Leçon 2. LE CIRCUIT RC

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1 Leçon. LE CIRCUIT RC Rappels - Les conventons en électrcté On chost un sens postf du courant (flèche de ) et on lu assoce la tenson aux bornes du dpôle D (flèche de u). Deux chox de conventon sont possbles : conventon récepteur : les deux flèches sont de sens opposé D u conventon générateur : les deux flèches sont de même sens - Les notatons en électrcté Les majuscules représentent des grandeurs constantes comme Q, U, I Les mnuscules représentent des grandeurs nstantanées, grandeurs varant au cours du temps, comme q, u, - Consels pour résoudre un problème d'électrcté représenter le crcut chosr le sens de l'ntensté représentée par une flèche sur le conducteur flécher les tensons en les accompagnant d'un symbole D u Exercce 1 : charge d'un condensateur à courant constant Un condensateur de capacté C est chargé par un générateur de courant. L'ntensté I du courant est constante et égale à 0,14 ma. Quand la charge commence, la tenson U AB aux bornes du condensateur est nulle. Après une durée de charge T = 10 s, U AB = 0,64 V. Calculer C Q -Q A UAB B QA Relaton entre la capacté C du condensateur et la charge : C = UAB Q A = I T U IT 0, C = C = C =,.10 - F AB 0,64 Pour décharger le condensateur, l sufft de déconnecter le générateur et de reler les armatures du condensateur par un fl conducteur. Alors U AB 0 Pendant la charge, le condensateur se comporte comme un récepteur ; pendant la décharge, l se comporte comme un générateur. 6

2 Exercce : où est passée l'énerge? Un condensateur de capacté C = 10 µf est chargé sous une tenson U = 50 V. Il est déconnecté du crcut de charge pus ses armatures sont relées à celles d'un condensateur de capacté C' = C ntalement déchargé et solé. Les condensateurs prennent alors des charges Q 1 et Q' 1 sous une même tenson U'. 1. Exprmer Q 1 et Q' 1 en foncton de U'.. En dédure U' en foncton de U, C et C'.. Calculer U', Q 1 et Q' Quelle est l'énerge ntale du condensateur de capacté C? Quelle est l'énerge fnale de l'ensemble? Commenter. Q -Q Condensateur en fn de charge, une fos déconnecté : Q = CU U Assocaton des condensateurs : L'état d'équlbre est attent, l'ntensté dans les fls de connexon est nulle. Q 1 -Q 1 U' Q' 1 -Q' 1 1. Q 1 = CU' et Q' 1 = C'U'. Au cours de l'assocaton, le condensateur de capacté C se décharge partellement dans le condensateur de capacté C' sans perte de charge : Q = Q 1 + Q' 1 CU = CU' + C'U' = U'(C+C') U' = C U C + C'. C' = C U ' = U C U ' = U U' = 50 U' = 17 V C Q 1 = CU' CU Q1= Q1 = Q 1 = 1, C Q' 1 = C'U' = CU' = Q 1 Q' 1 =,.10-4 C 4. Energe ntale du condensateur de capacté C : E 1 E 1 = 1 CU E 1 = E 1 = 1,.10 - J Energe fnale de l'ensemble : E E = 1 CU' + 1 C'U' E = 1 (C+C')U' U' = U E = 1 (C) ( U ) E = 1 CU E 1 E = E = 4,.10 - J La perte d'énerge provent de la dsspaton par effet Joule dans les fls de joncton, lors de la réunon des condensateurs. 6

3 Exercce : Charge d un condensateur Pour charger un condensateur de capacté C = 1 µf, on réalse un crcut sére orenté dans le sens ndqué sur la fgure c-dessous et comprenant : P N R C K A B - un générateur, de résstance nterne nulle, délvrant une tenson constante U PN = E ; - un conducteur ohmque de résstance R ; - le condensateur ntalement déchargé ; - un nterrupteur K. A l'nstant chos comme orgne des temps (t = 0), on ferme K. Les varatons de la charge q = q A de l'armature A du condensateur sont données par la courbe suvante (la tangente à cette courbe à l'nstant t = 0 a également été tracée). 1. Vers quelle valeur tend u AB quand t? En dédure, en s'adant de la courbe, la valeur numérque de E.. Montrer que l'ntensté 0 du courant à la date t = 0 (début de la charge) vaut 0 = R E.. a) Pourquo peut-on affrmer que l'ntensté du courant dans le crcut, à un nstant de date t quelconque, est donnée par le coeffcent drecteur de la tangente au pont de la courbe d'abscsse t? b) En utlsant la remarque du a) : détermner la valeur numérque de 0. En dédure la valeur numérque de R. justfer, en s'adant du graphque, l'évoluton de en foncton du temps. 4. Détermner, à partr de la courbe, les valeurs numérques de u AB, u PN et, à l'nstant de date t = 10 - s. En dédure l'énerge stockée dans le condensateur à cet nstant. 64

4 1. Pour t, le condensateur est chargé. Le courant ne passe plus : u R = 0 ; u AB = u PN = E u R P N u PN K A u AB B Sur la courbe on lt q -5 A = 10 C qa uab = C qa E = C q A en C, C en F, E en V 10 5 E = 10 6 E = 10 V chargé : u AB = 0 donc u PN = E = R 0 0 = R E E en V, R en Ω, 0 en A. A t = 0, le condensateur n'est pas dqa. a) A une date t quelconque, on peut écrre la relaton charge-ntensté : = mathématquement est la dérvée de q A = f(t). Elle est donnée par le coeffcent drecteur de la tangente à la courbe au pont d'abscsse t dqa b) A t = 0 = 0 0 = 0 pont M de la tangente de coordonnées t = 10 - s, q A = 10-5 C qm q = tm t 0 = = A 0 = 1 ma 0 = R E R = E R = R = 104 Ω R = 10 kω Quand t augmente le coeffcent drecteur de la tangente à la courbe q A = f(t) décroît, donc décroît. Pour t, 0 5. A la date t = 10 - s, pont P de la courbe q A = f(t), on lt q A = C qa u AB = u C AB = u 10 6 AB = 6 V u PN = E u PN = 10 V ur upn uab E uab = = = = R R R = A 4 Energe stockée dans le condensateur à cette date : E = 1 C.uAB E en J E = (6) E = 1, J C en F, u AB en V, 65

5 Exercce 4 : étude de la décharge d'un condensateur Le montage c-contre permet d'étuder l'évoluton de la tenson aux bornes d'un condensateur de capacté C en sére avec une résstance R. Le commutateur (nterrupteur à pluseurs postons) a deux postons possbles repérées par 1 et. Une nterface, relée à un ordnateur, permet de sasr les valeurs nstantanées de cette tenson u C. Donnée: E=5,0V. E 1 u R R C A B u c Intalement, le commutateur est depus longtemps en poston et le condensateur est déchargé. I Dès lors, comment faut-l manpuler le commutateur pour obtenr la courbe du document 1 cdessous donnant l évoluton de la tenson u C aux bornes du condensateur en foncton du temps? U C en volts Document ,0 0,04 0,06 0, ,1 0,1 0140,14 0,16t en ms 1. En respectant les conventons d orentaton du schéma du crcut: a) précser le sgne de l ntensté du courant de décharge. b) Écrre la relaton entre l ntensté du courant et la tenson u R c) Écrre la relaton entre la charge q de l armature A du condensateur et la tenson u C d) Écrre la relaton entre l ntensté et la charge q e) Écrre la relaton entre les tensons u R et u C lors de la décharge 66

6 . En dédure que, lors de la décharge, l équaton dfférentelle vérfée par la tenson u C est 1 duc de la forme uc +. = 0 α 1. dentfer le rapport α 4. ce rapport est appelé constante de temps τ du dpôle RC. En recherchant son unté, justfer son appellaton III La soluton de l équaton dfférentelle précédemment étable est de la forme u C = E.e -αt 1. la tenson u C est exprmée en volts.etablr l expresson du logarthme népéren de sa valeur notée ln u C on rappelle que ln ab= ln a + ln b ; ln a x = x. ln a ; ln e = 1. on a tracé à l ade d un logcel, la courbe représentatn ln u C en foncton du temps ln u C = - 45,5t + 1,61 ln u C t en ms Document a) montrer que l allure de cette courbe est en accord avec l expresson obtenue en.1 b) avec laquelle des tros valeurs proposées pour la constante de temps τ, les résultats de la modélsaton vous semblent-ls en accord? τ = 0,46 ms ; τ=, ms ; τ = ms IV le logcel permet de créer deux nouvelles grandeurs : uc p = 100 représentant le pourcentage de charge restant à la date t. E t n = at = représentant la durée de la décharge en unté de constante de temps(c est à dre τ quand t = τ, n = 1 ; t = τ, n = etc ) 67

7 la courbe du document représente p en foncton de n 1. pour n = 1 détermner graphquement le pourcentage de charge restante. pour quelle valeur de n, la décharge peut-elle être consdérée comme termnée?. quelle est la durée mnmale pendant laquelle le commutateur dot rester dans la poston convenable pour que la charge du condensateur pusse être consdérée comme totale? 100 p en % ,0 0,04 0,06 0,08 0,1 0,1 0,14 0, n sans unté Document CORRIGE Queston I On place le commutateur en poston 1 : le condensateur se charge, pus on place le commutateur en poston : le condensateur se décharge (document 1) Queston II 1. a) q A = C u AB dqa = le condensateur se décharge dq A < 0 donc < 0 1. b) q = C. u C 1. c) u R =R dq 1. d) = dq 1. e) q = Cu C = = Cdu C u R = R u R = R Cdu C 68

8 et. u R = - u C -u C = R Cdu C u C + R Cdu C = 0. 1 = α RC u C + α 1 duc = 0 4. C s esprme en AV -1 R s exprme en VA -1 τ s exprme en A.V -1.s.V.A -1 sot en seconde, d où l expresson constante de temps Queston III 1. u C = E.e -αt ln u C = lne+lne -αt lnu C =lne - αt. a) La courbe ln(u C) = f(t) est une drote d'équaton lnu C = at +b ; s b = lne et a = -α on retrouve l'expresson précédente. b) α est l opposé du coeffcent drecteur de la drote a α = 45,5 sot 1 =.10 - s α α 1 = ms τ = ms Queston IV 1 n=1 t = τ u C =E.e -1 = 0,7.E ρ = 7% graphquement, ρ est vosn de 40%.pour n =5 on peut consdérer que u C = 0 t= 5.τ u C = E.e -5 = 0,007 ρ = 0,7%. En consdérant le temps de charge égal à celu de la décharge : n=6 t= 6.τ u C = E.e -5 = 0,005 ρ = 0,5% la charge est effectve à 99,7% 69

9 Exercce 5 : étude expérmentale de la charge et de la décharge du condensateur Réalser le crcut suvant avec R = 9,8 kω et C = 100 nf B Voe A u GBF R A Voe B M C u C Le GBF délvre une tenson en créneaux qu prend les valeurs 0 pus 6 V avec une fréquence f = 15 Hz. Indquer le chox de sensbltés vertcale et horzontale qu permettra d'obtenr des courbes lsbles et dessner ce que l'on pourra observer sur l'écran. Détermner la constante de temps τ du dpôle RC, en mesurant la durée après laquelle u C = 0,6 U dans la phase de charge du condensateur (U = 6 V). Remplacer le condensateur de 100 nf par un condensateur de 47 nf. Comment évolue τ? Remplacer le conducteur ohmque de 9,8 kω par un conducteur ohmque de 47 kω. Comment vare τ? Parm les expressons suvantes quelle est celle qu est acceptable? τ = R ; τ= ; RC C R C τ = Effectuer une analyse dmensonnelle sur la relaton chose. Proposer un protocole pour détermner la capacté C d'un condensateur nconnu. Sur la voe A, on observe u, tenson aux bornes du GBF Sur la voe B, on observe u C, tenson aux bornes du condensateur. Sensblté vertcale : V/dvson 70

10 Sensblté horzontale : f = 15 Hz ; T = f 1 ; T = 8 ms ; avec le balayage 1 ms/dvson, une pérode s'étale sur 8 carreaux. 0,6 U = 0,6 6 =,8 V Sur l'osclloscope, on lt τ = 1 ms S on remplace le condensateur de 100 nf par C = 47 nf, τ dmnue. Avec C = 100 nf et R = 47 kω τ augmente, on lt τ = 4,7 ms τ = RC est l'expresson qu convent τ = τ = 4,7 ms Analyse dmensonnelle : τ = RC R = U Q ; C = ; RC = U Q Q = = t I U I U I RC a ben la dmenson d'un temps et s'exprme en secondes Pour détermner la capacté d'un condensateur nconnu, on réalse le montage de ce TP avec une résstance de valeur connue. On mesure la constante de temps et on en dédut la valeur de C : C = R τ 71