6. Étude de courbes paramétrées (C) : Ces équations sont appelées équations paramétriques de (C). { x = x t. On note parfois également.

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1 ÉTUDE DE COURBES PARAMÉTRÉES Éude de courbes paramérées 6.. Définiions Remarques La courbe (C) n'es pas nécessairemen le graphe d'une foncion ; c'es pourquoi on parle de courbe paramérée e non pas de foncion paramérée. On peu parfois, en éliminan le paramère enre les deux équaions, obenir y comme foncion de x, e ramener l'éude de la courbe à celle d'une courbe définie par une relaion y = h(x). Exercice 6. Soi deux foncions f e g définies sur le même sous-ensemble D R. Le poin M() de coordonnées (f () ; g()) décri un sous-ensemble (C) du plan lorsque varie dans un inervalle I. Une représenaion paramérique d'une courbe (C) es un sysème d'équaions où les coordonnées des poins de la courbe son exprimées en foncion d'un paramère (souven noé, k, θ, ). (C) : { x = f y = g Ces équaions son appelées équaions paramériques de (C). On noe parfois égalemen { x = x y = y Si l'on veu que cee définiion ai un sens, il fau que x() e y() exisen simulanémen. C'es pourquoi le domaine de définiion D de la courbe (C) es l'inersecion des domaines de définiion D x e D y des foncions x() e y(). On a donc D=D x D y. Soi a e b deux nombres réels. Trouvez le domaine de définiion de la courbe paramérée : { x = a y = b 6.. Exemple de courbes paramérées : figures de Lissajous Les figures de Lissajous (ou courbes de Bowdich) son de la forme : { x = asin y = b sin n avec 0 e n En élecronique, on peu faire apparaîre des figures de Lissajous sur un oscilloscope. Jules Anoine Lissajous (Versailles, 4/3/8 - Plombières, 4/6/880) { x = sin 5, [0; π [ y = cos 3 Didier Müller - LCP - 07 Cahier Analyse

2 40 CHAPITRE Asympoes Asympoe vericale On obien une elle asympoe lorsque x end vers une valeur finie a e y end vers une valeur infinie. lim x =a, avec a R lim y =± Asympoe vericale x = L'asympoe vericale es une droie qui a pour équaion x = a. Si x() a es posiif, la courbe es à droie de l'asympoe, sinon elle es à gauche. La courbe coupe l'asympoe lorsque x() = a. Asympoe horizonale Cee fois, x end vers l'infini e y end vers une valeur finie b lorsque end vers 0. lim x =± lim y =b, avec b R Asympoe horizonale y =.5 Asympoe oblique L'asympoe horizonale es une droie qui a pour équaion y = b. Si y() b es posiif, la courbe es en dessus de l'asympoe, sinon elle es en dessous. La courbe coupe l'asympoe lorsque y() = b. Une asympoe oblique ne peu exiser que si x e y enden ous deux vers l'infini lorsque end vers 0. Cee condiion es nécessaire mais pas suffisane. lim x =± lim y =± La droie y = mx + h es une asympoe oblique si : m=lim y x R Asympoe oblique y = x Si m =, il n'y a pas d'asympoe oblique. h=lim 0 y m x R Ces formules son analogues à celles renconrées au chapire 5, page 33. La posiion de la courbe es donnée par le signe de y() mx() h. Si cee expression es posiive, la courbe es en dessus de l'asympoe, sinon, elle es en dessous. Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 07

3 ÉTUDE DE COURBES PARAMÉTRÉES Dérivées e poins pariculiers Dérivées Calcul de Les valeurs de décrivan le domaine d'éude, on éudie, lorsque c'es possible, le signe des dérivées e. Comme pour les foncions d'une seule variable (voir chapire 5), on présenera les résulas sous forme d'un ableau, qui es consiué de deux ableaux accolés, donnan les variaions de x e y (voir 6.6). Regardons deux poins voisins de la courbe : M( 0 ) e M( 0 + ε). La droie passan par ces deux poins end vers la angene à la courbe au poin M( 0 ) lorsque ε end vers zéro. La pene de la droie passan par M( 0 ) e M( 0 + ε) es : On peu écrire : m= y ' x = y ' x ' m 0 ; = y 0 y 0 x 0 x 0 = y 0 y 0 x 0 x 0 = y 0 y 0 x 0 x 0 donne la pene de la angene à la courbe. Lorsque ε end vers 0, la pene end vers 0 = 0. 0 Poins pariculiers Si x' ( 0 ) 0 e y' ( 0 ) = 0, la courbe adme une angene horizonale en M( 0 ). Si x' ( 0 ) = 0 e y' ( 0 ) 0, la courbe adme une angene vericale en M( 0 ). Si x' ( 0 ) = 0 e y' ( 0 ) = 0, la courbe adme un poin singulier en M( 0 ). On pourra compléer le ableau des dérivées par une ligne donnan les valeurs de pour les valeurs de figuran déjà dans ce ableau. y ' x' 6.5. Méhode L'éude d'une courbe paramérée comprend six éapes.. Domaine de définiion. Asympoes Déerminer le domaine D où la courbe es définie. Déerminer, s'il y en a, les A.V, les A.H e les A.O. 3. Dérivées e ableau de variaion Calculer, e. Faire le ableau de variaion. 4. Poins pariculiers 5. Inersecion avec les axes 6. Représenaion graphique Déerminer, s'il y en a, les poins à angene vericale, les poins à angene horizonale e les poins singuliers. Calculer la limie de la pene de la angene aux poins singuliers, i.e. m=lim a Trouver les qui saisfon x() = 0 e y() = 0. Dessiner la courbe en uilisan les renseignemens glanés aux éapes à 5. Il n'es pas inerdi de calculer cerains poins de la courbe, afin de faire un dessin plus précis. Didier Müller - LCP - 07 Cahier Analyse

4 4 CHAPITRE 6 Commen remplir le ableau de variaion Les flèches indiquen commen évolue la courbe en foncion de. Commen dessiner la courbe. Commencez par écrire dans l'ordre croissan les valeurs de rouvées aux éapes précédenes, de à. Prenez soin de laisser une colonne vide enre les valeurs de.. Oure la première ligne que vous venez d'écrire, le ableau en comprendra cinq aures (ou seulemen quare s'il n'y a pas de poin singulier). Dans l'ordre : x,, y,,. 3. Hachurez les colonnes où la courbe n'exise pas. 4. Remplissez la ligne avec des +, des e des Dans la ligne x, meez des au-dessus des + e des au-dessus des. 6. Remplissez la ligne avec des +, des e des Dans la ligne y, meez des au-dessus des + e des au-dessus des. 8. Noez les coordonnées des poins où es donné (s'ils exisen). 9. S'il y a des poins singuliers, noez dans la ligne la valeur de la pene.. Dessinez d'abord les asympoes e les poins connus.. Dessinez ensuie la courbe en lisan le ableau de gauche à droie. Regardez commen évoluen les coordonnées des poins en foncion de. 3. Noez sur le dessin les valeurs de aux endrois remarquables Deux exemples comples Premier exemple Éudions la courbe {x = y =. Domaine de définiion. Asympoes L'ensemble de définiion de la courbe es D = R \ { ; }. { lim x = Quand, il y a une A. H., car y =0 lim { lim x = Quand, il y a une A. H., car y =0 lim Quand = : {lim x = {lim y = lim y n 'exise pas, car lim y = Il y a donc une A. V. quand =. Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 07

5 ÉTUDE DE COURBES PARAMÉTRÉES 43 Quand =, il y a une A. O. : {lim x = {lim x n 'exise pas, car lim x = {lim y = lim y n 'exise pas, car lim y = Calcul de m Calcul de h m=lim h=lim =lim =lim =lim = 3 =lim = lim = lim = 3 = 3 4 L' A. O. a donc pour équaion y= x Dérivées e ableau de variaions = = = s'annule en = 0 e =. = = = ne s'annule pas. = = = ne s'annule pas. Les valeurs de inéressanes son =, 0, e (valeurs rouvées aux éapes e 3). Il fau aussi voir ce qui se passe quand ±. 0 + x y A. H. A. V. angene A. O angene A. H. vericale vericale 4. Poins pariculiers En inspecan le ableau ci-dessus, on s'aperçoi qu'il n'y a pas de poin singulier, mais deux poins à angene vericale. 5. Inersecion avec les axes Il y a une seule inersecion en = 0. Le poin d'inersecion es (0 ; 0). Didier Müller - LCP - 07 Cahier Analyse

6 44 CHAPITRE 6 6. Représenaion graphique En bleu, les rois asympoes. Second exemple Éudions la courbe {x = y =. Domaine de définiion L'ensemble de définiion de la courbe es D = R *. Asympoes Il y a une asympoe horizonale quand = 0, puisque { lim 0 lim 0 x = y =0 Il n'y a pas d'asympoe quand ±. 3. Dérivées e ableau de variaions = 3 s'annule en =. = s'annule en =. = = = 3 3 = 3 = 3 ne s'annule jamais. Les valeurs de inéressanes son = e 0 (valeurs rouvées aux éapes e 3). Il fau aussi voir ce qui se passe quand ±. Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 07

7 ÉTUDE DE COURBES PARAMÉTRÉES x y Poin singulier Asympoe horizonale 4. Poins pariculiers En inspecan le ableau, on s'aperçoi qu'il y a un poin singulier en =. Il es uile dans ce cas de calculer pour connaîre la pene de la angene en ce poin. 5. Inersecions avec les axes x =0 = 3 qui correspond au poin (0 ;.) y =0 = qui correspond au poin ( 4.5 ; 0) 6. Représenaion graphique En esquissan le dessin de cee courbe, on s'apercevra { que cee courbe conien un poin double. Pour le calculer, il fau résoudre x = x s avec s. y = y s Ce n'es en général pas facile! En résolvan le sysème avec Mahemaica, on a rouvé = e s=. Ces deux valeurs corresponden au poin ( 5 ; ). Didier Müller - LCP - 07 Cahier Analyse

8 46 CHAPITRE 6 Exercice 6. Éudiez e dessinez les courbes suivanes selon les exemples du 6.6. x = a. b. { y = 3 {x = y = 3 c. 3 {x = 3 y = 3 3 d. 3 {x = 3 y = 3 e. {x = y = e f. {x = y = e { ln x = g. y = ln x = a sin h. { y = a cos (a > 0) i. { x() = a cos3 () y () = a sin 3 () { (a > 0) j. x() = a cos3 () y () = a sin() (a > 0) 6.7. Ce qu'il fau absolumen savoir Trouver les asympoes d'une courbe paramérée Trouver les poins pariculiers d'une courbe paramérée Connaîre les six éapes de la méhode par cœur Maîriser parfaiemen chaque éape de la méhode ok ok ok ok { x() = sin 3 () y () = cos() cos 4 () Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 07