Thème N 4 : TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE. Calculs de longueurs

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1 3- EE Thème : TRIGOOETRIE D LE TRIGLE RETGLE la fin du thème, tu dois savoir : onnaitre les relations trigonométriques. alculer une longueur avec une formule trigonométrique. alculer la mesure d un angle avec la trigonométrie. alculs de longueurs Exercice n 1: Le triangle est rectangle en ; l'unité de longueur est le centimètre. l'aide des indications données, calculer une valeur approchée de la longueur des deux autres côtés. a) 18 et 5 ; b) 3 et ; c) et 1 d ) 5 et 3, 5 ; e) 50 et ; f ) et 5 cm 18 3 a) alcul de Dans le triangle rectangle en : cos donc donc 5 cos18 5,6 cm cos 18 5 b)alcul de Dans le triangle rectangle en : sin donc donc sin 3 16,8 cm sin 3 cm alcul de Dans le triangle rectangle en : tan donc donc 5 tan18 1,6 cm. tan18 5 alcul de Dans le triangle rectangle en : tan donc donc tan 3 1,0 cm. tan 3

2 1 cm cm 5 c) alcul de Dans le triangle rectangle en : cos donc cos 1 donc 1 cos,50 cm alcul de Dans le triangle rectangle en : sin donc sin 1 donc 1 sin 11,13 cm. d) alcul de Dans le triangle rectangle en : sin donc sin 5 donc sin 5 8,8 cm alcul de Dans le triangle rectangle en : tan donc tan 5 donc tan 5 7,51 cm. cm 50 e)alcul de Dans le triangle rectangle en : cos donc cos 50 donc cos50 6, cm alcul de Dans le triangle rectangle en : tan donc tan50 donc tan50,77 cm. f)alcul de Dans le triangle rectangle en : cos donc cos donc cos 3,75 cm alcul de b) Dans le triangle rectangle en : sin donc sin donc sin,7 cm.

3 50 m 1 Dans le triangle rectangle en : tan donc tan 1 50 donc 50 tan1 1,1 onclusion : La largeur de la rivière mesure environ 1, m Exercice n : ur les berges de la rivière, deux points remarquables et se font face. En partant de, perpendiculairement à (), on parcourt 50 m et on arrive ainsi au point. De là, on voit le segment [] sous un angle de 1. alculer la largeur de la rivière, à 1 dm près. Exercice n 3: Un observateur placé à 50 m d'une falaise voit le sommet de celle-ci sous un angle de 5, et la bas sous un angle de 30. alculer la hauteur de la falaise, à près. 50 m m 5 30 D alcul de Dans le triangle D rectangle en : tan D donc tan 5 D 50 donc 50 tan5 50 alcul de Dans le triangle D rectangle en : tan D donc tan 30 D 50 donc 50 tan30 8,87 alcul de : On a : ,87 78,87 onclusion : La hauteur de la falaise mesure environ 78, m 785,53 m alcul de H Dans le triangle H rectangle en H : H H cos donc cos16,7 785,53 donc H 785,53 cos16, 7 H 753 m 16,7 H Exercice n : De puis le point, un géomètre mesure ( avec un : géomètre à laser) et H 785,53 m; mes (H ) 16,7. alculer H et H alcul de H b) Dans le triangle H rectangle en H : H H sin H donc sin16,7 H 785,53 donc H 785,53 sin 16,7 H,7 m.

4 Exercice n 5: Le vainqueur V est en vue. De part et d'autre de l'entrée V du port, deux observateurs munis de goniomètres mesurent chacun un angle: 60 m a) alcul de V Dans le triangle rectangle en V V tan V donc tan donc V 60 tan70 70 V 165 m mes( V ) 70 ; mes( V ) 0. a) achant que 60 m, calculer V. b) En déduire la distance qui sépare V du milieu de []. ( rrondir les résultats au mètre le plus proche). b) alcul de V Dans le triangle rectangle en, d après le théorème de ythagore, on a : V + V V V V V V V V 167,7 onclusion : La longueur V mesure environ 168 m V Exercice n 6 : alcule la longueur H puis l aire de. alcul de H Dans le triangle H rectangle en H : H H sin donc sin 37 3, donc H 3, sin 37 H,05 cm 3, cm alcul de l aire du triangle H 7,,05 On a ire, soit ire 7, 38 onclusion : L aire du triangle est environ 7,38 cm² 37 H 7, cm Exercice n 7 : our un maximum de sécurité, une échelle doit former avec un mur un angle de 0. vec une échelle de m, jusqu à quelle hauteur de mur peut on monter (au cm près) alcul de H Dans le triangle H rectangle en, H H on a : cos H soit cos 0 H donc H cos0 H 8,6 m 0 H Il peut donc monter à une hauteur de 8,6 m environ

5 Exercice n 8 : Quelle est la hauteur h de la tour alcul de Dans le triangle rectangle en, on a : tan soit tan 5 donc 5 tan5 1 m 5 5 1,50 m 5 m D h alcul de h : On a h D + 1,50 + 1,50 onclusion : La hauteur de la tour mesure environ,50 m alculs d'angles Exercice n : a) 7 et 1, 3 ; b) 1 et 7 ; c) 0, 5 et d ) 5, 3 et, 5 ; e) et alculer au degré près la mesure des angles aigus. a) 7 et 1,3 b) 1 et 7 1,3 7 alcul de l angle Dans le triangle rectangle en : cos ,3 alcul de l angle alcul de l angle Dans le triangle rectangle en : cos alcul de l angle

6 c) 0,5 et d) 5,3 et,5 0,5 5,3 alcul de l angle Dans le triangle rectangle en :,5 alcul de l angle Dans le triangle rectangle en : sin 0,5 tan 5,3, alcul de l angle alcul de l angle e) et alcul de l angle Dans le triangle rectangle en : cos 66 alcul de l angle 0 66

7 Exercice n : ur un terrain de foot, le point de penalty est situé à 11 m de ligne de but (). Les buts ont une largeur de 7,3 m. alcule (au degré près) l angle de tir d un footballeur lorsqu il tire un penalty. (conseil : calcule d abord O dans le triangle O, en expliquant pourquoi ce triangle est rectangle). O la alcul de O 11 m O 7,3 m omme est un triangle isocèle, alors La bissectrice de est aussi la hauteur issue du sommet principal donc [O] est perpendiculaire à [] mais aussi la médiane issue de donc O O 7,3 : 3,66. insi le triangle O est rectangle en O avec O 3,66m. O 3,66 On a : tan O O 11 D où O 18, omme [O) est une bissectrice, alors : O 18, 36,8 onclusion : L angle de tir est environ 37 Exercice n 11 : Le sommet de la tour de ise s écarte de la verticale d environ 5 m et se trouve à environ 55 m du sol. alcule (au degré près) l angle que fait la tour avec la verticale. 55 m 5 m Dans le triangle rectangle en, on a : D où : 5 5 tan Exercice n 1: Dans le trapèze EU, calculer à 0,01 près, la mesure x de l'angle. 7 cm O 3 cm U x 3 cm 7 cm U 3 cm 3 cm E cm oit la perpendiculaire à [U] passant par, elle coupe [U] en O. alcul de OU : On a OU U O 7 3 OU 3 cm alcul de O EO est un quadrilatère à 3 angles droits, donc OE est un rectangle, : E O 3 cm alcul de la mesure de l angle OU Dans le triangle OU rectangle en O, on a : O 3 tan U 1 soit U 5 OU 3 onclusion : la mesure de l angle OU est 5 E cm