Exercices. Température et thermomètres. Conception d un thermomètre à

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1 Exercices Température et thermomètres Exercice 1. liquide Conception d un thermomètre à Vous voulez construire un thermomètre donnant des températures comprise entre 0 C et 200 C. Vous disposez d un tube capillaire cylindrique en verre qui pour une longueur de tige utile de 30cm contient un volume de 24mm 3. Ce capillaire est relié à un réservoir de verre. Calculez : 1. Le volume du réservoir. 2. La masse de mercure à utiliser. 3. La sensibilité de l appareil en mm 3 par C. 4. Quelle pourrait être la résolution de l appareil? Cela induirait-il une graduation aisée? Que proposeriez-vous comme graduation? Données : densité du mercure à 0 C : d Hg = 13,6 ; coefficient de dilatation apparente du mercure dans le verre : =1/6400 ; la distance entre deux graduations ne peut être inférieure à 0,5 mm. Exercice 2. Correction de la colonne émergente d un thermomètre Un thermomètre à mercure plonge partiellement dans un bain dont on veut déterminer la température. Quand on l enfonce jusqu à la division n = 10 de la tige, il indique = 75,00 C, et quand on l enfonce jusqu à la division n = 60, il indique = 75,25 C. 1. Quel type d erreur commet-on si l on néglige le phénomène? Est-ce une erreur par défaut ou par excès? 2. Déduire de l expérience la température du bain dans l échelle de ce thermomètre à mercure. La température ambiant vaut : a = 15 C. On supposera que la colonne émergente est à la température ambiante. Exercice 3. Formule empirique de correction de la colonne émergente d un thermomètre.

2 Lorsque pour un relevé de température à l aide d un thermomètre à liquide, l émergence est importante, la température lue doit être corrigée à l aide de la formule suivante : c = l + n ( l - e ) avec : c : température corrigée. l : température lue. n : nombre de graduation émergentes. : coefficient de dilatation apparente du liquide thermométrique dans le verre. = 1/6400 e : température moyenne de la colonne émergente, estimée à la valeur approchée suivante : où a est la température ambiante. Dans un laboratoire la température est de 20 C. On y mesure la température de deux mélanges réactionnels avec des thermomètres à mercure identiques. Ils sont gradués tous les degrés, de 0 C à 400 C. Dans les deux cas, la première graduation émergente est celle indiquant 60 C. Les deux lectures de température sont les suivantes : 1 er mélange : 105 C 2 ème mélange : 298 C Quelles sont les températures des deux mélanges? Comparer les résultats et conclure. Exercice 4. Résidus de dilatation Un thermomètre à mercure donne les indications suivantes : n 100 = dans la vapeur d eau bouillante sous la pression atmosphérique n 0 = - 2 dans la glace fondante Quelle est la température Celsius lorsqu on lit une indication n? Application numérique pour n = 29. Exercice 5. Thermomètre à mercure Un thermomètre à mercure est destiné à être utilisé entre 0 et 150 C. On néglige la dilatation de l enveloppe de verre. La dilatabilité moyenne du mercure entre 0 et (température en C) est : où a, b et c sont des constantes.

3 1. Définir l échelle affine centésimale associée en exprimant t en fonction de a, b, c et. 2. Exprimer l écart = -t entre la température Celsius et la température t repérée sur le thermomètre. 3. Sachant que = t à 150 C, déterminer les températures t 1 et t 2 pour lesquelles passe par un extremum. Exercice 6. Thermomètre à résistance de platine L équation thermométrique d un thermomètre à résistance de platine est, entre 0 C et 630 C, de la forme où R désigne la résistance du fil de platine à la température Celsius On donne a =2 ; b = 8, C -1 ; c = -1, C Exprimer l écart = -t entre la température centésimale linéaire t définie par ce thermomètre et la température légale Celsius, en fonction de. Application numérique pour = 80 C. 2. Déterminer à quelle température l écart passe par une valeur maximale. En déduire l écart maximal. Exercice 7. Comparaison de deux thermomètres à résistance de platine On considère deux fils de platine dont les résistances peuvent s exprimer en fonction de la température, exprimée en degrés Celsius, par les relations : avec a = 2 b = 8, C -1 c = -1, C -2 et avec a = 15 b = 7, C -1 c = -3, C -2

4 En utilisant comme grandeur thermométrique la résistance du fil de platine, on peut définir une échelle thermométrique linéaire centésimale (t ou t ). Calculer, pour chaque thermomètre, l écart (t - ) en fonction de. Pour quel température cet écart est-il maximal? En déduire l écart (t t ) entre les températures affichées par ces deux thermomètres à 50 C. Conclusion. Exercice 8. Thermomètre à thermocouple. 1. La f.é.m. du couple plomb - cobalt, lorsqu une des soudures est à 0 C, vaut 1,114 mv à 50 C, 3,902 mv à 150 C et 7,436 mv à 250 C. Vérifier que, dans le domaine étudié (0 C, 250 C) cette f.é.m. peut se mettre sous la forme : et déterminer les coefficients a et b. 2. Si le thermocouple n avait été étalonné qu à 250 C, et en admettant pour E une loi de variation linéaire en fonction de la température, à quelle température l écart par rapport à la loi réelle serait-il maximal? On pourra tracer les deux courbes. 3. Quelle serait alors l erreur systématique commise sur la mesure de cette température? Exercice 9. Étude graphique d un thermocouple On maintient à 0 C l une des deux soudures d un thermocouple, et on porte l autre soudure à différentes températures. On mesure la force électromotrice E du thermocouple : ( C) E (mv) 0 4, Tracer la courbe E = ( ) et montrer que E est de la forme : 2. On veut utiliser cette f.é.m. E pour définir une échelle linéaire centésimale t. Tracer E = (t) sur le même graphe que E = ( ).

5 3. Exprimer t en fonction de et tracer t = ( ) 4. Exprimer l écart (t - ) en fonction de et tracer la courbe correspondante. Conclusion? Exercice 10. Thermomètre à thermistance 1. La résistance d une thermistance vaut 33,8 k à 273 K, 3,16 k à 333 K et 0,994 k à 373 K. Montrer que l on peut relier la résistance R à la température absolue T par la formule : Déterminer les coefficients A et B. 2. On veut utiliser cette thermistance à 300 K pour mesurer de très petites variations de température. Quelle est la plus petite variation de température que l on puisse mettre en évidence, sachant que l on peut mesurer une variation relative de résistance de 10-4? Corrigé Corrigé des exercices

6 Exercice 1. Conception d un thermomètre à liquide 1 La grandeur thermométrique est le volume. À 0 = 0 C, le mercure occupe le volume V 0 qui n est autre que le volume du réservoir. À 0 = 200 C, il occupe le volume V 0 + ΔV où ΔV représente le volume de la colonne utile du capillaire (ΔV = 24 mm 3 ). Si est l expression du volume en fonction de la température, nous pouvons identifier : AN : V 0 = 768 mm 3 2 Masse de mercure à utiliser : m = V = 10,44 g 3 La sensibilité est définie comme la variation de la grandeur thermométrique pour une variation de température donnée : En utilisant l une ou l autre de ses relations, nous obtenons : s = 0,12 mm 3 / C 4 La section du capillaire vaut : Pour une élévation de température de 1 C, l accroissement de volume est V 1 = 0,12 mm 3 et le niveau augment d une hauteur : Si l œil est capable de séparer deux graduations distantes de 0,5 mm, cela correspond alors à une élévation de température de 1/3

7 C ce qui n est pas très pratique ou usuel. On préférera graduer de 0,5 C en 0,5 C ; la distance qui séparera deux graduations sera donc de 0,75 mm. Exercice 2. Correction de la colonne émergente d un thermomètre 1 Tout le thermomètre n est pas à la température du bain. Le liquide en contact avec l air ambiant, plus froid que le bain, est moins dilaté. De ce fait, le niveau dans le thermomètre est plus bas que si la totalité du thermomètre était immergé. Il s agit donc d une erreur systématique par défaut. 2 Soit N et N les graduations lues. Dressons un tableau des deux situations : Situation Nombre de graduations immergées à la température n = 10 n = 60 Nombre de graduations qui dépassent à la température ambiante N n = 65 N n = 15,2 Analysons la première situation en détail. Pour 65 graduations à la température, la dilatation aurait du être : En fait elle n est que de Il y a donc une différence de dilatation de : 65 ( - ambiante ) 65 ambiante 65 La température corrigée doit donc s exprimer par la somme de la température lue et de la correction à apporter : (1) En raisonnant de la même façon pour la seconde situation, nous obtenons : (2)

8 Comme le coefficient de dilatation n est pas connu, il faut l éliminer du système. (1) et (2) En identifiant, nous obtenons : = 75,33 C Exercice 3. Formule empirique de correction de la colonne émergente d un thermomètre. Il s agit simplement de calculs numériques. Pour la température lue de 105 C, la valeur corrigée sera de 105,44 C soit une correction de 0,44 C. Pour la température lue de 298 C, la valeur corrigée sera de 303,91 C soit une correction de 5,91 C. Conclusion : l erreur systématique due à la colonne émergente est d autant plus importante que le bain est à température élevée. Exercice 4. Résidus de dilatation Les 100 C correspondent désormais à 104 C. Chaque graduation correspond désormais à 1,04 C (si l on considère le phénomène comme linéaire). Pour une lecture de 29 graduations, la température correspondante sera donc de = 29 1,04 = 30,16 C Exercice 5. Thermomètre à mercure 1- Par définition d une échelle centésimale affine : Comme, on peut détailler : et

9 Cela permet d obtenir une expression de t : D où 2- Il existe donc une différence entre la température «vraie» et la température mesurée t : 3- Il y a un extremum si En se rappelant que : d(uv) = u dv +v du, la dérivation aboutit à : d où soit (a) Pour =150 C, = 0 : d où b = 250 c

10 En remplaçant dans l équation (a), on obtient : Cette équation a deux racines : 1 = 127,43 C et 2 = 39,24 C Exercice 6. Thermomètre à résistance de platine 1- L écart = - t doit être défini. Par définition de l échelle centésimale affine : en prenant. Avec a = R 0, la résistance à 0 C et La température de l échelle centésimale s exprime donc par : On peut dès lors exprimer : soit Pour t = 80 C, on trouve = 0,24 C 2- Recherche de l écart maximal. Nous recherchons à quelle condition 2ct - 100c = 0 d'où t max = 50 C L écart maximal est donc : max = 0,38 C Conclusion, il ne faut pas attendre d un tel thermomètre une grande sensibilité. L exercice suivant montre que la sensibilité augmente quand R 0 est grand.

11 Exercice 7. Comparaison de deux thermomètres à résistance de platine Ben oui y a rien! Va falloir chercher tout seul! Exercice 8. Thermomètre à thermocouple. 1- De l expression on peut tirer. À 50 C : À 150 C : Si l on multiplie la première relation par trois et que l on soustrait les deux relations, nous obtenons : d où a = 2, mv/ C La première relation permet d obtenir b par substitution : b = 3, mv/ C² On obtient une relation de la forme : E = 2, t + 3, t². À 250 C, elle fournit E 250 = 7,436 mv comme indiqué dans l énoncé. La relation est donc valable. NB : Nous aurions pu effectuer la régression linéaire avec t et E/t comme variables ce qui est sûrement plus rapide. 2- Dans ce cas, nous sommes amener à poser E = a avec a = 2, mv/ C On pose L écart est maximal quand la dérivée de par rapport à t est nulle :

12 A N : t =125 C L écart maximal vaut alors = -19,6 C. Exercice 9. Étude graphique d un thermocouple Pas de corrigé ici non plus Exercice 10. Thermomètre à thermistance 1- Comme dans l exercice 8, il convient de linéariser pour rechercher les coefficients A et B. On peut aussi effectuer une régression linéaire après changement de variable R lnr et T 1/T. devient soit par soustraction : B = 3591 K et A = 6, soit 2- La variation relative de résistance se note si l on assimile la petite variation R à la différentielle dr.

13 Or Pour T 0 = 300 K ; nous obtenons : L instrument utilisé autour de cette température sera très sensible puisque capable de distinguer des écarts de température de l ordre du millième de kelvin.