Corrigé de l examen de l unité de Mathématiques LM 151 Université Pierre et Marie Curie.

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1 Corrigé de l examen de l unité de Mathématiques LM 5 Université Pierre et Marie Curie. Responsable: Henri Skoda septembre 5. Question de cours. Donner la définition de deux suites adjacentes puis énoncer et démontrer le théorème de convergence des suites adjacentes. Définition Deux suites réelles (u n ) et (v n ) sont dites adjacentes, si on a: ) n IN, u n u n+ v n+ v n. ) lim n + (v n u n ) =. Remarque On peut remplacer la condition ) par (u n ) est croissante, (v n ) est décroissante. La condition ) entraîne alors que pour tout n, u n v n. Mais géométriquement la condition ) est plus visuelle. Théorème Deux suites adjacentes (u n ) et (v n ) convergent vers une même limite l telle que: n, u n l v n. En effet la suite (u n ) est croissante et majorée par le terme v (par exemple). (u n ) a donc une limite l. De même, la suite (v n ) est décroissante et est

2 minorée par u. (v n ) a donc une limite l. On a: n IN, u u n l l v n v (passage à la limite dans les inégalités larges). et donc: l l v n u n. Comme lim(v n u n ) =, on a donc: Soit finalement, l = l. l l =. Exercice On considère la fonction f : IR + IR +, définie par : f(x) = + x. ) Etudier sur [, + ] les variations et le signe de la fonction : g(x) := f(x) x. En déduire que l équation : f(x) = x a une solution unique égale à sur ], + [. On a : g (x) = + x < La fonction g décroît donc strictement de à quand x varie de à +. g a donc un seul zéro sur [, + [. est manifestement zéro de g (f() = + = 4 = ). g est donc > à gauche de et strictement négative à droite. ) On considére la suite (u n ) définie par récurrence : u n+ = f(u n ) avec u <. Montrer que la suite (u n ) est croissante, majorée et converge vers.

3 Comme f est croissante, on sait (cours) que la suite récurrente (u n ) est monotone. Comme u <, on a vu que g(u ) >, c est à dire f(u ) u >, u > u la suite (u n ) est strictement croissante. Comme u <, on a aussitôt par récurrence: u n < (car u n < entraîne f(u n ) < f(), soit u n+ < ). La suite u n est croissante et majorée par, elle converge donc vers une limite l. Par continuité de f au point l, l est un point fixe de f situé sur [, + [ donc l =. 3) On considére la suite (v n ) définie par : a) Montrer que : v n := u n. v n+ v n Par l application de la formule des accroissements finis sur l intervalle [u n, ], il existe c n ]u n, [ tel que: v n+ = u n+ = f() f(u n ) = f (c n )( u n ) = f (c n )v n. Comme: f (x) = +x, on a bien: v n+ v n b) Montrer que la suite (w n ) définie par : w n = v + v + v v n est convergente (ne pas chercher à calculer sa limite). Par récurrence sur n, on a: v n n v = n ( u ) La suite w n est croissante car w n+ = w n + v n avec v n > de sorte que w n+ > w n et w n est majorée par: w n [ ]v n = n+ v < v 3

4 Elle est donc convergente. Exercice. ) Calculer la dérivée de la fonction f définie par: f(x) := ln (x + + x ) et en donner une expression simple. On a, par application de la règle de dérivation des fonctions composées: f (x) := x + + x (+ x ) = + x x + + x ( f (x) = + x + x + x ) = + x + x ) Trouver la limite de la suite de terme général u n définie par: u n := k=n k= n + k = n + + n n + k n + n On peut réinterpréter u n comme une somme de Riemann relative à la fonction f(x) = +x : u n = n [ + + ( n ) + ( fracn) ( k n ) + ( n On a donc : u n = n [f( n ) + f( n ) f(k n ) f(n n )] lim n u n = Soit, d après la question ): lim n u n = f(x) dx = dx + x dx + x = [ln (x + + x )] = ln ( + ) lim n u n = ln ( + ) n ) ] 4

5 Exercice 3. Calculer les intégrales: I = x e x dx On utilise à répétition la formule d intégration par parties: b a u dv = [uv] b a b a v du en intégrant la fonction exponentielle et dérivant le polynôme, soit: u = x, dv = e x dx, du = xdx, v = e x, I = [ x e x ] + I = e + xe x dx xe x dx I = e + [ xe x ] + I = e + e x dx e x dx I = e + [ 4 e x ] = e 4 (e ) = 4 ( 5e ) J = I = 4 ( 5e ) x + 3x + dx La factorisation de x + 3x + s écrit x + 3x + = (x + )(x + ), on a donc: J = x + 3x + dx = (x + )(x + ) dx La décomposition en éléments simples de la fraction s ecrit: J = (x + )(x + ) = x + x + ( x + x + ) dx = [ln (x + ) ln (x + )] 5

6 J = [ln ( x + x + )] = ln ( 3 ) ln ( ) = ln (4 3 ) J = ln ( 4 3 ) K = π x sin 3 (x ) dx Le changement de variable: t = x, dt = xdx, donne: K = π sin 3 t dt = π sin t d( cos t) On peut prendre comme nouvelle variable: u = cos t, du = sin t dt, sin t = cos t = u, soit: K = ( u )du = [u u3 3 ] = ( 3 ) K = 4 3 L = ln8 ln 3 On pose t = e x, x = ln t, dx = dt t, d où: L = 8 3 ex + dx t + dt t On pose u := t +, u = t +, t = u, dt = udu, il vient: L = L = 3 3 u udu 3 u = u 3 u du = ( + u ) du ( + u ) du = [u + ln (u u + u + )]3 L = + ln ( 4 ) ln ( 3 ) L = + ln ( 3 ) 6

7 Exercice 4. ) Calculer les dérivées partielles premières f x par: f(x, y) = e xy + e xy On a : et f et y f x = xy e xy y e xy f y = x e xy xy e xy de la fonction définie ) Ecrire l équation du plan tangent á la surface de IR 3 d équation: z = f(x, y) au point (,, e ). L équation du plan tangent au point (x, y, z ) s écrit: soit au point (;, e ): z z = (x x ) f x (x, y ) + (y y ) f y (x, y ) z e = 3e (x ) 3e (y ) z = e 3e (x + y ) = e ( 3x 3y + 8) z = e ( 3x 3y + 8) 3) Chercher les extrema éventuels de f. Ils correspondent à: f x = f y = Soit: xy e xy y e xy = x e xy xy e xy = on a la solution évidente x = y =. Sinon, les équations entraînent x et y et donc: exp(xy x y) = y xy = xy x 7

8 qui entraînent: x y = 4x y soit x y =, c est à dire x = ou y =, ce qui est contradictoire. La seule solution est donc: x = y = qui est un point singulier de la surface mais n est pas un extremum. 8