;+ F ( ) l ] [ par f( ) l et E appliquat la règle de dérivatio d u produit, o obtiet, pour tout de ; + : ] [ F ( ) + l l + f( ) Pour trouver ue foctio G différete de F, telle que G F, il suffit d ajouter ue costate à l epressio F( ) : posos par eemple G ( ) F ( ) + l + Et, pour trouver ue foctio H différete de F et de G, il suffit d ajouter ue costate différete Posos par eemple H ( ) F ( ), l, O peut aisi créer ue ifiité de foctios ayat pour dérivée la foctio f, il suffit d ajouter ue costate à la foctio F Ici, o a ue coditio supplémetaire : o cherche doc ue costate C telle que K ( ) F ( ) + C l + C avec K () l + C O e déduit que C et doc la foctio K est défiie par K ( ) l + O recoaît la somme des dérivées de 6, et 6 Ue possibilité est doc F( ) + + Remarque O peut aussi ajouter e plus ue costate Ici, c est u peu mois simple car o e recoaît pas les dérivées de foctios puissaces, u facteur multiplicatif est écessaire Aisi 5 est la foctio dérivée de 6 ; est la foctio 6 dérivée de 4 ; est la foctio dérivée de 4 Corrigé séquece 7 MA

217 Ue foctio qui coviet est la foctio F défiie par 6 4 F ( ) + + (o peut choisir d ajouter importe quelle 6 4 costate) Pour f( ) + sur ] ; + [, o recoaît la somme des dérivées de la foctio iverse et de la foctio logarithme, o peut proposer par eemple F ( ) + l + 5, L epressio de la dérivée de la foctio F défiie sur R par F( ) ( a+ b) e est ( ) F ( ) ae + ( a + b)e a + ( a+ b) e (o a dérivé u produit) Pour obteir l epressio de f( ), c est-à-dire ( + ) e, il suffit que les a ombres a et b vérifiet le système a+ b, soit a Doc la foctio F b défiie sur R par F( ) ( e ) a pour dérivée f Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice F( ) + + +, ; 4 5 F( ) + ; F( ) ; ( ) f( ) + d où, e recoaissat uu, ue primitive est F d epressio : F( ) 4 ( ) 4 + u O recoaît que f est de la forme, doc F est de la forme u u + k, où k est ue costate, la foctio ayat pour epressio F( ) + sur I ; + coviet ] [ La foctio f est de la forme f( ) g( a + b) où g est la foctio cosius, doc les primitives de f sot de la forme F ( ) a Ga ( + b) + k où G est la foctio sius (ue primitive de la foctio cosius) ; la foctio ayat pour epressio F( ) si( ) coviet Corrigé séquece 7 MA

218 Eercice 7 Eercice 8 Eercice 9 Eercice Eercice Das chaque cas, sur l itervalle I, o détermie la primitive F de la foctio f telle que F( ) y ( ) + + et F( ) + + k, d où k et ( ) + ( ) ( ) et F() k, d où k et F( ) ( ) ( ) e + ket F( ) e + k 4, d où k 5 et F( ) e 5 F k F F k F F( ) l+ ket F() l + k, d où k et F( ) l + F( ) + + k et F( ) + k, d où k et F ( ) + + Das cet eercice, il faut savoir que les primitives de la foctio f u e u sot u toutes les foctios F e + k, où k est ue costate ( ) e ( ) + F( ) e + e e + k F( ) + k F( ) e + k F ( ) l ( + e )+ k Il y a u déomiateur das l epressio de f( ) Il est pas élevé à ue puissace, o va doc trasformer l epressio de f( ) pour recoaître la u forme u : f( ) ( + ) e e e e e + e + e D où : F( ) l ( + e )+ k F( ) si cos+ ksur I R F( ) si( + ) + cos( 5 4 ) + ksur I R 5 si Comme f( ) sur I ; π cos 4, o recoaît u u, d où F ( ) l(cos ) + k Sur R, o a f ( ) e + e e + f( ), doc f( ) e + f ( ) Ue primitive de f est doc défiie par F( ) e + f ( ) ( ) e f est à valeurs strictemet positives, doc F est strictemet croissate sur R Seule la courbe d peut coveir f est à valeurs égatives, puis positives, puis égatives, doc F est décroissate, puis croissate, puis décroissate Seule la courbe c peut coveir Corrigé séquece 7 MA

219 ] [ [ [ Doc F et F 4 sot décroissates sur ] [ [ + [ Les courbes a et b correspodet à ces variatios Mais, f et f 4 sot à valeurs égatives sur ; et à valeurs positives sur ; + ; et croissates sur ; pour les grades valeurs de, o peut cojecturer que lim f( ), soit + lim F ( ) Or, pour ces grades valeurs de, les tagetes à la courbe + de a semblet avoir u coefficiet directeur voisi de, et pas de La courbe a e coviet doc pas pour représeter F Doc F est représetée par la courbe b et F 4 est représetée par la courbe a (Les tagetes au courbes a et b, pour les grades valeurs de, sot bie cohéretes avec les limites e + que l o peut cojecturer pour les foctios f et f 4 ) Corrigé des activités du chapitre 4 Activité 6 b b O a ft () d t Fb ( ) Fa ( ) et gt t Gb Ga a () d ( ) ( ), doc a b b ft () dt+ gt () dt Fb ( ) Fa ( ) + Gb ( ) Ga ( ) a a Comme F est ue primitive de f sur [ a; b] et G ue primitive de g, o e déduit, d après les règles de la dérivatio, que ( F + G) F + G f + g Aisi la foctio F + G est ue primitive de f + g et o a b ( f+ g) ( t) d t ( Fb ( ) + Gb ( )) ( Fa ( ) + Ga ( )) Fb ( ) Fa ( ) + Gb ( ) Ga ( ) a b b b O a doc bie : ( f + g) () t dt f t t + g t t a () d a () d a D après les règles de la dérivatio ( αf) αf αf, doc la foctio αf est ue primitive de la foctio αf et o a : b b ( αf) ( t) d t ( αf)( b) ( αf)( b) α( F( b) F( a)) α f( t) dt a a De et o déduit : b b b ( αf + βg) ()d t t α f()d t t + β g()d t t a a a c Activité 7 O veut défiir ft ()d t avec c a pour gééraliser la relatio de Chasles a c a a E particulier o veut avoir f( ) d + f( ) f( ), a d c d soit a c a f( ) d + f( ) a d O propose doc la défiitio : c c a f( ) d f( ) F( a) F( c), a d ( ) soit la même forme que celle de la c c Remarque propriété, mais avec c a, f ( ) d F ( c ) F ( a ) a Par eemple 4 4t dt t Ce résultat est égatif, il e s agit 8 8 plus de la mesure d ue aire Corrigé séquece 7 MA

220 Quel que soit l ordre des bores des itégrales, o a : c b f ( ) d F ( c ) F ( a ) et f F b F c a ( ) d ( ) ( ), doc c c b f( ) d+ f( ) Fc ( ) Fa ( ) Fb ( ) Fc ( ) F a d ( )+( ) ( b) F( a) c c b b Ce qui s écrit aussi : f( ) d + f( ) f( ), a d c d o a bie obteu la a relatio de Chasles Corrigé des eercices d appretissage du chapitre 4 Eercice A d ( ) 65 4 q q B e d e q e e e C d t + t t e e D + d + l e + le e e + + l + e e E e d e e e e e lt e F d d t l t t (l t) (l t t e) (l ) Remarque Das ces calculs d itégrales, il est prudet de faire des cotrôles (calculer des valeurs approchées avec la calculatrice, vérifier que l itégrale sur [ a; b] d ue foctio positive sur a; b [ ] est positive ) Eercice D après la liéarité, o a : π π π π π [ ] I + J cos d + si d cos + si d d π ( ) 4 Corrigé séquece 7 MA

221 Eercice 4 Eercice 5 Eercice 6 π π π I J cos d si d cos si d ( ) cos( ) d π π si( ) π D où I J La valeur moyee de la foctio e sur [ ; ] est : 6 6 e d e e 6 e e 6 Sur ] ;+ [ G ( ) l + l, doc G est ue primitive de l sur ; + ] [ A e e ( + ) d + l l e e e e ( l + ) ( l + ) e La variable apparaît qu au carré das l epressio de f( ), doc, pour tout réel, o a f( ) f( ), la foctio f est ue foctio paire et sa représetatio graphique est symétrique par rapport à l ae des ordoées b La symétrie permettra d utiliser l égalité : f( ) d f( ) d b pour tout réel b Calculs approchés d itégrales Pour A La symétrie doe A f( ) d d I f( ) ( ) D où A,44 Pour B B f( ) d d f( ) B I( ) B,954 5 Pour C,5,5 C f( )d f( )d f( )d,5 +,5,5,5 f( )d f( )d I(,5) I(,5) C,499 77,4 C,66 57 Corrigé séquece 7 MA 5

222 Pour D D f( ) d f( ) d + f( ) d D f( ) d + f( ) d car f est paire D I( ) + I( ) D, Pour E E f ( ) d 4 f ( ) d f ( ) + 4 f ( ) d 4 4 E f( ) d f( ) d E I( 4) I( ) E,58 6 Aisi A,4 4 B,954 5 C,66 57 D,89 99 E,58 6 Pour G, o obtiet : 4 G f( ) d I() G,99994 O remarque que G est vraimet très proche de et que G semble aussi très proche de l aire totale sous la courbe cosidérée etièremet, variat das R tout etier C est pour obteir u tel résultat que le coefficiet est itroduit das la π foctio f (ce coefficiet peut paraître u peu surpreat mais sa justificatio est pas accessible e termiale) La foctio f et les itégrales aalogues à celles que vous veez de calculer sot etrêmemet importates e probabilité et e statistiques car elles ous servirot à calculer des probabilités où l uivers est ifii Eercice 7 ( ) Sur R, o a f ( ) e ( + ) e e Comme ue epoetielle est toujours positive, f ( ) est du sige de, doc la foctio f est croissate sur ; et décroissate sur ; + ] ] [ [ La foctio F est ue primitive de f sur R si, pour tout réel, o a : F ( ) f( ), soit ae ( a + b) e ( + ) e, c est-à-dire ae + ( a b) e ( + ) e a Il suffit doc que les réels a et b vérifiet le système, aisi les réels a b a et b 4 covieet 6 Corrigé séquece 7 MA

223 Pour tout supérieur à, f( ) est positif car + et e sot positifs Doc la mesure, e uités d aires, de l aire A du domaie du pla limité par la courbe, l ae des abscisses et les droites d équatio et 4, est doée par : f( ) d [ F( ) ] ( ) e e ( 8 ) ( e ) e 8e 4 Doc A e 8e ua 9,94 ua O trouve f ( ) e Les variatios de la foctio f motret que f admet u maimum e, doc f( ) e pour tout réel L aire A est doc égale à l aire du rectagle ABCD mois l aire précédete ( ) 4 D où A 7e A 7e e 8e ua,78 ua B e C A A O D Eercice 8 O ote a l accélératio de l objet qui est costate La vitesse istataée de l objet à l istat t est otée v() t La foctio v est ue primitive de l accélératio sur l itervalle [ t; t], o a doc v() t at+ b, où b est ue costate La distace D parcourue pedat l itervalle de temps t; t t t D vt dt ( at+ b) dt a t t () + bt t t t [ ] est égale à : a t t + bt ( t) Corrigé séquece 7 MA 7

224 Eercice 9 La vitesse moyee V m de l objet pedat l itervalle de temps t; t D V a t t m b t t + + La vitesse moyee pedat l itervalle de temps t; t vitesse istataée à l istat t + t [ ] est doc : [ ] est bie égale à la D après le graphique le coût uitaire est miimal lorsque l artisa fabrique 6 bijou par mois Cela correspod à l abscisse du poit le plus bas de la parabole P Le coût uitaire miimal est égal à 4 euros Aisi Coût uitaire miimal : 4 Nombre de bijou : 6 O sait que f( ) + b + c Comme f ( ) 4 alors c 4 O peut aussi écrire : f ( 6) Or f ( ) + b d où 6 ( ) + b Aisi b 7 et f( ) O pouvait aussi utiliser d autres reseigemets : f( 6) 4 et f( 8) 4 Pour calculer le coût moye uitaire o va calculer des valeurs moyees d itégrales 4 4 Calculos f( )d La calculatrice doe f( )d , et 65, Pour 4 bijou par mois, le coût uitaire moye est eviro 49 Pour 8 bijou par mois, le coût uitaire moye est eviro 65 8 Corrigé séquece 7 MA

225 Corrigé des eercices de sythèse de la séquece 7 Eercice I Eercice II Sur R par f ( ) si + cos et f ( ) cos + cos si soit f () cos si, soit f ( ) cos f( ) Pour tout réel, o a doc f( ) cos f ( ) O e déduit qu ue primitive F de f sur R a pour epressio : F ( ) si f ( ), soit F( ) si (si + cos ) c est-à-dire F ( ) si cos O O a : lim f( ) lim ( 4 + 8) < < et : lim f( ) lim ( l + 5) > > Or f () 4 doc lim f( ) lim f( ) f( ) : la foctio f est cotiue e Pour < > [ ] f coïcide avec ue foctio cotiue (somme de [ ] o peut doc l itégrer les autres valeurs de ; 5 foctios de référece), doc f est cotiue sur ; 5, a) La foctio F défiie sur ; de f sur ; [ ] 4 [ ] par F( ) + 4 b) O a : f( ) d [ F( ) ] est ue primitive Doc l aire du domaie pla limité par la courbe C, l ae des abscisses, et la droite d équatio est égale à 8 ua Corrigé séquece 7 MA 9

226 a) Sur 5 ;, Doc la foctio L est ue [ ] o a L ( ) l + l [ ] [ ; ] par G( ) L ( ) primitive de la foctio l sur 5 ; b) O e déduit que la foctio G défiie sur soit G ( ) l + 4 est ue primitive de f sur [ 5 ; ] O a : f( ) d [ G( ) ] l 4 5l5 7,5,5 5l5 4 + ( + ) ( ) + Doc l aire du domaie pla limité par la courbe ( ), l ae des abscisses et les droites d équatio et 5 est égale à (5l5+4) ua D après la relatio de Chasles, o a : f( ) d f( ) d + f( ) d + l, Le ombre total d appels reçus pedat 5 miutes est doé, e milliers, par l 5+ 4, ce ombre est doc à peu près égal à 4 7 Eercice III La droite (OA) passe par l origie du repère, doc so équatio réduite est de la forme y m Le poit A a; a, doc m a La droite (OA) a pour équatio y a ( ) est sur la droite, doc a ma O ote A (OMK) la mesure, e uités d aire, du triagle OMK O ote les autres mesures d aire de faço aalogue O a : A (OAB) BO BA a a a ; A (OMK) KO KM a a a ; 6 KM+ BA a A (ABKM) KB + a 5 a a 4 6 O peut doc écrire : A A A + A A (OAM) (OAB) (OMK) (ABKM) (OAM) 6 a A (OAM) 8 ( ) 5 a a + a 6 Calculos l aire du domaie limité par la parabole P, l ae des abscisses et la droite d équatio a a a a Cette aire est égale à : d O a alors : a a a a A P aire(oab) 6 Corrigé séquece 7 MA

227 Eercice IV Eercice V a A Calculos le rapport des aires A P et A P (OAM) : 6 4 A a (OAM) 8 Pour tout de [ ; ], o a positif, doc, comme o itègre de à (avec + <!), d après la propriété de positivité o a d, soit I + O cherche esuite à majorer I par u ombre dépedat de puisque esuite o utilise l ecadremet pour motrer que la suite ( I ) coverge vers Comme pour tout de [ ; ] o a, o a aussi E itégrat de à o peut utiliser la propriété de comparaiso et o e déduit que + + : + d d, soit I +, c est-à-dire I + + O a doc obteu l ecadremet : I + Comme lim, + + d après le théorème des gedarmes o obtiet lim I + O a λ λ t e d e λ e λ t e e λ ( t ) ( ) O a t t F( ) t λ λ, λ ( λ e d e e ) ( e ) d où F ( ) e λ La foctio e λ X est la composée de λ et de X e, or lim λ (λ est strictemet positif) et lim X e, o peut doc + X écrire lim λ e lim X e par compositio avec X λ O e + X déduit que lim F ( ) + Comme la foctio f est à valeurs positives, pour tout de [ ; + [, le ombre F ( ) est la mesure, e uités d aire, de l aire du domaie limité par l ae des abscisses, la courbe, l ae des ordoées et la droite formée par les poits d abscisses j C O i Corrigé séquece 7 MA

228 Comme lim F ( ), l aire du domaie limité par l ae des abscisses, l ae + des ordoées et la courbe sur ;+ [ [ est égale à ue uité d aire Remarque O retrouve cette itégrale das le cours de probabilité, das le cas où l esemble des valeurs prises par ue variable aléatoire est ; + [ [ Eercice VI Pout tout réel, o a F( ) t t + t d + t d Or, la foctio défiie sur R par t est ue foctio paire (à cause du carré), doc + t + d t t + t d t, ce qui prouve que F( ) F( ) La foctio F est doc impaire et sa représetatio graphique est symétrique par rapport à l origie du repère La foctio F est dérivable sur R et, pour tout réel, o a F ( ) > La + foctio F est doc strictemet croissate sur R Pour tout réel t, o a successivemet : + t, dt + t O e déduit : dt + t Pour tout réel o ul t, o a successivemet : + t t, + t t O a doc pour tout > ; dt dt + t t t + < dt F est croissate doc pour tout réel : F( ) F( ) ( < ) + t t t t Pour tout >, F( ) d d + d < + + t + t + t F est doc majorée par Remarque E fait, o peut motrer que lim F( ) + π Corrigé séquece 7 MA

229 a,5,5,75,5,5 F (a ),,4,6,8,9, E utilisat le précédet tableau de valeurs aisi que la parité de F, o peut doer l'allure de la courbe représetat F y F,5,5,5,5,5,5,5 Eercice VII O a u f ( ) d e d e e Comme, pour tout de [ ; ], f ( )! ( ) e ( ) e, e dérivat ce produit, o trouve bie f ( ) e + ( ) e f( ) + f( ) Or u u f( ) d f f f ( ) d ( ( ) ( )) d d après la liéarité de l itégrale O e déduit que : u u f [ f ] ( ) d ( ) ( ) e e Doc u u e De faço aalogue, pour tout de [ ; ], + f + ( ) ( + )! ( ) e et e dérivat ce produit, o trouve : + + f + ( ) ( ) + + ( )! ( ) e ( + )! ( ) e + e + e +! ( ) ( )! ( ) f( ) + f + ( ) Corrigé séquece 7 MA

230 O e déduit que : u+ u f ( ) d f ( ) + [ + ] ( )! ( ) + e ( )! e + ( )! + + Et doc : u+ u ( + )! Motros par récurrece que, pour tout de N, o a u e p p!, o a u e et e e e La propositio p! p est doc vraie pour k k, k, o ait uk e et, sous cette hypothèse, motros que l égalité est vraie aussi pour k p! p + O utilise le résultat de la questio et o a : k k + uk+ uk ( k + )! e p! ( k + )! e p! p p L égalité est doc vraie pour k +, o a doc prouvé l hérédité de N, o a u e p p! Sur [ ; ] o a d où et doc ( ) pour tout etier aturel o ul (car les foctios puissaces sot croissates sur [ ; ] ) E multipliat par! e qui est toujours positif, o obtiet : f ( ) e! D après la positivité et la propriété de comparaiso, e itégrat de à (<), o trouve : f ( ) d e d! Or! e d! e! ( e ) Doc fialemet : f ( ) d e!, e soit u! e O a aussi u e et, comme lim, d après le théorème des + gedarmes, o déduit que : lim u + Doc lim e et efi lim + + p! p! + p p e Autremet dit : e !!! 4 Corrigé séquece 7 MA

231 Eercice VIII Comme RIe T T R i ( t)d t, o obtiet T Ie i t dt T () : I e est bie la valeur moyee de la foctio i sur ; T [ ] E utilisat l epressio du sius au carré e foctio de l agle double, o obtiet : T T T cos( ωt ) si ( t) dt dt t t si( ) T ω ω ω (car si(ω T) si(4π) ) Et doc I I T I Ie T i ()d t t m T si ( t) dt m m T T ω T I O retrouve bie l égalité I m e (doée das le cours de scieces physiques de la classe de Troisième) Corrigé séquece 7 MA 5

232 Corrigé séquece 8 Corrigé des activités du chapitre Activité La probabilité d obteir e laçat u cubique o truqué est égale à, 6667 car o utilise la loi équirépartie sur Ω{,,, 4, 5, 6} De 6 même, e laçat u dé dodécaédrique o truqué, cette probabilité est égale à, 8 a) Tous les ombres décimau qui s écrivet avec au plus euf chiffres après la virgule das l itervalle [ ; [ s écrivet avec le chiffre à gauche de la virgule et ue partie décimale qui correspod à u etier aturel tel que Il y e a doc b) Pour calculer la probabilité d obteir le ombre d e choisissat au hasard das [ ; [ u ombre décimal s écrivat avec au plus euf chiffres après la virgule, o utilise la loi équirépartie O trouve doc, soit u di milliardième a) Soit f la foctio défiie sur R par f( ) + La foctio f est cotiue, dérivable sur R, strictemet croissate sur R (car f'( ) + > sur R ) O a f ( ) et f (), o obtiet doc le tableau de variatio suivat : α + f( ) D après le théorème des valeurs itermédiaires, o e déduit que l équatio + possède ue solutio uique das R et que cette solutio appartiet à l itervalle ; [ ] b) Il y a itervalles dot u seul, oté J, cotiet la solutio O e choisit u au hasard, la probabilité qu il cotiee vaut doc [ ] Il y a maiteat u c) O choisit au hasard u ombre X de l itervalle ; ombre ifii de possibilités La situatio est ouvelle O propose P( Xα ) Deu démarches peuvet meer à cette propositio Première démarche : das les questios précédetes, les probabilités sot de plus e plus proches de Corrigé séquece 8 MA 7

233 Commetaire Deuième démarche : o admet qu o peut défiir ue loi de probabilité sur l esemble ifii ; [ ] L évéemet ( X α ) est coteu das l évéemet ( X J) et doc px ( α) PX ( J) Or P( X J) d après le b), doc, pour tout de N, o a PX ( α ) La seule possibilité est P( Xα ) Das le cas où l uivers est fii, la probabilité d u évéemet A est P( A) P( a i ), où A est formé par la réuio des a i De faço aalogue, ai A das le cas fii, P( X E) PX ( i ) O e peut pas gééraliser ceci i E puisque, ici, d ue part, E peut avoir ue ifiité d élémets et, d autre part, toutes les probabilités P( X i ) sot ulles, ce qui doerait ue somme ulle, ce qui, bie sûr, e coviet pas O est doc ameé à défiir différemmet la probabilité d u évéemet, comme o le verra das le cours Activité Motat des achats (e ) [ ; [ [ ; 4[ [4 ; 6[ [6 ; [ [ ; 4[ [4 ; ] Amplitude de la classe largeur du rectagle Aire du rectagle,9,,,4,6,9 Hauteur du rectagle,45,,,6,4,5 La graduatio maimale idiquée sur l ae des ordoées est,, c est la hauteur du troisième rectagle Ce e sot pas les fréqueces qui sot idiquées sur l ae des ordoées car les fréqueces sot les mesures des aires des rectagles Les hauteurs des rectagles sot obteues e divisat les aires par les amplitudes, c est-à-dire e divisat les fréqueces par les amplitudes O dit que les résultats obteus sot des desités de fréquece Ce sot les desités de fréquece qui sot idiquées sur l ae des ordoées Desité de fréquece,,5% Motat des achats e 8 Corrigé séquece 8 MA

234 Remarques a classe modale est la classe qui a la plus grade desité (la troisième pour cet eemple), elle e coïcide pas toujours avec celle qui a la plus grade fréquece (la quatrième ici) proportioelles au aires, les desités sot proportioelles au fréqueces Il peut alors eister ue cofusio sur la ature de l ae des ordoées (cofusio volotaire ou ivolotaire) doe l uité pour les aires Eercices d appretissage du chapitre Eercice Il e s agit pas d ue desité de probabilité car l aire sous la courbe e mesure pas mais La foctio représetée est costate sur I [ 5] ;,, doc cotiue La costate vaut, qui est positif L aire sous la courbe est celle d u rectagle qui mesure Il s agit bie d ue desité de probabilité Remarque Cette desité est supérieure à, ce qui est possible car il s agit d ue desité et o pas d ue probabilité La foctio est pas cotiue e,5 et e,5, il e s agit doc pas d ue desité de probabilité [ ] La foctio est affie par morceau sur I ;, elle est doc cotiue Elle est à valeurs positives et l aire sous la courbe mesure Il s agit doc d ue desité de probabilité Remarque L itervalle I Corrigé séquece 8 MA 9

235 Eercice La foctio f est ue foctio polyôme, elle est doc cotiue sur [ ; ]; elle est à valeurs positives 4 O a 4 d, doc la foctio f est bie ue desité de probabilité ( ) a) La probabilité P 5, X 75, est la mesure de l aire colorée sur le graphique O a : 75, 4 75, 5, 5, P( 5, X 75, ) 4 d 4 O,5,75m 4 4, 75, 5, 54 b) O a : D où m 84, m P( X m) 5, 4 d 5, 4 m 5, m 5, m 5, Remarque L aire sous la courbe est partagée e deu parties d aire,5 par le segmet formé par les poits d abscisse m (e poitillés sur le graphique) O dit parfois que m est la médiae Eercice Soit tel que, o a : k k k k k ft ()dt dt t t Comme lim, o obtiet lim k ft ( ) d t + + La foctio f est ue foctio ratioelle cotiue sur [ ;+ [ et, pour k, la foctio f est à valeurs positives et l aire sous la courbe mesure, doc f est ue desité de probabilité k Soit tel que, o a gt ( ) dt dt klt kl kl kl [ ] t Comme lim l +, o a lim gt ( ) d t + et il est impossible de + + trouver u réel k tel que g soit ue desité de probabilité 4 Corrigé séquece 8 MA

236 Eercice 4 O a P( X ) t d t t, 9, Le ombre P( X ) ( X 5 ) est la probabilité d obteir par la variable aléatoire X u ombre compris etre et 5 sachat qu il est compris etre et ( ) ( ) ( [ ; ])( [ ]) P( X [ ;5] [ ;] ) P( X [ ;] ) O a : P X X 5 P X X ;5 ( [ ]) ( [ ]) P X ;5 P X ; Comme 5 5 P( X [ ;5] ) P( X 5) d t,,8, t t 5 o obtiet : 8, P( X ) ( X 5), 889 9, Eercices d appretissage du chapitre Eercice 5 Comme le facteur peut arriver à tout istat avec les mêmes chaces, o modélise so heure d arrivée par la variable aléatoire F qui suit la loi uiforme sur [ ; ] Sa desité est doc la foctio costate sur [ ; ] qui vaut a) O a P( F 5) : c est le cas pour toutes les probabilités de la forme PX ( α ) pour toute valeur α prise par ue variable aléatoire à desité Par coséquet, das ce qui suit, o peut écrire des iégalités larges ou strictes, des itervalles ouverts ou fermés sas que cela chage les résultats 5 b) O a P( 5 < F < ) P( X ] 5 ; [ ) 6 c) O a P( F< ) P( F [ ; [) d) O a P( F> 5 ) P( F ] 5 ; 5 ]) 5 L heure moyee de so passage est doée par l espérace de la variable aléatoire F Comme E( F ) + 5, o peut dire que le facteur passe e moyee à h 5 mi Corrigé séquece 8 MA 4

237 Eercice 6 Eercice 7 Le tram passe à 7 h, 7 h et 7 h L évéemet E «Ayaa atted le tram mois de deu miutes» est l évéemet E X 7 8 ; 8 ; O a doc : { {} [ ] [ ]} PE ( ) P( X 7)+ P( 8 X )+ P 8 X , ( ) L évéemet F «Ayaa atted le tram plus de ciq miutes» est l évéemet F X ] ; 5] ] ; 5] { } O a doc : PF ( ) P( < X 5)+ P < X 5 ( ) , Les valeurs prises par la variable aléatoire T correspodet au di chiffres possibles :,,,, 9 Il s agit doc d ue variable aléatoire discrète, preat u ombre fii de valeurs La variable aléatoire T est la première décimale de X doc : PT ( ) P( X<, ),, puisque X suit la loi uiforme sur [ ; ] O a aussi P( T ) P(, X<, ),,, O obtiet aisi P( T k), pour tout etier k tel que k < { } La loi de T est doc la loi équirépartie sur l esemble fii,,,, 89, Corrigé de l activité du chapitre 4 Activité Semaie Nombre de robots e foctioemet a) O a P( X> ), 857 b) O a P( X> 5), 77, c) O a P > ( X > 5), 9 Remarque : o a aussi P > ( X > 5), e utilisat la loi équirépartie sur l esemble des 857 robots qui foctioet au début de la quatrième semaie d) O a P( X> ), 9 e) O observe que P > ( X > 5) P( X > ) 4 Corrigé séquece 8 MA

238 O obtiet aussi, 75, 598 P > 4( X > 6), 9 et P > 8( X > ), 9, 84, 66 Si o avait pas utilisé de valeurs approchées pour remplir le tableau, o aurait même eactemet l égalité de ces probabilités avec P( X> ) E effet le calcul qui doe le ombre de robots e foctioemet au début de la -ième semaie est, 95, la probabilité de choisir u robot e foctioemet au début, 95 de la -ième semaie est 95, O e déduit : 6 95, P > ( X > 5) 95, P( X > ) et de même 4 95, P> p( X > p+ ), 95 P( X > ) pour tout etier p de à k Et même P> p( X > p+ k) 95, P( X > k) pour tous les etiers positifs p et k tels que p+ k Cette propriété est appelée propriété de durée de vie sas vieillissemet E effet, si X désige u temps, o eprime aisi le fait que la probabilité coditioelle «sachat que X > p» est égale à la probabilité obteue e e teat pas compte du temps p qui s est écoulé O retrouvera cette propriété pour les lois epoetielles Eercices d appretissage du chapitre 4 Eercice 8 La foctio de desité de X est défiie sur ;+ [ [ par f t, t () 4, e 4,4 y ƒ(t) O,5 Corrigé séquece 8 MA 4

239 O a : 5, 4, ( ) 5, t t P X t 5 4 4,,, e d e e 4, 5, 4,, ( ) ( e ) e, 8 4 P X 4 4t, ( ) t, t, e d e 4 (, e ) e e e 4, ( ) 4, 8,, Eercice 9 Eercice O a :, t PX ( > ) P( X ), e dt e ( ) e,, + e, 98 O cherche la durée telle que P( X> ) 95, O a :, t PX ( > ) P( X ), e dt -e,, ( e + ) e O résout doc : D où 5, e,95, l,95 l,95,, t, t Doc ue ampoule foctioe au mois 5 h avec ue probabilité d eviro,95 La durée moyee de foctioemet est doée par l espérace de la variable aléatoire X Comme E( X ), λ, o peut dire que ces ampoules foctioet e moyee h La probabilité qu ue ampoule foctioe plus de 5 h sachat qu elle a déjà foctioé pedat h est la probabilité coditioelle PX ( X 5 ) Comme la loi epoetielle est ue loi sas vieillissemet,, 5, 5 o a : PX ( X 5) P( X 5) e e, 95 La propositio est vraie car, si X suit ue loi epoetielle de paramètre λ, o a E( X ) λ d où λ E( X ) Ici, λ 8, 5 et λ est eprimé e aées 44 Corrigé séquece 8 MA

240 La propositio est fausse O a e 8, La probabilité pour que l appareil foctioe mois de 8 as est : 8,5t,5t 8 P( X < 8),5e dt e,5 8,5 e e e,6 ( ) ( ) a O peut aussi rédiger e appliquat directemet la propriété P( X a) e λ La propositio est vraie car, d après la propriété 9, la probabilité pour que l appareil foctioe pedat au mois 6 as est : P( X 6) e e, 5 6 La propositio est vraie car la probabilité pour que l appareil foctioe etre 8 et as est :, 5 8, 5, 5 P( 8 X ) e e e e, 45 La propositio est vraie ( ) O doit détermier la probabilité coditioelle PX 8 X Comme la loi epoetielle est ue loi sas vieillissemet, o a PX 8 ( X ) P( X 4) O, 5 4, 5 sait que P( X 4) e e, doc : 5, PX 8 ( X ) e e Eercice Partie A D après les propriétés 8 et 9, o a P( X T) λt λ T O résout doc l équatio e e : e λt et P( X T) e λ T λt λt λt e e e l λt (e preat les logarithmes) La demi-vie est doc T l λ Pour le plutoium 9, o a T 4 (e aées), doc : l l λ 9, 5 (e aées ) T 4 l l Pour l iode, o a T (e heures), doc λ, 5 (e h ) T Partie B l l L uité état le jour, o a T 8 La demi-vie de l iode est λ, 86 doc d eviro 8 jours La probabilité qu u atome d iode se désitègre pedat les deu premières semaies d observatio est égale à P( X 4) e, 7, 86 4, 86 Et pedat le premier mois : P( X ) e, 9 Corrigé séquece 8 MA 45

241 La durée moyee de désitégratio d u atome d iode est égale à λ soit eviro,6 jours Corrigé des eercices de sythèse du chapitre 5 Eercice I La corde AM a ue logueur supérieure à lorsque le poit M appartiet au «petit» arc BC (qui est e trait épais) E appliquat la loi uiforme au logueurs des arcs, la probabilité demadée est égale au quotiet des logueurs de l arc et du cercle, o obtiet A O I O I B C E I M D O obtiet la corde de milieu I e traçat la perpediculaire à la droite (OI) La corde de milieu I a ue logueur supérieure à lorsque le poit I appartiet au segmet [OE], le poit E état le milieu de [OD] E appliquat la loi uiforme au logueurs des segmets du segmet [OE], la probabilité demadée est égale au quotiet des logueurs des segmets [OE] et [ OD], o trouve La corde de milieu I a ue logueur supérieure à lorsque la distace OI est iférieure à, c est-à-dire lorsque le poit I appartiet au disque de cetre O et de rayo E appliquat la loi uiforme au aires icluses das le π disque de cetre O et de rayo, o trouve la probabilité π 4 O observe que les probabilités obteues sot différetes L epressio «choisie au hasard» est doc pas assez précise das cet eemple puisque le résultat déped de la faço de choisir la corde Ce phéomèe est cou sous le om de «paradoe de Bertrad», du om de Joseph Bertrad qui a mis cela e évidece e Corrigé séquece 8 MA

242 Eercice II Comme la variable aléatoire X suit la loi epoetielle de paramètre λ, o a : λ l, 86 PX ( ) e, 86, d où λ, 5, 5, 5 O a P( X, 5) e, 6 Comme la loi de X est ue loi sas vieillissemet, o a :, 5 PX 8( X ) P( X ) e, 779 Le ombre Y de composats électroiques ayat ue durée de vie supérieure à as suit la loi biomiale de paramètres 5 et,86 car le ombre Y compte le ombre de succès (foctioer plus de as) pour 5 composats, les durées de foctioemet des composats état idépedates O cherche P( Y ) et 5 o a : P( Y ) PY ( ) (, 86), 994 O cherche u ombre de composats tel que PY ( ), 999 O a les équivaleces : PY ( ),999 PY ( ),999 (,86),999,,74 l, l,74 l, l,74 (Le ses de l iégalité chage à la derière équivalece car o a divisé par l, 74, qui est égatif) Comme l,, 56, la première valeur de qui coviet est L établissemet doit doc acheter au mois composats l, 74 électroiques Eercice III O a : t t P( 5 X ) t λ λ 5 λ 5 e d e e λ e λ 5 O doe P( 5 X ), o est doc ameé à résoudre 4 5λ λ e e 4 O pose X e 5λ et o résout X X qui équivaut à 4X 4X +, 4 soit ( X ) O e déduit X 5λ l e, d où l 5λ et doc λ, 4 5 Eercice IV Comme X et Y valet au miimum et au maimum, la somme pred des valeurs comprises etre et O trace le segmet de la droite d équatio y 5, qui se trouve à l itérieur du carré OIKJ Corrigé séquece 8 MA 47

243 L esemble (E) est la partie du carré OIKJ situé sous ce segmet car l ordoée y doit être iférieure à 5, qui est l ordoée du poit de même abscisse sur la droite O a : aire(e) ( 5, 5, ) 5, Comme aire(c), o a : PY (, 5 X), 5 Comme Y 5, X X + Y 5, S 5,, o a aussi P( S, 5), 5 Remarque J,5 O,5 I K Au début de l éocé, il est précisé «idépedammet l ue de l autre» Cette hypothèse d idépedace correspod à la otio familière d idépedace mais surtout aussi à la otio mathématique (hors programme pour des variables aléatoires), et c est cette idépedace mathématique qui justifie le résultat (admis ici) pour le calcul des aire(e) probabilités par les quotiets PE ( ) aire(c) Soit t u ombre réel tel que t O a de faço aalogue t PS ( t) t t,5 J B K,5 A O,5 I,5 Comme précédemmet, o trace le segmet [AB] de la droite d équatio y 5, qui se trouve à l itérieur du carré OIKJ et l esemble (G) est la partie du carré OIKJ situé sous ce segmet O obtiet : aire(g) aire(c) aire(abk) (,, ), 75 D où P( Y,5 X) P( S,5),7875 Soit t u ombre réel tel que t De faço aalogue, le triagle o hachuré du carré a alors pour aire : KA KB ( ( t )) ( t) t t + t t O e déduit : P( S t) PY ( t X) t + + t 48 Corrigé séquece 8 MA

244 Comme F() t PS ( t) t fu ( ) du, d après ue propriété des itégrales o a F' f Pour t, F'( t) t et, pour t, F'( t) t E F O La foctio F' f est ue foctio affie par morceau, elle est cotiue car les deu epressios coïcidet pour t Elle est à valeurs positives et l aire sous la courbe est l aire du triagle OEF qui mesure ( ) La foctio f est doc bie ue desité de probabilité sur [ ; ] Corrigé séquece 8 MA 49

245 Corrigé séquece 9 Corrigé des activités du chapitre Activité Activité Cetrer et réduire O a rappelé das les prérequis que : E( ax + b) ae( X ) + b et σ( ax + b) a σ( X ) Doc ici : E( X m) E( X) m X m X σ X σ O a aussi σ σ σ σ ( ) σ σ X m La variable aléatoire Z est doc ue variable aléatoire cetrée et réduite σ O admettra que cette propriété est ecore vraie pour les variables aléatoires à desité Étude de la foctio défiie sur R par f( ) π e Cette foctio est paire car elle est défiie sur R et que, pour tout réel, o a f( ) f( ) puisque apparaît que par La foctio f est le produit par de la composée de la foctio π X et de la foctio epoetielle X e X E +, comme lim et que lim e, o peut écrire + X X lim e lim e par compositio avec X doc + X lim f( ) + X E, o a de même lim, doc lim e lim e et X aisi lim f( ) Par compositio, la foctio f est dérivable sur R et, pour tout réel, o a f ( ) π e qui est du sige cotraire de La foctio f est doc croissate sur ] ; ] et décroissate sur [ ; + [ La courbe représetative de f est symétrique par rapport à l ae des ordoées car f est paire Corrigé séquece 9 MA 5

246 /,4 O La calculatrice doe ft () d t Les limites et l allure de la courbe permettet de cojecturer que l aire tout etière mesure ue uité d aire C est pour obteir ce résultat que le coefficiet est itroduit das la foc- π tio f (ce coefficiet peut paraître u peu surpreat mais sa justificatio est pas accessible e termiale) La foctio f est cotiue sur R puisqu elle est dérivable, elle est à valeurs positives comme l epoetielle, l aire sous la courbe de f semble égale à ua, la foctio doit doc être ue desité de probabilité Corrigé des eercices du chapitre Eercice Eercice Eercice La variable aléatoire X suit la loi N (;) a) P(, 5 X, ), 5946 b) P( X ), 586 c) P( X, 8), 59 Le réel tel que P( X ) 8, est tel que, 846 X suit la loi N ( ; 9) a) P( X 4),495 (attetio σ ) b) P( X ), 65 c) P( X 7), 95 Le réel tel que P( X ) 9, est tel que 5, 8446 Chaque courbe est symétrique par rapport à la droite d équatio µ et, l écart-type σ mesurat la dispersio, plus il est importat, plus la courbe est «étalée» O e déduit doc que : la courbe représete la foctio de desité de la loi N ( 5;, 5 ), la courbe représete la foctio de desité de la loi N ( 7 ; ), la courbe représete la foctio de desité de la loi N ( 5 ; ) la courbe 4 représete la foctio de desité de la loi N ( 7; ) 5 Corrigé séquece 9 MA

247 La courbe (C) est symétrique par rapport à la droite d équatio 9 et elle est «étalée» comme la courbe, elle représete doc la foctio de desité de la loi ormale N ( 9;, 5 ) Eercice 4 Eercice 5 Eercice 6 Eercice 7 X µ X 5 O utilise la variable aléatoire Z, Z suit la loi ormale N ( ; ) σ σ Comme X < Z + 5 < Z < σ σ, o obtiet P Z < 4, La σ calculatrice doe, 5, o e déduit σ, 84 σ X µ X µ O utilise la variable aléatoire Z, Z suit la loi ormale N ( ; ) σ 5, 7 Comme X < 7 5Z + < 7 Z < µ, µ, o obtiet P 7 Z < µ 5,, La 5, calculatrice doe 7 µ, 544, o e déduit µ 7, 6 5, La variable aléatoire X suit la loi ormale N ( 6, 5 ;, 4 ) La probabilité qu ue pièce tirée au hasard ait u diamètre compris etre 6,7 mm et 6, mm vaut P( 6, 7 X 6, ), 9544 Il s agit de la probabilité de l évéemet cotraire, soit eviro, 455 P (( X 6) ( 6, 7 X 6, )) P( 6, 7 X 6), 868 P( 6, 7 X 6, ) P( 6, 7 X 6, ) La variable aléatoire X suit la loi ormale N ( 6 ; 4 ) P( 58 X 6), 89 P( X 57), 66 P( X 64), 586 Les vaches qui produiset mois de litres de lait par a formet % du troupeau Le réel tel que P( X ), correspod doc à la productio maimale des % des vaches les mois productives du troupeau O trouve 579 litres La productio miimale prévisible des % des vaches les plus productives du troupeau est le ombre tel que P( X ), c est-à-dire P( X ) 8, et la calculatrices doe 66 litres La probabilité qu ue plaque soit coforme est égale à : P( µ σ X µ + σ ), 997 Doc la probabilité qu ue plaquette e soit pas coforme vaut eviro, X µ X 5 O utilise la variable aléatoire Z, Z suit la loi ormale N ( ; ) σ 5, Comme µ h X µ + h 5 h, 5Z h h Z h, o cherche h tel que P( h Z h) 99,, Corrigé séquece 9 MA 5

248 Das le cours, o a vu qu ue valeur particulière u α du théorème est u, 58, doc P( 58, Z 58, ) 99, et o e déduit h,9 Aisi µ h,7 et µ + h 6,9 Grâce à des échatillos prélevés e fi de chaîe, ces poids d alerte permettet de déceler l eistece d aomalies de foctioemet Corrigé des activités du chapitre Activité 4 Das la pratique, o utilise l itervalle p p ; + pour des probabilités p comprises etre, et,8 et des échatillos de taille supérieure à 5 Le dé est bie équilibré doc p, et Les coditios d utilisatio de l itervalle 6 p p ; + sot vérifiées et o trouve eviro [, ;, 44] p 5, et 5 Les coditios sot vérifiées et o trouve eviro [ 7, ;, ], ce qui sigifie e multipliat par 5 que, le ombre de garços parmi les 5 ouveau-és est compris etre 8 et 7 avec ue probabilité d eviro,95 Das chacu des deu cas suivats, les coditios d utilisatio de l itervalle de fluctuatio sot vérifiées [ ] La fré- Pour et p 5,, l itervalle de fluctuatio est 4, ; 6, quece observée f, 56 appartiet à cet itervalle, o décide que la pièce est équilibrée Pour p 5,, l itervalle de fluctuatio est eviro [, 468 ;, 57] La fréquece observée f, 56 appartiet pas à cet itervalle, o décide que la pièce est pas équilibrée Remarque Das les deu cas, la fréquece est la même, mais la décisio est différete Das le deuième cas, la taille de l échatillo est plus grade, ce qui dimiue l amplitude de l itervalle de fluctuatio Activité 5 Das le premier cas, l itervalle I,5 5 ;,5 + est à peu près 5 l itervalle [, 8 ;, 9] et l itervalle,5,75,5,75 J,5,96 ;,5+, est à peu près l itervalle,9 ;,7 [ ] 54 Corrigé séquece 9 MA

249 Remarque O pred des valeurs approchées des bores des itervalles Il faut arrodir la bore iférieure d u itervalle par défaut et la bore supérieure par ecès Das le premier cas, toutes les fréqueces appartieet à I et trois appartieet pas à J Aisi, % des fréqueces appartieet à I et 94 % appartieet à J Das le deuième cas, l itervalle I est l itervalle [, 5;, 5] et l itervalle J est à peu près l itervalle [, 65 ;, 5] O observe 99 % des fréqueces das I et 95 % des fréqueces das J Das le troisième cas, l itervalle I est à peu près l itervalle, 79 ;, [ ] et [ ] O observe qu ue fré- l itervalle J est à peu près l itervalle,89 ;, quece est pas das I et que si e sot pas das J O observe que 99,5 % des fréqueces sot das I et 97 % des fréqueces sot das J Das les trois cas, l itervalle I cotiet l itervalle J Das les trois cas, o observe qu eviro 95 % des fréqueces sot das I et das J C est ue propriété géérale qui sera vue das le cours La propriété du cours cocere ue probabilité C est pourquoi, e faisat d autres simulatios, o peut trouver des pourcetages u peu éloigés de 95 % Corrigé des eercices du chapitre Eercice 8 Eercice 9 4, p 6,, p 4 et ( p) 76, doc les coditios sot remplies pour utiliser l itervalle de fluctuatio asymptotique du cours p( p) p( p) L itervalle p 96, ; p + 96, est eviro égal à,6 ;,84 [ ] 5 La fréquece est f 4, 5 Cette fréquece est e dehors de l itervalle de fluctuatio, doc o coclut que les femmes ayat eu u travail péible pedat leur grossesse sot plus susceptibles d avoir u efat prématuré que les autres f, 4, p,, p, 6 et ( p) 9, 64, doc les coditios sot remplies pour utiliser l itervalle de fluctuatio asymptotique du cours p( p) p( p) L itervalle p 96, ; p + 96, est eviro égal à,57 ;,8 [ ] Corrigé séquece 9 MA 55

250 La fréquece observée f se situe e dehors de l itervalle de fluctuatio No, o e peut pas dire que ce club est représetatif de la proportio de gauchers das le mode puisque, das ce club, la fréquece des gauchers est pas das l itervalle de fluctuatio comme le sot eviro 95 % des fréqueces des gauchers pour des groupes de persoes choisies au hasard Eercice Pour p,, les coditios pour devieet :, 5 et 5, 98, La plus petite valeur de qui coviet est doc 5 L amplitude de l itervalle de fluctuatio est égale à L iéquatio, est équivalete à, la plus petite valeur de qui, coviet est 4 Corrigé des eercices du chapitre 4 Eercice Eercice O se place das le cas où l échatillo cotiet au mois élémets et où la fréquece f observée est telle que f 5 et ( f) 5 f, et, f et ( f) 77, doc les coditios d utilisatio de l itervalle de cofiace au iveau de 95 % f f ; + sot remplies et o obtiet, ;, [ ] Après avoir fait des modificatios, la fréquece obteue das u ouvel échatillo est égale à,9 Les coditios sot de ouveau remplies et o obtiet u ouvel itervalle de cofiace : 9, ;, [ ] Les deu itervalles e sot pas disjoits Il est doc possible, au iveau de cofiace de 95 %, que les modificatios aiet pas apporté d amélioratio La fréquece des avis favorables est égale à,5, doc f 5 et ( f) 47 Les coditios sot remplies et u itervalle de cofiace au iveau de cofiace de 95 % est doé par f f ; + ; o obtiet [ 4, ; 6, ] Il est doc possible que la proportio de la populatio favorable à la propositio de la mairie soit iférieure à 5 % O e peut doc pas dire que la majorité de la populatio est favorable au projet La fréquece obteue est la même, mais maiteat 5 Les coditios sot toujours remplies, le ouvel itervalle de cofiace est [, 485 ;, 574]et e permet toujours pas de coclure quat à la positio de la majorité de la populatio Pour estimer, au iveau de cofiace de 95 %, que la majorité de la populatio est favorable à cet emplacemet, o a besoi que la bore iférieure de l itervalle 5, ; 5, + soit supérieure à,5 56 Corrigé séquece 9 MA

251 O a 5, > 5, <, 9 4 < La plus petite valeur de qui coviet est Corrigé des eercices de sythèse Eercice I X µ X µ a) O souhaite que P( X> 8), O pose Z, d où σ 8 µ X Z + µ ce qui s écrit aussi P( Z + µ > 8),, soit P Z >, 8 µ ou ecore P Z 99, La variable aléatoire Z suit la loi ormale N ( ; ) Pour P( Z z) 99,, la calculatrice doe z, 6 La foctio z P( Z < z) est croissate (l aire sous la courbe augmete quad z augmete), o obtiet doc 8 µ, 6, d où µ 78, 5 b) Si X suit la loi N ( 78, 5 ; 4 ),, o trouve P( X 75), 47 La législatio est pas respectée car eviro 4 % des bouteilles cotieet mois de 75 cl a) Pour respecter la législatio, o cherche µ tel que P( X 75), soit 75 µ P( Z + µ 75), ou ecore P Z, Pour PZ ( z),, la calculatrice doe z 9, D où 75 µ 9, soit µ 88, b) O choisit µ88, et la probabilité qu ue bouteille déborde au remplissage est alors P( X 8), 8 soit eviro 8 % O cherche maiteat µ et σ tels que PX ( 75), et P( X 8),, c est-à-dire tels que 75 µ 8 µ P Z, et P Z σ, σ Les ombres µ et σ doivet doc vérifier 75 µ z et 8 µ z, c està-dire 75 σz µ 8 σz soit à peu près 75+, 9σ µ 8, 6σ La coditio sur les valeurs etrêmes est 75+, 9σ 8, 6σ Il suffit σ σ doc de choisir σ 47, puis ue valeur de µ comprise etre les deu valeurs etrêmes Corrigé séquece 9 MA 57

252 Eercice II Les comportemets des cliets état idépedats les us des autres, la variable aléatoire X suit la loi biomiale de paramètres et p O a > et p 85,, doc o a p 5 et ( p) 5, et o peut utiliser l itervalle J du cours : p( p) p( p) J p,96 ; p +,96,85,96,75 ;,85,96,75 + Si J ;, alors P X P X J Comme J est u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil 95 %, o obtiet que P X est supérieur à ue valeur proche de,95 Or PX PX P X ( > ) ( ), doc PX ( > ) est iférieur à ue valeur proche de,5 a) Si J ;,, 85+, 96, 75, 75 alors 85, + 96, [ [ par f et doc b) La foctio f défiie sur ; + ( ), 85 +, 96, 75 est croissate sur [ ; + [ car c est la somme de deu foctios croissates sur ; +, 85 et, 96, 75 ( ) [ [ La calculatrice motre que f ( 7), 7 et f ( 8), 66, doc le plus grad etier pour lequel la foctio f pred ue valeur égative est 7 c) O obtiet alors J,85,96,75,75 7 ;,85+,96 qui, 7 7 e preat des valeurs approchées des bores, est iclus das [, 8;, 889] Comme, 89, o a bie l iclusio 7 J ; 7 7 O peut coclure que la compagie aériee peut vedre 7 billets pour u avio ayat que places avec ue probabilité d eviro 95 % que le ombre de passagers e dépasse pas Avec p 9,, la foctio f est défiie par f( ), 9 +, 96,, le ombre etier vaut et o a bie J ; Avec p 95,, la foctio f est défiie par f( ),95 +,96,475, le ombre etier vaut 7 et o a bie J ; 7 7 O observe que, sur les trois cas, c est lorsque la probabilité p est la plus grade que le ombre est le plus petit, ce qui était prévisible 58 Corrigé séquece 9 MA

253 Il reste à la compagie aériee à calculer des idemités pour les passagers refusés à l embarquemet Eercice III Eercice IV La variable aléatoire X suivat la loi ormale cetrée réduite, o cherche u 5, tel que P( u5, X u5, ), 5, 95 État doé que la courbe de desité de la loi ormale cetrée réduite est symétrique par rapport à l ae des ordoées, o a P( X u,5 ),5,95,475 et P( X u5, ) P( X )+ P( X u5, ), soit P( X u5, ), 975 La calculatrice (Ivorm ou FracNormal) doe u 5,, 9599 O obtiet de même u, : P( u, X u, ),, 99 et P( X u, ) 5, + 5, 99, 995,, la calculatrice doe u,, 5758 O fait ecore de même pour u, : P( u, X u, ),, 98 et P( X u, ) 5, + 5, 98, 99,, la calculatrice doe u,, U itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 98 % de la variable aléatoire F, où chaque variable aléatoire X suit la loi biomiale ( ; p), X p( p) p( p) est p, ; p +, Si o se doe les mêmes coditios d utilisatio que pour les itervalles J du cours, o observe que 5, p 5, 8 et ( p) 5, et o déduit qu o peut utiliser cet itervalle de fluctuatio O adopte la règle de décisio habituelle : si la fréquece observée f das l échatillo appartiet à u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 98 %, o cosidère que la productio est coforme à la productio attedue ; sio, o cosidère que l échatillo est pas compatible avec la productio attedue 8,, L itervalle 8,, ;, 6, p + est très proche de 5 5 [, 7 ;, 877] La fréquece observée est, 8 La fréquece observée 5 appartiet à l itervalle de fluctuatio au seuil de 98 %, o peut doc dire que la productio est coforme à la proportio attedue au seuil de 98 % 8 La fréquece observée est f, 5 Comme 8, f 8 et 8 ( f) 6, o cosidère que l itervalle f f ; + est u itervalle de cofiace au iveau de 95 % de la proportio p Cet itervalle vaut à peu près, ;, 7 [ ] La précisio est doée par l amplitude de l itervalle de cofiace qui vaut O veut 5, c est-à-dire, ce qui doe 6 5, Corrigé séquece 9 MA 59

254 O cherche tel que, 5 ;, 5+ ;, 5 [ ] c est-à-dire tel que, 5 et 5, + 5, Ces deu coditios sot équivaletes à et Cette, 5, 5 derière iéquatio équivaut à 6, l autre iéquatio état alors vérifiée Pour 6 les deu coditios sot vérifiées, l itervalle de cofiace au iveau de 95 % est alors 5 6 5, ;, + 6 soit [, ; 5, ] 6 Corrigé séquece 9 MA

255 Corrigé séquece Corrigé de l activité du chapitre Activité Cosidéros la face ABFE Les droites (AB) et (EF) sot les itersectios du pla (ABF) avec les plas (ABC) et (EFG) Or ces plas sot parallèles, doc les droites (AB) et (EF) le sot aussi Les plas (BCF) et (ADE) sot égalemet parallèles, doc leurs itersectios avec (ABF) le sot aussi ; (AE) et (BF) sot parallèles Il e résulte que ABFE est u parallélogramme car ses côtés opposés sot parallèles O motre de la même maière que les ciq autres faces du parallélépipède sot aussi des parallélogrammes a) Comme chaque face est u parallélogramme, les droites (AB) et (EF) sot parallèles, de même que (AB) et (CD) et que (EF) et (HG) Les 4 droites sot doc deu à deu parallèles b) Les ses de A vers B, de D vers C, de E vers F et de H vers G sot tous les mêmes (de la gauche vers la droite) c) Les logueurs AB, EF, HG et DC sot égales car les côtés opposés d u parallélogramme sot de même logueur d) Les vecteurs AB et DC sot égau car ABCD est u parallélogramme e) Les vecteurs DC et HG sot égau car DCGH est u parallélogramme O a vu que (AB) est parallèle à (EF) et que (EF) est parallèle à (HG) Aisi (AB) et (HG) sot parallèles, doc coplaaires Les poits A, B, G, H sot coplaaires De plus, d après ce qui précède, les vecteurs AB et HG ot même directio, même ses et même logueur ; ils sot égau Grâce au fait que chaque face est u parallélogramme, o peut affirmer que les vecteurs AE, DH, CG, BF sot égau De l égalité AE CG o tire que AEGC est u parallélogramme et par coséquet que AC EG AC + AE AG car AEGC est u parallélogramme De même AB + AD AC car ABCD est u parallélogramme, doc AB + AD + AE AG Corrigé séquece MA 6

256 Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice O a : EI EA + AI EA + AB EA + EF, EJ EA + AJ EA + AD EA + EH EK EA + AK EA + AG EA + ( AB+ AD+ AE) EA + EF+ EH EA EA + EF + EH et H G E F D C J K Eercice A I B O cherche deu réels et y tels que : EK EI+ y EJ Par tâtoemets, o trouve : EK EI + EJ Ceci ous prouve bie que E, I, J et K sot coplaaires 5 5 Das u repère O; i, j, k ( ) o cosidère A( ; ; ), B( ; ; ) et C( ; ; ) O a : AB et AC soit AB et AC Les vecteurs AB et AC e sot pas coliéaires car ( ; ; ) et ; ; e sot pas proportioels, doc les poits A, B et C défiisset bie u pla Le pla (ABC) admet doc la représetatio paramétrique suivate : k k y + k + k, k R, k' R z k k Le poit D ; ; 4 réels k et k tels que : ( ) ( ) appartiet à (ABC) si et seulemet si il eiste deu 6 Corrigé séquece MA

257 ( ) k k k + k + k + k soit k + k 4 k k k + k Le couple ; est solutio de ce système, doc D appartiet au pla (ABC) Eercice Soit ABCD u tétraèdre O cosidère que les poits I et J sot les milieu respectifs de [AC] et [BD] Les poits P, Q, R et S sot défiis par : AP AB, AQ AD, CR CB et CS CD O cosidère le repère ( A ; AB, AC, AD) O a : A( ; ; ), B( ; ; ), C( ; ; ) et D( ; ; ) Alors : I; ;, J ;;, P ;;, Q;; De plus, AR AC+ CR AC+ CB AC+ AB AC AB+ AC d où R ; ; De même, AS AC+ CS AC+ CD AC+ AD AC AC+ AD d où S; ; O a : PS,QR et IJ aisi, et sot, respectivemet, des vecteurs directeurs de (PS), (QR) et (IJ) O e déduit des représetatios paramétriques de ces trois droites : k k y k (PS) :, k R, (QR) :, k R y k z k z k et (IJ) : k y k z k, k R Corrigé séquece MA 6

258 Le poit M ( ; y ; z) appartiet à ces trois droites si et seulemet si il eiste trois réels k, k et k tels que : k k k y k k k z k k k k k k k k k Ce système est équivalet à : y k k' k" z k k k k k k 6 y z Les droites (PS), (QR) et (IJ) sot doc cocourates e M 6 ; ; Corrigé des activités du chapitre E A Activité H D B F G C a) Les droites (AE) et (BC) sot orthogoales car (BF) est parallèle à (AE) et perpediculaire à (BC) b) Les droites (AE) et (GC) sot parallèles car toutes les deu sot parallèles à la même droite (BF) Elles e sot pas orthogoales c) La droite (EF) est parallèle à (HG) et (HG) est perpediculaire à (GC) Doc (EF) et (GC) sot orthogoales d) Les droites (EF) et (HE) sot perpediculaires, doc orthogoales e) Les droites (EF) et (FH) e sot pas perpediculaires car la diagoale d u carré est pas perpediculaire au côté f) Les droites (EF) et (BD) e sot pas orthogoales car, si c était le cas, (EF) serait perpediculaire à (HF) ((HF) et (BD) sot parallèles) g) Les droites (FH) et (BD) sot parallèles ; (AC) et (BD) sot perpediculaires car ce sot les diagoales d u carré Doc (FH) et (AC) sot orthogoales 64 Corrigé séquece MA

259 Activité Cosidéros P sur (OB) et Q sur (OC) différets de O tels que : OP OQ Deu cas se présetet Cas : les droites (PQ) et (OD) sot sécates Das ce cas, c est termié, les poits P et Q vérifiet les quatre coditios Cas : les droites (PQ) et (OD) sot parallèles Cosidéros le poit P symétrique de P par rapport à O Le poit P appartiet à (OB) et : OP OP OQ O se place das le pla (OBC) Le poit O est le milieu de [PP ] et OP OP OQ, ce qui ous prouve (réciproque du théorème de la médiae) que les droites (PQ) et (P Q) sot perpediculaires Aisi, les droites (P Q) et (OD) sot perpediculaires et doc sécates Aisi, les poits P et Q vérifiet bie les quatre coditios O a doc prouvé le résultat par disjoctio de cas P D O P Q et Ce sot des applicatios directes du théorème de la médiae démotré au chapitre des prérequis O a : AP OA + OP (théorème de Pythagore das le triagle OAP) ; AQ OA + OQ (théorème de Pythagore das le triagle OAQ) Doc, e sommat les deu égalités : AP + AQ OA + OP + OQ soit PQ PQ AI + OA + OI + e utilisat les égalités et O a doc AI OA + OI, ce qui ous prouve le résultat (réciproque du théorème de Pythagore) Le triagle OPQ est isocèle de sommet O et I est le milieu de [PQ], doc (OI) est perpediculaire à (PQ), ce qui prouve que le triagle OIR est rectagle e I Alors, d après le théorème de Pythagore : OR OI + IR O a : AB AO + OB AO + OC AC Doc le triagle APQ est isocèle de sommet A O coclut alors, comme à la questio précédete, que : AR AI + IR O a : AR AI + IR AI + ( OR OI )( AI OI )+ OR OA + OR Aisi (réciproque du théorème de Pythagore), le triagle OAR est rectagle e O Corrigé séquece MA 65

260 O e déduit : ( OA) ( OD ) A O P B A Q I R C Vue das l espace P I R Q Vue das le pla (APQ) Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice 4 Soit M u poit de l espace équidistat de A et de B, c est-à-dire tel que : MA MB Si M appartiet à (AB) alors M est le milieu de [AB] Supposos que M appartiee pas à (AB) Plaços-ous das le pla (MAB) et cosidéros le triagle MAB O a MA MB, doc le triagle MAB est isocèle de sommet M La médiae [MI] issue de M est doc ue hauteur, c est-à-dire : ( MI) ( AB) Le poit M appartiet doc au pla orthogoal à (AB) passat par I Réciproquemet, cosidéros u poit M de ce pla O a : ( MI) ( AB) Doc la médiae [IM] du triagle (AMB) est aussi la médiatrice de [AB] Aisi : MA MB L esemble des poits équidistats de A et de B est doc le pla orthogoal à (AB) passat par I a) O a : AD AC, doc A appartiet au pla médiateur P de [CD] De même, B appartiet à P Alors comme P est orthogoal à (CD), o a : AB CD ( ) ( ) ( ) ( ) et ( AD) ( BC), d où la propriété b) O motre de même que : AC BD suivate Das u tétraèdre régulier, deu arêtes opposées sot orthogoales A I B Eercice 5 a) Motrer que la droite (BG) est orthogoale au pla (CFE) reviet à motrer que (BG) est orthogoale à deu droites sécates de ce pla 66 Corrigé séquece MA

261 Tout d abord, [BG] et [CF] sot les diagoales d u carré, doc (BG) (CF) Esuite, o sait que la droite (EF) est orthogoale au pla (BCF ) puisque (EF) est perpediculaire au deu droites sécates (FB) et (FG) Aisi (EF) est orthogoale à toute droite du pla (BCF) E particulier : ( EF) ( BG) La droite (BG) état orthogoale au deu droites sécates (EF) et (CF), (BG) est orthogoale au pla qui les cotiet : le pla (CEF) b) Puisque la droite (BG) est orthogoale au pla (CEF), elle est orthogoale à toute droite de ce pla, doc e particulier : (BG) est orthogoale à la droite (CE) c) O démotrerait de la même faço que, par eemple, la droite (BD) est orthogoale au pla (ACE), doc à (CE) Puisque (CE) est orthogoale au deu droites sécates (BG) et (BD), il s esuit que la droite (CE) est orthogoale au pla (BDG) H G H G E F E F D C D C A B A B Eercice 6 A B D G I C Corrigé séquece MA 67

262 Plaços-ous das le triagle ACD Le tétraèdre ABCD est régulier, doc le triagle ACD est équilatéral La médiae [AI] issue de A est doc aussi ue hauteur O a doc : ( AI) ( CD) De même, das le triagle BCD : ( BI) ( CD) La droite (CD) est orthogoale à deu droites sécates du pla (ABI) ((AI) et (BI)) doc : ( ABI) ( CD) (O pouvait aussi motrer que (ABI) est le pla médiateur de [CD]) O a ( AG) ( CD) car ( ABI) ( CD) De même : ( AG) ( BC) La droite (AG) est doc orthogoale à deu droites sécates du pla (BCD) O a doc bie : ( AG) ( BCD) Corrigé de l activité du chapitre 4 Activité 4 Soit ABCDEFGH u cube de côté O se place das u repère orthoormé D;i, j, k ( ) comme idiqué sur la figure ci-dessous O a : A( ; ; ), B( ; ; ), C( ; ; ), D( ; ; ), E( ; ; ), F( ; ; ), G( ; ; ) et H( ; ; ) H G E F j k D i C A B a) O a : AB I b) O a : BI u doc yi y Aisi, I a pour coordoées ( + ; y + ; z ) zi z c) O a : AB i, BI u + y + z et AI + y+ z + y z ( ) + ( ) + ( ) ( ) Corrigé séquece MA

263 d) O a : u AB (AB) (BI) AB + BI AI (théorème de Pythagore) + + y + z + + y + z 6 ( ) a) O a : AG J b) O a : GJ u doc yj y Aisi, J a pour coordoées ( + ; y; z + ) zj z c) O a : AG + ( ) + 7, GJ u + y + z et AJ + y z + ( y ) ( z ) ( ) + ( ) + ( + ) ( ) d) O a : AG u ( AG) (GJ) AG + GJ AJ (théorème de Pythagore) 7+ + y + z ( + ) + ( y ) + ( z + ) 6 6y+ 6z y+ z L esemble des poits M tels que AG AM est le pla passat par A orthogoal à (AG) O a : AG AM AG AM + y y AG AM + z z AG AM ( ) ( y ) + ( z ) y + z + 9 y + z + Cette derière équatio caractérise doc le pla orthogoal à (AG) passat par A Corrigé des eercices d appretissage du chapitre 4 Eercice 7 O a : MA MB MI+ IA MI+ IB MI+ IA MI IA (I milieu de [AB]) ( ) ( ) ( ) ( ) AB IM IA IM IM 9 a) O a : MA MB MA MB (AM) (BM) M appartiet à la sphère de diamètre [AB] Corrigé séquece MA 69

264 Eercice 8 L esemble des poits M de l espace tels que MA MB est doc la sphère de diamètre [AB] (soit la sphère de cetre I de rayo ) b) O a : MA MB 6 IM 9 6 IM 5 IM 5 M appartiet à la sphère de cetre I de rayo 5 L esemble des poits M de l espace tels que MA MB 6 est doc la sphère de cetre I de rayo 5 a) Les triagles ABE et ADE sot rectagles e A doc : ( AE) ( AB) et ( AE) ( AD) E La droite (AE) est orthogoale à deu droites sécates du pla (ABD) doc : A D B F C ( AE) ( ABD) O a doc : ( AE) ( AF ) O a doc : AE AF b) O a : DE DB DE + DB DE DB DE + DB EB O a (théorème de Pythagore) : DE EB De plus : DB (diagoale d u carré de côté ) Aisi : DE DB 5 + ( ) 5 9 c) O a ( AE) ( AB), doc A est le projeté orthogoal de E sur (AB) De même, B est le projeté orthogoal de F sur (AB) Aisi, AB est le projeté orthogoal de EF sur AB O e déduit : EF BA AB BA AB 9 O a : EA EF EA ( EA + AF) EA AE AF 4 6 De plus, EA EF EA EF cos AEF O a : EA 4 et : ( ) EF EA + AF (théorème de Pythagore das EAF) ( ) 4 + AB + BF (théorème de Pythagore das ABF) EA EF 6 O a doc : cos( AEF) EA EF 9 4 AEF 8 cos 9, O e déduit : 7 Corrigé séquece MA

265 Eercice 9 Eercice Das l espace rapporté au repère orthoormé ( O; i, j, k) o cosidère les poits : A( ; ; ), B( ; ; 4), C ( ; ; ), D ( 4 ; ; 5) et E ( ; ; ) aisi que le vecteur a) O a : AB et AC 5 e sot pas coliéaires car ( ; ; ) et ( ; 5 ; ) o proportioels Les poits A, B et C défiisset doc bie u pla P b) O a : AB ( ) + ( ) ( ) + et AC ( ) + ( ) ( 5) + ( ), doc le vecteur est orthogoal à deu droites sécates du pla (ABC) doc est u vecteur ormal à ce pla c) Le vecteur état ormal à P, P admet ue équatio cartésiee de la forme : y+ z+ d Le poit A appartiet à P doc + + d soit d Le pla P admet doc l équatio cartésiee y+ z 4 6 Le vecteur DE a pour coordoées ( ) soit O a doc : DE 5, ce qui prouve que (DE) est orthogoale à P Notos S l esemble cherché Soit M( ; y ; z) u poit de l espace O a : M( ; y ; z) S AM AM 4 ( + ) + y + ( z ) 4 + y + z + 6z + 6 O a : + y + z + 4y z 9 + y + 4y+ z z 9 ( ) O a doc : Soit A; ; 6 + y + y z 6z y+ 4 z ( ) + ( ) + y+ z 6 49 ( ) + ( ) M AM 7 AM7 S L esemble cherché est doc la sphère de cetre A; ; 6 ( ) et de rayo 7 Corrigé séquece MA 7

266 Corrigé de l activité du chapitre 5 Activité 5 Partie I Cosidéros le système Σ: + 5y z y+ z 5 y+ z L L L La lige L permet d écrire : z + 5y Substituos das les liges L et L Σ : z + 5y y + ( + 5y ) 5 ( ) y + + 5y z + 5y 7 + 8y 7 : Σ + y Résoudre le système Σ O a : Σ : 7 + 8y 7 L + y L 7 + 8y 7 L + 8y 5 L '4 L 7 + 8y 7 L 5 5 L L 7 + 8y 7 8y 6 y {( )} Aisi le système Σ admet comme uique solutio ( ; ) : S ; O e déduit : Σ : z + 5y ( ) ( ) y + + 5y 5 y + + 5y z + 5y 7 + 8y 7 + y z + 5y y z 5 : Σ 7 Corrigé séquece MA

267 {( )} Aisi le système Σ admet comme uique solutio ( ; ; 5) : S ;;5 O a : + y + z + y z y + z z y + y z y + z z y + y 5 y 4 z y + y ( y) y + ( y) z y z y + y 5 + y 5 9y 7y 7 z y + y 5 y 4 z y z y z + y 5 y y y + y+ z Aisi le système + y z admet comme uique solutio : ( ; ; ) : z+ z S {( )} ; ; Partie II O a : Σ : t + t' + t t t' t + t' + t + t' + t 4 t t' t t' t 4 ' t 4 t ' t 4 t 4 t ' t ' Ce système admet pas de solutio puisque t e peut pas être égal, à la fois, à et à : S Ue idée pour la résolutio de ce type de système (où il y a plus d équatios que d icoues) est de e cosidérer qu ue partie des équatios pour obteir des coditios écessaires et de vérifier, à l aide des autres équatios du système, si ces coditios sot suffisates ou pas Corrigé séquece MA 7

268 O a : Σ : + y z y z y z + + y z y z y z y z 5 z + y z y z z 5 5 z z y z + y z z + z Aisi les triplets ( ; y ; z) solutios de Σ sot les triplets z z z ; ; : z z z z ; ; telsque S R Ue idée pour la résolutio de ce type de système (où il y a plus d icoues que d équatios) est de cosidérer l ue des variables (ici z!) comme u paramètre et o comme ue icoue et de résoudre le système correspodat 74 Corrigé séquece MA

269 Corrigé des eercices d appretissage du chapitre 5 Eercice Eercice 4 t t La représetatio paramétrique y +, t R caractérise la droite D z t + 6 passat par A(4 ; ; 6) de vecteur directeur u + t La représetatio paramétrique y 4, t R caractérise la droite D z t passat par B( ; 4 ; ) de vecteur directeur v Les vecteurs u et v état pas coliéaires, les droites D et D e sot pas parallèles U poit I( ; y ; z) appartiet à D D si et seulemet si il eiste deu réels t et t tels que : 4 t + t t y + 4 z t + 6 t O a : 4 t + t t 6 t t t t + 6 t Les droites D et D e sot pas coplaaires a) A( ; ; ), B( ; ; ), C( ; ;) t 6 t, ce qui est impossible t Le poit G a pour coordoées la moyee des coordoées de A, B et C Par suite, G ; ; Pour motrer qu ue droite est perpediculaire à u pla, il suffit de motrer qu elle est orthogoale à deu droites sécates de ce pla / La droite (OG) admet pour vecteur directeur OG / / Corrigé séquece MA 75

270 AB ; OG AB ( ) + + Doc (OG) est orthogoale à (AB) AC ;OGAC ( ) + + Doc (OG) est orthogoale à (AC) La droite (OG) est doc orthogoale à deu droites sécates du pla (ABC) La droite (OG) est doc orthogoale au pla (ABC) Ue équatio cartésiee du pla A B C das le repère orthoormal (O; OA; OB ; OC) est de la forme : a + by + cz + d a) Écrivos que les coordoées des poits A, B et C doivet vérifier cette équatio O doit doc avoir : a+ d b+ d c + d d a d b d c O peut choisir d 6 : O trouve alors a ; b ; c Aisi + y + z 6 est ue équatio cartésiee du pla (A B C ) b) La droite (AC) passe par A( ; ; ) et admet pour vecteur directeur u La droite (AC) admet doc pour représetatio paramétrique λ + y, λ R z λ c) O a K ( ; y ; z) (AC) (A B C ) il eiste λ réel tel que : λ + y et + y + z 6 z λ 76 Corrigé séquece MA

271 O doit doc avoir ( λ+ ) + + λ 6 soit λ O e déduit K(4;; ) O vérifie que le poit K appartiet à la droite (AC) et au pla (A B C ) O a aisi prouvé que la droite (AC) coupe le pla (A B C ) e K Eercice A I J D B C Poit de vue géométrique Remarquos tout d abord que : (IJ) // (BC) (théorème de la droite des milieu das le triagle ABC) Cosidéros les trois plas (ABC), (BCD) et (IJD) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O a : ABC BCD ( BC), IJD ABC ( IJ) et BCD ( IJD) (ces deu plas sot bie sécats car D est commu au deu plas) D après le théorème du toit, les droites précédetes sot cocourates ou parallèles Comme les droites (IJ) et (BC) sot parallèles, o a : //(BC) Comme le poit D appartiet à la fois au plas (IJD) et (BCD), il appartiet à Aspect algébrique a) Les poits A, B, C et D e sot pas coplaaires, doc les vecteurs AB, AC et AD e sot pas coplaaires, ce qui prouve que A ; AB, AC, AD ( ) est u repère b) O a : A( ; ; ), B( ; ; ), C( ; ; ), D( ; ; ), I ;; et J; ; c) Notos a + by + cz + d ue équatio cartésiee du pla (BCD) das le repère A ; AB, AC, AD ( ) O a B ( BCD) doc a + d, C BCD ( + d O a doc a b c d E simplifiat, o obtiet (BCD) : ( ) doc b + d et D BCD + y + z ) doc c Corrigé séquece MA 77

272 d) O a : IJ soit IJ et ID soit ID Cosidéros les vecteurs u et v O a IJ et ID u v Le pla (IJD) est doc le pla D;u, v, défii par la représetatio paramétrique : k k y + k z + k e) O a :, k R, k R soit M( ; y ; z) (BCD) (IJD) Il eiste deu réels k et k tels que Il eiste deu réels k et k tels que Il eiste deu réels k et k tels que Il eiste u réel k tel que k k y k z + k k y k z k k y k z ( ) il est doc, k R, k R + y + z k k y k z + k k k' + k + + k k k y k z + k k La droite admet doc la représetatio paramétrique : y k, k R z f) D après ce qui précède, la droite est la droite passat par D( ; ; ), de vecteur directeur u O a u BC doc est bie parallèle à (BC) 78 Corrigé séquece MA

273 Corrigé des eercices de sythèse du chapitre 6 Eercice I O a : AI AB + BC + CI AB + AD + AE ; AJ AE + EJ AE + AD AD AE + ; AK AB+ BF + FG+ GK AB+ AE+ AD+ GH AB+ AE+ AD AB AB + AE + AD AB + AD + AE O a : AI + AJ AB + AD + AE AB + AD + AE AK d où AK AI+ AJ, ce qui prouve la coplaarité des poits A, I, J et K Costruire la sectio du cube par le pla (IJK) Les droites (IK) et (CD) sot sécates car coplaaires (pla (DCGH)) et o parallèles Notos L le poit d itersectio de ces deu droites Le poit L appartiet à la droite (IK) doc au pla (IJK) Les droites (AL) et (BC) sot sécates car coplaaires (pla (ABCD)) et o parallèles Notos M le poit d itersectio de ces deu droites Le poit M appartiet à la droite (AL) doc au pla (IJK) La sectio du cube par le pla (IJK) est doc AMIKJ E J H F K G I D M C L A B Eercice II Aspect géométrique Costruisos la droite d itersectio des plas (AID) et (BCD) Le poit D appartiet à cette droite Les droites (AI) et (BC) sot coplaaires (pla (ABC)) et sécates Notos K l itersectio de ces deu droites Le poit K appartiet au plas (AID) et (BCD) O a doc : ( AID) ( BCD) ( KD) Corrigé séquece MA 79

274 Le poit J appartiet au plas (BCD) et (AID) doc il appartiet à (KD) Le poit J est doc l itersectio de la droite (KD) et de la parallèle à (AD) passat par I A I B J D Aspect algébrique O se place das le repère A ; AB, AC, AD so ordoée a) Das le repère A ; AB, AC, AD, C ( ) O ote l abscisse de I et ( ) A( ; ; ), B( ; ; ), C( ; ; ) et D( ; ; ) Les coordoées des trois poits o aligés A, B, C vérifiet l équatio cartésiee z, cette équatio est doc ue équatio cartésiee du pla (ABC) Le poit I a doc pour cote : I α ; β ; ( ) b) Le vecteur AD est u vecteur directeur de la droite (AD) et doc de toutes ses parallèles Aisi, la parallèle à (AD) passat par I est caractérisée par la représetatio paramétrique : y β, k R α z k Le poit J a doc pour abscisse α et pour ordoée β c) Les vecteurs BC et BD sot des vecteurs o coliéaires, doc le pla (BCD) est le pla B ; BC, BD ( ) et est doc caractérisé par la représetatio 8 Corrigé séquece MA

275 k k paramétrique y + k, k R, k R z + k Il eiste doc deu réels k et k tels que α k k et β k La cote de J est alors k soit α β Le poit J a doc pour coordoées α ; β; α β ( ) Eercice III D I C K G A J B E I Méthode géométrique ( ) ( ) ( ( BCD) ( ABD) ( BD) De plus, les droites (IJ) et (BD) sot parallèles (théorème Cosidéros les trois plas (CJI), (ABD) et (BCD) O a : CIJ ABD IJ) et de la droite des milieu das le triagle ABD) Aisi, d après le théorème du toit, les plas (CIJ) et (BCD) sot sécats selo ue droite parallèle au droites (IJ) et (BD) De plus, le poit C appartiet au plas (CIJ) et (BCD), doc CIJ BCD ( ) ( ) est la parallèle à (BD) passat par C De même, e cosidérat les plas (BIK), (BCD) et (ACD), o obtiet que BIK BCD ( ) ( ), est la parallèle à (CD) passat par B Corrigé séquece MA 8

276 Le quadrilatère BECD est u parallélogramme, doc la droite (CE) est la parallèle à (BD) passat par C et la droite (BE) est la parallèle à (CD) passat par B O e déduit que le poit E appartiet au plas (CIJ) et (BIK) Ces deu plas sot sécats selo ue droite que l o ote (sio B, C, J et I seraiet coplaaires) Le poit G appartiet à (CJ) doc à (CIJ) et à (BK) doc à (BIK) Les poits E, G et I appartieet tous trois à, ce qui prouve que ces trois poits sot aligés II Méthode vectorielle O a GA + GB+ GC doc ( GI+ IA)+ ( GI+ IB)+ ( GI+ IC) soit GI+ ( IA + IB+ IC) et doc IA + IB+ IC IG O a : IA + IB IA + ( IA + AB) IA + AB DA + AB DB CE Aisi : IA + IB+ IC CE+ IC IE O a doc IG IE, ce qui prouve bie que les poits I, G et E sot aligés III Méthode aalytique O a : De plus DB CE doc ( ) ( ) ( ) ( ; ; ) A ; ;, B ; ;, C ; ; etd B D E C yb y B ye y C d où E ( ; ; ) zb zb ze zc Les poits I et L sot les milieu respectifs de [AD] et [BC] doc : I ; ; etl ; ; Le poit G vérifie AG AL O a doc : G ; ; O e déduit les coordoées du vecteur IE : paramétrique de la droite (IE) : / + t y + t z t et ue représetatio, t R (O remarque que IE est u vecteur directeur de la droite) Pour le paramètre t, o obtiet les coordoées de G, ce qui prouve bie que G appartiet à (IE) 8 Corrigé séquece MA

277 Eercice IV Partie I O crée : Costructio, cojectures les poits A( ; ; ), B( ; ; ), C( ; ; ), D( ; ; ), E( ; ; ), F( ; ; ), G( ; ; ) et H( ; ; ) ; les segmets correspodats au arêtes du cube ; le milieu I de [CG] ; le milieu J de [EH] ; le poit K (poit libre sur [GH]) ; le réel a abscisse de K sur la droite de repère (G ; H) ; le segmet [JK] ; l affichage de la valeur de a F M G I K N H B P J E O C A D y Les droites (IK) et (CD) sot coplaaires (pla (CDH)) Das ce pla, les droites (IK) et (GH) sot sécates (e K) doc, comme (CD) et (GH) sot parallèles, les droites (IK) et (CD) sot sécates E effet, das le pla, si deu droites sot parallèles, toute droite qui coupe l ue coupe l autre Les poits J et K appartieet à la fois au pla (IJK) et au pla (EFGH), ce qui prouve que ces deu plas sot sécats (I appartiet pas à (EFGH)) selo la droite (JK) Si deu plas sot parallèles, tout pla qui coupe l u coupe l autre et les droites d itersectio sot parallèles doc, comme (ABCD) et (EFGH) sot parallèles, les plas (ABCD) et (IJK) sot sécats selo ue droite parallèle à (JK) Corrigé séquece MA 8