Appendice A 1. Le principe de d Alembert et les équations de Euler-Lagrange

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1 Appendce A 1 Le prncpe de d Alembert et les équatons de Euler-Lagrange

2 Appendce A 2 Le prncpe de d Alembert : dsplacement vrtuel Consdérons un déplacement nfntésmal d un système se défnt comme un changement dans la confguraton de ce système résultant d un changement arbtrare nfntésmal des coordonnées δr à un nstant du temps t. Imagnons que ce déplacement nfntésmal δr est compatble avec les forces et les lasons mposées au système au temps t. Ce déplacement est appelé vtuel parce qu l a leu à un nstant du temps donné. C est-à-dre dt = 0, ce qu dstngue un déplacement vrtuel d un déplacement réel qu a leu forcement pendant un ntervalle du temps dt > 0.

3 Appendce A 3 Évdement on a (F ṗ ) δr = 0 (1) C est le traval vrtuel effectué par les tous les forces dans le déplacement vrtuel. Décomposons les forces F en la force applquée F a et la force de lason f F = F a + f. (2) Remplaçant cette décomposton dans (1) on a (F a ṗ ) δr + f δr = 0. (3) Il est souvent le cas que le traval vtuel des forces de contrante est nul. C est valable pour des corps rgdes et pour un grand nombre d autres contrantes. Par exemple, s

4 Appendce A 4 un partcule est contrante à se mouvor sur une surface, la force de contrante est perpendculare à cette surface. Donc δr dot être tangent à la surface et le traval vrtuel est nul. Et donc (F (a) ṗ ) δr = 0. (4) C est le prncpe de d Alembert. Les coordonnées r ne sont pas ndépendantes. Il nous faut transormer (4) en une expresson portant sur les déplacements vrtuels des coordonnées généralsées δq qu sont alors ndépendantes les unes des autres de telle manère que les coeffcents des δq pussent être séparément égalés à zéro.

5 Appendce A 5 Le prncpe de d Alembert : dsplacement vrtuel Le passage des r aux q est assuré par les équatons de transformaton (cf. Cours 2) r 1 = r 1 (q 1, q 2,... q 3N k, t), r 2 = r 2 (q 1, q 2,... q 3N k, t),. r N = r N (q 1, q 2,... q 3N k, t). (5) Le déplacement vrtuel δr est assocé aux déplacements

6 Appendce A 6 vrtuels δq par δr = r δq. (6) Il n y a pas de terme comme r t δt (7) dans la somme (6) pusque un déplacement vrtuel, par défnton, mplque unquement des déplacements spataux. Le premer terme de l équaton (4), le traval vrtuel des F (a) en termes de déplacements vrtuels des coordonnées géréralsées devent F (a) δr =, = ( F (a) r ) δq, Q δq, (8)

7 Appendce A 7 où les Q sont appelées les composantes de la force généralsée Q = ( F (a) r ) q (9) Le second terme de l équaton (4), le traval vrtuel des «forces vrtuelles» (ou nertelles) ṗ en termes de déplacements vrtuels des coordonnées géréralsées devent ṗ δr = ( m r r ) δq. (10) q, Nous cherchons les forces généralsées pour un donnée ( m r r ) = [ ( d m ṙ r ) m ṙ d ( )] r q dt q dt (11)

8 Appendce A 8 On trouvera pour le derner terme que ( ) d r = ( ) dr = r = v (12) dt dt C est parce que v r = r q + r t (13) et par analoge ( d r dt ) = k = 2 r q k ( k q k + 2 r t r q k + r q k t = v. (14) )

9 Appendce A 9 En outre, par (13) nous voyons ( ) v = r q k + r q q q k t k = k r q k δ k = r. (15) ( m r r ) = = = [ d dt [ d dt [ d dt ( m v v q ) m v v ], (16) ( ) m 2 v2 ] m q 2 v2, q ( ) T T ], (17) q

10 Appendce A 10 où nous avons dentfé ( m ) 2 v2 = T, (18) à l énerge cenétque du système. Et donc le traval vrtuel par des «forces vrtuelles» (ou nertelles) ṗ en termes de déplacements vrtuels des coordonnées géréralsées devent ṗ δr = [ ( d T dt q ) T ] δq. (19) En portant ces égaltés pour le traval (8) par les forces généralsées ( 9) et pour le traval vrtuel (19) dans (4), le

11 Appendce A 11 prncpe de d Alembert devent 0 = = (F (a) ṗ ) δr, [ d dt ( ) T q T ] Q δq (20) Rappellez que les q sont ndépendants, et donc tout déplacement vrtuels δq est ndépendant de δq k et, par conséquent, la seule façon de garder la valdté de (20) est d égaler à 0 séparément les coeffcents [ ( ) d T 0 = T ] Q (21) dt q Lorsque les forces dérvent d une foncton potentelle scalare, V, qu est l énerge potentelle du système F = V (22)

12 Appendce A 12 les forces généralsées peuvent s écrre Q = F r = V r, = V (23) Dans le cas où V ne dépend pas explctement de q on a ( ) ( ) T V T = (24) q q et donc l est commode de défnr une nouvelle foncton, le lagrangen L, comme L = T V. (25) Pus les n équaton (21) prennent la forme [ ( ) d L 0 = L ] dt q (26)

13 Appendce A 13 Ils sont les équatons de Euler-Lagrange.