Variables aléatoires : loi et espérance (suite).

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1 Uiversité Pierre et Marie Curie 2-2 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 5 Variables aléatoires : loi et espérace (suite).. Soit X ue variable aléatoire. Détermier pour quelles valeurs de λ R la variable e λx est itégrable et calculer E[e λx ] das chacu des cas suivats : a) X suit la loi uiforme sur u itervalle [a, b], b) X suit la loi expoetielle de paramètre θ >, c) X suit la loi ormale N (, ). Solutio de l'exercice. a) Pour tout λ R, la variable aléatoire e λx est borée (lorsque X suit ue loi uiforme sur [a, b]), et doc itégrable. De plus, b) E[e λx ] = E[e λx ] = b a e λx dx = λ [e λx ] b a = λ [e λb e λa ]. + { + si λ θ, e (λ θ)x dx = si λ < θ. c) Pour la loi ormale, o trouve, e faisat le chagemet de variable y = x λ/2, θ λ + e λx x2 /2 dx = + e λy2 /2 λ 2 /4 dy = e λ2 /4. 2. a) Soit X ue variable aléatoire à valeurs das N. Motrer que si X 2 est itégrable, alors X est itégrable. Ce résultat reste-t-il vrai si l'o suppose que la loi de X admet ue desité? b) Soit m u etier. Doer u exemple d'ue variable aléatoire X à valeurs das N telle que X k soit itégrable pour tout k compris etre et m et E[X m+ ] = +. Solutio de l'exercice 2. a) E utilisat l'iégalité x + x 2 valable pour tout réel x et la positivité de l'espérace, o obtiet que E[ X ] + E[X 2 ], ce qui prouve que le résultat, sas hypothèse sur la variable aléatoire réelle X autre que l'existece d'u momet d'ordre 2. E particulier c'est vrai si X est à desité.

2 b) Notos, pour tout s >, ζ(s) =. Cosidéros ue variable aléatoire X : s (Ω, F, P) N telle que pour tout o ait P(X = ) = ζ(m + 2). m+2 Alors d'ue part, E[X m ] = ζ(m + 2) 2 = ζ(2) ζ(m + 2) < +, doc X admet u momet d'ordre m et, d'autre part, E[X m+ ] = ζ(m + 2) = +, doc X 'admet pas de momet d'ordre m O cosidère la foctio f : R R déie par f(t) = π + t 2. a) Motrer que f est la desité d'ue mesure de probabilités sur R. Soit X ue variable aléatoire dot la loi admet la desité f. b) La variable aléatoire X est-elle itégrable? c) Calculer la foctio de répartitio de X. d) Calculer la loi de Y = arcta(x). La loi cosidérée das cet exercice s'appelle la loi de Cauchy stadard. Solutio de l'exercice 3. a) O eectue le chagemet de variable t = arcta x, et, comme arcta = il viet + f(x)dx = π/2 dθ =. π f est doc la desité d'ue probabilité. π/2 +arcta 2, x b) x 'est pas itégrable au voisiage de l'ii, et doc X 'est pas itégrable. +x 2 c) Par le chagemet de variable du a), o obtiet P(X a) = a f(x)dx = π arcta a π/2 d) Soit b [ π/2, π/2]. O a, toujours par le même calcul, P(Y b) = P(X ta b) = ta b Y suit doc la loi uiforme sur [ π/2, π/2]. f(x)dx = π dθ = arcta a + π/2. b π/2 dθ = b + π/2. 2

3 4. Soit X ue variable aléatoire qui suit la loi ormale N (, ). Motrer que pour tout N, la variable aléatoire X est itégrable et calculer E[X ]. Vérier que pour tout, E[X ] est le ombre de maières d'apparier poits, c'est-à-dire le ombre de partitios de l'esemble {,..., } par des paires. Solutio de l'exercice 4. La desité de la loi ormale cetrée réduite est la foctio f(x) = e x2 2. O sait que pour tout, la foctio x x e x2 2 ted vers lorsque x ted vers + ou. Soit u etier. Puisque x x +2 e x2 2 ted vers e l'ii, o a x e x2 2 = O( ) e + + et, si bie que l'itégrale x 2 x e x 2 2 dx coverge. La loi ormale cetrée réduite admet doc des momets de tous les ordres. Pour tout, posos m = + x e x2 2 dx. Si est impair, m est l'itégrale d'ue foctio itégrable impaire, doc m =. Ceci peut se vérier e faisat le chagemet de variable y = x qui doe la relatio m = m. Pour =, m est l'itégrale de la desité d'ue loi de probabilités, doc m =. Soit 2 u etier pair. O écrit = 2p. Ue itégratio par parties doe, pour tout R >, +R x 2p e x2 2 dx = +R = [ x 2p }{{} u x 2p e x2 2 xe x2 2 }{{} v ] R dx +R + (2p ) x 2p 2 e x2 2 dx. E faisat tedre R vers +, o trouve la relatio m 2p = (2p )m 2p 2, qu'o résout e m 2p = (2p )(2p 3) Ce ombre est souvet oté (2p)!! et vaut (2p)! 2 p p!. Fialemet, les momets de la loi ormale cetrée réduite sot doés par { si est impair,, m = (2p)!! = (2p)! si = 2p. 2 p p! Pour apparier poits, il faut choisir avec lequel des autres élémets apparier le premier, puis il e reste 2 à apparier pour lesquels o procède de même. O obtiet la même équatio de récurrece que précédemmet, avec ue uique possibilité si = 2 et aucue si est impair. Le ombre de maière d'apparier poits est doc égal au momet d'ordre de la loi ormale. 5. Soit θ > u réel. Soit X ue variable aléatoire de loi expoetielle de paramètre θ. Motrer que pour tout etier, la variable aléatoire X est itégrable et calculer E[X ]. Doer ue iterprétatio combiatoire de ce ombre lorsque θ =. 3

4 Solutio de l'exercice 5. Pour =, o a évidemmet E[X ] =. Soit. O itègre par parties (e dérivat le moôme et e primitivat l'expoetielle) : E[X ] = θ + [ x x e θx e θx dx = θ θ ] + + θ + x e θx dx = θ E[X ]. E raisoat par récurrece, o obtiet immédiatemet E[X ] =!θ. Pour θ =, E[X ] =! est le ombre de bijectios d'u esemble ayat élémets das lui même. 6. Soit λ > u réel. Soit X ue variable aléatoire de loi de Poisso de paramètre λ. Motrer que pour tout etier k, la variable aléatoire X(X )... (X k + ) est itégrable et calculer so espérace. Calculer E[X m ] pour m {, 2, 3, 4} et vérier que pour chacue de ces valeurs de m, E[X m ] est le ombre de partitios d'u esemble à m élémets lorsque λ =. O peut démotrer que cette assertio est vraie pour tout m. Solutio de l'exercice 6. Y k := X(X )... (X k + ) est ue variable aléatoire positive, o peut doc calculer so espérace (évetuellemet iie, auquel cas elle 'est pas itégrable). E utilisat le fait que Y k = lorsque X =,..., k, o obtiet E[Y k ] = e λ i k i(i )... (i k + )λ i i! = e λ λ k i k λ i k (i k)! = λk < +. O sait que les Y k permettet de retrouver les X k par combiaiso liéaire (famille écheloée de polyômes, même si ici X désige ue variable aléatoire et pas ue idétermiée). O trouve, e idetiat les coeciets X = Y, X 2 = Y 2 + Y, X 3 = Y 3 + 3X 2 2X = Y 3 + 3Y 2 + Y, X 4 = Y 4 + 6X 3 X 2 + 6X = Y 4 + 6Y 3 + 7X 2 6X = Y 4 + 6Y 3 + 7Y 2 + Y. O pred maiteat les espéraces et o utilise la relatio E[Y k ] = λ k calculée plus haut pour obteir les premiers momet de X : E[X] = λ, E[X 2 ] = λ 2 + λ, E[X 3 ] = λ 3 + 3λ 2 + λ, E[X 4 ] = λ 4 + 6λ 3 + 7λ 2 + λ. Pour λ =, o obtiet E[X] =, E[X 2 ] = 3, E[X 3 ] = 5, E[X 4 ] = 5. O costate que pour ces 4 valeurs, E[X m ] est le ombre de partitios d'u esemble à m élémets, et même que le coeciet devat λ k est celui des partitios de cet esemble e k sous-esembles. Par exemple pour m = 4, o a : pour k = 4, ue seule partitio (composée de 4 sigletos), pour k = 3, 6 partitios (composées d'ue paire et de deux 4

5 sigletos), pour k = 2, 7 partitios (3 composées de deux paires et 4 composées d'u brela et d'u sigleto) et e pour k = ue seule (réduite à l'esemble total). 7. Motrer qu'ue variable aléatoire positive dot l'espérace est ulle est ulle presque sûremet. O pourra motrer, par cotrapositio, que si X est ue variable aléatoire positive telle que E[X] >, alors P(X > ) >. Solutio de l'exercice 7. Soit X : (Ω, F, P) R + ue variable aléatoire réelle positive. Pour tout, déissos u évéemet A F e posat A = {X }. La suite d'évéemets (A ) est croissate et vérie A = {X > }. O e déduit que P(X > ) est la limite des P(X ) lorsque ted vers l'ii. Supposos P(X > ) >. Alors il existe tel que P(X ) >. O a doc [ ] E[X] E X {X } ] [ E {X } ( P X ) >. Nous veos de motrer que si X 'est pas presque sûremet ulle, alors so espérace est strictemet positive. La cotraposée de cette assertio est ce qu'o ous demadait de démotrer. 8. Soiet λ, µ > deux réels. O cosidère l'esemble Ω = N 2, la tribu F = P(N 2 ) et, sur l'espace mesurable (Ω, F ), la probabilité P caractérisée par (, m) N 2 (λ+µ) λ µ m, P({(, m)}) = e! m!. E, sur (Ω, F, P), o déit les deux variables aléatoires X(, m) = et Y (, m) = m. a) Vérier que P(Ω) =. b) Détermier la loi de X et la loi de Y. c) Détermier la loi de X + Y. Solutio de l'exercice 8. a) O peut sommer la série double (car à termes positifs) das l'ordre de so choix, par exemple e m puis e. E recoaissat le développemet de l'expoetielle de µ, o obtiet : m µ µm P({, m}) = e e! m! m = e λ λ!, et doc o a bie : m P({, m}) = e! =. 5

6 b) D'après le calcul précédet, P(X = ) = λ m P({, m}) = e λ, doc X suit la! loi de Poisso de paramètre λ. U calcul aalogue motre que Y suit la loi de Poisso de paramètre µ. c) Détermios la loi de X + Y. Soit k N. Alors P(X + Y = k) = k P({, k }) = = = e (λ+µ) k! k = (λ+µ) λ µ k e! (k )! k Ck λ k µ k (λ+µ) (λ + µ)k = e. k! = X + Y suit doc la loi de Poisso de paramètre λ + µ. 9. Soiet λ > et p [, ] deux réels. O cosidère l'esemble Ω = N 2, la tribu F = P(N 2 ) et, sur l'espace mesurable (Ω, F ), la probabilité P caractérisée par ( ) (, k) N 2, P({(, k)}) = e p k ( p) k k.! k E, sur (Ω, F, P), o déit les deux variables aléatoires X(, k) = et Y (, k) = k. a) Vérier que P(Ω) =. b) Détermier la loi de X et la loi de Y. Solutio de l'exercice 9. a) E xat, o obtiet k N P({(, k)}) = e! k= ( )p k ( p) k k = e k! (p+ p) = e k= O somme maiteat sur N, et e recoaissat le développemet de exp(λ) o vérie immédiatemet que P(Ω) = N k N P({(, k)}) =.!. P est doc bie ue probabilité. b) O viet de voir que P(X = ) = k N P({(, k)}) = e!, ce qui motre que X suit ue loi de Poisso de paramètre λ. 6

7 Il reste à détermier la loi de Y. O a P(Y = k) = N λ (pλ)k P({(, k)}) = e k! =k Or, e faisat le chagemet d'idice m = k, o obtiet (λ( p)) k. ( k)! =k (λ( p)) k ( k)! = m N (λ( p)) m m! = exp(λ( p)). D'où, alemet, λp (pλ)k P(Y = k) = e. k! Y suit doc ue loi de Poisso de paramètre λp. Cocrètemet, Y peut être obteu tirat d'abord X selo ue loi de Poisso de paramètre λ, puis e laçat X pièces de moaie (biaisées, ayat ue probabilité p de doer u pile). Y est alors le ombre de pièces tombées sur pile. 7