BONJOUR et BIENVENUE

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Daniel Patel
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1 BONJOUR et BIENVENUE Intervenants : Eric DAVAE, Dr Ingénieur civil EPF Chef du Service de l électricité de la Ville de ausanne avec les assistants du SMS 1

2 Programme des semaines 5 à Mardi 11,1 Sollicitations composées et 12.7 Principe des travaux virtuels et calcul des déplacements Jeudi 12.6, Principe des travaux virtuels et calcul des déplacements Mardi Calcul de la charge limite des structures hyperstatiques simples Théorèmes fondamentaux de l'analyse limite Jeudi Théorèmes fondamentaux de l'analyse limite Mardi Flambement des poutres Jeudi Flambement des poutres Mardi 20,8 Flambement des poutres 8 Jeudi compléments / révisions O d éfé Mé i d t t V l 2 F i FREY t Mé i d lid V l 3 MS (V3) 2

3 12. Principe des travaux virtuels Calcul des déplacements 3

4 Mécanique des milieux continues Structure faite de barres et de poutres Mécanique des structures 4

5 Introduction : treillis et poutres es treillis et poutres ont un caractère discret, soit un découpage naturel en composants simples et en nombre fini d inconnues P 1 P 2 P 3 Cas d un treillis : 7 i identification des nœuds (1, 2, ) j h actions nodales (P 1, ) déplacements nodaux (..u 6, v 6..) effort normal dans barres (.., N i, N j, N k,..) k v 6 6 g 4 2 u 6 5

6 Introduction : treillis et poutres es treillis et poutres ont un caractère discret, soit un découpage naturel en composants simples et en nombre fini d inconnues P 1 P 2 P 3 Cas d une poutre : actions nodales (P 1, ) déplacements choisis (v A et θ A..) efforts intérieurs (N A, M A, ) M A N A v A V A A A θ A Ω Ω cubique axe V B B B M B v B N B θ B e concept discret a été retenu dans la MEF 6

7 Introduction : treillis et poutres es grandeurs statiques sont les efforts intérieurs. Par le principe d équivalence, ils s expriment sur l axe... dv =...(... da) dx =...(efforts intérieurs) dx V A 7

8 Introduction : treillis et poutres Grandeurs statiques ASSOCIÉES Grandeurs cinématiques Efforts intérieurs Déplacements Déformations N V T M du du ε = dx dv dv β = dx dθ x dθx χ = dx dθ dθ ψ = dx courbure 1 ψ = r 8

9 δw * int εij δσ ij V Forme du travail virtuel intérieur Importance du lien TRAVAI - mécanique du solide et de son interprétation physique Cas d une poutre en flexion pure (sous M) = dv avec: ε ε x, σ σ x Fonction poids Cinématiquement et avec la nouvelle notation δw * int = ε δσ dv V ε = ψ y * [ ] δ Wint = ( yψ ) δσ da dx = ( y) δσ da ψ dx A A δm z Indépendamment de toute loi constitutive 9

10 Forme du travail virtuel intérieur Importance du lien TRAVAI - mécanique du solide et de son interprétation physique Cas d une poutre en flexion pure (sous M) * [ ] δ Wint = ( yψ ) δσ da dx = ( y) δσ da ψ dx A * int A δw = δm ψ dx = δm dθ 10

11 Forme intégrale de l équilibre - Principe des déplacements virtuels = δβ dx = δε dx = δψ dx d( δw ) = Ndδu+ Vdδ v+ Mdδθ int Travail virtuel intérieur : δwint = ( N δε + Vδβ + Mδψ ) dx 11

12 Forme intégrale de l équilibre - Principe des déplacements virtuels = δβ dx = δε dx = δψ dx Travail virtuel extérieur δw = Fδu + Rδu ext F R Éventuels tassements d appui F pour toutes les charges extérieures R pour toutes les réactions d appui extériorisées 12

13 Forme intégrale de la cinématique - Principe des forces virtuelles = β dx = ε dx =ψ dx Travail virtuel intérieur : Travail virtuel extérieur : * int d( δw ) = δn du + δvdv + δmdθ * int δw = ( δn ε + δv β + δmψ) dx * ext F δw = δfu + δru R 13

14 Formes intégrales - Résumé Déplacements virtuels (forme intégrale de l équilibre statique) ( N δε + Vδβ + Mδψ ) dx = F δ uf + Rδ ur exprime l équilibre statique et s applique pour déterminer le jeu des forces Forces virtuelles (*) (forme intégrale de la compatibilité cinématique) ( δn ε + δv β + δmψ) dx = δf uf + δrur exprime la compatibilité géométrique et s applique pour calculer des déplacements Ne pas aussi oublier que : les formes intégrales sont valables pour toutes poutres droites ou courbes (dx et ds) ces expressions sont indépendantes de tout type de lois constitutives ces expressions ne sont pas une conséquence du principe de superposition! 14

15 Formes intégrales - Exemples Application aux treillis : Charge uniforme : δwint = Nδu barres * δwint = ( δn) u barres q dx dx q δwext = qδvq dx δv q 15

16 Théorème de la force unité Échauffement Que vaut u A en A selon ΔA? δf A δn, δv, δm Vent Matériau linéaire ou non linéaire Tassement d appui δr Application d une force concentrée unique et unitaire (δf A = 1 ) Principe de Forces virtuelles (forme intégrale de la compatibilité cinématique) ( δn ε + δv β + δmψ) dx = δf u + δru A A R 16

virtuel : Application d une force concentrée unique et unité (δf A = 1 ) 1

17 Théorème de la force unité Échauffement δf A =1 N 1, V 1, M 1 Vent Matériau linéaire ou non linéaire Tassement d appui R 1 État statique virtuel : Application d une force concentrée unique et unité (δf A = 1 ) 1 u ( N ε V β M ψ) dx R ur Travail extérieur de la force unité = + + A poutres 17

18 Théorème de la force unité u = N ε + V β + M ψ dx R u 1 ( selon A) ( ) A poutres R Théorème de la force unité : le déplacement d un point d une structure, dans une direction donnée, s obtient en calculant, sous l action appliquée dans la direction donnée d une force virtuelle associée, le travail virtuel complémentaire interne de la structure, moins celui des réactions d appui 18

19 Théorème de la force unité 1 ua = ( N ε + V β + Mψ) dx R u R poutres État statique virtuel 1, N 1, V 1, M 1 et R 1 sont les poids et sont des valeurs connues ou du moins calculables État cinématique réel ε, β, ψ connus par les efforts intérieurs réels u R ordinairement connus u A est l inconnue Par une seule condition (équilibre de l état virtuel), ce théorème est d un intérêt exceptionnel pour le calcul des déplacements en un point choisi d une structure en barres ou poutres 19

20 Théorème de la force unité 1 ua = ( N ε + V β + Mψ) dx R u R poutres Cas d une variation uniforme de température : du = ε dx = αt dx 1 th 0 u = N α T dx A 1 0 ε 20

21 Théorème de la force unité 1 u ( N ε V β M ψ) dx R ur = + + A poutres Dans le cas où le matériau accepte la loi de Hooke (élastique et linéaire) Cas plan : Cas spatial : N V M ε = β = ψ = EA GB EI N Vy Vz ε = βy = βz = EA GB GB T M y M χ = ψ y = ψz = GJ EI EI y y z z z 21

22 Calcul de déplacements particuliers N dx V dx M dx u = N + V + M Ru 1 A R EA GB EI Établir les diagrammes M, V, N On n oublie pas que l on a des grandeurs statiques virtuelles et des grandeurs cinématiques réelles 22

23 Calcul de déplacements particuliers N dx V dx M dx = + + 1uA N1 V1 M1 Ru 1 R EA GB EI Établir les diagrammes M, V, N Cas d une variation linéaire de température : du = ε dx = αt dx th 0 α T dx dθ = h avec : ysup Tinf yinf Tsup T0 = et T = Tsup T h inf T 1 u = N αt dx + M ( α ) dx h A même principe pour le calcul du retrait du béton Dilatation thermique courbure thermique 23

24 Calcul de déplacements particuliers N dx V dx M dx = + + 1uA N1 V1 M1 Ru 1 R EA GB EI Établir les diagrammes M, V, N Cas des treillis : N N 1u = 1 + NαT Ru A R b EA b r 24

25 Calcul de déplacements particuliers N dx V dx M dx = + + 1uA N1 V1 M1 Ru 1 R EA GB EI Établir les diagrammes M, V, N Cas des treillis : N N 1 1uA = + N1α T 0 Ru 1 R b EA b r N barres (m) N 1 N /EA P1 αt 0 P Σ1 = Σ2 = Σtotale = 25

26 Pour quel déplacement? (a) : connaître la variation de distance entre deux points A et B (b) : connaître la rotation dans un angle de structure (c) : connaître la rotation relative dans une section de poutre (d) : connaître la rotation en bloc d une barre de treillis 26

27 Calcul pratique des déplacements a) Hypothèses simplificatrices Dans les poutres, on peut négliger les déformations dues à N et V On ne peut pas le faire pour les exceptions suivantes: Poutres à âme mince de h/ "grand" (attention à V) Arcs surbaissés (attention à N) Cadres avec cellules triangulaires (attention à N) Dans les systèmes de barres, on ne peut pas négliger N! (tirants, ) b) Problèmes de signe? Seul compte les signes relatifs entre efforts (M et M 1, ) Il est donc utile d avoir une convention de signe aux efforts intérieurs c) Calcul des intégrales? Cas de M : Si EI est constant, on peut utiliser une table (page 398, V2) 0 M m dx Si EI n est pas constant (inertie variable), on fera un intégration numérique! 27

28 Calcul pratique des déplacements 28

29 Calcul pratique des déplacements : exemple = q q v M 0 1v M dx = ( )( )( )( ) = EI EI 4 2 8EI * = 29

30 Calcul pratique des déplacements : exemple 2 x 1 q 2 /8 a) Déjà fait au chapitre 10, équation (10.10), on avait calculé la déformée par dérivation: q v = ( x 2x + x ) 24EI b) Avec le théorème de la force unité: 1 1v = M 0 1v M dx EI 1 1 x ( x) q x ( x) 1v = ( )( )( )( + ) EI 3 8 q 1v = x ( x) + x ( x) 24 EI q v( x) = ( x 2x + x ) 24 EI 2 M 1 (x) M ( ) x ( ) 1 x = x * = 30

31 θ? Cas des structures hyperstatiques q 1 A A On a une structure hyperstatique, dont on connaît la cinématique réelle, et on aimerait connaître la rotation θ en A On imagine une structure, dont on connaît la statique virtuelle, et on aimerait connaître M 1, N 1, V 1, R 1 et 1 qui soient en équilibre? En fait, on peut faire agir notre force unité 1 dans n importe quelle structure isostatique déduite de la structure hyperstatique par coupures simples! Cela réduit considérablement les calculs. 31

32 Cas des structures hyperstatiques Structure hyperstatique θ? A q Structure "rendue" isostatique 1 A Ici, M est réel Ici, M 10 est virtuel 1 1θ A = M M poutres 10 dx EI Premier théorème de réduction 32

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